第四章测评
（时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 在数列中,,,则( )
A. 2 022 B. C. 2 021 D.
2. [2023江西景德镇期末]在正项等比数列中,,则( )
A. B. C. D.
3. 在等比数列中,,且,,成等差数列,则的最小值为( )
A. B. C. 1 D.
4. [2023四川成都质检]已知为数列的前项和,若,,则( )
A. B. C. D.
5. 已知数列满足,则( )
A. 64 B. 128 C. 256 D. 512
6. 数列,,,,,…的前项和为( )
A. B. C. D.
7. [2023江苏常州月考]已知数列满足,在,之间插入个1,构成数列,1,,1,1,,1,1,1,,,则数列的前100项的和为( )
A. 178 B. 191 C. 206 D. 216
8. 已知等比数列的前项和为,若,,则数列的通项公式是( )
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9. 等差数列的前项和为,若,公差,且,则下列说法正确的有( )
A. 是数列 中的最大项 B. 是数列 中的最大项
C. D. 满足 的 的最大值为13
10. [2023江苏如皋期末]已知数列的前项和,数列是首项和公比均为2的等比数列,将数列和中的项按照从小到大的顺序排列构成新的数列,则下列结论正确的是( )
A. B. 数列 中 与 之间共有 项
C. D.
11. [2023湖北孝感期末]下列说法正确的是( )
A. 已知数列 是等差数列,那么数列 一定是等差数列
B. 已知等差数列 的前 项和为 ,若 , ,则 的值为24
C. 已知等差数列 与 的前 项和分别为 与 ,若 ,则
D. 设 为等差数列 的前 项和, .若 ,则 的最小值是
12. 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数,他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类,如图中第一行图形中黑色小点个数：1,3,6,10,称为三角形数,第二行图形中黑色小点个数：1,4,9,16,称为正方形数,记三角形数构成数列,正方形数构成数列,则下列说法正确的是( )
A.
B. 1 225既是三角形数,又是正方形数
C.
D. 对任意 , ,总存在 , ,使得 成立
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 写出一个通项公式,使你写出的数列具有性质①②：
;为递减数列.
14. 已知为单调递减的等差数列的前项和,若数列的前项和,则下列结论正确的有.（填序号）
①
②
③
④当或时，取得最大值
15. 若数列满足,,,则.
16. [2023广西桂林期末]已知公差不为0的等差数列,是其前项和.若,,且,则公差.
四、解答题：本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. （10分）已知等差数列的前项和为,数列是等比数列,,,,.
（1） 求数列和的通项公式;
（2） 若,设数列的前项和为,求.
18. （12分）已知数列满足,.
（1） 证明：数列为等比数列;
（2） 当为偶数时,求数列的前项和.
19. （12分）已知公差不为0的等差数列中,且,,成等比数列.
（1） 求数列的通项公式;
（2） 求数列的前项和.
20. （12分）观察下面三个等式：
第1个：,第2个：,第3个：.
（1） 按照以上各式的规律,写出第4个等式;
（2） 按照以上各式的规律,猜想第个等式（为正整数）;
（3） 用数学归纳法证明你的猜想成立.
21. [2023四川雅安期末]（12分）在,这两个条件中选择一个,补充在下面问题中,并给出解答.
已知数列的前项和为,满足,;又知正项等差数列满足,且,,成等比数列.
（1） 求和的通项公式;
（2） 证明：.
22. （12分）正项数列的前项和满足:.
（1） 求数列的通项公式;
（2） 令,数列的前项和为,证明:对于任意的,都有.
第四章测评
一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. B
[解析],,
数列是首项为1,公差为1的等差数列,
,,
.故选.
2. A
[解析]是等比数列,,
,,
.故选.
3. C
[解析]设等比数列的公比为,
因为,,成等差数列,且,
所以,
即,
解得,
所以,
所以,所以,当且仅当时取等号，
所以当或时,取得最小值1.
故选.
