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11.1与三角形有关的线段 （重难点）
【知识精讲】
【知识点一、三角形及其分类】
三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．
组成三角形的线段叫做三角形的边．相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点．
相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角．
三角形按边分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）．
三角形按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．
【知识点二、三角形的三边关系】
三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边；三角形的两边差小于第三边．
【知识点三、 三角形的高线、中线和角平分线】
1.从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
2.三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
3.三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．
4.三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．
5.锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．
【知识点四、 三角形的稳定性】
当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．这一特性主要应用在实际生活中．
【重点题型】
考点1：三角形的三边关系
例1．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A．3，3，4 B．4，9，5
C．5，18，8 D．9，15，3
【变式训练1-1】．下列三条线段中，不能组成三角形的是（ ）
A．3、4、5 B．3、4、7 C．7、8、13 D．8、9、16
【变式训练1-2】．若某三角形的三边长分别为3，4，m，则m的值可以是（ ）
A．1 B．5 C．7 D．9
【变式训练1-3】．已知中，，那么边的长可能是下列哪个值（ ）
A．1 B．2 C．6 D．10
考点2：利用中线求线段长
例2．如图，是的中线，已知的周长为，比长，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-1】．如图，若是的中线，，则（ ）
A．12 B．10 C．16 D．8
【变式训练2-2】．．如图，是的中线，点D是上一点，若，则的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【变式训练2-3】．如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长多5cm，与的和为11cm，则的长为（ ）
A．3 B．5 C．8 D．6
考点3：利用中线求面积
例3．如图，在中，、分别是、的中点，点在上，且，若，则（ ）
A．9 B．12 C．16 D．18
【变式训练3-1】．如图，是的中线，点是的中点，若的面积为，则的面积为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．3
【变式训练3-2】．如图，在中，延长至点F，使得，延长至点D，使得，延长至点E，使得，连接、、，若，则为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式训练3-3】．如图，三边的中线，，的公共点为，若，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
考点4：真假命题判断
例4．下列命题中错误的是（ ）
A．三角形三条中线的交点是三角形的重心 B．两直线平行，同旁内角互补
C．等腰三角形底边的中线是它的对称轴 D．三角形任意两边之和大于第三边
【变式训练4-1】．下列说法错误的是（ ）
A．三角形的三条边的中线都在三角形内部 B．三角形的三个内角的平分线都在三角形内部
C．三角形的三条高都在三角形内部 D．直角三角形有两条高与三角形的边重合
【变式训练4-2】．下列说法错误的是（ ）
A．三角形的三条高一定在三角形内部交于一点
B．三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点
C．三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点
D．三角形的三条高所在的直线可能在三角形外部交于一点
【变式训练4-3】．下列说法中，正确的是（ ）
A．三角形的中线就是过顶点平分对边的直线
B．三角形的高就是顶点到对边的垂线
C．三角形的角平分线就是三角形的内角平分线
D．三角形的三条中线交于一点
考点5：利用网格求三角形面积
例5．如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点都在网格格点上，点坐标为．
(1)请写出点，点的坐标．
(2)将先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到．请画出平移后的三角形，并写出点的坐标．
(3)求的面积．
【变式训练5-1】．如图，将三角形先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到三角形．
(1)画出三角形，写出点的坐标；
(2)直接写出三角形的面积．
【变式训练5-2】．如图，平面直角坐标系中，的顶点都在网格点上，其中点坐标为．
(1)求点、点的坐标．
(2)将先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到，画出，并写出点的坐标．
(3)求的面积．
【变式训练5-3】．与在平面直角坐标系中的位置如图．
(1)分别写出下列各点的坐标：_______；_______；______；
(2)说明由经过怎样的平移得到_______．
(3)若点是内部一点，则平移后内的对应点的坐标为_______；
(4)求的面积．
考点6：利用高求值
例6．如图，在中，是中线，是的高，且，．
(1)___________（填数字）；
(2)求及的长；
(3)若，求和的周长差．
【变式训练6-1】．如图，，分别是的高，，，，求的长．
【变式训练6-2】．三角形如图，的边上的高为，中线为边上的高为，已知，，．
(1)求的面积；
(2)求的长；
(3)和的面积有何关系？
【变式训练6-3】．如图，，垂足为B，，垂足为C，且与交于点E，那么，
(1)的边上的高为 ，边上的高为 ．
(2)若E是的中点，，，，求的长．
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11.1与三角形有关的线段 （重难点）
【知识精讲】
【知识点一、三角形及其分类】
三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．
