24.1.1圆 导学案（知识清单+典型例题+巩固提升）

中小学教育资源及组卷应用平台
九年级数学上册 24.1.1 圆 导学案
【知识清单】
圆的概念：
在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆.其中，固定的端点O叫做圆心.线段OA叫做半径，一般用r表示.以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”.
2.圆上各点到定点（圆心O）的距离有什么规律
圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）.
3.到定点的距离等于定长的点又有什么特点
到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上.从而得到圆的另一个概念：圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点组成的图形.
确定一个圆的要素
一是圆心，圆心确定其位置；二是半径，半径确定其大小．
5.弦的概念
连接圆上任意两点的线段（如图AC）叫做弦.经过圆心的弦（如图中的AB）叫做直径.
6.直径和弦是什么关系
（1）弦和直径都是线段.（2）凡直径都是弦，是圆中最长的弦，但弦不一定是直径.
7.弧、半圆、优弧、劣弧的概念
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A、B为端点的弧记作 ，读作“圆弧AB”或“弧AB”.
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成的两条弧，每一条弧都叫做半圆.
小于半圆的弧（如图中的）叫做劣弧
大于半圆的弧（用三个字母表示，如图中的）叫做优弧.
8.弧、半圆、优弧、劣弧是什么关系
(1)弧分为是优弧、劣弧、半圆，
(2)半圆是弧，但弧不一定是半圆，
(3)半圆既不是劣弧，也不是优弧.
【典型例题】
考点1：圆的基本概念辨析
例1．如图，直线，垂足为，线段，，以点为圆心，的长为半径画弧，交直线于点，则的长为（ ）

A．10 B．8 C．6 D．4
【答案】D
【分析】由垂直的定义得到，根据勾股定理得到，得到，即可得到结论．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理，圆的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
考点2：求圆中弦的条数
例2．如图，点，，，点 ，， 以及点 ，， 分别在一条直线上，则圆中弦的条数为 （ ）

A． 条 B． 条 C． 条 D． 条
【答案】A
【分析】根据弦的定义进行分析，从而得到答案．
【详解】解：图中的弦有，共2条．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了弦的定义，理解弦的定义是解决本题的关键．
考点3：求过圆内一点的最长弦
例3．若的直径长为，点，在上，则的长不可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】根据直径是最长的弦即可求解．
【详解】解：∵若的直径长为，点，在上，
∴的长不可能是，
故选：D．
【点睛】本题考查了圆的相关概念，掌握直径是最长的弦是解题的关键．
考点4：求一点到圆上点距离的最值
例4．如图，已知直线与轴、轴分别交于、两点，是以为圆心、半径为1的圆上的一动点，连接、．则面积的最大值是（ ）

A．21 B．33 C． D．42
【答案】B
【分析】求出A、B的坐标，根据勾股定理求出，求出点C到的距离，即可求出圆C上点到的最大距离，根据面积公式求出即可．
【详解】解：∵直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴A点的坐标为，B点的坐标为，
即，由勾股定理得：，
过C作于M，连接，

则由三角形面积公式得：，
即：，
∴，
∴圆C上点到直线的最大距离是：，
∴面积的最大值是；
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的面积，勾股定理等知识，解此题的关键是求出圆上的点到直线的最大距离．
考点5：圆的周长和面积问题
例5．如图，一块四边形绿化园地，四角都做有半径为R的圆形喷水池，则这四个喷水池占去的绿化园地的面积为（ ）

