24.4弧长和扇形面积 导学案（知识清单+典型例题+巩固提升）

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九年级数学上册 24.4 弧长和扇形面积 导学案
【知识清单】
圆的面积公式：，周长.
　　圆心角为、半径为R的弧长.
　　圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积.
　　弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.
　　圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为的圆柱的体积为，侧面积为，全面积为.
　　圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为，高为的圆锥的侧面积为，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有.
知识要点：
　　(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，
即；
　　(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.
　　(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；
　　(4)扇形两个面积公式之间的联系：.
【典型例题】
考点1：求弧长和半径
例1．某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2，，分别与所在圆相切于点，．若长，，则的长是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如图所示，，与相切于点，，连接，根据切线长定理可得，，勾股定理求得，进而根据弧长公式，即可求解．
【详解】解：如图所示，，与相切于点，，连接

∴，，
在中，
∴的长为
故选：C．
【点睛】本题考查弧长的计算，切线长定理，解答本题的关键是求出的长．
考点2：求圆心角和扇形面积
例2．如图1是边长为的等边三角形铁丝框，按图2方式变形成以为圆心，长为半径的扇形（图形周长保持不变），则所得扇形的面积是（ ）

A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【分析】根据题意的长就是边的长，由弧长公式求得扇形的圆心角的度数，进而根据扇形面积公式即可求解．
【详解】解：设，
，
，
解得：，
圆心角的度数为：
扇形的面积是，
故选：C．
【点睛】本题考查了弧长公式的应用，扇形的面积计算，掌握公式和理解图形变化前后对应关系是解题的关键．
考点3：求弓形面积
例3．如图，是的直径，是弦，，在直径上截取，延长交于点，若，则图中阴影部分的面积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】如图，连接，过点O作于点F，求出，由圆周角定理得，得，由三角形外角的性质得，由垂径定理得，根据勾股定理得，根据求解即可．
【详解】解：如图，连接，过点O作于点F，

则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴∠，
∴∠，
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，扇形面积等知识，求出扇形的半径和圆心角是解答本题的关键．
考点4：圆锥的有关运算
例4．如图，正六边形的边长为12，连接，以点A为圆心，为半径画弧，得扇形，将扇形围成一个圆锥，则圆锥的高为（ ）

A． B． C． D．2
【答案】D
【分析】求得弧的长即为圆锥的底面周长，求得底面半径再由勾股定理解答即可．
【详解】解：过B作于点P，连接，

∵正六边形的每个内角都是，每条边都相等，
∴，
∴，是等边三角形，
∴，
∵的圆心角为，
∴的长为，
∴圆锥底面半径，
∴圆锥高为，
故选：D．
【点睛】本题考查了正六边形的性质，三角函数，弧长公式，勾股定理，圆锥的侧面展开：如果把圆锥的侧面沿着它的一条母线剪开，那么它的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径是圆锥的母线长，弧长是圆锥底面圆的周长，圆锥的侧面积等于扇形的面积．
【巩固提升】
1、选择题
1．已知圆锥的底面半径为，母线长为，则其侧面积为 （ ）
A． B． C． D．
2．已知扇形的圆心角为，弧长为，则扇形的面积是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，有一块长为、宽为的矩形木板在桌面上按顺时针方向无滑动地翻滚，木板上顶点的位置变化为，其中，第二次翻滚时被桌面上一个小木块挡住，使木板边沿与桌面成角，则点翻滚到点的位置经过的路径长为（ ）

A． B． C． D．
4．如图，在中，，以点A为圆心、2为半径的与相切于点D，交于E，交于F，点P是上的一点，且，则图中阴影部分的面积是（ ）.

A． B． C． D．
5．如图，已知内接于，为直径，的平分线交于点D，连接，若，则图中阴影部分的面积为（ ）

A． B． C． D．
6．圆锥的母线是2，底面半径是1，则圆锥的侧面积是（ ）
A． B． C． D．
7．用圆心角为，半径为扇形做成一个圆锥的侧面，则圆锥底面圆半径为（ ）
A． B． C． D．
8．某班学生表演课本剧，要制作一顶圆锥形的小丑帽．如图，这个圆锥的底面圆周长为，母线长为30，为了使帽子更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），这条彩带的最短长度是（ ）
v
A． B． C． D．
9．如图，圆锥底面圆的半径为4，则这个圆锥的侧面展开图中的长为（ ）

A． B． C． D．
10．今年9月23日是第五个中国农民丰收节，小明用3D打印机制作了一个底面周长为12cm，高为8cm的圆柱粮仓模型．如图是底面直径，是高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过，两点（接头不计），则装饰带的长度最短为（ ）

A． B．48cm C． D．20cm
11．一个扇形的圆心角是，面积为，那么这个扇形的弧长为（ ）．
A．3 B．2 C． D．
12．如图，是的直径，弦与垂直，垂足为点，连接并延长交于点，，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
13．如图，圆锥的母线长为，高线长为，则圆锥的表面积是（ ）

A． B． C． D．
14．如图所示，圆锥形烟囱帽的底面半径为，侧面展开图是圆心角为的扇形，则它的母线长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
15．如图，边长为的正方形内接于，则的长为 ．（结果保留π）