4. D
[解析],,
,解得,
数列是首项为2，公比为2的等比数列,
.故选.
5. A
[解析]根据题意,数列满足,①
当时，,②
,得,
则有,
当时,有.故选.
6. B
[解析],
所求和为.
7. A
[解析]由题意，在数列中，从开始数到，共有个数.
当时,,
当时,,
因为,所以.
故选.
8. C
[解析]由得,所以.
因为,
所以当时,有,得,从而公比,
所以.
二、选择题：本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9. ACD
[解析] 等差数列的前项和为,,公差,且,
,
整理得,.
,,
,,
又是等差数列，
是数列中的最大项,故正确.
,,
是数列中的最大项,故错误.
,故正确.
,
, 由二次函数的知识知当时，单调递减，又,
满足的的最大值为13,故正确.
故选.
10. AB
[解析] 数列的前项和,
.
当时,,当时,符合上式,
.
数列是首项和公比均为2的等比数列,
.
数列为1,2,3,4,5,7,8,9,11,13,15,16,17,19,21,23,,
,故正确.
数列是由连续奇数组成的数列,,都是偶数,
,之间包含的奇数个数为,故正确.
,为偶数,但为奇数,,故错误.
,前面相邻的一个奇数为,令,解得, 数列从1到共有项,即,故错误.故选.
11. ABD
[解析]若数列是等差数列,则根据等差数列的性质，可知数列一定是等差数列,正确.
在等差数列中,设公差为，则,,
解得,,
,正确.
在等差数列与中,若,则,错误.
由,
得,
整理得,
所以等差数列是递增数列.
又,所以,,所以数列的前7项为负值,即的最小值是.正确.
故选.
12. ABD
[解析]根据题意,对于数列,
易发现,,,,
则,当时，符合上式，故.
对于数列,易得.
对于,,正确.
对于,由,解得.
由,解得.
故1 225既是三角形数,又是正方形数,正确.
对于,由,得,则,错误.
对于,当,时，,令，,则有.故对任意,,总存在,,使得成立,正确.
故选.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. （答案不唯一）
[解析]根据题意,数列满足,则数列的通项公式可以为的形式（为常数）,又为递减数列,
则其一个通项公式为.
14. ②④
[解析]设单调递减的等差数列的公差为,,则,
所以,
所以解得或（不符合题意，舍去）.
则,故①错误.
,故②正确.
因为,,所以③错误.
由,可得当或时,取得最大值,故④正确.
15. 170
[解析],,
当时,有,
.
16.
[解析]在等差数列中,由,,
两式相加,可得,
两式相减,可得,
,.由,
得.又,
,可得,
则,得,
,
则,得.
四、解答题：本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. （1） 解 设等差数列的公差为,等比数列的公比为,
由,,,,可得,,
解得,
则,.
（2） ,,
所以.
18. （1） 证明,
,又,
数列为等比数列,首项与公比都为4.
（2） 解 由（1）可得,,
当为偶数时,数列的前项和.
19. （1） 解 设等差数列的公差为,
因为,,成等比数列,所以.
即.
又,即.
两式联立,消去,
整理得.
因为,所以,.
故数列的通项公式为.
（2） 由（1）,可知,
，①
，②
,得,所以.
20. （1） 解 根据题意,归纳可得第4个等式为.
（2） 根据题意,第1个等式为,
第2个等式为,
第3个等式为,
第4个等式为,
以此类推,第个等式为.
（3） 用数学归纳法证明如下：
当时,由第1个等式为,易得时成立;
假设当时,等式成立,即,则当时,左式右式,
即当时,等式成立,
故对于任意的正整数,都有成立.
21. （1） 解 选择①时,数列的前项和为,根据题意可得,
当时,有,两式相减,得,又,.
又当时,有,
即,又,
,,
数列是首项、公比均为的等比数列,
故.
设正项等差数列的公差为,,且,,成等比数列,,
即,
解得或（舍去）,
.
故,.
选择②时，数列的前项和为,根据题意可得,
当时,,两式相减,得,.
