25.1.2 概率 导学案（知识清单+典型例题+巩固提升）

中小学教育资源及组卷应用平台
九年级数学上册 25.1.2 概率 导学案
【知识清单】
概率是从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小.一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数附近，那么这个常数就叫做事件A的概率(probability)，记为.
细节剖析：
(1)概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值；
(2)概率反映了随机事件发生的可能性的大小；
(3) 事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，，即，其中P(必然事件)=1，P(不可能事件)=0，0知识点03：古典概型
满足下列两个特点的概率问题称为古典概型.
一次试验中，可能出现的结果是有限的；
一次试验中，各种结果发生的可能性相等的.
古典概型可以从事件所包含的各种可能的结果在全部可能的试验结果中所占的比例分析事件的概率.
细节剖析：
如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P（A）=.
【典型例题】
考点1：概率的意义理解
例1．下列说法正确的是（ ）
A．“打开电视，正在播放本溪新闻节目”是必然事件
B．“掷一次骰子，向上一面的点数是6”是随机事件
C．“明天降雨的概率是”表示明天有半天都在降雨
D．某种彩票中奖率为是指买十张一定有一张中奖
【答案】B
【分析】根据随机事件、必然事件的定义，概率的定义判断．
【详解】解：A. “打开电视，正在播放本溪新闻节目”不一定发生，故是随机事件，本选项不合题意；
B. “掷一次骰子，向上一面的点数是6”是随机事件，本选项符合题意；
C. “明天降雨的概率是50%”意为下雨的可能性有，不是指下雨的时间占一天的一半，本选项不合题意；
D. 某种彩票中奖率为是指买十张一定有一张中奖，中奖是随机事件，不是必然会产生“十张一定有一张中奖”的结果，本选项不合题意；
故选：B.
【点睛】本题考查必然事件，随机事件，概率的定义，理解相关定义是解题的关键．
考点2：判断几个事件概率的大小关系
例2．一只不透明的袋子中装有1个白球、2个黑球、3个红球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀，从中任意摸出1个球，则摸到球的概率最大的是（　　）
A．白球 B．黑球 C．红球 D．黄球
【答案】C
【分析】根据概率公式可知，哪种球的数量最多，摸到那种球的概率就大．
【详解】解：袋子中装有1个白球，2个黄球和3个红球，
∵
∴其中红球最多，
∴摸到红球的概率最大．
故选：C．
【点睛】本题考查了概率公式，随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
考点3：根据概率公式计算概率
例3．质数是只有1和它本身两个因数的自然数，规定：1既不是质数也不是合数．如果两个质数相差2，那么称这两个质数为“孪生质数”．在10以内的质数中任意取一个数，这个数与5是“孪生质数”的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先确定5的“孪生质数”为3和7，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：10以内的质数是2，3，5，7，共4个，
而：
所以，5的“孪生质数”为3和7，共2个，
所以，在10以内的质数中任意取一个数，这个数与5是“孪生质数”的概率为，
故选：A．
【点睛】本题考查了概率公式，概率=所求情况数与总情况数之比．
考点4：根据概率作判断
例4．在一个不透明的袋子中装有4个除颜色外完全相同的小球，其中绿球1个，红球1个，黑球2个，“从袋中任意摸出2个球，它们的颜色相同”这一事件是（ ）
A．必然事件 B．随机事件 C．不可能事件 D．确定事件
【答案】B
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【详解】解：在一个不透明的袋子中装有4个除颜色外完全相同的小球，其中绿球1个，红球1个，黑球2个，“从袋中任意摸出2个球，它们的颜色相同”这一事件是是随机事件．
故选：B．
【点睛】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
考点5：已知概率求数量
例5．在一个暗箱里放有a个除颜色外其他完全相同的球，这a个球中只有3个红球，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球，记下颜色再放回暗箱，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.25，那么可以推算出a大约是（ ）
A．12 B．9 C．4 D．3
【答案】A
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
【详解】解：由题意可得，，
解得，．
经检验，是原方程的解，
所以，估计a大约是12．
故选：A．
【点睛】本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．
考点6：几何概率
例6．如果一颗小球在如图所示的正方形地面上自由滚动，并随机停留在某块方砖上，那么它最终停留在黑色区域的概率是（　　）

B． C． D．
【答案】C
【分析】设图中每个小正方形的边长为1，求出整个区域的面积和黑色区域的面积，然后用黑色区域的面积除以整个区域的面积求解即可.
