第一章 预备知识 B卷 能力提升（含解析）

第一章 预备知识
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，若中有三个元素，则实数a的取值集合为( )
A. B. C. D.
3.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
4.若命题“，”是真命题，则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.已知命题“，”是假命题，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.关于x的一元二次不等式的解集为( )
A.或 B.
C.或 D.
7.若a，b为实数，则“”是“或”的( ).
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
8.已知，，则ab的最大值为( ).
A.1 B.2 C.3 D.4
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。）
9.设,则下列结论正确的是( )
A.函数的最小值为2
B.不等式恒成立
C.函数的最小值为
D.若,则的最小值是
10.已知不等式的解集为，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
11.已知集合，，若，则实数a的值可能是( )
A.-1 B.1 C.-2 D.2
12.下列命题是真命题的是( )
A.存在实数，使
B.所有的素数都是奇数
C.至少存在一个正整数能被5和7整除
D.三条边都相等的三角形是等边三角形
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.设全集，，若，则实数_________.
14.已知集合，集合，如果命题“，”为假命题，则实数a的取值范围为__________.
15.若对,,使得成立,则实数a的取值范围是________.
16.正实数a，b满足，则的最小值为_______.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. （10分）已知全集，集合，集合.
(1)当时，求；
(2)若集合或，当时，求实数a的取值范围.
18. （12分）已知集合，，.
(1)求集合；
(2)设集合，若是的必要不充分条件，求实数a的取值范围.
19. （12分）已知下列三个方程：，，，其中至少有一个方程有实数根，求实数a的取值范围.
20. （12分）已知方程的两实根的平方和是，求m的值.
21. （12分）已知不等式的解集为集合A，集合.
（1）若，求；
（2）若，求实数a的取值范围.
22. （12分）某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y万元与年产量x吨之间的函数关系可以近似地表示为，已知此生产线的年产量最小为60吨，最大为110吨.
（1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低 并求最低平均成本.
（2）若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品能全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润？并求最大利润.
答案以及解析
1.答案：B
解析：由图可得.
2.答案：C
解析：因为中有三个元素，且，，所以或.①当时，解得或，均符合题意；②当时，解得，符合题意.
3.答案：C
解析：因为，，所以.
4.答案：A
解析：因为，，所以得.故选A.
5.答案：D
解析：命题“，”是假命题，命题“，”是真命题，，解得.
6.答案：A
解析：由得，解得或，原不等式的解集为或.故选A.
7.答案：A
解析：解：充分性：成立；必要性：当时，或也成立.
8.答案：B
解析：解：因为，所以，即，当且仅当时取等号.
9.答案：BD
解析：函数,当且仅当时取等号,又,所以表达式没有最小值,所以A不正确;不等式,当且仅当时取等号,所以B正确;函数,当且仅当时,函数取得最大值,所以C不正确;若,则,当且仅当时,表达式取得最小值,所以D正确.故选BD.
10.答案：BCD
解析：因为不等式的解集为，故相应的二次函数的图象开口向下，所以，故A错误；易知2和是关于x的方程的两个根，则有，，又，故，，故B，C正确；因为，所以，又，所以，故D正确.故选BCD.
11.答案：ABC
解析：因为，所以，且，所以解得.故选ABC.
12.答案：ACD
解析：解方程，得，故A是真命题；2是素数，但2不是奇数，故B是假命题；35，70均能被5和7整除，故C是真命题；显然D是真命题.故选ACD.
13.答案：-3
解析：，，0，3是关于x的方程的两个根，.
14.答案：
解析：命题“，”为假命题，则其否定“，”为真命题.
当时，集合，此时.
当时，因为，
所以由，，得对任意恒成立，又，所以.
综上，实数a的取值范围为.
15.答案：[3,+∞)
解析：令函数,图象是开口向上,对称轴为直线的抛物线,当时,函数单调递减.令函数,函数在R上单调递增.因为对,,使得成立,所以只需,即,即,解得,所以实数a的取值范围是.
16.答案：1
解析：因为，所以，
则
，
当且仅当即时取等号，
所以的最小值为1.
17.答案：(1)或
(2)实数a的取值范围为
解析：(1)当时，集合.
因为，所以或，
所以或.
(2)由得.
因为或，
所以要满足，只需解得.
综上所述，实数a的取值范围为.
18.答案：(1)或
(2)实数a的取值范围是
解析：(1)，，
则，所以或.
(2)若是的必要不充分条件，则集合M是集合N的真子集，
从而或解得或，
于是得.所以实数a的取值范围是.
19.答案：或
解析：解：假设三个方程，，都没有实数根，
则即
得.
所以实数a的取值范围是或.
20.答案：
解析：设方程的两实根为，，
则，.
.
整理得，解得或.
当时，原方程可化为，
，满足题意；
当时，原方程可化为，
，不合题意，舍去.
综上可得，.
21.答案：（1）.
（2）或.
解析：（1）当时，原不等式可化为，
得，解得，所以.
又因为，所以.
（2）由得，
则，
因为，所以或，
即或.
22、（1）答案：当年产量为100吨时，平均成本最低，最低为16万元
解析：解：因为生产的总成本，，
所以生产每吨产品的平均成本为，
当且仅当，即时取“=”.
因为符合题意，
所以当年产量为100吨时，平均成本最低，最低为16万元.
（2）答案：当年产量为110吨时，可以获得最大利润，最大利润为860万元
解析：设年利润为万元，
则.
又因为，
所以当时，.
因此，当年产量为110吨时，可以获得最大利润，最大利润为860万元
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