24.1.2垂直于弦的直径 导学案（知识清单+典型例题+巩固提升）

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九年级数学上册 24.1.2 垂直于弦的直径 导学案
【知识清单】
垂径定理及推论：
　　 　①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
　　 　②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
　　 　③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.
　　 　④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦.
　　 　⑤平行弦夹的弧相等.
要点诠释：
在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）
【典型例题】
考点1：利用垂径定理求值
例1．如图，的半径垂直于弦，垂足为点，连接并延长交于点，连接，．若，，则的面积为（ ）

A．12 B．15 C．16 D．18
【答案】A
【分析】设，根据垂径定理可得出，用勾股定理可得出关于x的一元二次方程，解方程求出x的值, 进而得出的长度，再根据三角形的中位线的性质以及三角形的面积公式即可得出结论．
【详解】解：设，则，
∵，
∴，
在中，，即，
解得： ，即，
∵为的中位线，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了垂径定理、三角形的中位线以及三角形的面积，解题的关键是求出的长度属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据勾股定理找出方程是关键．
考点2：利用垂径定理求平行弦问题
例2．半径为5，弦，，，则与间的距离为（ ）
A．1 B．7 C．1或7 D．3或4
【答案】C
【分析】过点作，为垂足，交与，连，，由，得到，根据垂径定理得，，再在中和在中分别利用勾股定理求出，，然后讨论：当圆点在、之间，与之间的距离；当圆点不在、之间，与之间的距离．
【详解】解：过点作，为垂足，交与，连，，如图，
，
，
，，
而，，
，，
在中，，；
在中，，；
当圆点在、之间，与之间的距离；
当圆点不在、之间，与之间的距离；
所以与之间的距离为7或1．
故选：C．
【点睛】本题考查了垂径定理，即垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了勾股定理以及分类讨论的思想的运用．
考点3：利用垂径定理求同心圆问题
例3．如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过，，O三点，那么这条圆弧所在圆的圆心为图中的（　　）
A．点D B．点E C．点F D．点G
【答案】B
【分析】根据图形作线段和的垂直平分线，两线的交点即为圆心，根据图形得出即可．
【详解】解：如图
作线段和的垂直平分线，交于点E，即为弧的圆心，
故选：B．
【点睛】本题考查了垂径定理，线段垂直平分线性质，坐标与图形性质的应用．
考点4：利用垂径定理求解其他问题
例4．如图所示，一圆弧过方格的格点，试在方格中建立平面直角坐标系，使点的坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标是（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接，作线段、的垂直平分线，其交点即为圆心，根据点的坐标即可求得答案．
【详解】如图所示，连接，作线段、的垂直平分线，其交点即为圆心．

∵点的坐标为，
∴该圆弧所在圆的圆心坐标是．
故选：C．
【点睛】本题主要考查平面直角坐标系、垂径定理的推论，牢记垂径定理的推论（平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧）是解题的关键．
考点5：垂径定理的推论
例5．如图，的半径为，将的一部分沿着弦翻折，劣弧恰好经过圆心．则折痕的长为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】过点作与交于点，交于点，连接，根据折叠的性质可求出的长；根据垂径定理的推论可得，根据勾股定理可得的长，即可求出的长度．
【详解】解：过点作与交于点，交于点，连接，如图：

根据题意可得：，
∵，
∴，
在中， ，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了翻转的性质，垂径定理的推论，勾股定理，掌握翻转是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．
考点6：垂径定理的实际应用
例6．一辆装满货物，宽的卡车，欲通过如图所示的隧道（截面上部为半圆形，下部为长，宽的长方形），则卡车装满货物后的高度必须低于（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意欲通过如图的隧道，只要比较距厂门中线米处的高度比车高即可，根据勾股定理得出的长，进而得出的长，即可得出答案
【详解】解：车宽米，
欲通过如图的隧道，只要比较距隧道中线米处的高度与车高，
在中，由勾股定理可得：
（），
米，
卡车的外形高必须低于米
故选：.
【点睛】此题主要考查了垂径定理和勾股定理的应用，根据题意得出的长是解题关键.
【巩固提升】
选择题
1．陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到的一个“老碗”（ 图①）的形状示意图．是的一部分，是的中点，连接，与弦交于点，连接，．已知cm，碗深，则的半径为（ ）

A．13cm B．16cm C．17cm D．26cm
2．在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（ ）cm
A．1 B．3 C．3或4 D．1或7
3．将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（　　）cm.
A．6 B． C． D．
4．垂径定理及其推论反映了圆的重要性质，是证明线段和角相等以及垂直关系的重要依据，同时也为圆的计算和作图问题提供了方法和依据．下列可以运用垂径定理解决问题的图形是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，点是上两点，，点P是上的动点（P与不重合），连接，过点O分别作交于点E，交于点F，则等于（　　）

