5.2.1 基本初等函数的导数 5.2.2 导数的四则运算法则
A级 必备知识基础练
1. ［探究点一］（多选题）下列结论中,正确的是( )
A. 若 ,则 B. 若 ,则
C. 若 ,则 D. 若 ,则
2. ［探究点三（角度）］若,则的解集为( )
A. B.
C. D.
3. [探究点四·2023宁夏银川兴庆月考]若函数的图象在点处的切线的斜率为1,则的最小值为( )
A. B. C. D.
4. ［探究点三（角度）］已知函数的图象经过点,且,请写出一个符合条件的函数解析式:.
5. ［探究点三（角度）］已知函数,则的值为.
6. ［探究点二］求下列函数的导数：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） .
B级 关键能力提升练
7. 已知曲线在点处切线的倾斜角为,则实数等于( )
A. 1 B. C. 7 D.
8. 已知曲线在点处的切线与直线垂直,则实数等于( )
A. B. 1 C. D.
9. （多选题）已知函数的导函数为，则( )
A. 为偶函数 B. 为奇函数
C. D.
10. （多选题）已知函数及其导数，若存在使得，则称是的一个“巧值点”.给出下列四个函数,存在“巧值点”的是( )
A. B. C. D.
11. 已知函数的图象在点处的切线与轴交点的横坐标为,其中,若,则的值是.
12. 已知函数,则过点可以作出条图象的切线.
13. 已知直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则,.
C级 学科素养创新练
14. 法国数学家拉格朗日在其著作《解析函数论》中提出一个定理：如果函数满足如下两个条件：（1）其图象在闭区间上是连续不断的；（2）在区间上都有导数.则在区间上至少存在一个数 ，使得，其中 称为拉格朗日中值.函数在区间上的拉格朗日中值.
5.2.1 基本初等函数的导数 5.2.2 导数的四则运算法则
A级 必备知识基础练
1. ACD
[解析]由知,,则,选项正确.,则,选项错误.,则,选项正确.由知,则,选项正确.故选.
2. B
[解析],
，等价于,
即,
解得.
3. A
[解析]因为,所以,又,当且仅当时，等号成立.故选.
4. （答案不唯一）
[解析]可设,则,又函数的图象经过点,则,所以.所以.
5. 1
[解析],
,得.
,
.
6. （1） 解
（2） ,
.
（3） （方法1）.
（方法2）
.
（4） ,
.
B级 关键能力提升练
7. C
[解析],,
又,
.
8. C
[解析]因为,,所以,所以.又因为曲线在点处的切线与直线垂直,所以,所以.
9. AC
[解析]因为函数的导函数为,所以是偶函数，故正确，错误；，故正确；，故错误.故选.
10. AC
[解析]若，则，由，得或，这个方程显然有解，故符合要求；若，则，即，此方程无解，不符合要求；若，则，若，在同一平面直角坐标系内作出函数与的图象可知两函数的图象有一个交点，可知方程有解，符合要求；若，则，所以,即，变形可得到，此方程无解，不符合要求.故选.
11. 21
[解析],的图象在点处的切线方程为.又该切线与轴的交点为,,即数列是首项,公比的等比数列,
,,.
12. 2
[解析]设切点坐标为,由,得.所以,因此切线方程为,把的坐标代入切线方程中，化简得,解得或,所以过点可以作出两条图象的切线.
13. ;
[解析]由，得.因为直线是曲线的切线,所以令,解得,此时,即切点为,所以,解得，即.由,得,因为直线是曲线的切线，所以令,解得,此时,即切点为,,所以有,即,解得.
C级 学科素养创新练
14.
[解析]函数的导数为，则.由拉格朗日中值的定义可知函数在区间上的拉格朗日中值 满足，所以.
所以，
即，则.第五章测评
（时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 已知函数,则( )
A. B. 2 C. D. 4
2. [2023江西赣州期末]已知,,,,则( )
A. B.
C. D.
3. 如图为函数的导函数的图象,那么函数的图象可能为( )
A.