组成三角形的线段叫做三角形的边．相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点．
相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角．
三角形按边分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）．
三角形按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．
【知识点二、三角形的三边关系】
三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边；三角形的两边差小于第三边．
【知识点三、 三角形的高线、中线和角平分线】
1.从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
2.三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
3.三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．
4.三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．
5.锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．
【知识点四、 三角形的稳定性】
当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．这一特性主要应用在实际生活中．
【重点题型】
考点1：三角形的三边关系
例1．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A．3，3，4 B．4，9，5
C．5，18，8 D．9，15，3
【答案】A
【分析】根据已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和，分别判断即可．
【详解】解：A、因为，则这三条线段能构成三角形，故本选项符合题意；
B、因为，则这三条线段不能构成三角形，故本选项不合题意；
C、因为，则这三条线段不能构成三角形，故本选项不合题意；
D、因为，则这三条线段不能构成三角形，故本选项不合题意；
故选：A．
【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，根据三角形的三边关系，得出组成三角形的条件是解决问题的关键．
【变式训练1-1】．下列三条线段中，不能组成三角形的是（ ）
A．3、4、5 B．3、4、7 C．7、8、13 D．8、9、16
【答案】B
【分析】利用三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边进行分析即可．
【详解】解：A．，能构成三角形，故此选项不符合题意；
B．，不能构成三角形，故此选项符合题意；
C．，能构成三角形，故此选项不符合题意；
D．，能构成三角形，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握判定三条线段能否构成三角形时，并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度，即可判定这三条线段能构成一个三角形．
【变式训练1-2】．若某三角形的三边长分别为3，4，m，则m的值可以是（ ）
A．1 B．5 C．7 D．9
【答案】B
【分析】根据三角形的三边关系求解即可．
【详解】解：由题意，得，即，
故的值可选5，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解答的关键．
【变式训练1-3】．已知中，，那么边的长可能是下列哪个值（ ）
A．1 B．2 C．6 D．10
【答案】C
【分析】直接利用三角形三边关系得出的取值范围，进而得出答案．
【详解】解：根据三角形的三边关系可得：，
∵，，
∴，
即0，
观察四个选项，边的长可能是6．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了三角形三边关系，掌握三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键．
考点2：利用中线求线段长
例2．如图，是的中线，已知的周长为，比长，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据三角形中线的定义可得，再表示出和的周长的差就是、的差，然后计算即可．
【详解】解：是边上的中线，
，
和周长的差，
的周长为，比长，
周长为：．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形的中线的定义，把三角形的周长的差转化为已知两边、的长度的差是解题的关键．
【变式训练2-1】．如图，若是的中线，，则（ ）
A．12 B．10 C．16 D．8
【答案】B
【分析】根据三角形的中线的定义，即可求解．
【详解】解：∵是的中线，，，
∴，
故选B．
【点睛】本题主要考查三角形中线的定义，掌握三角形的顶点与对边中点的之间的线段叫做三角形的中线，是解题的关键．
【变式训练2-2】．．如图，是的中线，点D是上一点，若，则的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】先求出的长，再根据中线的定义进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵是的中线，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了线段的和差和中线的定义，熟练掌握知识点是解题的关键．
【变式训练2-3】．如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长多5cm，与的和为11cm，则的长为（ ）
A．3 B．5 C．8 D．6
【答案】C
【分析】根据中线的定义知，结合三角形周长公式知；又，易求的长度．
【详解】解：是边上的中线，
为的中点，．
的周长比的周长多5cm，
．
又，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的中线．三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
考点3：利用中线求面积
例3．如图，在中，、分别是、的中点，点在上，且，若，则（ ）
A．9 B．12 C．16 D．18
【答案】D
【分析】根据，，求得，根据三角形中线把三角形分成两个面积相等的三角形可得，从而求出，再根据计算即可得解．
【详解】解： ，若，
，
是的中点，
∴，
是的中点，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形中线把三角形分成两个面积相等的三角形，理论依据是等底等高的三角形的面积相等，需熟记．
【变式训练3-1】．如图，是的中线，点是的中点，若的面积为，则的面积为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．3
【答案】A
【分析】根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，进而解答即可．