A．2 B．3 C．5 D．6
6．如图是一个圆柱形输水管横截面的示意图，阴影部分为有水部分，如果水面AB的宽为，水面最深的地方高度为，则该输水管的半径为（　　）

A． B． C． D．
二、填空题
7．在半径为的中，弦，求此弦所对的弧的中点到这条弦之间的距离是 ．
8．在半径为10的中，弦，弦，且，则与之间的距离是 ．
9．如图，在平面直角坐标系中，过格点A、B、C作以圆弧，则圆心的坐标是

10．如图，是的弦，是的中点，连接并延长交于点．已知，，则的半径为 ．

11．兴隆蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知，半径，高度为 m．
三、解答题
12．如图，是的外接圆，于点D，圆心O在上，，，求的半径．

13．如图，AB、CD为⊙O的两条弦，AB∥CD，经过AB中点E的直径MN与CD交于F点，求证：CF＝DF
14．如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点．
(1)求证：．
(2)若，大圆的半径，求小圆的半径r．
15．不过圆心的直线交于、两点，是的直径，于，于．

(1)在下面三个圆中分别画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形；
(2)请你观察(1)中所画图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论除外不再标注其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程)；
(3)请你选择(1)中的一个图形，证明(2)所得出的结论．
16．如图，已知扇形，请用尺规作图法在弧上找一点C，使得将扇形分成面积相等的两部分．（保留作图痕迹，不写作法）

17．某地有一座圆弧形拱桥，它的跨度（弧所对的弦的长），拱高（弧的中点到弦的距离）米．

(1)求拱桥的半径．（先画出解答示意图）
(2)已知现在的水位离拱顶米，求水位的宽度．
参考答案
1．A
【分析】首先利用垂径定理的推论得出，，再设的半径为，则．在中根据勾股定理列出方程，求出即可．
【详解】解：是的一部分，是的中点，，
，．
设的半径为，则．
在中，，
，
，
，
即的半径为．
故选：A．
【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理的应用，设的半径为，列出关于的方程是解题的关键．
2．D
【分析】分两种情况求解：①如图1，宽度为8cm的油面，作与的交点为，可知，，，在中，由勾股定理得，解得的值，在中，由勾股定理得，解得的值，计算即可；②如图2，宽度为8cm的油面，作与的交点为，连接，由题意知，，，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，计算即可．
【详解】解：分两种情况求解：①如图1，宽度为8cm的油面，作与的交点为
由题意知，，
在中，由勾股定理得
在中，由勾股定理得
∴
②如图2，宽度为8cm的油面，作与的交点为，连接
由题意知，，
在中，由勾股定理得
在中，由勾股定理得
∴
∴油面AB上升到CD，上升了1cm，油面AB上升到EF，上升了7cm；
故选D．
【点睛】本题考查了圆的垂径定理，勾股定理．解题的关键在于对两种情况全面考虑．
3．C
【分析】作OD⊥AB于C，交小圆于D，可得CD=2，AC=BC，由AO、BO为半径，则OA=OD=4；然后运用勾股定理即可求得AC的长，即可求得AB的长.
【详解】解：作OD⊥AB于C，交小圆于D，则CD=2，AC=BC，
∵OA=OD=4，CD=2，
∴OC=2，
∴AC=，
∴AB=2AC=.
故答案为C.
【点睛】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，作出辅助线、构造出直角三角形是解答本题的关键.
4．C
【分析】过圆心作弦的垂线，则可运用垂径定理解决问题，从而对各选项进行判断．
【详解】解：可以运用垂径定理解决问题的图形是．
故选：C．
【点睛】本题考查了垂径定理，解题的关键是熟记垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
5．C
【分析】先根据垂径定理得出，故可得出是的中位线，再根据中位线定理即可得出结论．
【详解】解：于于，
，
是的中位线，
．
故选：C．
【点睛】本题考查的是垂径定理，中位线定理，熟知垂直于弦的直径平分弦是解答此题的关键．
6．A
【分析】作半径于C，连接，设圆的半径是，则，，，由勾股定理列出方程求解即可．
【详解】作半径于C，连接，