A． B． C． D．不能确定
【答案】C
【分析】根据图形的特征，四边形内角和为，可得四个喷水池的面积之和正好等于一个半径为R的圆的面积．
【详解】解：因为四边形内角和为，
所以四个喷水池的面积之和正好等于一个半径为R的圆的面积，
即这四个喷水池占去的绿化园地的面积为．
故选：C
【点睛】本题主要考查了四边形的内角和以及圆面积公式，解答本题的关键是根据四边形的内角和为°得到四个喷水池的面积之和正好等于一个半径为R的圆的面积．
【巩固提升】
选择题
1．如图，在中，A、B是圆上的两点，已知，直径，连接，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．下列命题中，正确的个数是（　 ）
（1）直径是弦，但弦不一定是直径；
（2）半圆是弧，但弧不一定是半圆；
（3）半径相等且圆心不同的两个圆是等圆；
（4）一条弦把圆分成的两段弧中，至少有一段是优弧．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，图中⊙O的弦共有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
4．如图，已知A，B，C，D四点都在⊙O上，则⊙O中的弦的条数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．已知的半径是3cm，则中最长的弦长是（ ）
A．3cm B．6cm C．1.5cm D．3cm
6．下列各命题是真命题的是（ ）
A．平行四边形既是轴对称图形又是中心对称图形 B．有一个角是直角的平行四边形是正方形
C．矩形的四个顶点共圆 D．直径是圆中最长的弦，半径是最短的弦
7．在同一平面内，已知的半径为2，圆心O到直线l的距离为3，点P为圆上的一个动点，则点P到直线l的最大距离是（ ）
A．2 B．5 C．6 D．8
8．如图，在平面直角坐标系中，的一条直角边在x轴上，点A的坐标为；中，，连接，点M是中点，连接．将以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段的最小值是（ ）

A．3 B． C． D．2
9．由所有到已知点O的距离大于或等于1，并且小于或等于2的点组成的图形的面积为（ ）
A．π B．2π C．3π D．4π
10．周长相等的正方形和圆，它们的面积相比（ ）
A．圆的面积大 B．正方形面积大 C．一样大 D．无法确定
二、填空题
11．如图，在中，，，D为上一点，，以C为圆心，长为半径作圆，连结并延长交于另一点E，若，则的长为 ．
12．如图，在中，点A、O、D和点B、O、C分别在一条直线上，图中共有 条弦，它们分别是 ．
13．如图，是边长为的等边三角形，是边长为的等边三角形，直线与直线交于点将绕点旋转周，在这个旋转过程中，线段长度的最大值是 ．
14．如图，点，，的坐标分别为，，，以点为圆心、2为半径画，点在上运动，连接，交于点，点为线段的中点，连接，则线段的最小值为 ．
15．一座圆形花坛的半径为，中间雕塑的底面是边长为的正方形．如图，这个花坛的实际种花面积为 （取，结果精确到个位）．
三、解答题
16．有的同学说：“从优弧和劣弧的定义看，大于半圆的弧叫优弧，小于半圆的弧叫劣弧，所以优弧一定比劣弧长．”试分析这个观点是否正确．
甲同学：此观点正确，因为优弧大于半圆，劣弧小于半圆，所以优弧比劣弧长．
乙同学：此观点不正确，如果两弧存在于半径不相等的两个圆中，如图，中的优弧，中的劣弧，它们的长度大小关系是不确定的，因此不能说优弧一定比劣弧长．
请你判断谁的说法正确？

17．如图，是内接三角形，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图．
（1）在图1中，画山一条与相等的弦；
（2）在图2中，画出一个与全等的三角形．
18．如图，点A，B，C在⊙O上，按要求作图：
(1)过点A作⊙O的直径AD；
(2)过点B作⊙O的半径；
(3)过点C作⊙O的弦．
19．综合与实践：问题情境：已知：正方形的边长为，点E是上的一个动点（不与点C，D重合），将正方形沿折叠，点D的对应点是点F，延长交于点G．

