25.1.1 随机事件 导学案（知识清单+典型例题+巩固提升）

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九年级数学上册 25.1.1 随机事件 导学案
【知识清单】
1.定义：
（1）必然事件
在一定条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件，叫做必然事件．
（2）不可能事件
在每次试验中都不会发生的事件叫做不可能事件．
（3）随机事件
在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件.
2.细节剖析：
（1）必然发生的事件和不可能发生的事件均为“确定事件”，随机事件又称为“不确定事件”；
（2）要知道事件发生的可能性大小首先要确定事件是什么类型.一般地，必然发生的事件发生的可能性最大，不可能发生的事件发生的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同.
【典型例题】
考点1：事件的分类
例1．下列说法正确的是（ ）
A．从一副扑克牌中任意抽取1张，抽到“A”是随机事件
B．了解一批电视机的使用寿命适合采用普查
C．要反映一周内每天气温的变化情况适宜采用扇形统计图
D．抛掷一枚硬币，正面朝上是必然事件
【答案】A
【分析】根据随机事件、调查方式的选择、统计图的选择、必然事件逐项判断即可解答．
【详解】解：A. 从一副扑克牌中任意抽取1张，抽到“A”是随机事件，故本选项符合题意；
B. 了解一批电视机的使用寿命适合采用抽样调查，故本选项不符合题意；
C. 要反应一周内每天气温的变化情况适宜采用折线统计图，故本选项不符合题意；
D. 抛掷一枚硬币，正面朝上是随机事件，故本选项不符合题意．
故选A．
【点睛】本题考查了随机事件、调查方式的选择、统计图的选择、必然事件等知识点，掌握相关概念是解决本题的关键．
考点2：判断事件发生的可能性的大小
例2．下列说法正确的是（ ）
A．随机抛掷硬币10次，一定有5次正面向上
B．一组数据8，9，10，11，11的众数是10
C．为了了解某电视节目的收视率，宜采用抽样调查
D．甲、乙两射击运动员分别射击10次，他们成绩的方差分别为，，在这过程中，乙发挥比甲更稳定
【答案】C
【分析】根据事件的可能性，众数即出现次数最多的数据，调查的方式，方差越小越稳定比较判断即可．
【详解】解：A、随机抛掷硬币10次，不一定有5次正面向上，原说法错误，不符合题意；
B、一组数据8，9，10，11，11的众数是11，原说法错误，不符合题意；
C、为了了解某电视节目的收视率，宜采用抽样调查，原说法正确，符合题意；
D、甲、乙两射击运动员分别射击10次，他们成绩的方差分别为，，由于，所以在这过程中，甲发挥比乙更稳定，原说法错误，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查了事件的可能性，众数即出现次数最多的数据，调查的方式，方差越小越稳定，熟练掌握定义和性质是解题的关键．
考点3：改变条件使事件发生的可能性相同
例3．袋中有红球4个，白球若干个，它们只有颜色上的区别．从袋中随机地取出一个球，如果取到白球的概率较大，那么袋中白球的个数可能是（ ）．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】根据概率公式求出白球的取值范围即可得出结论．
【详解】解：若要使取到白球的概率较大，则白球的个数＞红球的个数
由各选项可知，只有D选项符合
故选D．
【点睛】此题考查的是比较概率的大小，掌握概率公式是解决此题的关键．
考点4：列举随机实验的所有可能结果
例4．如左图的天平架是平衡的，其中同一种物体的质量都相等，如右图，现将不同质量的一“○”和一个“”从通道的顶端同时放下，两个物体等可能的向左或向右落在下面的托盘中，此时两个托盘上物体的质量分别为和，则下列关系可能出现的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分析左图可知，1个“ ”的质量等于2个“○”的质量．两个物体等可能的向左或向右落时，共有4种情况，分别计算出左边托盘和右边托盘的质量，即可得出和的关系．