16．如图，在扇形OAB中，，将扇形OAB绕点A顺时针旋转得到扇形，点O的对应点恰好落在上，若，则图中阴影部分的面积为 ．

17．圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积为
18．若圆锥的母线长为3，底面半径是1．则这个圆锥侧面展开图的圆心角是 度．
19．现有一个圆周的扇形纸片，该扇形的半径为40cm，小琪同学为了在“六一”儿童节联欢晚会上表演节目，她打算剪去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作一个底面半径为10cm的圆锥形纸帽（接缝处不重叠），那么剪去的扇形纸片的圆心角度数为 ．
三、解答题
20．如图，线段与相切于点B，交于点M，其延长线交于点C，连接，，D为上一点且的中点为M，连接，．

(1)求的度数；
(2)四边形是否是菱形？如果是，请证明：如果不是，请说明理由；
(3)若，求的长．
21．半径为的圆，一圆心角所对的弧长为，这个圆心角多少度？
22．如图，的直径，C为上一点，在的延长线上取一点P，连接交于点D，，．

(1)求的长；
(2)计算图中阴影部分的面积．
23．如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径，圆心角， 求此圆锥高的长度.
24．如图，一圆柱体的底面周长为24cm，高为9cm，是上底面的直径．一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱的侧面爬行到点，则蚂蚁爬行的最短路程是多少？
参考答案
1．D
【分析】根据题意可求出底面圆的周长，根据圆锥侧面展开图（扇形）面积的计算公式（扇形的弧长乘以扇形的半径），由此即可求解．
【详解】解：根据题意，作图如下，，，点到底面圆的高为，

∴底面的周长为，
∴圆锥侧面展开图的扇形的面积为，
故选：．
【点睛】本题主要考查圆锥侧面积的计算方法，理解圆锥侧面展开图，掌握圆锥侧面展开图（扇形）面积的计算方法是解题的关键．
2．A
【分析】根据弧长求得半径，然后由扇形的圆心角和半径长，直接根据扇形的面积公式求解．
【详解】解：∵扇形的圆心角为，弧长为，
∴,
∴,
∴扇形的面积是，
故选：A．
【点睛】本题考查了弧长公式与扇形面积公式，熟练掌握弧长公式与扇形面积公式是解题的关键．
3．B
【分析】根据旋转的定义得到点A以B为旋转中心，以为旋转角，顺时针旋转得到；是由以C为旋转中心，以为旋转角，顺时针旋转得到，由于，，，，然后根据弧长公式计算即可．
【详解】解：连接、，
由题意，点A以B为旋转中心，以为旋转角，顺时针旋转得到；是由以C为旋转中心，以为旋转角，顺时针旋转得到，

∵，，，，
∴点A翻滚到位置时共走过的路径长，
故选：B．
【点睛】本题考查了弧长公式，旋转变换，解决本题的关键是掌握弧长公式和旋转的性质．
4．B
【分析】如图，连接，由题意知，，，由，可得，根据，计算求解即可．
【详解】解：如图，连接，

由题意知，，，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了切线的性质，扇形的面积，圆周角定理．解题的关键在于正确的表示阴影部分的面积．
5．A
【分析】连接，求得，得到，因为，根据，于是得到问题的答案．
【详解】解：连接，

∵是的直径，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】此题重点考查圆周角定理、扇形的面积公式、三角形的面积公式、根据转化思想求图形面积等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
6．A
【分析】由于圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，所以根据扇形的面积公式可得圆锥的侧面积．
【详解】由题意得，，
故选：A．
【点睛】本题考查了圆锥的计算，熟练掌握圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于母圆锥的母线长是解题的关键．
7．A
【分析】根据扇形的弧长与圆锥底面圆的周长相等，即可．
【详解】设圆锥底面圆半径为，
∴底面圆的周长为：，
∵圆心角为，半径为扇形做成一个圆锥的侧面，
∴扇形的弧长为：，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查圆锥和扇形的相关计算，解题的关键是掌握圆锥展开图的弧长等于底面圆的周长，弧长公式：．
8．B
【分析】根据圆锥的底面圆周长求得半径为，根据母线长求得展开后的扇形的圆心角为，进而即可求解．
【详解】解：∵这个圆锥的底面圆周长为，
∴
解得：
∵
解得：
∴侧面展开图的圆心角为
如图所示，即为所求，过点作，
∵，，则
∵，则
∴，，