又,.
又当时,有，即,
又,,,
数列是首项、公比均为的等比数列,
.
设正项等差数列的公差为,
,且,,成等比数列,
,
即,
解得或（舍去）,
.
故,.
（2） 证明 由（1）可得,,
,
.
22. （1） 解 由,
得.
因为数列是正项数列,
所以,.
于是,当时,
.
综上可知,数列的通项公式为.
（2） 证明 由于,,
则.
.午练1 数列的概念
1. 下列各项表示数列的是( )
2. 若数列的通项公式为，其中，则( )
A. 8 B. 15 C. 24 D. 35
3. 已知数列,,,则该数列的第3项等于( )
A. 1 B. C. D.
4. 数列2，4，6，8，10，的递推公式是( )
A. B.
C. ， D. ，
5. ［北师大版教材习题］若数列的前4项依次是20,11,2,,则数列的一个通项公式是( )
A. B.
C. D.
6. 已知数列中,,,且,则的值为( )
A. 2 B. 1 C. D.
7. 已知数列,，,,,则是该数列的第项.
8. 已知数列的首项,,则,猜想其通项公式是.
9. 在数列中,已知.
（1） 写出,.
（2） 是不是该数列中的项？如果是,是第几项？
10. ［人教B版教材习题］已知数列的前项和为,求的通项公式.
11. 已知数列满足，，求数列的通项公式.
午练1 数列的概念
1. B
[解析]数列是指按照一定次序排列的一列数,而不能是图形、文字、向量等,只有项符合.
2. C
[解析]由通项公式可得.
3. C
[解析],.
4. C
[解析]，中没有说明第一项，无法递推；中，，，不合题意.
5. B
[解析]因为,,,,所以,即.故选.
6. C
[解析],由,,得,由,,得,由,,得,由,,得,由,,得,由,,得,由此推理可得数列是一个周期为6的周期数列,所以.
7. 19
[解析]观察可得数列的一个通项公式是,而,所以是该数列的第19项.
8. ;
[解析] 数列的首项,,,同理可得,.猜想其通项公式是.
9. （1） 解;
.
（2） 令,解得（舍去）,所以是该数列中的项,并且是第15项.
10. 解由，得.则.当时，,满足,所以的通项公式是.
11. 解由题意显然,,
,
,,,,以上各式相乘得,
又,.午练2 等差数列的概念
1. （多选题）下列数列中,是等差数列的是( )
A. 1,4,7,10 B. , , , C. , , , D. 10,8,6,4,2
2. 在等差数列中，若，，则( )
A. 6 B. 8 C. 16 D. 32
3. ［北师大版教材习题］已知数列1,,,,3,,,，，则是这个数列的( )
A. 第10项 B. 第11项 C. 第12项 D. 第21项
4. 已知在等差数列中,,,则的值为( )
A. 20 B. 18 C. 15 D. 17
5. ［北师大版教材习题］设数列,是项数相同的等差数列，若,，,则数列的第37项为( )
A. 1 B. 0 C. 100 D. 3 700
6. 在等差数列中，，是方程的两根，则( )
A. 2 B. 3 C. D.
7. 由公差的等差数列中的项组成一个新的数列，，，，下列说法正确的是( )
A. 新数列不是等差数列 B. 新数列是公差为 的等差数列
C. 新数列是公差为 的等差数列 D. 新数列是公差为 的等差数列
8. 在等差数列中,,公差为整数,若,,则公差的值为;的通项公式为.
9. 已知在数列中,,,且,则.
10. 已知直角三角形的三条边的长度成等差数列,则它们长度（由小到大）的比等于.
11. 设数列满足当时,,且.求证:数列为等差数列.
12. ［北师大版教材习题］在通常情况下，从海平面到高空，海拔每增加，气温就下降一固定数值.如果海拔高空的气温是,海拔高空的气温是,那么海拔，和高空的气温各是多少？
午练2 等差数列的概念
1. ABD
[解析]选项,,满足等差数列的定义,是等差数列;选项中,因为,不满足等差数列的定义,所以不是等差数列.