B.
C.
D.
4. 曲线在处的切线方程为( )
A. B. C. D.
5. 在气象学中,通常把某时段内降雨量的平均变化率称为该时段内的降雨强度.下表为一次降雨过程中记录的降雨量数据.
时间 0 10 20 30 40 50 60
降雨量 0 6 14 18 20 23 24
则下列四个时段降雨强度最小的是( )
A. 到 B. 到 C. 到 D. 到
6. 若函数在区间,上单调递减,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7. 已知函数（,,为常数）,当时,只有一个实数根,当时,有3个不同的实数根,现给出下列4个结论:
①函数有2个极值点;
②函数有3个极值点;
和有一个相同的实根;
和有一个相同的实根.
其中正确结论的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8. 定义在上的偶函数的导函数为,若对任意的实数,都有恒成立,则使成立的实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9. 下列导数运算不正确的是( )
A. （ 为常数） B.
C. （ 为自然对数的底数） D.
10. [2023江苏镇江京口期中]如图是函数的导函数的图象,则以下说法正确的为( )
A. 是函数 的极值点
B. 函数 在 处取得最小值
C. 函数 在 处切线的斜率小于零
D. 函数 在区间 上单调递增
11. [2023北京朝阳期末]已知函数,下列结论正确的是( )
A. 若 是函数 的极值点,则
B. 若 是函数 的极值点,则 在 上的最小值为
C. 若 在 上单调递减,则
D. 若 在 上恒成立,则
12. [2023江苏常熟月考]对于三次函数,给出定义：设是函数的导数,是的导数,若方程有实数解,则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”,任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是函数图象的对称中心.设函数,则以下说法正确的是( )
A.
B. 当 时, 有三个零点
C.
D. 当 有两个极值点 , 时,过 , 的直线必过点 ,
三、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.
13. 函数的单调递减区间为.
14. 已知是的极值点,则.
15. [2023陕西咸阳期末]已知是定义在上的函数,且函数的图象关于直线对称,当时,,则,曲线在处的切线方程是.
16. [2023辽宁大连月考]设函数在上存在导数,,有,在上,若,则实数的取值范围是.
四、解答题：本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. [2023湖北荆州月考]（10分）已知曲线.
（1） 求曲线在点处的切线方程;
（2） 求过点并与曲线相切的直线方程.
18. （12分）设函数,.
（1） 求的极值点;
（2） 若关于的方程有3个不相等的实数根,求实数的取值范围;
（3） 已知当时,恒成立,求实数的取值范围.
19. （12分）已知函数有两个极值点,,且.
（1） 求实数的取值范围;
（2） 求的取值范围.
20. [2023江西宜春期末]（12分）已知函数.
（1） 求函数在区间上的最小值;
（2） 不等式对于恒成立,求实数的取值范围.
21. （12分）某广场一雕塑造型结构如图所示,最上层是呈水平状态的圆环且圆心为,其半径为,通过金属杆,,,,支撑在地面处（垂直于水平面）,,,,是圆环上的等分点,圆环所在的水平面距地面,设金属杆,,,所在直线与圆环所在水平面所成的角都为 （圆环及金属杆均不计粗细）.
（1） 当 为 且时,求金属杆,,,的总长.
（2） 当 变化,一定时,为美观与安全起见,要求金属杆,,,,的总长最短,此时 的正弦值是多少？并由此说明越大,点的位置将会上移还是下移
22. （12分）已知函数.
（1） 若,讨论的单调性;
（2） 已知,若方程在,上有且只有两个不相等的实数根,求实数的取值范围.
第五章测评
一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. D
[解析]由已知得,
所以,解得.
故,.故选.
2. D
[解析],故是减函数,
又,,,故,
所以.故选.
3. A
[解析]由导函数的图象可知,当时,;当时,.所以在,上单调递增,在上单调递减.故选.
4. A
[解析]由,
得,
所以,,
所以曲线在处的切线方程为,
即.
