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11.1与三角形有关的线段
【基础巩固】
一、单选题
1．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A．3，3，4 B．4，9，5 C．5，18，8 D．9，15，3
2．如图，的面积为，如果，那么的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，，，分别是的中线、角平分线、高线，下列结论中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，已知是的边上的中线，是的边上的中线，若的面积为，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．如图图形中，线段是的高的是（ ）
A． B． C． D．
6．下列生活生产的设备中，没有利用三角形的稳定性的是（ ）
A．活动的四边形的晾衣架 B．起重机
C．屋顶的三角形钢架 D．松浦大桥的斜拉钢架
7．已知三角形的两条边长分别是和，且第三边的长为整数，那么第三边的最大值是（ ）
A． B． C． D．
8．若等腰三角形的两条边长为3和8，则该等腰三角形的周长为（ ）
A．14 B．16 C．19 D．14或19
9．如图，在中，是的中线，是的中线，，，垂足分别为，．若的周长为43，，，，则的长为（ ）
A．5 B． C．9 D．
10．如图，在中，是边上任意一点，、、分别是、、的中点，，则的值为（ ）
A．6 B．8 C．12 D．4
二、填空题
11．三角形的两条边长分别是4cm和9cm，则第三条边长x的范围是 ．
12．如图，是的中线，，，那么的周长比的周长多 ．
13．如图，于点B，于点C，与交于点E，若，，，则 ．
14．已知的面积是12，高，，则的长为 ．
15．如图，中，点D、E分别是、的中点，连接、交于点F．当的面积为时，的面积为 ．
16．如图，是等腰三角形，cm，，点D是底边BC边上的任意一点，于点E，于点F．则 cm．
17．已知的三边长分别为3、5、a，化简的结果为 ．
18．如图，中，，，是边上的中线，若的周长为36，则的周长是 ．
三、解答题
19．如图，在中，，分别是边上的点，连接，，相交于点．
(1)的三个顶点是什么 三条边是什么
(2)是哪些三角形的边
20．如图，的两条中线、相交于点O，已知的面积为14，的面积为3，求四边形的面积．
21．四根木棒的长度分别为．从中取三根，使它们首尾顺次相接组成一个三角形．一共有多少种取法？把它们都列出来．
【能力提升】
22．如图，，是的两条高，，求的长．
23．如图，的中线相交于点F，
(1)图中与面积相等是三角形有____个（不含）；
(2)若的面积是，求四边形的面积．
24．三角形如图，的边上的高为，中线为边上的高为，已知，，．
(1)求的面积；
(2)求的长；
(3)和的面积有何关系？
25．如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，的顶点都在方格纸格点上．将向右平移1格，再向上平移3格．
(1)请在图中画出平移后的；
(2)平移过程中，边扫过的面积为___________；
(3)再在图中画出的中线；
(4)若点P是一个格点，连接、，在图中能使的格点P一共有___________个（点P异于点C）．
26．在中，，，于D．
（1）如图①，已知于E，求证：
（2）如图②，P是线段AC上任意一点（P不与A、C重合），过P作于E，于F，求证：
（3）在图②中，若P是AC延长线上任意一点，其他条件不变，请画出图形并直接写出PE、PF、CD之间的关系．
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11.1与三角形有关的线段
【基础巩固】
一、单选题
1．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A．3，3，4B．4，9，5 C．5，18，8 D．9，15，3
【答案】A
【分析】根据已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和，分别判断即可．
【详解】解：A、因为，则这三条线段能构成三角形，故本选项符合题意；
B、因为，则这三条线段不能构成三角形，故本选项不合题意；
C、因为，则这三条线段不能构成三角形，故本选项不合题意；
D、因为，则这三条线段不能构成三角形，故本选项不合题意；
故选：A．
【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，根据三角形的三边关系，得出组成三角形的条件是解决问题的关键．
