九年级数学上册 23.3 课题学习 图案设计 导学案（知识清单+典型例题+巩固提升）

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九年级数学上册 23.3 课题学习 图案设计 导学案
【知识清单】
1.平移、轴对称、旋转之间的对比
　 平移 轴对称 旋转
相同点 都是全等变换（合同变换），即变换前后的图形全等．
不
同
点 定义 把一个图形沿某一方向移动一定距离的图形变换． 把一个图形沿着某一条直线折叠的图形变换． 把一个图形绕着某一定点转动一个角度的图形变换．
图形
要素 平移方向
平移距离 对称轴 旋转中心、旋转方向、旋转角度
性质 连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等． 任意一对对应点所连线段被对称轴垂直平分． 对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角．
对应线段平行（或共线）且相等． 任意一对对应点所连线段被对称轴垂直平分． *对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角， 即：对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等．
2.分析图案形成过程的方法
1）找出组成原图案最基本的图形；
2）说明将该基本图形运用平移、旋转、轴对称中的哪些图形变换，通过怎样的变换方式得到原图案.
3.设计图案的方法
图案的设计通常是利用基本图形通过轴对称、平移、旋转这三种基本形式变换来进行的，三种基本变换都有一个共同特征，那就是变换前后图形的形状、大小不发生变化，只有位置发生了变化，它们都属于全等变换。利用平移，旋转，轴对称中的一种或几种组合，就能把一个简单的图形设计成一个美丽的图案。
【典型例题】
考点1：分析图案的形成过程
例1．如图，由图案（1）到图案（2）再到图案（3）的变化过程中，不可能用到的图形变换是 （ ）
A．轴对称 B．旋转 C．中心对称 D．平移
【答案】D
【分析】观察本题中图案的特点，根据对称、平移、旋转的特征进行判断作答．
【详解】解：图（2）将图形绕着中心点旋转90°的整数倍后均能与原图形重合，图案包含旋转变换和中心对称．图（3）中有4条对称轴，本题图案包含轴对称变换．不符合题意；
图（1）三角形沿某一直线方向移动不能与图（2）（3）中三角形重合，故没有用到平移．
故选：D．
【点睛】考查图形的对称、平移、旋转等变换．对称有轴对称和中心对称，轴对称的特点是一个图形绕着一条直线对折，直线两旁的图形能够完全重合；中心对称的特点是一个图形绕着一点旋转180°后与另一个图形完全重合，它是旋转变换的一种特殊情况．
平移是将一个图形沿某一直线方向移动，得到的新图形与原图形的形状、大小和方向完全相同．旋转是指将一个图形绕着一点转动一个角度的变换．观察时要紧扣图形变换特点，认真判断．
考点2：利用平移、轴对称、旋转、中心对称设计图案
例2．如图，线段是由线段a经过平移得到的，线段还可以看作是线段a经过怎样的图形变化得到？下列结论：①1次中心对称；②1次轴对称；③2次轴对称．其中所有正确结论的序号是( )　　

A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】C
【分析】根据轴对称和中心对称的定义和性质逐个判断即可．把一个图形绕着某一点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫对称中心，这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点． 如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．这条直线就是它的对称轴．如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称．
【详解】解：①这两条线段组成中心对称图形，因此①正确，对称中心如下图所示：

②这两条线段不能组成轴对称图形，无法找到这样的直线，使得一边沿着这条直线翻折后与另一边重合，因此②错误；
③这两条线段组成中心对称图形，可以找到这样的两条对称轴，使得其中一条线段经过2次轴对称后与另一天重合，两条对称轴如下图所示：