【详解】解：设图中每个小正方形的边长为1，则由题意可得：整个区域的面积为16，
图中黑色区域的面积为，
∴小球最终停留在黑色区域的概率是；
故选：C.
【点睛】本题考查了几何概率，掌握解答的方法是关键.
【巩固提升】
选择题
1．下列说法正确的是（ ）
A．“任意画一个多边形，其内角和是”是必然事件
B．已知某篮球运动员投篮投中的概率为，则他投篮十次可投中6次
C．“从一副扑克牌（含大小王）中抽一张，恰好是红心A”是不可能事件
D．“在数轴上任取一点，则这点表示的数是有理数”是随机事件
2．下列说法正确的是（ ）
A．了解一批灯泡的使用寿命，应采用抽样调查的方式
B．如果某彩票的中奖率是，那么一次购买200张彩票一定会中奖
C．成语“一箭双雕”描述的是必然事件
D．任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点是0是随机事件
3．下列说法正确的是（ ）
A．某种彩票中奖的概率是，则买张彩票一定有张中奖
B．任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是奇数的概率是
C．天气预报说明天的降水概率为，则明天一定会下雨
D．人中至少有2人生日相同
4．在个相同的袋子中，装有除颜色外完全相同的个球，任意摸出个球，摸到红球可能性最大的是（ ）
A．个红球，个白球 B．个红球，个白球
C．个红球，个白球 D．个红球，个白球
5．实验室的试管架上有三个没有标签的试管，试管内分别装有，，三种溶液，小明同学将酚酞试剂随机滴入其中一个试管，则试管中溶液变红的概率是（ ）
A．0 B．1 C． D．
6．如图，转盘中6个扇形的面积都相等．任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，事件“指针所落扇形中的数字小于3”的概率为（ ）

A． B． C． D．
7．有9个形状大小相同的小球，其中一个略重些，其余8个重量相同．现给你一架天平，能将那个略重些的小球找到，则至少需要天平的次数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
8．一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，每个球除颜色外都相同．若从中任意摸出一个球是白球的概率是，则口袋中白球的数量是（ ）
A．20 B．24 C．30 D．36
9．从3个男同学和n个女同学中，随机叫1个人，若叫到男同学的概率为，则（ ）
A．9 B．6 C．3 D．1
10．如图所示的正方形纸片由若干个大小完全相同的黑色和白色小正方形组成，在它上面做随机扎针实验，针头扎在黑色区域内的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图的方格地面上，标有编号A，B，C的3个小方格地面是空地，另外6个小方格地面是草坪，除此以外小方格地面完全相同，一只自由飞行的鸟，将随意地落在图中的方格地面上，则小鸟落在草坪上的概率是 ．

12．一只不透明的袋子中装有1个白球、2个黄球和3个红球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，①该球是白球；②该球是黄球；③该球是红球．将这些事件的序号按发生的可能性从小到大排列为 ．
13．一个布袋里装有除颜色外都相同的4个白球和1个红球，轩轩和其余4位同学依次从布袋里摸一个球不放回，前两位同学摸到的都是白球，则接下去轩轩摸到红球的概率是 ．
14．一个不透明盒子中装有1个红球、2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从该盒子中随机摸出1个球，请写出概率为的事件： ．
15．箱子里有4个红球和a个白球，这些球除颜色外均无差别，若小李从箱子中摸到一个白球的概率是，则 ．
16．如图，是由12个全等的等边三角形组成的图案，假设可以随机在图中取点，那么这个点取在阴影部分的概率是 ．

三、解答题
17．用个除颜色外完全相同的球设计一个摸球游戏．
(1)使摸到红球的概率为1；
(2)使摸到黑球的概率为，摸到红球的概率也为；
(3)若有绿球2个，使摸到红球概率为，问黑球的个数是多少．
