2.2基本不等式 课件（共19张PPT）

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第二章
一元二次函数、方程和不等式
2.2基本不等式
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2.2基本不等式
学习目标：
1.掌握基本不等式.
2.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题。
3.能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小。
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前面我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：有
当且仅当时，等号成立。
特别地，如果我们用分别代替上式中的，可得
当且仅当时，等号成立。
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知识整理
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新课讲授
通常称不等式为基本不等式。其中，叫做正整数的算数平均数，叫做正整数的几何平均数。
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新课讲授
能否直利用不等式的性质推到出基本不等式呢？
分析：想要证，只要证，
要，只要证，
要证，只要证，
要证，只要证.
显然，成立，当且仅当时，等号成立。
探究：在图2.2-1中，是圆的直径，
点是上一点，过
点作垂直于的弦，连接.
你能利用这个图形，得出基本不等式
的几何解释吗？
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新科讲授
解：先证,因而.由于小于或等于圆的半径，用不等式表示为
显然，当且仅当点时，上述不等式的等号成立。
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经典例题
例1：已知，求的最小值。
分析：求的最小值，就是要求一个，使，都有，观察，发现.联系基本不等式，可以利用正数和的算数平均数与几何平均数的关系得到=2.
解：因为，所以
当且仅当即时，等号成立，因此所求的最小值为2.
例2：已知都是正数，求证：
（1）如果积等于定值,那么当时，和有最小值;
（2）如果和等于定值，那么当时，积有最大值.
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知识辨析
证明：因为都是正数，所以
（1）当积等于定值时，,所以
当且仅当时，上式等号成立。于是，当，和有最小值.
例2：已知都是正数，求证：
（1）如果积等于定值,那么当时，和有最小值;
（2）如果和等于定值，那么当时，积有最大值.
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知识辨析
证明：因为都是正数，所以
（1）当积等于定值时，,所以
当且仅当时，上式等号成立。于是，当，和有最小值.
（2）当和等于定值时，所以
当且仅当时，上式等号成立。于是，当时，积有最大值.
基本不等式：
基本不等式
求最大值和最小值
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课堂小结
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巩固练习
1.已知求证
证明：
因为
所以.
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巩固练习
2.已知都是正数，且求证：
; .
证明：
（1）因为都是正数，所以
当且仅当，即时，上式等号成立。因为.
（2）因为都是正数,所以又所以.
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巩固练习
3.当取什么值时，取得最小值？最小值是多少？
解：
上式里
当时，取得最小值2.
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巩固练习
4.已知求的最大值。
解：当，.
当时，
16且仅当,即
的最大值为1,此时.
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巩固练习
5.已知直角三角形的面积等于50,当两条直角边的长度各为多少时，两条直角边的和最小？最小值是多少？
解：
设两条直角边分别为
因为直角三角形的面积等于50也就是说所以.
,2,20.
当且仅当=10时，等号成立。
所以当两条直角边的长均为10cm时，两条直角边的和最小，最小值是20cm.
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课堂小测
1.下列说法正确的是（ ）
A.成立的前提条件是
B.成立的前提条件是
C.成立的前提条件是
D.成立的前提条件是
2.已知函数的最小值为（ ）
A.2 B.4 C.6 D.8
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课堂小测
3.已知则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
4.已知两个正数满足则的最小值为（ ）
A.3 B.6 C. D.