【详解】解：是的边上的中线，的面积为，
的面积为：，
点是的中点，
的面积为：，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角形面积的求法和三角形的中线，掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分是解答本题的关键．
【变式训练3-2】．如图，在中，延长至点F，使得，延长至点D，使得，延长至点E，使得，连接、、，若，则为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】先设的面积为，再根据底共线，高相等，面积的比等于底边的比，将其余各个三角形的面积表示出来，总面积为，解得的面积．
【详解】解：如图，连接、，设的面积为，
，
的面积为，的面积为，
的面积为，
,
的面积为，的面积为，的面积为，
，
，即的面积为2
故选：B
【点睛】本题考查了三角形的面积问题，等高且共底的三角形面积比是底边的比这个性质是解题的关键．
【变式训练3-3】．如图，三边的中线，，的公共点为，若，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，可得，，，利用等量代换逐步推出，最后利用计算即可．
【详解】解：，，是三边的中线，
，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形的面积，解决问题的关键是掌握：三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分．
考点4：真假命题判断
例4．下列命题中错误的是（ ）
A．三角形三条中线的交点是三角形的重心 B．两直线平行，同旁内角互补
C．等腰三角形底边的中线是它的对称轴 D．三角形任意两边之和大于第三边
【答案】C
【分析】根据轴对称图形的概念、三角形的性质以及平行线的性质判断即可．
【详解】解：A、三角形三条中线的交点是三角形的重心，A说法正确；
B、两直线平行，同旁内角互补，B说法正确
C、等腰三角形是轴对称图形，底边中线所在的直线是它的对称轴，C说法错误；
D、三角形任意两边之和大于第三边，D说法正确；
故选：C．
【点睛】本题考查的是对称轴的概念、三角形的性质以及平行线的性质，正确掌握相关概念以及性质定理是解题的关键．
【变式训练4-1】．下列说法错误的是（ ）
A．三角形的三条边的中线都在三角形内部 B．三角形的三个内角的平分线都在三角形内部
C．三角形的三条高都在三角形内部 D．直角三角形有两条高与三角形的边重合
【答案】C
【详解】A，三角形的中线是指一边的中点与对顶点的连线，作图知三角形的三条边的中线都在三角形内部，A选项说法正确，不符合题意；
B，三角形的三个内角的平分线都在三角形内部， B选项说法正确，不符合题意；
C，钝角三角形的两条高在形外，直角三角形两条高与两边重合，C错误，符合题意；
D，直角三角形有两条高与三角形的两直角边重合，D选项说法正确，不符合题意．
【点睛】本题考查了三角形中的几条重要的线段，关键是理解各种线段的概念，并且尝试画出对应的图形．
【变式训练4-2】．下列说法错误的是（ ）
A．三角形的三条高一定在三角形内部交于一点
B．三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点
C．三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点
D．三角形的三条高所在的直线可能在三角形外部交于一点
【答案】A
【分析】三角形的三条中线和三条角平分线都交于三角形的内部，而三条高线可以交在三角形的内部，或外部，或一角的顶点．
【详解】解：A、三条高线可以交在三角形的内部，或外部，或一角的顶点，错误；
B、三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点，正确；
C、三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点，正确；
D、三角形的三条高所在的直线可能在三角形外部交于一点，正确．
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形的高线、角平分线、中线的性质．
【变式训练4-3】．下列说法中，正确的是（ ）
A．三角形的中线就是过顶点平分对边的直线
B．三角形的高就是顶点到对边的垂线
C．三角形的角平分线就是三角形的内角平分线
D．三角形的三条中线交于一点
【答案】D
【分析】根据三角形的中线，高，角平分线的定义和相关基础知识判断即可．
【详解】解：A、三角形的中线就是一边的中点与此边所对顶点的连线，故本选项错误；
B、三角形的高就是顶点到对边的垂线段，故本选项错误；
C、三角形的角平分线就是三角形的内角平分线与这个内角的对边的交点与这个内角的顶点之间的线段，故本选项错误；
D、三角形的三条中线交于一点，故本选项正确；
故选：D．
【点睛】本题考查三角形的中线，高，角平分线，掌握相关定义和性质是解题的关键，需要特别注意的是三角形的这三类线都是线段．
考点5：利用网格求三角形面积
例5．如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点都在网格格点上，点坐标为．
(1)请写出点，点的坐标．
(2)将先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到．请画出平移后的三角形，并写出点的坐标．
(3)求的面积．
【答案】(1)，
(2)见解析，
(3)
【分析】（1）根据平面直角坐标系即可写出点，点的坐标；
（2）根据平移性质即可将先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到，进而写出点的坐标；
（3）根据网格即可写出的面积．
【详解】（1）解：由图可知，，；
（2）根据平移性质即可将先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到，如下图：
由图可知，点的坐标为．
（3）如图可知：
．
【点睛】本题考查了作图——平移变换，写出直角坐标系中点的坐标，解决本题的性质是掌握平移性质．
【变式训练5-1】．如图，将三角形先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到三角形．
(1)画出三角形，写出点的坐标；
(2)直接写出三角形的面积．
【答案】(1)见解析，
(2)
【分析】（1）先根据平移方式找到A、B、C对应点的位置，然后顺次连接即可；
（2）利用割补法求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
∴
（2）解：．
【点睛】本题主要考查了平移作图，坐标与图形变化—平移，三角形面积，灵活运用所学知识是解题的关键．
【变式训练5-2】．如图，平面直角坐标系中，的顶点都在网格点上，其中点坐标为．
(1)求点、点的坐标．
(2)将先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到，画出，并写出点的坐标．
(3)求的面积．
【答案】(1)，；
(2)画图见解析；；
(3)3
【分析】（1）根据，在坐标系内的位置可得其坐标；
（2）先确定，，平移后的对应点，，，再顺次连接即可，再根据的位置可得其坐标；
（3）直接利用三角形的面积公式进行计算即可.