18．有一个转盘（如图所示），被分成6个相等的扇形，颜色分为红、绿、黄三种，指针的位置固定．转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，重新转动）．下列事件：①指针指向红色；②指针指向绿色；③指针指向黄色；④指针不指向黄色；⑤指针不指向绿色．
思考各事件的可能性大小，然后回答下列问题：

(1)可能性最大和最小的事件分别是哪个？（用序号表示）
(2)将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列．
19．一个可以自由转动的圆盘被等分成12个扇形，其中有3块染上了红色，4块染上了绿色，其余染上了黄色．
(1)自由转动转盘，转盘停止时，指针落在红色区域的概率为_________；
(2)自由转动转盘，转盘停止时，求出指针落在的区域不是黄色的概率．
20．一副扑克牌共有54张，黑桃、红桃、梅花、方块各有13张，还有两张王牌．
(1)洗匀后背面朝上放在桌面上，任意抽取1张，抽到方块的概率是________；
(2)请你解释一下，打牌的时候，你摸到大王的机会比摸到4的机会小．
21．有一个被等分成份的转盘，其中有8份被涂成了红色，小鹿用它做了10组试验，每组试验转50次，记录每组试验中转盘停下后指针指向红色区域的次数，并制成如下所示的折线统计图，据图回答问题：

(1)转一次转盘指针指向红色区域的概率大约是多少？（精确到0.1）
(2)转盘被等分成了几份？
22．某商场为了吸引顾客，设立了一个如图可以自由转动的转盘，并规定：顾客每购买30元的商品就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红、绿或黄色区域，顾客就可以获得100元、50元，20元的购物券，（转盘被等分成20个扇形），已知甲顾客购物32元．

(1)他获得购物券的概率是多少？
(2)他得到100元、50元、20元购物券的概率分别是多少？
参考答案
1．D
【分析】根据概率的意义，随机事件，必然事件，不可能事件的特点，即可解答．
【详解】解：A、“任意画一个多边形，其内角和是”是随机事件，故不符合题意；
B、已知某篮球运动员投篮投中的概率为0.6，则他投篮十次不一定投中6次，故不符合题意；
C、“从一副扑克牌（含大小王）中抽一张，恰好是红心”是随机事件，故不符合题意；
D、“在数轴上任取一点，则这点表示的数是有理数”是随机事件，故符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了概率的意义，随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．
2．A
【分析】根据概率的意义，随机事件，全面调查与抽样调查，逐一判断即可解答．
【详解】解：A、了解一批灯泡的使用寿命，应采用抽样调查的方式，故此选项符合题意；
B、如果某彩票的中奖率是0.5%，那么一次购买200张彩票不一定会中奖，故此选项不符合题意；
C、成语“一箭双雕”描述的是随机事件，故此选项不符合题意；
D、任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点是0是不可能事件，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了概率的意义，随机事件，全面调查与抽样调查，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
3．D
【分析】事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0；运用随机事件与必然事件的定义进行分析即可．
【详解】解：A选项是随机事件，某种彩票中奖的概率是1%，则买1000张彩票一定有10张中奖是错误的；
B选项中的任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是奇数的概率是，B选项是错误的；
C选项中的天气预报说明天的降水概率为90%，则明天下雨的可能性较大，故C选项是错误；
D选项中的人中至少有2人生日相同是正确的；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了概率的意义，必然发生的事件的概率；不可能发生事件的概率．
4．D
【分析】根据概率的计算方法，比较概率的大小即可求解．
【详解】解：选项，个红球，个白球，摸到红球的概率为；
选项，个红球，个白球，到红球的概率为；
选项，个红球，个白球，到红球的概率为；