2．如图，的面积为，如果，那么的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】的边上的高和的边上的高的长度相同，据此可求得答案．
【详解】解：根据题意可知的边上的高和的边上的高的长度相同，设为．
∵，，，
∴，，
∴．
∴．
故选：D．
【点睛】本题主要考查三角形的高，牢记三角形的高的定义是解题的关键．
3．如图，，，分别是的中线、角平分线、高线，下列结论中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据三角形的中线，角平分线，高的定义进而判断即可．
【详解】解：，，分别是的中线、角平分线、高线，
，故选项A正确，不合题意；
，故选项B正确，不合题意；
，故选项C正确，不合题意；
与不一定相等，故选项D错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的高、角平分线和中线的定义，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线，掌握定义是解题的关键．
4．如图，已知是的边上的中线，是的边上的中线，若的面积为，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据三角形的中线将三角形的面积平分求解即可．
【详解】解：∵是的边上的中线，的面积为，
∴的面积为，
∵是的边上的中线，
∴的面积为，
故选：C．
【点睛】本题考查三角形的中线性质，熟知三角形的中线将三角形的面积平分是解答的关键．
5．如图图形中，线段是的高的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】用三角形高的定义即可求解．
【详解】解：由三角形高的定义可知只有D选项中线段是的高，
故选D．
【点睛】本题主要考查了三角形高线的定义，熟练掌握从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足间的线段叫做三角形的高是解题的关键．
6．下列生活生产的设备中，没有利用三角形的稳定性的是（ ）
A．活动的四边形的晾衣架 B．起重机
C．屋顶的三角形钢架 D．松浦大桥的斜拉钢架
【答案】A
【分析】根据三角形具有稳定性解答即可．
【详解】B、C、D均利用了三角形的稳定性，没有利用三角形的稳定性的是活动的四边形衣架，
故选：A．
【点睛】此题考查三角形的稳定性，解题关键在于掌握其定义．
7．已知三角形的两条边长分别是和，且第三边的长为整数，那么第三边的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围；再根据第三边是整数，从而求得第三边长的最大值．
【详解】解：设第三边为，根据三角形的三边关系，得：，即．
为整数，
的最大值为7．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系，求不等式组整数解，关键知道三角形的任何一边大于其他两边之差，小于两边之和，满足此关系的可组成三角形．
8．若等腰三角形的两条边长为3和8，则该等腰三角形的周长为（ ）
A．14 B．16 C．19 D．14或19
【答案】C
【分析】分3是腰长与底边长两种情况讨论求解即可．
【详解】解：①3是腰长时，三角形的三边分别为3、3、8，
∵3+3=6＜8，
∴此时不能组成三角形；
②3是底边长时，三角形的三边分别为3、8、8，
此时能组成三角形，
所以，周长=3+8+8=19，
综上所述，这个等腰三角形的周长是19．
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解决本题的关键在于要分情况讨论．
9．如图，在中，是的中线，是的中线，，，垂足分别为，．若的周长为43，，，，则的长为（ ）
A．5 B． C．9 D．
【答案】D
【分析】根据的周长和题中条件即可求出，再根据中线的性质即可求出，最后运用等面积法即可求出．
【详解】解：∵，
∴，
∵的周长为43，
∴，
∵是的中线，是的中线，
∴，，
∵，即，
解得：，
故选：D．
【点睛】本题考查简单几何中求线段长度，能够想到等面积法是关键．
10．如图，在中，是边上任意一点，、、分别是、、的中点，，则的值为（ ）
A．6 B．8 C．12 D．4
【答案】A
【分析】如图，连接CD，先由三角形的中线的性质证明再利用中线的性质可得从而可得答案．
【详解】解：如图，连接CD，
∵点D是AG的中点，
∵是BD的中点，
∵F是CE的中点，
故选A
【点睛】本题考查的是三角形的中线的性质，掌握“三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分”是解本题的关键．
二、填空题