【详解】（1）解：由题意可得：，；
（2）如图，即为所求作的三角形；
∴.
（3）.
【点睛】本题考查的是平移的作图，坐标与图形，网格三角形的面积的计算，熟练的利用平移的性质进行作图是解本题的关键.
【变式训练5-3】．与在平面直角坐标系中的位置如图．
(1)分别写出下列各点的坐标：_______；_______；______；
(2)说明由经过怎样的平移得到_______．
(3)若点是内部一点，则平移后内的对应点的坐标为_______；
(4)求的面积．
【答案】(1)，，；
(2)向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度；
(3)；
(4)．
【分析】（1）根据在平面直角坐标系中的位置直接写出坐标即可；
（2）根据点A及点的坐标可判断平移方式；
（3）根据平移方式可得对应点的坐标；
（4）用割补法求解即可．
【详解】（1）解：由图可得：，，，
故答案为：，，；
（2）解：由图可得：，，
∴将向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度得到，
故答案为：向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度；
（3）解：∵将向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度得到，
∴点的对应点的坐标为，
故答案为：；
（4）解：．
【点睛】本题考查了坐标与图形，平移的性质，割补法求面积，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
考点6：利用高求值
例6．如图，在中，是中线，是的高，且，．
(1)___________（填数字）；
(2)求及的长；
(3)若，求和的周长差．
【答案】(1)2
(2)，
(3)1
【分析】（1）根据三角形的中线的性质即可求解；
（2）根据三角形的中线的性质可得，根据三角形的面积公式即可求得；
（3）根据三角形的周长公式，结合（1）（2）中结论即可求得．
【详解】（1）∵是中线，
∴，
即，
故答案为：2．
（2）∵是中线，
∴，
又∵，且，
故．
（3）∵的周长为，
的周长为，
且，
故和的周长差为
即和的周长差为1．
【点睛】本题考查三角形中线的性质，三角形的面积公式，三角形的周长公式等，熟练掌握三角形中线的性质是解题的关键．
【变式训练6-1】．如图，，分别是的高，，，，求的长．
【答案】．
【分析】根据三角形的面积公式即可求得．
【详解】解：，分别是的高，
∴，
∴，
，，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了三角形的面积公式的应用；三角形的面积底高．
【变式训练6-2】．三角形如图，的边上的高为，中线为边上的高为，已知，，．
(1)求的面积；
(2)求的长；
(3)和的面积有何关系？
【答案】(1)30
(2)
(3)和的面积相等
【分析】（1）利用面积公式进行计算即可；
（2）利用面积公式进行求解即可；
（3）利用中线平分面积，作答即可．
【详解】（1）解：的面积；
（2）∵的面积，，
∴；
（3）∵为的中线，
∴，
∵的边上的高为，
∴．
即：和的面积相等．
【点睛】本题考查与三角形的高和中线有关的计算．熟练掌握高线和中线的定义，以及中线平分三角形面积，是解题的关键．
【变式训练6-3】．如图，，垂足为B，，垂足为C，且与交于点E，那么，
(1)的边上的高为 ，边上的高为 ．
(2)若E是的中点，，，，求的长．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）根据三角形高的定义进行判断即可；
（2）根据等积法求出的长即可．
【详解】（1）解：的边上的高为，边上的高为，
故答案为：；．
（2）解：∵边上的高为，边上的高为，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形高度的有关计算，解题的关键是熟练掌握三角形高的定义．
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