2. B
[解析]因为等差数列中，，，所以公差，则.
3. B
[解析]由，得.故选.
4. B
[解析]在等差数列中,因为,所以,解得.
5. C
[解析]由题意知是等差数列，首项，公差,所以.故选.
6. D
[解析]因为，是方程的两根，所以.又是等差数列，所以，所以.
7. C
[解析]， 数列，，，是公差为的等差数列.
8. ;
[解析]因为是等差数列,,,,所以解得.
又公差为整数,所以.
因为等差数列的首项为23,公差为,
所以.
9.
[解析], 数列是等差数列,公差...
10.
[解析]设这个直角三角形的三边长分别为,,,根据勾股定理,得，解得,于是这个直角三角形的三边长分别是,,,即这个直角三角形的三边长度（由小到大）的比是.
11. 证明根据题意及递推关系知.因为取倒数得,即,所以数列是首项为5,公差为4的等差数列.
12. 解由题意可设，从海平面到高空，海拔每增加,依次得到的气温构成等差数列,则,.由可求得,故,,,即海拔,和高空的气温分别是,,.午练3 等差数列的前项和公式
1. 设为等差数列的前项和，公差，若，则( )
A. 18 B. 20 C. 22 D. 24
2. 若等差数列的前项和为,且,,则其公差( )
A. 1 B. C. 2 D. 3
3. 已知是等差数列的前项和，且,，则( )
A. 130 B. 180 C. 210 D. 260
4. 已知数列满足,则使其前项和取最大值的的值为( )
A. 11或12 B. 12 C. 13 D. 12或13
5. ［北师大版教材习题］一凸边形,且,各内角的度数成等差数列，公差是 ，最小内角是 ,则边数.
6. 某电影院中，从第2排开始，每一排的座位数比前一排多2，第1排有18个座位，最后一排有36个座位，则该电影院共有个座位.
7. 已知等差数列和的前项和分别是,,且,则.
8. 已知数列为等差数列，它的前项和为，若 ，则实数 的值是.
9. 已知是等差数列的前项和,若,,则.
10. 已知等差数列的前项和为,且,.
（1） 求;
（2） 若,求.
11. 已知数列的前项和为,求数列的通项公式,并判断数列是不是等差数列.
12. 已知为等差数列的前项和，，.
（1） 求数列的通项公式；
（2） 求的最小值.
午练3 等差数列的前 项和公式
1. B
[解析]依题意，得，解得.
2. C
[解析]由解得
3. B
[解析]因为,，仍然构成等差数列，所以20,60,成等差数列，所以，解得
4. D
[解析],, 数列为等差数列.又,公差,.
, 当或时,取最大值.
5. 8
[解析]由题知各内角的度数成等差数列，记为,则 ,公差 .内角和为 ,所以或.
因为 ,
所以,所以.
6. 270
[解析]从第1排开始每排座位数形成等差数列，其中，.公差，则，解得.
该电影院共有（个）座位.
7.
[解析]由等差数列前项和的性质得.
8.
[解析] ，为等差数列,，即.
9. 2 020
[解析]是等差数列的前项和,
是等差数列,设其公差为.
,,.
,.
.
.
10. （1） 解由题意知
解得,,
所以.
（2） ,
因为,所以,
解得或（舍去）.故.
11. 解当时,;当时,.又不满足,
数列的通项公式是
,不是等差数列.
12. （1） 解设的公差为，
则解得
.