故正确的有：①③
故选C．
【点睛】本题考查中心对称图形和轴对称图形，能快速寻找对称中心和对称轴是解题的关键．事实上，任意一次旋转变换都可以通过两次轴对称变换来实现．
【巩固提升】
选择题
1．边长为2的两种正方形卡片如上图①所示，卡片中的扇形半径均为2，图②是交替摆放A、B两种卡片得到的图案．若摆放这个图案共用两种卡片2021张，则这个图案中阴影部分图形的面积和为（ ）
A．4040 B．4044–π C．4044 D．4044＋π
2．在一个无盖的正方体玻璃容器内装了一些水，把容器按不同方式倾斜一点，容器内的水面的形状可能是（ ）
A． B． C． D．
3．下列各项中，不是由平移设计的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，图（1）中的三角形有8个，图（2）中的三角形有14个，图（3）中的三角形有20个，…，则图（8）中的三角形有（　　）
A．48个 B．50个 C．56个 D．64个
5．将一个正方形纸片按如图1、图2依次对折后，再按如图3打出一个心形小孔，则展开铺平后的图案是（ 　）
A． B． C． D．
6．如图，图案（1）变成图案（2）是由下列哪种变换而成的( )

A．平移变换 B．轴对称变换 C．旋转变换 D．相似变换
7．下列图标中，由一个基本图形通过平移设计得到的是（　　）
A． B． C． D．
8．七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被西方人誉为“东方魔板”．已知如图所示的“正方形”是由七块七巧板拼成的正方形（相同的板规定序号相同）．现从七巧板取出四块（序号可以相同）拼成一个小正方形（无空隙不重叠），则无法拼成的序号为（　　）
A．②③④ B．①③⑤ C．①②③ D．①③④
9．将如图所示的图案以圆心为中心，旋转180°后得到的图案是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
10．如图，将左边的图案变成右边的图案的操作是 ．
11．如图， 在平面直角坐标系xOy中， △OCD可以看成是△AOB经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由△AOB得到△OCD的过程 ．
12．如图所示，在正方形网格中，图①经过 变换（填“平移”或“旋转”或“轴对称”）可以得到图②；图③是由图②经过旋转变换得到的，其旋转中心是点 .（填“”或“”或“”）
13．如图，将等腰三角形纸片沿着底边上的高剪成两个三角形，将这两个三角形拼成一个平行四边形，若，则拼成的所有平行四边形中，对角线的最大长度是 ．

14．如图所示，图形（1）经过 变换成图形（2），图形（2）经过 变换成图形（3），图形（3）经过 变换成图形（4）．
三、解答题
15．如图，共有7个全等的三角形，你能分析说明第1个三角形经过什么变化可以依次得到其余6个三角形吗？
16．如图由长为a，宽为b的矩形、（2m+1）个长为4，宽为1的小矩形（为正整数）和若干个小圆组成，其中小圆的直径与小矩形的宽相等．
（1）当m＝1时，a＝　 　，b＝　 　；
（2）当a＝24时，求b的值；
（3）a的值能否等于30？请通过计算说明理由；
（4）直接写出a与b的数量关系．
17．画一画：
世界上因为有了圆的图案，万物才显得富有生机，以下来自现实生活的图中都有圆：它们看上去多么美丽与和谐，这正是因为圆具有轴对称和中心对称性．

(1)请问图中三个图形中是轴对称图形的有 　　 ，是中心对称图形的有 　 　（分别用三个图的代号、、填空）．
(2)请你在图、两个圆中，按要求分别画出与、、图案不重复的图案（草图）（用尺规画或徒手画均可，但要尽可能准确些，美观些）．是轴对称图形但不是中心对称图形；既是轴对称图形又是中心对称图形．
18．在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，图①，图②，图③均为顶点在格点上的三角形（每个小方格的顶点叫格点）．结合图形解答下列问
题：

