岳阳市重点中学2023-2024学年高一上学期入学考试
数 学
满分：150分 考试时间：120分钟
一、单选题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）
1．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．将一副三角板如图所示放置，斜边平行，则∠1的度数为（ ）
A．5° B．10° C．15° D．20°
3．已知，则（ ）
A． B． C． D．
4．世界近代三大数学难题之一哥德巴赫猜想于1742年由哥德巴赫在给欧拉的信中提出：任一大于2的偶数都可写成两个奇素数之和。这个猜想至今没有完全证明，目前最前沿的成果是1966年我国数学家陈景润证明了“1+2”，即他证明了任何一个充分大的偶数，都可以表示为两个数之和，其中一个是素数，另一个或为素数，或为两个素数的乘积，被称为“陈氏定理”。我们知道素数又叫质数，是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外，不能被其他自然数整除的数。请问同学们，如果我们从不大于8的自然数中任取两个不同的数，这个两个数都是素数有多少种不同的情况？（ ）
A．6 B．10 C．12 D．16
5．下列选项中的垃圾分类图标，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A B C D
△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：2：3，G为△ABC的重心，则△GAB面积：△GBC面积：△GAC面积=（ ）
A．1：2： B．1：：2 C．2：1： D．1：1：1
7．如图，在平行四边形ABCD中，，，，以点为圆心，的长为半径画弧交于点，连接，则阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
8．在某种浓度的盐水中加入“一杯水”后，得到新的盐水，它的浓度为，又在新盐水中加入与前述“一杯水”的重量相等的纯盐后，盐的浓度变为，那么原来盐水的浓度为（ ） A. B. C. D.
9．一条抛物线的顶点为（4，），且与x轴的两个交点的横坐标为一正一负，则a、b、c中为正数的（ ）
A．只有a B．只有b C．只有c D．只有a和b
10．反比例函数与一次函数（，）在同一坐标系中的图象只能是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第1个图形需要6根小木棒，拼第2个图形需要14．根小木棒，拼第3个图形需要22根小木棒……若按照这样的方法拼成的第n个图形需要2022根小木棒，则n的值为（ ）
A．252 B．253 C．336 D．337
12．如图所示，已知三角形ABE为直角三角形，∠ABE=90°，BC为圆O切线，C为切点，CA=CD，则△ABC和△CDE面积之比为（ ）
A．1：3 B．1：2
C．：2 D．：1
二、填空题：（本题共4个小题，每小题5分，共20分.）
13．已知实系数一元二次方程的两根分别为，且，则实数m的值为 ．
14．对于实数a，b，定义符号min{a，b}，其意义为：当时，min{a，b}=b；当时，min{a，b}=a．例如：min{，1}=，若关于x的函数y=min{，}，则该函数的最大值为________．
15．火车匀速通过长82米的铁桥用了22秒，如果它的速度加快1倍，通过162米长的铁桥就只用了16秒，求这列火车的长度为________．
16．如图，是边长为6的等边三角形，点E为高上的动点．连接，将绕点顺时针旋转得到．连接，，，则周长的最小值是 ．
三、解答题：（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．计算：（本小题10分）
（1） （2） 解方程：．
18．（本小题12分）
某学校为了丰富学生课余生活,开展了“第二课堂”的活动,推出了以下四种选修课程：A.绘画；B.唱歌；C.演讲；D.十字锈.学校规定：每个学生都必须报名且只能选择其中的一个课程.学校随机抽查了部分学生,对他们选择的课程情况进行了统计,并绘制了如下两幅不完整的统计图.请结合统计图中的信息,解决下列问题：
(1)这次学校抽查的学生人数是 ；
(2)将条形统计图补充完整；
(3)求扇形统计图中，B课程部分的圆心角的度数；
(4)如果该校共有1 000名学生,请你估计该校报D的学生约有多少人？
课程选择情况的条形统计图 课程选择情况的扇形统计图
19．（本小题12分）
