第一章 预备知识 A卷 基础夯实（含解析）

第一章 预备知识
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，，若，则实数m的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.已知集合是不大于5的自然数}，，，则( )
A. B. C. D.
3.已知集合，，若，则实数a的取值范围为( )
A. B. C. D.
4.“x为整数”是“为整数”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.已知，则“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.若，则关于x的不等式的解集是( )
A. B.或
C.或 D.
7.若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则实数m的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.若实数a，b满足，则的最小值为( )
A.8 B.6 C.4 D.2
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。）
9.已知，，且，则( )
A.有最大值 B.有最小值
C.ab有最大值 D.ab有最小值
10.表示不超过x的最大整数，则满足不等式的x的值可以为( )
A.-2.5 B.3 C.7.5 D.8
11.已知集合U为全集，若集合，则( )
A. B. C. D.
12.已知，条件，条件.若p是q的充分不必要条件，则实数a的值可以是( )
A.0 B. C.1 D.2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知，，其中.若q是p的必要不充分条件，则实数m的取值范围是__________.
14.若全集且，则集合A的真子集共有_________个.
15.已知不等式的解集为或，则不等式的解集为__________.
16.若有负值，则实数a的取值范围是__________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. （10分）已知正实数a，b满足，求的最小值.
18. （12分）某服装厂为扩大生产增加收益，新引进了一套某种服装的生产设备，用该设备生产制作服装每月的成本t(单位：元)由两部分构成：①固定成本(与生产服装的数量无关)元；②生产所需材料成本为(单位：元)，x为每月生产服装的件数.
(1)用该设备生产服装，每月产量x为何值时，平均每件服装的成本最低，每件的最低成本为多少
(2)若每月生产x件服装，每件售价为(单位：元)，假设每件服装都能够售出，则该企业应如何制定计划，才能确保该设备每月的利润不低于4万元
19. （12分）已知集合，集合，设集合.
(1)求I；
(2)当时，求的最小值.
20. （12分） 已知非空集合，，全集.
（1）当时，求；
（2）若是成立的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
21. （12分）命题，；命题，.
（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；
（2）若命题q为假命题，求实数m的取值范围；
（3）若命题p，q至少有一个为真命题，求实数m的取值范围.
22. （12分）已知集合，，且.
(1)若命题p：“，”是真命题，求实数m的取值范围；
(2)若命题q：“，”是真命题，求实数m的取值范围.
答案以及解析
1.答案：B
解析：由题意，得，由题意知当时，，所以，所以；当时，成立；当时，，所以，所以.综上，.
2.答案：A
解析：，，则，则.
3.答案：D
解析：因为，所以，解得.故选D.
4.答案：A
解析：当x为整数时，必为整数，充分性成立；当为整数时，x不一定是整数，如当时，，所以必要性不成立.故“x为整数”是“为整数”的充分不必要条件.故选A.
5.答案：A
解析：通解：若，则由不等式的性质，得，即；若，则或，即.所以“”是“”的充分不必要条件.
秒解：令，或，因为，所以“”是“”的充分不必要条件，故选A.
6.答案：D
解析：因为，所以，所以，所以.
7.答案：C
解析：，当时，不等式的解集为，此时要使解集中恰有3个整数，则这3个整数只能是4，5，6，故；当时，原不等式的解集为，此时不符合题意；当时，原不等式的解集为，此时要使解集中恰有3个整数，则这3个整数只能是0，1，2，故.综上，实数m的取值范围为.
8.答案：C
解析：实数a，b满足，则，当且仅当且，即或时等号成立.故选C.
9.答案：BD
解析：由可得.令，，则，当且仅当时取等号.由，解得，故，当且仅当时取等号.故选BD.
10.答案：BC
解析：因为，所以，所以.故选BC.
11.答案：ABD
解析：当时，如图所示，，，故A，B正确，，故C不正确，，故D正确.
12.答案：BC
解析：由，得.若p是q的充分不必要条件，则，所以，解得.结合选项选BC.
13.答案：
解析：p：即，解得，即不等式的解集为.，其中，解得，即不等式的解集为.因为q是p的必要不充分条件，所以p能推出q，但q推不出p，所以，即且等号不同时成立，解得.
14.答案：7
解析：且，，共3个元素，A的真子集共有(个).
15.答案：或
解析：解：由，得，，.
16.答案：或
解析：解：.
17.答案：最小值为
解析：
.
由，得（当且仅当时等号成立），
所以，且，
所以，
所以的最小值为.
18.答案：(1)用该设备每月生产2000件服装时，可使得平均每件所需的成本最少，每件最少成本为300元
(2)该设备每月至少生产800件产品，才能确保该设备每月利润不低于4万元
解析：(1)设平均每件所需的成本费用为y元，
则有
，
当且仅当，即时，等号成立，此时y的最小值是300.
因此用该设备每月生产2000件服装时，可使得平均每件所需的成本最少，每件最少成本为300元.
(2)设月利润为P(元)，
则有，
整理得，
解得(舍去)或.
因此该设备每月至少生产800件产品，才能确保该设备每月利润不低于4万元.
19.答案：(1)
(2)最小值为8
解析：(1)因为，
所以或.
因为，
所以.
(2)当时，有，
则，
当且仅当即时取等号.
故当时，的最小值为8.
20.答案：（1）或
（2）实数a的取值范围是
解析：（1）方法一：当时，，
所以或.
因为，
所以或，
所以或.
方法二：当时，，
故，
所以或.
（2）因为是成立的充分不必要条件，
所以.
又，所以或
解得或，
所以实数a的取值范围是.
21.答案：（1）实数m的取值范围是
（2）实数m的取值范围是
（3）实数m的取值范围是
解析：（1）若命题p为真命题，
则，解得，
所以实数m的取值范围是.
（2）若命题q为假命题，
则q的否定“，”为真命题，
则，解得，
所以实数m的取值范围是.
（3）由（1）（2）可知若命题p与命题q均为假命题，
则解得.
故命题p与命题q中至少有一个为真命题时，，
所以实数m的取值范围是.
22.答案：(1)实数m的取值范围是
(2)实数m的取值范围是
解析：(1)因为命题p：“，”是真命题，所以，
又，所以解得，
所以实数m的取值范围是.
(2)因为，所以，得.
又命题q：“，”是真命题，所以，
又，所以，解得，
所以，即实数m的取值范围是.
2