11．三角形的两条边长分别是4cm和9cm，则第三条边长x的范围是 ．
【答案】
【分析】根据三角形三边的关系：任两边的和大于第三边，任两边的差小于第三边，即可求得范围．
【详解】解：由三角形三边关系得：，
即；
故答案为：．
【点睛】本题考查了构成三角形的三边应满足的条件，理解此条件是关键．
12．如图，是的中线，，，那么的周长比的周长多 ．
【答案】
【分析】根据三角形的中线的概念得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】解：是的中线，
，
的周长的周长
，
的周长比的周长多，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是三角形的中线的概念，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
13．如图，于点B，于点C，与交于点E，若，，，则 ．
【答案】3
【分析】根据进行求解即可．
【详解】解：∵于点B，于点C，
∴，
∴，
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了三角形面积公式，熟知三角形面积公式是解题的关键．
14．已知的面积是12，高，，则的长为 ．
【答案】5或7
【分析】分两种情况，利用三角形面积公式即可求得．
【详解】解：如图1，
∵为边上的高，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图2，∵为边上的高，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：5或7．
【点睛】本题考查了三角形的面积，解题的关键是注意分类讨论．
15．如图，中，点D、E分别是、的中点，连接、交于点F．当的面积为时，的面积为 ．
【答案】21
【分析】如图所示，连接，根据三角形中线的性质可得，则，同理可得，由此可得，进一步求出，则．
【详解】解：如图所示，连接，
∵点D是的中点，
∴，
∴，
∵点E是的中点，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
故答案为：21．
【点睛】本题主要考查了三角形中线的性质，熟知三角形中线平分三角形面积是解题的关键．
16．如图，是等腰三角形，cm，，点D是底边BC边上的任意一点，于点E，于点F．则 cm．
【答案】4
【分析】根据图形可知三角形的面积等于三角形的面积加上三角形的面积，根据面积公式变形计算即可．
【详解】解：∵，
又∵，
，
∴，
∵，
，
，
故答案为：4．
【点睛】本题考查三角形的面积公式，三角形的高，能够熟练掌握割补法求面积是解决本题的关键．
17．已知的三边长分别为3、5、a，化简的结果为 ．
【答案】/
【分析】直接利用三角形三边关系进而得出a的取值范围，进而利用绝对值的性质化简得出答案．
【详解】解：∵的三边长分别为3、5、a，
∴，
解得：，
故．
．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是绝对值的化简，整式的加减运算的应用，三角形的三边关系的应用，熟练的化简绝对值是解本题的关键．
18．如图，中，，，是边上的中线，若的周长为36，则的周长是 ．
【答案】30
【分析】根据三角形中线的定义可得，由的周长为36，，求出，进而得出的周长．
【详解】解：∵是边上的中线，
∴，
∵的周长为36，，
∴，
∴，
∵，
∴的周长．
故答案为：30．
【点睛】本题考查了三角形的中线：三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．根据中线的定义得出以及利用周长的定义求出是解题的关键．
三、解答题
19．如图，在中，，分别是边上的点，连接，，相交于点．
(1)的三个顶点是什么 三条边是什么
(2)是哪些三角形的边
【答案】(1)的三个顶点是点，，，三条边是，，
(2)是，，，的边
【分析】（1）根据三角形的边和顶点解答即可；
（2）根据三角形的边解答即可．
【详解】（1）解：的三个顶点是点，，，三条边是，，；
（2）解：是，，，的边．
【点睛】本题考查三角形，解题的关键是掌握三角形的角和边的概念．
20．如图，的两条中线、相交于点O，已知的面积为14，的面积为3，求四边形的面积．
【答案】
【分析】根据“三角形的中线将三角形分为面积相等的两个三角形”得到，然后结合图形来求四边形的面积．
【详解】解：∵的两条中线、相交于点O，已知的面积为14，
∴．
又∵的面积为3，
∴．
【点睛】本题考查了与三角形中线有关的面积问题．解答该题时，需要利用“数形结合”的数学思想．
21．四根木棒的长度分别为．从中取三根，使它们首尾顺次相接组成一个三角形．一共有多少种取法？把它们都列出来．
【答案】一共有3种取法：取这三根木棒，取这三根木棒，取这三根木棒