(1)在图1中，图①经过______ 变换可以得到图②填“平移”或“旋转”或“轴对称”；
(2)在图1方格纸中，图③可由图②经过一次旋转变换得到，其旋转中心是点______ 填“A”或“B”或“C”；
(3)在图2中，画出图①绕点A顺时针旋转后得到图形．
19．图①、图②和图③都是的正方形网格，每个小正方形边长均为．按要求分别在图①、图②和图③中画图：
(1)在图①中画等腰，使其面积为，并且点在小正方形的顶点上；
(2)在图②中画四边形，使其是轴对称图形但不是中心对称图形，，两点都在小正方形的顶点上；
(3)在图③中画四边形，使其是中心对称图形但不是轴对称图形，，两点都在小正方形的顶点上；
参考答案
1．B
【分析】首先发现A，B两种卡片阴影部分的面积和为边长为2的正方形的面积，然后确定2021张卡片中A，B组成正方形1010个，第2021个图形是A，由此列式计算即可．
【详解】解：2021÷2＝1010…1，
所以这个图案中阴影部分图形的面积和为：4×1010＋A的阴影面积，
是：4440＋4﹣π＝4044﹣π．
故选：B．
【点睛】本题考查图形的变化规律，得出A、B面积和是正方形是解题关键．
2．A
【分析】结合题意，相当于把正方体一个面，即正方形截去一个角，可以得到三角形、四边形、五边形．
【详解】解：根据题意，结合实际，容器内水面的形状不可能是正方形、六边形、七边形．
故选A．
【点睛】此类问题也可以亲自动手操作一下，培养空间想象力．
3．D
【分析】根据确定一个基本图案按照一定的方向平移一定的距离，连续作图即可设计出美丽的图案．通过改变平移的方向和距离可使图案变得丰富多彩．
【详解】解：根据平移的性质可知：
A、B、C选项的图案都是由平移设计的，
D选项的图案是由旋转设计的．
故选：D．
【点睛】本题考查了利用平移设计图案，解决本题的关键是掌握平移的性质：平移按一定的方向移动一定的距离．
4．B
【分析】根据已知图形得出第n个图形中三角形的个数为6n+2，据此求解可得．
【详解】解：∵图（1）中的三角形个数8＝2+6×1，
图（2）中的三角形个数12＝2+6×2，
图（3）中的三角形个数20＝2+6×3，
……
∴图（8）中的三角形有2+6×8＝50，
故选B．
【点睛】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是根据已知图形得出第n个图形中三角形的个数为6n+2．
5．B
【分析】根据题中所给剪纸方法，进行手动操作，答案就能很直观的呈现.
【详解】按照图中顺序进行操作，展开后心形图案应该靠近正方形上下两边，且关于中间折线对称，故只有B选项符合.
故选B.
【点睛】本题考查剪纸问题，解决此类问题要熟知轴对称图形的特点，关键是准确的找到对称轴，一般的方法是动手操作，拿张纸按照题中的要求进行操作.
6．C
【分析】图案旋转变换具备三个要素：①定点﹣旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．
【详解】根据观察可知，图案（1）变成图案（2）是由旋转变换而成的．
故选 C．
【点睛】本题考查旋转的性质．旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．
7．D
【分析】利用平移的定义分析即可．
【详解】A.可以通过旋转得到，故A选项不符合题意；
B. 可以通过旋转得到，故B选项不符合题意；
C. 可以通过轴对称变换得到，故C选项不符合题意；
D. 可以通过平移得到，故D选项符合题意．
故选：D
【点睛】本题考查了利用平移设计图案，准确理解平移的定义是解决本题的关键．
8．A
【分析】由题意画出图形可求解。
【详解】B选项拼图如下：
C选项拼图如下：
D选项拼图如下：
故选：A．
【点睛】本题考查几何图形的想象能力，注意同一个序号的图形有两个时，两个都可以使用．
9．A
【分析】根据旋转的性质，旋转前后图形不发生任何变化，绕中心旋转180°，即是对应点绕旋转中心旋转180°，即可得出所要图形．
【详解】解：将图中所示的图案以圆心为中心，旋转180°后得到的图案是
故选：A．
【点睛】此题考查利用旋转设计图案、理解旋转180°后图形的性质，旋转前后的图形关于旋转中心是对称的，属于基础题．
10．旋转
【分析】根据图形旋转的性质即可得出结论．
【详解】解：将左边的图案绕图案中的长方形中心逆时针旋转即可得到右边的图案．
故答案为：旋转．
【点睛】本题考查的是几何变换的类型，熟知图形旋转的性质是解答此题的关键．
11．将△AOB顺时针旋转90°，再向左平移2个单位长度
【分析】根据平移、旋转的性质即可得到由△AOB得到△OCD的过程．
【详解】解：将△AOB顺时针旋转90°，再向左平移2个单位长度得到△OCD，
故答案为：将△AOB顺时针旋转90°，再向左平移2个单位长度．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转，坐标与图形变化-平移，解题时需要注意：平移的距离等于对应点连线的长度．
12． 平移
【分析】图形平移前后对应边平行，故由①到②属于平移；旋转中心的确定方法是，两组对应点连线的垂直平分线的交点，即为旋转中心.
【详解】根据题意可得：图①与图②的对应点位置不变，通过平移可以得到；
根据旋转中心的确定方法是，两组对应点连线的垂直平分线的交点，可确定图②经过旋转变换得到图③的旋转中心是点A.
故填平移；A.
【点睛】此题考查图形的旋转变换中旋转中心的确定方法，两组对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心.
13．
【分析】根据等腰三角形的性质，结合平行四边形的性质，通过翻折、旋转、平移等方式，将三角形进行拼接，把相等的边靠在一起，有三种拼法，分三种情况讨论求解即可得到答案．
【详解】解：在中，，是底边上的高，如图所示：