（2） 当时，取得最小值.午练4 等比数列的概念
1. 下列数列为等比数列的是( )
A. 0,1,2,4, B. , , , ,
C. , , , , D. , , , ,…
2. ［北师大版教材习题］等比数列，,，的第4项为( )
A. B. C. D. 27
3. 若等比数列的首项为，末项为，公比为，则这个数列的项数为( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
4. 若数列为等比数列,且,,则( )
A. 32 B. 64 C. 128 D. 256
5. 已知各项均为正数的等比数列，，，则公比为( )
A. B. 2 C. D. 4
6. 在等比数列中，，，则( )
A. 12 B. C. D. 15
7. 在等比数列中，若，，则公比为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 8
8. 对任意等比数列,下列说法一定正确的是( )
A. , , 成等比数列 B. , , 成等比数列
C. , , 成等比数列 D. , , 成等比数列
9. 已知数列是递增数列,且满足,则的取值范围是.
10. 试写出一个无穷等比数列,同时满足：（1）;（2）数列单调递减;（3）数列不具有单调性,则当时,.
11. 若等比数列的各项均为正数，且前3项依次为1,,.
（1） 求该数列的通项公式；
（2） 判断728是不是该数列中的项.
12. 已知数列为等比数列.
（1） 若，，求；
（2） 若，,求公比.
午练4 等比数列的概念
1. D
[解析]选项中，因为等比数列的各项都不为0，所以该数列不是等比数列；选项中，因为，所以该数列不是等比数列；选项中，当时，数列为0,0,0,，不是等比数列；选项中的数列是首项为，公比为的等比数列，故选.
2. A
[解析]由,得或（舍去）.所以第1项为，第2项为.所以公比为.所以第4项为.
3. B
[解析]设项数为,由已知得，得，所以.
4. C
[解析]设公比为.因为数列为等比数列,且,,所以,则.
5. B
[解析]由已知得，而，所以，所以公比.
6. C
[解析]由等比数列，可知，解得.
7. A
[解析]由，得，所以.
8. D
[解析]根据等比数列的性质,若,则,,成等比数列.故,,成等比数列.
9.
[解析]由,得.
又是递增数列,所以也是递增数列,所以,解得,所以的取值范围是.
10. （答案不唯一）
[解析]由题意可设,因为数列不具有单调性,数列单调递减,所以,,所以,不妨取,则.
11. （1） 解依题意，得,解得舍去.于是公比，故通项公式为.
（2） 令,
解得,
所以728不是该数列中的项.
12. （1） 解由已知得，
,.
又,,是方程的两根3和12.当时，,;
当时，,.
（2） ,
,.午练6 数列的综合应用及数学归纳法
1. 已知数列满足,,则数列的通项公式等于( )
A. B. C. D.
2. 数列的前项和，则( )
A. B. 13 C. 14 D.
3. 若数列的通项公式是其前项和为，则( )
A. 120 B. 180 C. 240 D. 360
4. [2023江苏苏州月考]已知等差数列各项均为正数,首项与公差相等,,则的值为( )
A. 9 069 B. 9 079 C. 9 089 D. 9 099
5. 用数学归纳法证明“能被3整除”的过程中,时,为了使用假设,应将变形为( )
A. B.
C. D.
6. 数列中,,,则的通项公式为.
7. 设函数,则.
8. 计算.
9. [2023浙江宁波月考]已知数列的前项和满足,.求证：数列为等比数列,并求数列的通项公式.
10. 已知等比数列的前项和为,,.
（1） 求数列的通项公式；
（2） 已知数列中,满足,求数列的前项和.
11. 设正项数列的首项为4,满足.
（1） 求,,并根据前3项的规律猜想该数列的通项公式;
（2） 用数学归纳法证明你的猜想.
午练6 数列的综合应用及数学归纳法
1. A
[解析]设,①
将代入①式,得,等式两边消去,得,两边除以,得,则,
代入①式得,②
由及②式得,则,则数列是以为首项,以2为公比的等比数列,所以,所以.
2. C
[解析]
3. C
[解析]由题意得.
4. D
[解析]设等差数列的公差为,因为首项与公差相等,所以.因为,,
所以,所以,所以.
故选.
5. A
[解析]假设当时,命题成立,即能被3整除,则当时,.
6.
[解析]因为,,所以,,,,,,以上各式累加得,,故,当时,也符合上式,所以.