选项，个红球，个白球，到红球的概率为；
∵，
∴摸到红球可能性最大的是“个红球，个白球”，
故选：．
【点睛】本题主要考查概率的计算，掌握概率的计算方法，比较概率大小的方法是解题的关键．
5．D
【分析】利用概率公式即可求解．
【详解】解：溶液变红的情况有2种，
则试管中溶液变红的概率为：，
故选D．
【点睛】本题考查了利用概率公式计算概率，熟练掌握其公式是解题的关键．
6．A
【分析】直接利用概率公式求解．
【详解】解：指针指向的可能情况有6种，而其中是小于3的有2种，
“指针所落扇形中的数为小于3”发生的概率为．
故选：A．
【点睛】本题考查了概率公式：随机事件的概率（A）事件可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
7．C
【分析】可采取把9个球三三组合，共分成3个组去称，用天平每次称两组，则：二二选一，两次即可．
【详解】解：把9个小球，三三组合，则可以分成3组，用天平去称，第一次称两组：
①若天平平衡，则重球在第三组，第二次称第三组其中的两个球，若天平平衡，则重球就是第三个，若不平衡，重的一边就是重球；
②若天平不平衡，则重球在重的一边，第二次称重的一边三个球中的两个，若平衡，第三个就是重球，若不平衡，重的一边就是重球．
综上所述，至少需要天平的次数是2．
故选：C．
【点睛】本题考查了二分法的应用，理解二分法是解答关键．
8．A
【分析】设白球的个数是，根据概率公式列出方程，求得答案即可．
【详解】解：设白球的个数是，
根据题意得：，
解得：，经检验是原方程的解，
即：口袋中的白球有20个，
故选：A．
【点睛】本题考查概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率．
9．B
【分析】由男同学的数量除以总人数等于，再建立方程求解即可．
【详解】解：由题意可得：，
解得：，经检验符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查的是已知概率求数量，熟记概率公式是解本题的关键．
10．B
【分析】刚好落在黑色区域上的概率就是黑色区域面积与总面积的比值，从而得出答案．
【详解】解：∵黑色区域的面积占总面积的，
∴刚好落在黑色区域的概率为．
故选：B．
【点睛】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．
11．
【分析】据图直接由概率公式求解即可．
【详解】小鸟落在草坪上的概率．
故答案为：．
【点睛】本题考查了概率公式的简单运用，解题的关键是熟练掌握概率所求情况数与总情况数之比．
12．
【分析】根据概率公式，求出各个事件发生的概率，再进行比较即可．
【详解】解：∵袋子中装有1个白球、2个黄球和3个红球，
∴摸出白球概率，摸出黄球概率，摸出红球概率，
∴将这些事件的序号按发生的可能性从小到大排列为；
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了用概率公式求事件发生的概率，解题的关键是掌握事件发生的概率等于符合条件的情况数和总情况数之比．
13．
【分析】接下去轩轩摸球共有3种等可能结果，其中摸到红球的只有1种结果，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：由题意知，接下去轩轩摸球共有3种等可能结果，其中摸到红球的只有1种结果，
所以接下去轩轩摸到红球的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了概率，解题的关键是掌握概率公式．
14．摸出红球
【分析】根据概率公式确定答案即可．
【详解】一共有3个球，其中红球有1个，所以摸出红球的概率是．
故答案为：摸出红球．
【点睛】本题主要考查了概率，掌握概率的计算公式是解题的关键．
15．8
【分析】根据白球的概率结合概率公式列出关于a的方程，求出a的值即可．
【详解】解：∵摸到一个白球的概率是，
∴，
解得．
经检验，是原方程的根．
故答案为：8．
【点睛】本题考查概率的求法与运用，根据概率公式求解即可：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率．
16．
【分析】根据阴影部分的面积所占比例得出概率即可．
【详解】解：由图知，阴影部分的面积占图案面积的，
即这个点取在阴影部分的概率是．