故选：B．
【点睛】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数，勾股定理解直角三角形，求得侧面展开图的圆心角为解题的关键．
9．C
【分析】根据底面周长等于的长，即可求解．
【详解】解：依题意，的长，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆锥的侧面展开图的弧长，熟练掌握圆锥底面周长等于的长是解题的关键．
10．D
【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．
【详解】解：如图，圆柱的侧面展开图为长方形，，且点C为的中点，
∵，，
∴装饰带的长度，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平面展开 最短路线问题，以及学生的立体思维能力．解题关键是圆柱的侧面展开图是长方形．
11．B
【分析】根据扇形的面积求出半径，再利用弧长公式进行计算即可．
【详解】解：设扇形的半径为，
则：，
∴（负值已舍掉）；
∴这个扇形的弧长为；
故选B．
【点睛】本题考查求弧长．熟练掌握扇形的面积公式和弧长公式，是解题的关键．
12．B
【分析】连接，首先证明是等边三角形，证明，求出即可解决问题．
【详解】解：如图，连接．
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，扇形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题．
13．B
【分析】先根据勾股定理求出圆锥底面半径，再计算侧面积及底面积相加即可．
【详解】解：圆锥的底面半径是：
∴圆锥的侧面积，
底面积，
∴圆锥的表面积，
故选：B．
【点睛】本题主要考查圆锥的表面积的计算，能够熟练运用侧面积计算公式计算是解题关键．
14．A
【分析】根据圆锥底面圆的周长是侧面展开图扇形的弧长，列式计算即可．
【详解】解：设底面圆的半径为，母线长为，
由题意，得：，
∴；
故选A．
【点睛】本题考查求圆锥的母线长．熟练掌握圆锥底面圆的周长是侧面展开图扇形的弧长，是解题的关键．
15．
【分析】连接、，可证，根据勾股定理求出，根据弧长公式求出即可．
【详解】解：连接、．

正方形内接于，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
的长，
故答案为：．
【点睛】本题考查了弧长公式和正方形的性质，能求出的度数和的长是解此题的关键．
16．/
【分析】，据此即可求解．
【详解】解：连接，如图：

由旋转的性质可得：
∵
∴是等边三角形
过点作

∵
∴
化简得：
故答案为：
【点睛】本题考查扇形面积及不规则图形面积的计算．抓住是解题关键．
17．
【分析】圆锥的侧面积底面半径线长，把相应数值代入即可求解．
【详解】解：圆锥的侧面积．
【点睛】本题考查圆锥侧面积公式的运用，掌握公式是关键．
18．120
【分析】圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长，首先求得展开图的弧长，然后根据弧长公式即可求解．
【详解】解：圆锥侧面展开图的弧长是：，
设圆心角的度数是度．则
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系，解题的关键是理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
19．30/30度
【分析】根据圆锥形纸帽的底面半径，可计算出展开后的扇形的弧长，根据弧长公式即可算出剩下扇形纸片的圆心角，再利用原来扇形纸片的圆心角减去剩下扇形纸片的圆心角，即可解答．
【详解】解：剩下扇形纸片的弧长为：cm，
原来的扇形纸片的圆心角为：，
则剩下扇形纸片的圆心角为：，
剪去的扇形纸片的圆心角度数为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了扇形的弧长公式和圆锥相关计算，熟知两者之间的对应关系：圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长两个关系，是解题的关键．
20．(1)
(2)是菱形，证明见解析
(3)的长为．
【分析】（1）如图，连接，证明，而，可得，再结合等腰三角形的性质可得答案；
（2）先证明，即，而，求解，可得，证明，可得，再证明，可得，从而可得结论；
（3）如图，连接，，交于，证明为等边三角形，可得，证明，，求解，再利用弧长公式进行计算即可．
【详解】（1）解：如图，连接，

∵线段与相切于点B，
∴，而，
∴，
∵，
∴；
（2）四边形是菱形，理由如下：
∵的中点为M，，
∴，即，而，
∴，
∴，
∵的中点为M，为直径，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
（3）如图，连接，，交于，

∵，，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∵菱形，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
∴的长为．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与系数，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，弧，弦，圆心角之间的关系，圆周角定理的应用，切线的性质，弧长的计算，作出合适的辅助线是解本题的关键．
21．
【分析】根据弧长公式求解即可．
【详解】解：，，
∴．
∴这个圆心角为．
【点睛】本题考查了弧长公式，灵活应用弧长公式是解题的关键．
22．(1)4
(2)
【分析】（1）作于点E，连接，解直角三角形，即可求得的长，再根据勾股定理和垂径定理，即可解答；
（2）根据阴影部分面积等于扇形的面积减去的面积，即可解答．
【详解】（1）解：作于点E，连接，
，
，
，，
，
，
，
∴，
；
（2）解：，
，
，
∴阴影部分的面积为．

【点睛】本题考查了垂径定理，扇形的面积计算，含的直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握扇形的面积公式．
23．
【分析】设圆锥底面圆的半径为，根据圆锥侧面展开图的扇形的弧长=底面圆的周长求出底面圆的半径，再根据勾股定理即可求出结果.
【详解】解：设圆锥底面圆的半径为，
∵，
∴的长，
∴，即：，
在中，，
根据勾股定理得，.
【点睛】本题考查了圆锥的相关知识，正确理解圆锥的侧面展开图的弧长与其底面圆的半径的关系是解题的关键.
24．15cm
【分析】将圆柱体侧面展开，利用勾股定理求出的长即可．
【详解】解：如图为圆柱体的侧面展开图，
圆柱体的底面周长为，
，
又，
，
沿着圆柱的侧面爬行到点，蚂蚁爬行的最短路程是cm．
【点睛】本题主要考查了圆柱的侧面展开图，勾股定理等知识，将侧面展开，构造直角三角形是解题的关键．
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