故选.
5. D
[解析]到的降雨强度为;
到的降雨强度为;
到的降雨强度为;
到的降雨强度为.
因为,所以四个时段中到的降雨强度最小.
故选.
6. A
[解析]由函数,求导可得.
因为函数在区间,上单调递减,
所以在区间,上,
因为在区间,上小于零,且,
所以只需即可.
故选.
7. C
[解析]因为函数,所以.
由题意,当时,只有一个实数根,当时,有3个不同的实数根,故函数既有极大值,又有极小值,且极大值为4,极小值为0,故①正确,②错误;
与有一个相同的实根,即极大值点,故③正确;
与有一个相同的实根,即极小值点,故④正确.
故正确结论的个数是3.
故选.
8. B
[解析]当时,由可知.
设,,
则恒成立,
所以在上单调递减.
当时，由,
得,所以;
因为函数是偶函数,
所以也是偶函数,
所以当时,
解得.
综上可知,实数的取值范围为.
故选.
二、选择题：本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9. ABD
[解析]对于,,错误;
对于,,错误;
对于,,正确;
对于,,错误.
故选.
10. AD
[解析]根据导函数的图象,可知当时,,时,,当且仅当时,.
故在上函数单调递减;在上函数单调递增,
所以是函数的极小值点,所以正确;其中两侧函数的单调性不变,则在处的函数值不是函数的最小值,所以不正确;
由图象可知,所以函数在处的切线的斜率大于零,所以不正确;
由图象可知,当时,,当且仅当时,等号成立,所以函数在区间上单调递增,
所以正确.
故选.
11. ABC
[解析]由,得.
对于,因为是函数的极值点,所以,得,经检验是函数的极小值点,所以正确;
对于,由选项可知,则,由,得或,由,得,所以在 ,和上单调递增,在,上单调递减,所以当时,取得最小值,所以正确;
对于,因为在上单调递减,所以当时,即,则在上恒成立,令,则,所以在上单调递增,所以,即,所以,所以正确;
对于,由在上恒成立,得在上恒成立,即在上恒成立,令,,则,所以在上单调递增,所以,所以,所以错误.
故选.
12. AB
[解析]对于选项,,
,
令,得,
的拐点为,
,
的图象的对称中心为,,
即成立,故选项正确;
对于选项,当时,,
不是的零点,
令,
即有三个实数根,
令,,
当时,,单调递增,当时,单调递减,时,单调递减,且,
的大致图象如图所示,
由图可知,当时,与有三个交点,即有三个零点,故选项正确;
对于选项,由选项可知,
,,两式相加可得,故选项错误;
对于选项,由于有两个极值点,,
有两个不相等的实数根,,
由于直线过,,则直线一定过线段的中点,由选项知,且有,
,
线段的中点坐标为,,,则直线一定过点,,故选项错误.
故选.
三、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.
13. ,
[解析]函数的定义域为,,令,得或（舍去）,所以在,上,,单调递减,在,上,,单调递增.
14. 1
[解析]因为,
所以,
因为是函数的极值点,
则,即,解得.
当时,,
当时,,单调递减,
当时,,单调递增,
所以是函数的极值点,
故.
15. 0;
[解析] 函数的图象关于直线对称,
,
即,
,
故的图象关于直线对称,
.
当,
即时,,
当时,,
则,
,,
故曲线在处的切线方程为,
即.
16.
[解析]令,,,
函数为奇函数.
当时,,
故函数在上单调递减,
故函数在上也单调递减,
由,得,
在上是减函数,
,,
,
解得.
四、解答题：本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. （1） 解,
,当时,,
点处的切线方程为,即.
（2） 设切点坐标为,易知,
则切线斜率,
而,
则,
整理得,
即,
解得,,.
当时,,
所求直线方程为;
当时,,
所求直线方程为;
当时,,
所求直线方程为.
18. （1） 解,令,
得,.
当时,,
当时,,
因此,分别为的极大值点、极小值点.