故答案为：．
【点睛】本题考查几何概率．熟练掌握几何概率的计算方法是解题的关键．
17．(1)见详解
(2)见详解
(3)1个
【分析】（1）根据摸到红球的概率为1，即为，是一个必然事件，设计规则即可；
（2）摸到红球、黑球的概率都是，因此可得红球、黑球的数量是均等的，设计规则即可；
（3）有绿球2个，那么摸到绿球概率为，摸到红球概率为，摸到黑球的概率为，因此可得10球中有绿球2个，红球7个，即可知道黑球的个数．
【详解】（1）解：摸到红球的概率为1，即为，因此这个球都是红球，从个除颜色外完全相同的红球中随机摸出1球，得到红球的可能性为1；
（2）解：袋中装有除颜色外完全相同的5个红球和5个黑球，从中随机摸出1球，得到红球或黑球的可能性为；
（3）解：因为有绿球2个，
那么摸到绿球概率为，
因为摸到红球概率为，即红球7个，
那么摸到黑球的概率为，
黑球的个数为，
所以黑球的个数是1个．
【点睛】本题考查随机事件发生的概率，理解概率的意义是设计规则的前提．
18．(1)⑤；②
(2)
【分析】（1）分别求出各个事件的概率，即可比较出对应事件可能性大小关系；
（2）根据所求的概率，即可得出答案．
【详解】（1）∵共3红2黄1绿相等的六部分，
∴①指针指向红色的概率为；
②指针指向绿色的概率为；
③指针指向黄色的概率为；
④指针不指向黄色的概率为，
⑤指针不指向绿色的概率为，
∴可能性最大的是⑤，可能性最小的事件是②；
（2）解：由（1）得：．
【点睛】本题考查的是可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待．用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比．
19．(1)
(2)
【分析】（1）直接根据概率公式即可得到结果；
（2）共有12种等可能的结果，其中指针落在的区域不是黄色的结果有7种，再根据概率公式求解．
【详解】（1）自由转动转盘，转盘停止时，指针落在红色区域的概率为；
故答案为：；
（2）共有12种等可能的结果，其中指针落在的区域不是黄色的结果有7种，则P（指针落在的区域不是黄色）．
【点睛】解答本题的关键是熟练掌握概率公式：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率是．
20．(1)
(2)见解析
【分析】（1）根据概率公式用方片的张数除以总张数即可．
（2）根据题意求出摸到大王的概率和摸到4的概率，进而比较大小求解即可．
【详解】（1）∵共有54张扑克牌，其中方片有13张，
∴从中任选一张，恰好是方片的概率是；
故答案为：；
（2）∵一副扑克牌共有54张，其中大王有1张，4有4张，
∴从中任选一张，恰好是大王的概率是，
从中任选一张，恰好是大王的概率是，
∵
∴摸到大王的机会比摸到4的机会小．
【点睛】此题考查了概率的意义，用到的知识点是概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率．
21．(1)转一次转盘指针指向红色区域的概率大约是0.4
(2)转盘被等分成了20份
【分析】（1）由折线统计图可知，每组实验中转盘停下后指针指向红色区域的次数一直在20次上下浮动，且等于20次的最多，再由概率公式进行计算即可得到答案；
（2）由概率公式可得，进行计算即可得到答案．
【详解】（1）解：由折线统计图可知，每组实验中转盘停下后指针指向红色区域的次数一直在20次上下浮动，且等于20次的最多，
转一次转盘指针指向红色区域的概率大约是：，
转一次转盘指针指向红色区域的概率大约是0.4；
（2）解：根据题意得：，
解得：，
转盘被等分成了20份．
【点睛】本题主要考查了根据概率公式计算概率，熟练掌握概率等于所求情况数与总情况数之比，是解题的关键．
22．(1)
(2)
【分析】(1)找到红色、绿色或黄色区域的份数之和占总份数的多少即为获得购物券的概率；
(2)分别找到红色、绿色或黄色区域的份数占总份数的多少即为得到100元,50元、20元购物券的概率．
【详解】（1）解： ；
答：他获得购物券的概率是．
（2）解： ；
；
．
答：他得到100元、50元、20元购物券的概率分别是．
【点睛】本题主要考查了概率公式，准确无误的找到红色、黄色或绿色区域的份数和总份数是解答本题的关键．
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)