特例分析：（1）如图1，当点E是的中点时，求线段的长；
实践探究：先将正方形对折，使与重合，展开铺平得到折痕，再沿折叠．
（2）如图2，当点F落在上时，设与的交点为点H，连接．试判断四边形的形状，并说明理由；
（3）当点F落在上时，请在图3中补全图形，并直接写出线段的长；
（4）在点E的运动过程中，的周长的最小值为 ___________．
20．如图，大蚂蚁沿着大圆爬一圈，小蚂蚁沿着两个小圆各爬了一圈．谁爬的路程长？请通过计算说明．
21．如图所示，一个运动场的两端是半圆形，中间是长方形，长方形的长为100米，宽为60米．（取3.14）
(1)求这个运动场的周长是多少米？
(2)若将此运动场全部铺上塑胶，铺完后每平方米塑胶的费用为100元，求这个运动场铺上塑胶后所需要的费用是多少元？
参考答案
1．A
【分析】根据等腰三角形的性质和平行线的性质求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，，
∴，，
则，
故选：A．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、平行线的性质、圆的基本知识，熟练掌握等边对等角是解答的关键．
2．C
【分析】根据弦和直径的定义可得判断（1）；根据弧的定义可以判断（2）；根据等圆的定义可以判断（3）；根据优弧、劣弧的定义可以判断（4）；从而得到答案．
【详解】解：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是圆中最长的弦，
直径是弦，但弦不一定是直径，故（1）说法正确，符合题意；
圆上任意两点间的部分叫做弧，
半圆是弧，但弧不一定是半圆，故（2）说法正确，符合题意；
半径决定圆的大小，半径相等的两个圆是等圆，
半径相等且圆心不同的两个圆是等圆，故（3）说法正确，符合题意；
弧可以分为劣弧、优弧、半圆三种，一条直径把圆分成两个半圆，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半径的弧叫做优弧，
直径把圆分成两段弧，既不是优弧也不是劣弧，故（4）说法正确，不符合题意；
综上所述，正确的个数3个，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了圆的基本概念，判断命题的真假，熟练掌握圆的基本概念是解题的关键．
3．C
【分析】根据弦的定义即可求解． 连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是一个圆里最长的弦．
【详解】解：图中有弦共3条，
故选C．
【点睛】本题考查了弦的定义，理解弦的定义是解题的关键．
4．B
【分析】根据弦的定义求解即可．
【详解】解：根据弦的定义可知，AB、CD和BD都是圆的弦，所以⊙O中的弦的条数为3，
故选：B．
【点睛】本题考查了弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫圆的弦．
5．B
【分析】利用圆的直径为圆中最长的弦求解．
【详解】解：圆的直径为圆中最长的弦，
中最长的弦长为．
故选：B．
【点睛】本题考查了圆的认识：需要熟练掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．
6．C
【分析】利用平行四边形的对称性、矩形、弦及正方形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A．平行四边形是中心对称图形但不一定是轴对称图形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B．有一个角是直角的平行四边形是矩形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
C．矩形的四个顶点共圆，都在以对角线的交点为圆心，对角线的一半为半径的圆上，故原命题正确，是真命题，符合题意；
D．直径是圆中最长的弦，半径不是弦，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
故选：C．
【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形的对称性、矩形、弦及正方形的判定方法，难度不大．
7．B
【分析】过点作于点，连接，判断出当点为的延长线与的交点时，点到直线的距离最大，由此即可得．
【详解】解：如图，过点作于点，连接，
，，
当点为的延长线与的交点时，点到直线的距离最大，最大距离为，
故选：B．
【点睛】本题考查了圆的性质，正确判断出点到直线的距离最大时，点的位置是解题关键．
8．A
【分析】如图所示，延长到E，使得，连接，根据点A的坐标为得到，再证明是的中位线，得到；解得到，进一步求出点C在以O为圆心，半径为4的圆上运动，则当点M在线段上时，有最小值，即此时有最小值，据此求出的最小值，即可得到答案．
【详解】解：如图所示，延长到E，使得，连接，
∵的一条直角边在x轴上，点A的坐标为，
∴，
∴，
∴，
∵点M为中点，点A为中点，
∴是的中位线，
∴；
在中，，
∴，
∵将以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，
∴点C在以O为圆心，半径为4的圆上运动，
∴当点M在线段上时，有最小值，即此时有最小值，
∵，
∴的最小值为，
∴的最小值为3，
故选A．