（2） ,,由（1）的分析可知图象的大致形状及走向如图所示.
要使直线与的图象有3个不同的交点,则需.
则方程有3个不相等的实数根时,
所求实数的取值范围为.
（3） ,,
即,,
因为,所以在上恒成立,
令,由二次函数的性质得在上单调递增,
所以,
所以所求的取值范围为.
19. （1） 解根据题意,函数,
则,
函数有两个极值点等价于关于的方程有两个不相等的正实数根.
令,
因为图象的对称轴为直线,
所以
解得,
所以实数的取值范围为,.
（2） 由（1）知,是的两个不相等的正实数根,且,
所以,,故,
其中,.
令,,,
因为当,时,,
所以在,上单调递增,
所以,,即的取值范围是,.
20. （1） 解,
当时,,,
故当时,且不恒为0,
故在上单调递增,
故在处取得最小值.
（2） 由已知,有对于恒成立,
故,
令,则,故.
构造,则,
令,解得,
令,解得,
故在上单调递增,在上单调递减,
故在时取最大值,
故.
故实数的取值范围是,.
21. （1） 解当 且时（如图）,,,
所以.
（2） 因为金属杆,,,所在直线与圆环所在水平面所成的角都为 ,
所以 ,
, .
设金属杆总长为,则
,
.
当时,;
当时,.
所以当时,函数有极小值,极小值也是最小值.
此时,越大, 越小.
因为 是锐角,所以 也越小,因此点上移了.
22. （1） 解依题可得,定义域为,所以.
当时,由,得,由,得,
则的单调递减区间为,单调递增区间为.
当时,由,得,由,得或,
则的单调递减区间为,单调递增区间为和.
当时,且不恒为0,则的单调递增区间为.
当时,由,得,由,得或,
则的单调递减区间为,单调递增区间为和.
（2） .
方程在,上有且只有两个不相等的实数根,
即关于的方程在,上有且只有两个不相等的实数根.
令,,,
则.
令,,,
则,
因为在,上恒成立,且仅有,故在,上单调递增.
因为,
所以当,时,有,
即,单调递减;
当时,有,
即,单调递增.
因为,,,
所以的取值范围是,.培优课4 恒成立、能成立问题
A级 必备知识基础练
1. ［探究点一］已知函数,若恒成立,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
2. ［探究点一］已知对任意都成立,则实数的取值范围是.
3. ［探究点一］已知函数,其中,是自然对数的底数.
（1） 当时,求函数在区间上的零点个数；
（2） 若对任意的实数恒成立,求的取值范围.
4. ［探究点二］已知函数在处取得极值4.
（1） 求,的值;
（2） 若存在,使成立,求实数 的取值范围.
B级 关键能力提升练
5. 若存在,,使得不等式成立,则实数的最大值为( )
A. B. C. 4 D.
6. 已知函数在,上单调递减,则实数的最小值是( )
A. B. C. D.
7. 已知函数若且,使得成立,则实数的取值范围是( )
A. B. , C. D. ,
8. 已知是奇函数,当时,,当时,的最小值为1,则的值为.
9. 已知函数,,且,,,恒成立,则实数的取值范围是.
C级 学科素养创新练
10. 已知函数,其中为常数.
（1） 若函数在区间上单调递增,求实数的取值范围；
（2） 若在时恒成立,求实数的取值范围.
培优课4 恒成立、能成立问题
A级 必备知识基础练
1. A
[解析],令,解得,令,解得,故在上单调递减,在上单调递增,故.
若恒成立,则,解得,故选.
2.
[解析]设,，则,令,得或所以在区间,上,,单调递增,在区间,上,,单调递减,在区间上,,单调递增,因此在闭区间上,函数在处取得极大值,在时函数取得极小值,且,,,所以是最小值,所以实数.
3. （1） 解当时,,则,在上单调递增,又,,故,使得,函数在区间上有1个零点.