，
，，
由等腰三角形“三线合一”可知是的中线、高线和角平分线，
，，，
按照题意，将等腰三角形纸片沿着底边上的高剪成两个三角形，如图所示：

将这两个三角形拼成一个平行四边形，有三种拼法，具体如下：
①旋转、翻折其中一个三角形，然后平移，将两个三角形的与重合，拼成一个四边形，如图1所示：

连接对角线，如图所示：

,,
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是平行四边形，
,
由两直线平行，同旁内角互补得到，
在和中，
,
，
平行四边形的两条对角线相等，是；
②旋转、翻折其中一个三角形，然后平移，将两个三角形的直角边重合，拼成一个四边形，如图2所示：

连接对角线，如图所示：

,,
，
四边形是平行四边形，
平行四边形的一条对角线为；
延长，过点作于，如图所示：

,
，
，
，
,
,
,
四边形是平行四边形，
由平行四边形对边相等得到，，
在中，，，，则对角线；
③旋转、翻折其中一个三角形，然后平移，将两个三角形的高重合，拼成一个四边形，如图3所示：

连接对角线，如图所示：

,,
，
四边形是平行四边形，
平行四边形的一条对角线为；
延长，过点作于，如图所示：

,
，
，
，
,
,
,
四边形是平行四边形，
由平行四边形对边相等得到，，
在中，，，，则对角线；
综上所述，拼成的所有平行四边形中，对角线的最大长度是．
【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、图形的翻折、平移和旋转、全等三角形的判定与性质、勾股定理求线段长等知识，本题还考查了学生的动手能力、空间想象能力，解题的关键是相等的边靠在一起，且满足是平行四边形这个条件．
14． 轴对称 平移 旋转
【分析】图（2）是由图（1）沿对应点连线所在的垂直平分线翻折得到的；
图（3）是由图（2）向右平移一定距离得到的；
图（4）是由图（3）绕一对对应点连线的中点旋转得到的．
【详解】解：图形（1）经过轴对称变换成图形（2），
图形（2）经过平移变换成图形（3），
图形（3）经过旋转变换成图形（4）；
故答案为：①轴对称；②平移；③旋转．
【点睛】题目主要考查平移及旋转、轴对称的性质，熟练掌握三者的定义是解题关键，平移是沿直线移动一定距离得到新图形，旋转是绕某个点旋转一定角度得到新图形，轴对称是沿某条直线翻折得到新图形，观察时要紧扣图形变换特点，认真判断．
15．见解析．
【分析】根据所给的图形及其位置，运用平移、旋转的知识即可作出说明．
【详解】解：如图，标注三角形的一个顶点如下，
先向右平移1个单位长度，再绕逆时针旋转90°；
：先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，最后绕旋转180°；
：向下平移1个单位长度；
：先向下平移1个单位长度，再绕逆时针旋转90°；
：先向下平移1个单位长度，再绕逆时针旋转90°；
：先向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，最后绕逆时针旋转90°．（答案不唯一）
【点睛】本题考查利用旋转、平移的知识，注意仔细观察图形及语言的规范性是解题的关键．
16．（1）9，7；（2）22；（3）不能等于30，见解析；（4）
【分析】（1）长为，宽为的矩形，当=1时，（2+1）=3，得3个长为4，宽为1的小矩形（为正整数）和5个小圆组成，其中小圆的直径与小矩形的宽相等，进而求解；
（2）结合（1）并观察图形的变化规律可得=5+4，b=5+2，进而求解；
（3）不能等于30，根据=5+4当=30，可求5+4=30，进而得的值即可判断；
（4）结合（1）（2）可得．
【详解】（1）长为，宽为的矩形，
当=1时，（2+1）=3，
3个长为4，宽为1的小矩形（为正整数）和5个小圆组成，
其中小圆的直径与小矩形的宽相等，
∴=3+3+1+1+1=9
=3+1+1+1+1=7
故答案为9，7；
（2）结合（1）并观察图形的变化规律可知：
=5+4，b=5+2
∴当=24时，5=20，
∴=22；
（3）不能等于30，理由如下：
∵=5+4
若=30，则5+4=30，=
∵是正整数，
∴不能等于30；
（4）结合（1）（2）可知：
，
所以与的数量关系为：．
【点睛】此题主要考查图形类变化规律，解题关键是理解题意，找出关系式.
17．(1)、、；和
(2)见解析
【分析】（1）根据中心对称图形的定义以及轴对称图形的定义，逐个分析，判断即可求解；
（2）根据题意，设计图形，使得d 是轴对称图形但不是中心对称图形； e 既是轴对称图形又是中心对称图形．
【详解】（1）三个图形中轴对称的为、、．是中心对称的为和；
（2）解：如图所示