【点睛】本题主要考查了一点到圆上一点的最值问题，勾股定理，三角形中位线定理，坐标与图形，含30度角的直角三角形的性质等等，正确作出辅助线是解题的关键．
9．C
【分析】根据题意、利用圆的面积公式计算即可．
【详解】解：由所有到已知点O的距离大于或等于1，并且小于或等于2的点组成的图形的面积为以2为半径的圆与以1为半径的圆组成的圆环的面积，
即，
故选：C．
【点睛】本题考查的是圆的认识、圆的面积的计算，掌握圆的面积公式是解题的关键．
10．A
【分析】要比较周长相等的正方形和圆形，谁的面积最大，谁面积最小，可以先假设这二种图形的周长是多少，再利用这二种图形的面积公式，分别计算出它们的面积，最后比较这二种图形面积的大小.
【详解】解：为了便于理解，假设正方形和圆形的周长都是16,
则圆的半径为： ，面积为：
正方形的边长为：，面积为：，
∵
∴周长相等的正方形和圆形，圆面积最大，
故选：A．
【点睛】此题主要考查正方形、圆形的面积公式及灵活运用，解答此题可以先假设这二种图形的周长是多少，再利用这二种图形的面积公式，分别计算出它们的面积，最后比较这二种图形面积的大小.
11．
【分析】结合圆的性质证明，设，过作，垂足为F，利用直角三角形的性质求出，，根据的长度以及勾股定理列出方程，解之即可．
【详解】解：∵，点E在上，
∴，
∴，
∵，
∴，又，
∴，
∴，设，
则，
过作，垂足为F，
∵，
∴，，
∴，
∴，
解得：，即，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆的性质，勾股定理，含30度的直角三角形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，知识点较多，比较复杂，解题的关键是构造直角三角形，利用勾股定理计算线段长度．
13． 三/3 ，，
【分析】根据连接圆上任意两点的线段叫弦回答即可．
【详解】解：图中的弦有，，共三条．
故答案为：三；，，．
【点睛】本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握弦的概念是解题的关键．
14．
【分析】由“”可证≌，可得，可证点，点，点，点四点共圆，由等边三角形的性质可求的长，由点在上运动，则是直径时最大，即可求解．
【详解】解：和是等边三角形，
，，，
，
在和中，
，
≌，
，
又，
，
点，点，点，点四点共圆，
如图，过点，点，点，点四点圆为，连接，，，过点作于，
是等边三角形，，
点是的内心，也是的外心，
，，
，，
，
点在上运动，
的最大值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，圆的有关知识，等边三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
14．3
【分析】连接，由垂径定理得出，由直角三角形的性质得出，进而得出点在以为圆心，以2为半径的上，得出当三点共线时，有最小值，由，求出，进而求出，即线段的最小值为3．
【详解】解：如图1，连接，
∵，
∴是的中点，
∵是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴点在以为圆心，以2为半径的上，
如图2，当三点共线时，有最小值，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴线段的最小值为，
故选：B．
【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，掌握垂径定理，勾股定理，两点间的距离公式，直角三角形斜边上中线的性质，三点共线等知识是解决问题的关键．
15．
【分析】根据圆的面积减去正方形的面积即可求解．
【详解】解：依题意，这个花坛的实际种花面积为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了求圆的面积，掌握圆的面积公式是解题的关键．
16．乙的观点正确
【分析】根据圆的基本概念进行分析即可．
【详解】解：弧的大小的比较只能是在同圆或等圆中进行．
∴乙的观点正确．
【点睛】本题考查了圆的基本概念，掌握在等圆或同圆中，优弧大于劣弧的概念是解题的关键．
17．（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）连结CO并延长交于E，连接BO并延长交于D，连结ED，再证△BOC≌△DOE（SAS），可得BC=DE；
（2）连结AO并延长交于A′，OA=OA′，连结BO并延长交于B′，OB=OB′，连结CO并延长交于C′，OC=OC′，利用边角边判定方法先证△BOC≌△B′OC′（SAS），可得BC=B′C′；同理可证△BOA≌△B′OA′（SAS），可得AB=A′B′，同理可证△AOC≌△A′OC′（SAS），可得AC=A′C′，利用三边对应相等判定方法可证△ABC≌△A′B′C′（SSS）．
【详解】解：（1）如图1，DE为所作；
连结CO并延长交于E，连接BO并延长交于D，连结ED，
∵OB=OD=OE=OC，
在△BOC和△DOE中，
，
∴△BOC≌△DOE（SAS），
∴BC=DE；
（2）如图2，△A′B′C′为所作．
连结AO并延长交于A′，OA=OA′，连结BO并延长交于B′，OB=OB′，连结CO并延长交于C′，OC=OC′，
在△BOC和△B′OC′中，
，
∴△BOC≌△B′OC′（SAS），
∴BC=B′C′；
同理可证△BOA≌△B′OA′（SAS），
∴AB=A′B′，
同理可证△AOC≌△A′OC′（SAS），
∴AC=A′C′，
在△ABC和△A′B′C′中，
，
∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）．
【点睛】本题考查仅用无刻度的直尺画线段，画三角形，三角形全等判定与性质，圆的性质，掌握圆的性质与三角形全等判定与性质是解题关键．
18．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）作射线，交于点，则线段即为的直径；
（2）连接，线段即为所求；
（3）连接，线段即为所求（答案不唯一）．
【详解】（1）如图所示，作射线，交于点，则线段即为的直径；
（2）如图所示，连接，线段即为所求；
（3）如图所示，连接，线段即为所求的一条弦（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了圆的基本概念，连接圆上任意两点是圆的弦，直径是经过圆心的弦，半径是圆上一点与圆心的连线，掌握以上知识是解题的关键．
19．特例分析：（1）；（2）四边形是菱形，见解析；（3）见解析，；（4）
【分析】（1）连接，证明，用的长表示出，再在中利用勾股定理列方程求解即可求出；
（2）利用线段垂直平分线性质，翻折性质，等腰三角形的判定即可得到四边形四条边的关系，从而判断出四边形的形状；
（3）根据题意补全图形，先求出的长，连接，证明，用的长表示出，再在中利用勾股定理列方程求解即可求出；
（4）的周长，因为，所以只要求出的最小值即可解决问题，而点F在以A为圆心，长为半径的圆周上运动，因此最小时，点F是与圆周的交点，由此可求出的最小值，从而求出的周长的最小值．
【详解】解：（1）如图，连接，