【分析】根据构成三角形的条件进行求解即可．
【详解】解：当取时，
∵，
∴这三根木棒可以组成三角形；
当取时，
∵，
∴这三根木棒可以组成三角形；
当取时，
∵，
∴这三根木棒不可以组成三角形；
当取时，
∵，
∴这三根木棒可以组成三角形；
综上所述，一共有3种取法：取这三根木棒，取这三根木棒，取这三根木棒．
【点睛】本题主要考查了构成三角形的条件，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键．
【能力提升】
22．如图，，是的两条高，，求的长．
【答案】
【分析】根据三角形等面积法求解即可．
【详解】解：∵AD，CE是△ABC的两条高，
∴，
即，
解得：AD=3cm．
【点睛】题目主要考查三角形等面积法，理解题意是解题关键．
23．如图，的中线相交于点F，
(1)图中与面积相等是三角形有____个（不含）；
(2)若的面积是，求四边形的面积．
【答案】(1)3/三
(2)
【分析】（1）利用三角形中线的性质即可推导出，问题即可解答；
（2）根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形，用①，②，再用即可表示出，问题即可得解．
【详解】（1）∵分别是的中线，
∴ ，
∴ ， ，
即，
∴与面积相等的三角形共有3个
故答案为：3
（2）如图，
∵和是的两条中线，
∴，
即①，
②，
① ②得：，
∴．
∴．
∵
【点睛】本题主要考查了三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形，是此类题目常用的方法，要熟练掌握并灵活运用．
24．三角形如图，的边上的高为，中线为边上的高为，已知，，．
(1)求的面积；
(2)求的长；
(3)和的面积有何关系？
【答案】(1)30
(2)
(3)和的面积相等
【分析】（1）利用面积公式进行计算即可；
（2）利用面积公式进行求解即可；
（3）利用中线平分面积，作答即可．
【详解】（1）解：的面积；
（2）∵的面积，，
∴；
（3）∵为的中线，
∴，
∵的边上的高为，
∴．
即：和的面积相等．
【点睛】本题考查与三角形的高和中线有关的计算．熟练掌握高线和中线的定义，以及中线平分三角形面积，是解题的关键．
25．如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，的顶点都在方格纸格点上．将向右平移1格，再向上平移3格．
(1)请在图中画出平移后的；
(2)平移过程中，边扫过的面积为___________；
(3)再在图中画出的中线；
(4)若点P是一个格点，连接、，在图中能使的格点P一共有___________个（点P异于点C）．
【答案】(1)见解析
(2)5
(3)见解析
(4)6
【分析】（1）利用平移的方式直接得到各顶点平移后的位置，再顺次连接即可；
（2）先确定边扫过的图形形状，再利用公式求解；
（3）找出的中点后连线即可；
（4）根据面积相等，得到P点到的距离等于C点到的距离，即可求解．
【详解】（1）作图如图所示：
（2）如图所示，线段扫过的图形为平行四边形，
∵，
∴边扫过的面积为5．
（3）作图如图所示：
．
（4）一共有6个．
∵，
∴，
∴符合题意的P点如图所示，一共有6个，如图所示：
．
【点睛】本题考查了网格作图和计算，解题关键是掌握平移作图、利用网格作中线、求图形扫过的面积以及找出符合条件的格点，本题难点为确定P点的位置，其中理解题意是关键．
26．在中，，，于D．
（1）如图①，已知于E，求证：
（2）如图②，P是线段AC上任意一点（P不与A、C重合），过P作于E，于F，求证：
（3）在图②中，若P是AC延长线上任意一点，其他条件不变，请画出图形并直接写出PE、PF、CD之间的关系．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）画图见解析，．
【分析】(1)分别以AB、BC边为底边，利用△ABC的面积的两种不同表示列式整理即可得证；
(2)连接PB，根据△ABC的面积等于△ABP和△BCP的面积的和，然后列式整理即可得证；
(3)作出图形，连接PB，然后根据△ABP的面积等于△ABC的面积和△PBC的面积的和，列式整理即可得解．
【详解】解：（1）证明：
（2）如图②，连接PB，
，
（3）如图③，即为图像，
连接PB，作交BC的延长线于E点，
，
【点睛】本题综合考查了三角形的知识，把同一个三角形的面积采用不同方法列式表示出来，然后再把已知数据代入进行计算求解，所以（2）（3）两小题作出辅助线把三角形分割成两个三角形是解题的关键，面积法也是解三角形问题常用的方法之一，需熟练掌握．
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