【点睛】本题考查了中心对称图形的定义以及轴对称图形的定义，作图设计，熟练掌握中心对称图形的定义以及轴对称图形的定义是解题的关键．轴对称图形是一个图形沿一条直线折叠，直线两侧的图形能够互相重合的；中心对称图形是把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合；是解题的关键．
18．(1)平移
(2)A
(3)见解析
【分析】（1）根据平移的定义可知图①向右上平移可以得到图②；
（2）将图形②绕着点旋转后能与图形③重合，可知旋转中心；
（3）以为旋转中心，顺时针旋转得到关键顶点的对应点连接即可．
【详解】（1）解：图①经过一次平移变换可以得到图②；
故答案为：平移；
（2）图③是可以由图②经过一次旋转变换得到的，其旋转中心是点；
故答案为：；
（3）如图．
【点睛】本题难度中等，考查网格中平移、旋转及旋转作图，作图时，抓住网格的特点，根据旋转的性质，借助于直角三角板中的直角，就能顺利作出图形，解题时要注意是顺时针还是逆时针方向．平移是沿直线移动一定距离得到新图形，旋转是绕某个点旋转一定角度得到新图形，观察时要紧扣图形变换特点，认真判断．
19．(1)作图见解析
(2)作图见解析
(3)作图见解析
【分析】（1）取格点，连接、即可；
（2）取格点、，连接、、即可；
（3）取格点、，连接、、即可．
【详解】（1）解：取格点，连接、，取格点，连接，
∵图①是的正方形网格，每个小正方形边长均为，
∴，，，
∴垂直平分，
∴，
∴是等腰三角形，
又∵，
∴等腰面积为，且点在小正方形的顶点上，
则即为所作；
（2）取格点、，连接、、，
∵图②是的正方形网格，每个小正方形边长均为，
∴，，，
∴，
∴四边形是梯形，
∵，，
∴，
∴四边形是等腰梯形，它是一个轴对称图形，不是中心对称图形，
则四边形即为所作；
（3）取格点、，连接、、即可，
∵图③是的正方形网格，每个小正方形边长均为，
∴，，
∴四边形是平行四边形，它是一个中心对称图形，不是轴对称图形，
则四边形即为所作．
【点睛】本题考查作图一应用与设计作图，考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，等腰梯形的判定，勾股定理，平行四边形的判定，中心对称图形，轴对称图形，三角形的面积等知识．解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题．
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