【详解】解：由左图可知2个“○”与1个“ ”的质量等于2个“ ”的质量，
1个“ ”的质量等于2个“○”的质量．
右图中，两个物体等可能的向左或向右落在下面的托盘中，
共有4种情况：
（1）“○”和“ ”都落到左边的托盘时：
左边有3个“○”2个“ ”，相当于7个“○”，右边有2个“ ”，相当于4个“○”，此时；
（2）“○”和“ ”都落到右边的托盘时：
左边有2个“○”1个“ ”，相当于4个“○”，右边有3个“ ” 1个“○”，相当于7个“○”，此时；
（3）“○”落到左边的托盘，“ ” 落到右边的托盘时：
左边有3个“○”1个“ ”，相当于5个“○”，右边有3个“ ”，相当于6个“○”，此时；
（4）“○”落到右边的托盘，“ ” 落到左边的托盘时：
左边有2个“○”2个“ ”，相当于6个“○”，右边有2个“ ” 1个“○”，相当于5个“○”，此时；
观察四个选项可知，只有选项C符合题意，
故选C．
【点睛】本题考查等可能事件、等式的性质，解题的关键是读懂题意，计算所有等可能情况下和的比值．
考点5：判断实验所得结果是否是等可能的
例5．下列随机试验中，结果具有“等可能性”的是（ ）
A．掷一枚质地均匀的骰子 B．篮球运动员定点投篮
C．掷一个矿泉水瓶盖 D．从装有若干小球的透明袋子摸球
【答案】A
【详解】解：A，掷一枚质地均匀的骰子，任一点数的概率都是六分之一，故该选项正确；
B，篮球运动员定点投篮，投中与否的概率并不相等，故该选项错误；
C，掷一个矿泉水瓶盖，因瓶盖质地不均匀，正反面出现的概率并不相等，故该选项错误；
D，从装有若干小球的透明袋子摸球，摸到某一颜色小球的概率不一定相等，故该选项错误；
故选A．
【点睛】本题考查等可能事件的判断，掌握等可能事件的定义是解题的关键．
【巩固提升】
选择题
1．下列事件中，为必然事件的是（　　）
A．购买一张彩票，中奖 B．一个袋中只装有2个黑球，从中摸出一个球是黑球
C．抛掷一枚硬币，正面向上 D．打开电视，正在播放广告
2．下列事件属于必然事件的是（ ）
A．随机掷一枚质地均匀的骰子一次，掷出的点数是1
B．车辆随机经过一个路口，遇到红灯
C．任意画一个三角形，其内角和是
D．有三条线段，将这三条线段首尾顺次相接可以组成一个三角形
3．下列成语或词语所反映的事件中，发生的可能性大小最小的是（　　）
A．守株待兔 B．旭日东升 C．瓜熟蒂落 D．夕阳西下
4．事件①：任意画一个多边形，其外角和为360°；事件②：经过一个有交通信号灯的十字路口，遇到红灯；则下列说法正确的是（　　）
A．事件①和②都是随机事件
B．事件①是随机事件，事件②是必然事件
C．事件①和②都是必然事件
D．事件①是必然事件，事件②是随机事件
5．某娱乐设施每次能够容纳4人一组进场游玩，甲、乙、丙、丁排队等候，甲前面有若干人，乙排在甲后面，中间隔着2人，丙排在乙后面，中间隔着1人，丁排在丙后面，中间隔着1人，丁后面也有若干人．下列说法：①如果甲和乙同一组，那么丙和丁也同一组；②如果甲和乙不同一组，那么丙和丁也不同一组；③如果丙和丁同一组，那么甲和乙也同一组；④如果丙和丁不同一组，那么甲和乙也不同一组．正确的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
6．一只不透明的袋子中装有3个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中任意摸出3个球，下列事件是必然事件的是（ ）
A．至少有1个球是黑球 B．至少有1个球是白球
C．至少有2个球是黑球 D．至少有2个球是白球
7．小梅随机选择在下周一至周五的某一天去打新冠疫苗，则她选择在周二去打疫苗的概率为（ ）
A．1 B． C． D．
8．彤彤抛五次硬币，次正面朝上，次反面朝上，她抛第次时，下面说法正确的是哪一个？（ ）
A．一定正面朝上 B．一定反面朝上