7.
[解析]若,,且,则,故.
8.
[解析]令,①
则,②
由,得,所以.
9. 证明 当时,,即,当时,,,所以,整理得,所以,又,故,所以为首项是2,公比是2的等比数列,所以,即.
10. （1） 解设等比数列的公比为,由可知,由,,解得,,
所以数列的通项公式为.
（2） ,.
11. （1） 解
,
.
正项数列的首项为4,
,,
,,猜想.
（2） 证明
①当时,猜想显然成立;
②假设当,
时猜想成立,即,
当时,,所以当时，猜想成立.
由①②可得,对于任意,猜想成立.故.第四章综合训练
一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知数列是等比数列，是1和3的等差中项，则( )
A. 16 B. 8 C. 4 D. 2
2. 在等差数列中，已知前21项和，则的值为( )
A. 7 B. 9 C. 21 D. 42
3. 在等差数列中，，，当其前项和取得最大值时，( )
A. 8 B. 9 C. 16 D. 17
4. 已知数列是以2为首项，1为公差的等差数列，是以1为首项，2为公比的等比数列，则( )
A. 1 033 B. 1 034 C. 2 057 D. 2 058
5. 用数学归纳法证明能被31整除时,从到添加的项数为( )
A. 7 B. 6 C. 5 D. 4
6. 中国的古建筑不仅是挡风遮雨的住处，更是美学和哲学的体现.如图1是某古建筑物中的举架结构，,,,是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举.图2是某古代建筑屋顶截面的示意图.其中,,,是脊，,,,是相等的步，相邻桁的举步的比分别为,,,,若,,是公差为0.1的等差数列，直线的斜率为，则( )
图1
图2
A. 0.75 B. 0.8 C. 0.85 D. 0.9
7. 已知等比数列的前项和为，公比，，.若数列的前项和为，，则( )
A. B. C. D.
8. [2023新高考Ⅰ]记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则( )
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件
B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 等差数列的前项和为，公差.若，则以下结论一定正确的是( )
A. B. 的最小值为 C. D. 存在最大值
10. 已知数列，1，2，3，5，，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，记为数列的前项和，则下列结论正确的是( )
A.
B.
C.
D.
11. 已知等比数列的各项均为正数，公比为，且,，记的前项积为，则下列选项正确的是( )
A. B. C. D.
12. [2023江苏盐城月考]设等差数列的前项和为,若,且,则下列说法正确的是( )
A. 数列 为递增数列 B. 和 均为 的最小值
C. 存在正整数 ,使得 D. 存在正整数 ,使得
三、填空题:本题共4小题.
13. 设等比数列的前项和为，若，，则.
14. 若等差数列的前项和为,且,,数列满足，且,则数列的通项公式为.
15. 设数列的前项和为,若,,,则,.
16. 已知为正偶数，用数学归纳法证明“”时，第一步的验证为；若已假设且为偶数时等式成立，则还需要用归纳假设证时等式成立.
四、解答题：本题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 从条件，，，中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答.
已知数列的前项和为，，.
（1） 求数列的通项公式；
（2） 若，，成等比数列，求正整数的值.
18. 设是等差数列，,且,,成等比数列.
（1） 求的通项公式；
（2） 记的前项和为,求的最小值.
19. 已知数列和满足,,,
（1） 证明：是等比数列，是等差数列；
（2） 求和的通项公式.
20. 已知等比数列满足.
（1） 求的通项公式;
（2） 记数列的前项和为,证明：当时,.
21. 已知等比数列满足,.
（1） 求数列的通项公式;
（2） 设,求数列的前项和.
22. 已知数列的前项和为,且.
（1） 求数列的通项公式;
（2） 设,求使对任意恒成立的实数的取值范围.
第四章综合训练
一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. C
[解析]因为是1和3的等差中项，
所以，即.
由等比数列的性质可得.
2. C
[解析] 等差数列的前21项和，.
由等差数列的性质可得，
则.故选.