设圆的半径是，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴该输水管的半径为，
故选：A．
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是通过作辅助线构造直角三角形，应用勾股定理，垂径定理列出关于半径的方程．
7．10cm或40cm
【分析】点C和D为弦所对弧的中点，连接交于点E，连接，如图，根据垂径定理的推论得到为直径，，则，再利用勾股定理计算出，然后分别计算出和即可．
【详解】
解：点C和D为弦所对弧的中点，连接交于点E，连接，如图，
∵点C和D为弦所对弧的中点，
∴为直径，，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴，，
即弦和弦所对的劣弧的中点的距离为10cm，弦和弦所对的优弧的中点的距离为40cm，
故答案为：10cm或40cm．
【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理, 关键是根据垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧解答．
8．2或14
【分析】由于弦与的具体位置不能确定，故应分两种情况进行讨论：①弦与在圆心同侧；②弦与在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可．
【详解】解：①当弦与在圆心同侧时，如图①，

过点O作，垂足为F，交于点E，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴由勾股定理得：，，
∴；
②当弦与在圆心异侧时，如图，

过点O作于点E，反向延长交于点F，连接，
同理，，
，
所以与之间的距离是2或14．
故答案为：2或14．
【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理，解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．
9．
【分析】根据网格的特点分别作的垂直平分线，交于点P，点P即为圆心，写出点P的坐标即可．
【详解】解：分别作的垂直平分线，交于点P，点P即为圆心，

由图知，圆心P的坐标为，
故答案为：．
【点睛】此题考查了垂径定理的应用，熟知弦的垂直平分线必过圆心是解题的关键．
10．5
【分析】连接，由垂径定理的推论得，设圆的半径为R，根据勾股定理得到方程，求解即可．
【详解】解：连接，如图所示：

∵是的中点，
∴，
∴
设的半径为，
∵
∴
在中，，即，
解得，，
即的半径为．
故答案为：5．
【点睛】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据垂径定理的推论判断出是的垂直平分线是解答此题的关键．
11．4
【分析】弦，半径，根据题意得是直角三角形，可求出的长，由此即可求解．
【详解】解：根据题意得，在中，，半径，
∴，，，
∴，
故答案是：．
【点睛】本题主要考查垂径定理、勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．
12．
【分析】连接，垂径定理，得到，勾股定理求出的长，设圆的半径是R，在中，根据勾股定理可以得到：，进行求解即可．
【详解】解：如图，连接．

∵是的高．
∴，
在中，．
设圆的半径是R．
则．
在中，根据勾股定理可以得到：，
解得：．
∴的半径为．
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理．熟练掌握垂径定理，是解题的关键．
13．见解析
【分析】根据垂径定理进行解答即可．
【详解】解：∵E为AB中点，MN过圆心O，
∴MN⊥AB ，
∴∠MEB＝90°，
∵AB∥CD ，
∴∠MFD＝∠MEB＝90°，
即MN⊥CD ，
∴CF＝DF．
【点睛】本题考查了垂径定理的运用，垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧．
14．(1)证明见解析
(2)小圆的半径r为
【分析】（1）过O作于点E，由垂径定理可知E为和的中点，则可证得结论；
（2）连接，由条件可求得的长，则可求得和的长，在中，利用勾股定理可求得的长，在中可求得的长；
【详解】（1）证明：过O作于点E，如图1，
由垂径定理可得
∴
∴
（2）解：连接，如图2，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理可得，
在中，由勾股定理可得
∴，即小圆的半径r为．
【点睛】本题考查了垂径定理与勾股定理的知识．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．
15．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据题意构造出垂径定理的基本图形，使得于，于．
（2）根据图形得出结论
（3）选择图①，过作于．由垂径定理知．进而得出 ，则．
【详解】（1）解：如图所示，
在图①中、延长线交于外一点；
在图②中、交于内一点；
在图③中．
（2）在三个图形中均有结论：线段．
（3）证明：如图①，过作于．由垂径定理知．
于，于，
，
∴，
为直径，
，
，
．
【点睛】在运用垂径定理解题时，常用的辅助线是过圆心作弦的垂线，构造出垂径定理的基本图形.
16．见解析
【分析】连接，过点O作垂直交于点C，即可求解．
【详解】解：如图，点C即为所求．
．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，尺规作图，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
17．(1)桥拱的半径为
(2)水面宽度为
【分析】（1）设圆弧形拱桥的圆心为，跨度为，拱高为，连接、，设拱桥的半径为米，根据垂径定理得出，在中，由勾股定理建立方程，解方程即可求解；
（2）设为水位线，与交于点，连接，在中，由勾股定理求得，根据垂径定理，即可求解．
【详解】（1）解：设圆弧形拱桥的圆心为，跨度为，拱高为，连接、，如图：

设拱桥的半径为米，
由题意得：，米，米，
则（米），米，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
即桥拱的半径为
（2）如图所示，设为水位线，与交于点，连接，

由题意得：米，米，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
∴水面宽度为
【点睛】本题考查了垂径定理的应用，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
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