C．不可能正面朝上 D．有可能正面朝上也有可能反面朝上
二、填空题
9．从一个不透明的口袋中有8个红球和10个白球，从袋子中任意摸出个球，其中摸到红球是一个必然事件，则的最小值是 ．
10．排队时，小亮和2位同学站成一横排，其中小亮“站在中间”的可能性 小亮“站在两边”的可能性（填“大于”、“小于”或“等于”）．
11．一只不透明的袋子中装有2个白球和3个红球，现在向袋中再放入n个白球，袋中的这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，若要使摸到白球比摸到红球的可能性大，则n的最小值等于 ．
12．把10个苹果分给3个小朋友，要求每个小朋友都有苹果，且分得苹果的数量各不相同，一共有 种不同的分法．
三、解答题
13．在一个不透明的口袋中装有大小、形状一模一样的5个红球，3个蓝球和2个白球，它们已经在口袋中被搅匀了，请判断以下是随机事件、不可能事件还是必然事件．
(1)任意取出一球，是白球；
(2)任意取出6个球，至少有一个是红球；
(3)任意取出5个球，全是蓝球；
(4)任意取出6个球，恰好红、蓝、白3种颜色的球都有．
14．有甲、乙、丙三个不透明的布袋，在甲袋中放有8个红球，在乙袋中放有4个红球，4个黄球，在丙袋中放有8个黄球，这些球除颜色外，其它都相同，从三个袋中任意摸出一球，哪一个可以使“摸到红球”是必然发生的？哪一个可以使“摸到红球”是不可能发生的？哪一个可以使“摸到红球”是随机发生的？
15．从标有数字，，，的张卡片中，任意抽取张设“取到的倍数”，“取到的倍数”．
(1)事件A和哪个发生的可能性大？
(2)事件A和的概率各是多大？
16．盒中装有红球、黄球各100个，每个球除颜色以外都相同，每次从盒中摸一个球，摸三次，请你设计下面几种情况的摸球方案．
(1)摸到红球是不可能的；
(2)摸到红球是必然的；
(3)摸到红球情况有三种：很可能，可能，不太可能．
17．求解下列问题：
（1）在1～10这10个自然数中，每次取两个数，使得所取两数之和大于10，共有多少种取法？
（2）在1～100这100个自然数中，每次取两个数，使得所取两数之和大于100，共有多少种取法？
（3）你还能提出什么问题？
（4）各边长度都是整数、最大边长为11的三角形有多少个？本题与上述哪个问题有联系？它们的区别是什么？
参考答案
1．B
【分析】根据一定会发生的事件是必然事件进行判断作答即可
【详解】解：购买一张彩票，中奖是随机事件，错误，故A不符合要求；
一个袋中只装有2个黑球，从中摸出一个球是黑球是必然事件，正确，故B符合要求；
抛掷一枚硬币，正面向上是随机事件，错误，故C不符合要求；
打开电视，正在播放广告是随机事件，错误，故D不符合要求；
故选：B．
【点睛】本题考查了必然事件、随机事件．解题的关键在于对知识的熟练掌握．
2．C
【分析】根据事件的分类进行判断即可．
【详解】解：A．随机掷一枚质地均匀的骰子一次，掷出的点数是1是随机事件，故A不符合题意；
B．车辆随机经过一个路口，遇到红灯是随机事件，故B不符合题意；
C．任意画一个三角形，其内角和是是必然事件，故C符合题意；
D．有三条线段，将这三条线段首尾顺次相接可以组成一个三角形是随机事件，故D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了是事件的分类，解题的关键是熟练掌握必然事件、随机事件的定义．
3．A
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可得出答案；
【详解】解：A．守株待兔所反映的事件可能发生也可能不发生，是不确定事件，符合题意；
B．旭日东升，是必然事件，发生的可能性为1，不符合题意；
C．瓜熟蒂落，是必然事件，发生的可能性为1，不符合题意；
D．夕阳西下，是必然事件，发生的可能性为1，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待，一般地必然事件的可能性大小为1，不可能事件发生的可能性大小为0，随机事件发生的可能性大小在0至1之间