∵四边形是正方形，
，
由折叠得到，
，，
，
在和中，
，
，
，
设，则，
∵正方形的边长为，点E是的中点，
，
，
在中，
，
，
解得，
∴线段的长为；
（2）四边形是菱形．
理由如下：
如图，连接，

关于对称，
垂直平分，
，
是的垂直平分线，
，
是等边三角形，
，
∵，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴四边形是菱形．
（3）补全图形如下．

连接，同（1）的方法，知，
在中，
，
∴，
，
设，则，
在中，
，
解得，
故线段的长为；
（4）的周长为，
，
∴只要求出的最小值即可解决问题，
∵在点E的运动过程中，点F与点 A的距离，不变，
∴点F在以A为圆心，长为半径的圆周上运动，

对角线交此圆周于点F，此时最小，
∴最小的，
的周长的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题是一道四边形的综合题，考查正方形的性质，翻折性质，菱形的判定，等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，一元一次方程的解法，乘法公式、圆基本知识等，能灵活运用相关图形的性质是解题的关键．
20．大蚂蚁和小蚂蚁爬的路程一样长，见解析
【分析】利用圆的周长公式分别求出大、小蚂蚁爬行的路程，然后比较即可．
【详解】解：大圆的周长，两个小圆的周长和，
∴大圆的周长＝两个小圆的周长和，
∴大蚂蚁和小蚂蚁爬的路程一样长．
【点睛】本题考查了圆的认识，圆的周长的计算，熟练掌握圆的周长公式是解题的关键．
21．(1)这个运动场的周长是388.4米
(2)这个运动场铺上塑胶后所需要的费用是882600元
【分析】（1）根据题意可知，长方形的宽就为两端半圆的直径，两端的半圆可看作一个圆进行计算，运动场的周长等于圆的周长加上长方形的两条长边；
（2）用长方形的面积加上圆的面积可计算出这个运动场的面积，然后再用运动场的面积乘100就是整个运动场所需要的费用，列式解答即可得到答案．
【详解】（1）解：（米）
答：这个运动场的周长是388．4米
（2）（平方米）．
（元）
答：这个运动场铺上塑胶后所需要的费用是882600元．
【点睛】此题主要考查的是圆的周长、面积和长方形的面积的计算及其应用．
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)