通过实验研究，专家们发现：初中生听课的注意力指标数是随老师讲课时间的变化而变化的，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间，学生的兴趣保持平稳的状态，随后开始分散．学生注意力指标数y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示（y越大表示学生注意力越集中）．当0≤x≤10时，图象是抛物线的一部分；当10≤x≤20和20≤x≤40时，图象是线段．
（1）当0≤x≤10时，求y关于x的函数关系式；
（2）一道数学竞赛题需要讲解24分钟，问老师能否经过适当安排，使学生在听这道题时，注意力的指标数都不低于36？
20．（本小题12分）
阅读材料，完成相应任务：“贾宪三角”又称“杨辉三角”，在欧洲则称为“帕斯卡三角”（如图所示），它揭示了（n为非负数）展开式的各项系数的规律．
根据上述规律，完成下列问题：
(1)直接写出_________．
(2)的展开式中a项的系数是__________．
(3)利用上述规律求的值，写出过程．
21．（本小题12分）
如图，△ABC内接于⊙O，BD为⊙O的直径，BD与AC相交于点H，AC的延长线与过点B的直线相交于点E，且∠A=∠EBC．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）已知CG∥EB，且CG与BD，BA分别相交于点F，G，若BG·BA=48，FG=，DF=2BF，求AH的值．
22．（本小题12分）
在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接AC．
（1）求点B，点C的坐标；
（2）如图1，点E（m，0）在线段OB上（点E不与点B重合），点F在y轴负半轴上，OE=OF，连接AF，BF，EF，设△ACF的面积为S1，△BEF的面积为S2，S=S1+S2，当S取最大值时，求m的值；
（3）如图2，抛物线的顶点为D，连接CD，BC，点P在第一象限的抛物线上，PD与BC相交于点Q，是否存在点P，使∠PQC=∠ACD，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．岳阳市重点中学2023-2024学年高一上学期入学考试
数 学 答 案
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D C C A C D D C A B B B
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填写在题中的横线上)
13： 14： 15：94米 16：
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17、(1)原式= （2）或
18、（1）40 （2）选择C课程的学生人数10人
（3）*360°=126
（4）1000*=100人，选择D课程的学生大约100人。
19、【答案】（1）（2）14或16
【解析】
试题解析：（1）因为是方程的两个实数根，
所以
又因为是以为斜边的直角三角形，且
所以,所以,
即，所以所以
当时，方程为，解得
当时，方程为，解得（不合题意，舍去）
所以当时，是以为斜边的直角三角形．
（2）若是等腰三角形，则有①②③
三种情况．
因为，所以，故第①种情况不成立．
所以当或时,5是的根
所以，解得
当时，所以，所以等腰的三边长分别为5、5、4，周长是14
当时，所以，所以等腰的三边长分别为5、5、6，周长是16
20、【解析】解：（1）设时的抛物线为
由图象知抛物线过，，三点
，解得
，．
（2）由图象知，当时，
当时，令，得
解得，（舍去）
当时，另，得
解得
老师可以通过适当的安排，在学生的注意力指标数不低于36时，讲授完这道数学综合题．
21、【解析】证明：（1）如图，连接，
是的直径，，
，，
，；
（2）如图，连接，
为的中点，，
，，
，，
，，
，
，，
，
，，，
，，，
即，
为半径，直线为的切线．
22、【解析】解：（1）当时，， 解得：，，
点的坐标为，点的坐标为；
当时，， 点的坐标为．
（2）点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，
，．
点的坐标为，， ，，
．
，当时，取得最大值，
即当取最大值时，的值为1．
（3）存在，设点的坐标为．
在图（2）中，连接，过点作轴于点，过点作轴，过点作轴交于点．
，，
为等腰直角三角形，
，．
抛物线的顶点为，
点的坐标为，
点的坐标为，点的坐标为，
，，
，
，
．
，
．
，，，
．
又，
．
又，
，
，即，
解得：（不合题意，舍去），，
点的坐标为．