4．D
【分析】根据随机事件和必然事件的概念判断可得．
【详解】解：事件①：任意画一个多边形，其外角和为360°，这是必然事件；
事件②：经过一个有交通信号灯的十字路口，遇到红灯，这是随机事件；
故选：D．
【点睛】本题考查的是理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
5．B
【分析】根据题意，列出这8个人的位置，然后根据题意逐项分析即可求解．
【详解】解：依题意，设中间隔着的人用代替，则排序为：
甲，，，乙，，丙，，丁
①若分组为(甲，，，乙)，(，丙，，丁)，故①正确；
②若分组为……甲)，(，，乙，)，(丙，，丁，……，故②错误，
③由②可知③错误，
④依题意，分组为：甲，)， (，乙， ，丙)，(，丁，……，
或甲，，，(乙， ，丙， )，(丁，……，
故④正确，
故选：B．
【点睛】本题考查了推理，列举法求试验结果，根据题意举出反例或列举是解题的关键．
6．A
【分析】根据题意列举所有可能，即可求解．
【详解】解：一只不透明的袋子中装有3个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中任意摸出3个球，
可以是3个黑球，2个黑球和1个白球，1个黑球和2个白球，
∴至少有1个球是黑球，
故选：A．
【点睛】本题考查了必然事件的定义，根据题意列举所有可能是解题的关键．
7．B
【分析】根据题意中从下周一至周五的某一天去打新冠疫苗，共有5种情况，且每种情况的可能性相同，即可得出选择周二打疫苗的概率．
【详解】解：小梅选择周一到周五共有5种情况，且每种情况的可能性相同，均为，
∴选择周二打疫苗的概率为：，
故选：B．
【点睛】题目主要考查简单概率的计算，理解题意是解题关键．
8．D
【分析】根据等可能事件的意义解答即可．
【详解】解：抛硬币正面朝上和反面朝上的概率相同，
每一次抛都是有可能正面朝上也有可能反面朝上，
故选：D．
【点睛】本题考查了等可能事件的定义，能够正确判断事件发生的概率是解本题的关键．
9．11
【分析】必然事件是必定会发生的事件，考虑最极端的情况即可．
【详解】一共有10个白球，所以摸出至少要摸出11个球必然会摸到红球．
故答案为：11．
【点睛】本题考查的是必然事件，熟知随机事件、必然事件及不可能事件的定义是解题的关键．
10．小于
【分析】先求出小亮“站在中间”的可能性和“站在两边”的可能性，再进行对比即可求解．
【详解】解：3人站成一排，小亮“站在中间”的可能性为：，
小亮“站在两边”的可能性为：，
∵
故小亮“站在中间”的可能性小于小亮“站在两边”的可能性，
故答案为：小于．
【点睛】本题考查了可能可能性大小的判断，熟练掌握事件可能性的计算是解题的关键．
11．2
【分析】使得不透明的袋子中白球比红球的个数多1即可求解．
【详解】解：∵要使摸到白球比摸到红球的可能性大，
∴n的最小值等于3+1-2=2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了可能性的大小，本题可以通过比较白球和红球的个数求解．
12．4
【分析】首先把10拆成3个数，因为每个小朋友都有苹果，且分得苹果的数量各不相同，一一列举即可．
【详解】解：首先把10拆成3个数，，，，，
共有4种分法，
故答案为：4．
【点睛】本题考查数的组成，把10拆成3个数以及正确理解题意是关键．
13．(1)随机事件
(2)必然事件
(3)不可能事件
(4)随机事件
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可判断它们分别属于那一种类别．
【详解】（1）解：可能发生，也可能不发生，是随机事件；
（2）解：一定会发生，是必然事件；
（3）解：不可能发生，是不可能事件；
（4）解：可能发生，也可能不发生，是随机事件．
【点睛】本题主要考查必然事件、不可能事件、随机事件的概念，解决问题的关键是正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