3. A
[解析]依题意，，即，，即，所以，，所以等差数列为递减数列，且前8项为正数，从第9项以后为负数，所以当其前项和取得最大值时，．故选.
4. A
[解析]由已知可得,,于是，因此.
5. C
[解析]设,假设当时,能被31整除,当时,,则,则从到共添加了5项.故选.
6. D
[解析]不妨设,则,，，.由题意得,
即.
,,
.
解得.故选.
7. C
[解析],，
，
或.
，，
.
.
，
，
，即..
.故选.
8. C
[解析]甲：为等差数列，设其首项为，公差为，则,,，因此为等差数列，则甲是乙的充分条件；反之，乙：为等差数列，即为常数，设为，即，则，有,，两式相减,得，即，对也成立，因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件，正确.故选.
二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. AC
[解析] 等差数列的前项和为，公差,，，解得.
，故正确；
,,,均小于零，,,，均大于零，,,为的最小值，无最大值，故错误，错误；，，，故正确.故选.
10. BCD
[解析]由于，，，故不正确，正确；
由，，，，，可得，故正确；
由于该数列总有，，则，，，，，故，故正确.故选.
11. ABC
[解析]由于等比数列的各项均为正数，公比为，且,，所以，所以且或且.当且时，,又,所以是递增数列，所以,矛盾；当且时，,即.因为，所以，，.故选.
12. ACD
[解析]设等差数列的公差为,因为时,,即,故,因为,所以,又,所以,即.因为恒成立,所以,故等差数列为递增数列,正确;因为,所以,即,故,由选项知,故,,所以,故为的最小值,错误;.因为,故当时,,所以存在正整数,使得,正确;,,令,因为,解得,所以存在正整数,使得,正确.故选.
三、填空题:本题共4小题.
13. 0
[解析]设的公比为，则，，所以，.
14.
[解析]设的公差为,
则解得
于是.因此.于是,,故数列的通项公式为.
15. 1; 121
[解析]由题意,可得,,
所以,.
再由,,得,即.
又因为,所以数列是以1为首项,3为公比的等比数列.所以.
16. 当时，左边，右边，等号成立;
[解析]因为为正偶数，则归纳基础为当时，左边，右边,等式成立；归纳假设为当且为偶数时，成立，由于是正偶数，则下一个数应为.
四、解答题：本题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. （1） 解若选①.，则，两式作差得，即，，所以是等差数列，首项是，公差是0，故，所以.
若选②.，，故.
因为，所以，即，，故{}是等差数列，首项是，公差是1，故，故.
当时，，且也适合该式，故数列的通项公式.
若选③.，，
则，
两式作差得，
化简得.
由知，，得，
即，数列是等差数列，首项是1，公差为1，故.
（2） 若选①.由的通项公式知，故.
又，，
结合题意知，
即，
解得或，
因为是正整数，所以.若选②.，，，结合题意知，即，解得或，
因为是正整数，所以.
若选③.由的通项公式知，，
故.
又，，
结合题意知，，
即，解得或，
因为是正整数，所以.
18. （1） 解设的公差为.
因为,所以,,.
因为,,成等比数列，
所以.
所以.解得.
所以.
（2） 由（1）知,.所以,当时，;当时,.所以,的最小值为.
19. （1） 证明由题设得,即.又因为,所以是首项为1，公比为的等比数列.由题设得,即.又因为,所以是首项为1，公差为2的等差数列.
（2） 解由（1）知，,.所以,.
20. （1） 解设等比数列的公比为.
因为,所以.
又在等比数列中和均不为0,
所以,
故数列的通项公式为.
（2） 证明由（1）可得,因为时,,
所以,所以时,.
21. （1） 解因为为等比数列,且,,设公比为,所以,所以,,所以.
（2） 因为,所以.
22. （1） 解因为,
所以.
所以当时,.
又,满足上式,
所以数列的通项公式.
（2） .
由对任意恒成立,即使对恒成立,设,则当或时,取得最小值为,所以.