14．甲，丙，乙
【分析】根据随机事件，必然事件和不可能事件的概念，求解即可，在一定条件下，一定发生的事件叫必然事件，有可能发生有可能不发生的事件叫随机事件，不可能发生的事件叫不可能事件．
【详解】解：由题意可得：甲袋中只有红球，“摸到红球”事件是必然事件，
乙袋中既有红球又有黄球，“摸到红球”事件可能发生，也可能不发生，为随机事件，
丙袋中没有红球，“摸到红球”事件不可能发生，为不可能事件，
则甲可以使“摸到红球”是必然发生的，丙可以使“摸到红球”是不可能发生的，乙可以使“摸到红球”是随机发生的
【点睛】此题考查了随机事件，必然事件和不可能事件的判断，解题的关键是理解随机事件，必然事件和不可能事件的概念．
15．(1)事件A发生的可能性大
(2)，
【分析】（1）数字，，，中，的倍数有4个，3的倍数由2两个，即可判断出事件A的发生的可能性大；
（2）根据简单事件可能性大小的计算方法进行计算即可．
【详解】（1）解：数字，，，中，
的倍数有，4，6，8，
的倍数有，6，
∴事件A发生的可能性大；
（2）解：事件A发生的概率为：，
事件B发生的概率为：．
【点睛】本题考查简单事件的可能性，解题的关键是熟练掌握相关知识．
16．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）不放红球即可．
（2）都放红球即可．
（3）根据可能性的程度确定红球比例即可．
【详解】（1）解：盒中只有100个黄球，摸出1个红球；
（2）解：盒中只有100个红球，摸出1个红球；
（3）解：盒中有99个红球、1个黄球，摸到红球；
盒中有50个红球，50个黄球，摸出1个红球；
盒中有99个黄球，1个红球，摸出1个红球（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查随机事件概率的运算方法，能够通过概率大小确定红球个数是解题关键．
17．（1）；（2）；（3）见解析；（4）36，见解析
【分析】（1）仔细分析题意，可先取出一个数，根据取出的这个数来确定另一个数的可能取值，取第一个数为10，则第二个数可以为1，2,……，9,同理第一个数取9，可以发现若第一个数为10，则可能的取法有9种，若第一个数取9，则可能的取法有7种，若第一个数取8，可能的取法有5种，……，将所有类别的取法相加，即可求得结果；
（2）利用类似于（1）的方法进行分析即可解答；
（3）提一个类似于（1）（2）的问题即可；
（4）结合（1）、（2）的方法，注意要考虑两边相等的情况
【详解】（1）根据题意每次取的两个数之和大于10，可能取法为：
10+1、10+2、10+3、…10+9，共9种
9+2、 9+3、 9+4、 …9+8，共7种
8+3、8+4、8+5、8+6、8+7，共5种
7+4、7+5、7+6，共3种
6+5，共1种
所以可能的取法共有9+7+5+3+1=（种）
（2）同理可得可能的取法的种数为=2500（种）
（3）（答案不唯一）在1到21这21个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于21，有多少种不同的取法？
（4）根据题意得：①每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于11，有10+8+6+4+2=30种不同的取法；
②若另两个数相同，则6+6，7+7，…，11+11，共6种不同的取法；所以各边长都是整数，最大边长为11的三角形有：30+6=36（个）．
它与上述两个问题都类似，区别这个问题要考虑两个数相同时的情况．
【点睛】此题考查分类加法计数原理的运用.分类加法计数原理：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有m1+m2+……+mn种不同的方法.注意分类后，寻找规律，避免大量运算，其次注意分类讨论要不重不漏．
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