（2） 若对任意的实数恒成立,即恒成立,令,则,令,得；令,得,在上单调递增,在上单调递减,,
的取值范围为.
4. （1） 解，
则.
因为函数在处取得极值4，所以,，解得此时.
易知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，则是函数的极大值点，符合题意.故，.
（2） 若存在，使成立，则.
由（1）得，，
且在上单调递减，在上单调递增，所以，
所以，即，
解得，
所以实数 的取值范围是.
B级 关键能力提升练
5. A
[解析],
.设,,则,当时,,单调递减,当时,,单调递增. 存在,,成立,.
,,
.
,的最大值是.
6. D
[解析]由在,上单调递减,得,,
即,,
令,,
则,,
当,时,,
则,
所以,
即,
所以在,上单调递减,,
所以,的最小值为.
7. D
[解析]由题意可得,存在实数,
使得成立,
假设,则,
所以有,
则,
令,
则,
令,即,解得,
令,即,解得,
则在上单调递减,在上单调递增,
所以,
所以.
8. 1
[解析]由题意知,当时,的最大值为.
令,得,
,.
当时,；
当时,.
.
解得.
9. ,
[解析]设,可化为,可得函数在内单调递减,在上恒成立,即在内恒成立,令,,则在内恒成立, 函数在内单调递减,.则实数的取值范围是 ,.
C级 学科素养创新练
10. （1） 解由,得, 函数在区间上单调递增,
在区间上恒成立,
即在区间上恒成立.
当时,,
,
即实数的取值范围是.
（2） 在时恒成立,等价于在时恒成立,
令,则,
,
在上是减函数,
在区间上的最大值,,
即实数的取值范围是.培优课5 构造函数法解决导数问题
A级 必备知识基础练
1. ［探究点二］已知函数的定义域为,为的导函数,且,则下列式子正确的是( )
A. B. C. D.
2. ［探究点一］（多选题）已知为上的可导函数,且,则下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
3. ［探究点一］（多选题）已知定义在,上的函数的导函数为,且,,则下列判断中正确的是( )
A. B.
C. D.
4. ［探究点三］已知是定义在,上的函数,其导函数为,,且当,时,,则不等式的解集为.
5. ［探究点一］设函数是定义在上的函数的导函数,有,若,,,则,,的大小关系是.
6. [探究点三·2023安徽合肥期末]已知函数.
（1） 讨论函数的单调性;
（2） 函数,若在上恒成立,求实数的取值范围.
B级 关键能力提升练
7. 设,是定义域为的恒大于0的可导函数,且,则当时,下列式子一定正确的是( )
A. B.
C. D.
8. 已知函数的定义域为,其导函数为,且在上恒成立,则下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
9. 设函数的定义域为,是其导函数,若,,则不等式的解集是( )
A. B. C. D.
10. 已知函数是定义在上的奇函数,,当时,有,则不等式的解集是.
C级 学科素养创新练
11. [2023河南南阳期末]已知函数.
（1） 当时,求证：;
（2） 若函数有且只有一个零点,求实数的取值范围.
培优课5 构造函数法解决导数问题
A级 必备知识基础练
1. C
[解析]令,
则,
所以在上是增函数.
又,
所以当时,；
当时,.
所以当时,.
又,所以正确.
2. BD
[解析]由,得,令,
则,
在上是增函数,
,
则,
即,,故选.
3. CD
[解析]令,,,
则,
因为,
所以在,上恒成立,
因此函数在,上单调递减,
又,
所以,
即,
即,故错误;
又,所以,
所以在,上恒成立,
因为,,
所以,故错误;
又,
所以,
所以,
即,故正确;
又,
所以,
所以,
即,故正确.故选.
4.
[解析]因为当,时,,所以,,,令,则当,时,,在,上是增函数,因为,所以,不等式,即.因为在,上是增函数,所以原不等式的解集为.
5.
[解析]设函数,则,因为,所以,所以在上是增函数,,,,所以.
6. （1） 解函数,,,
①当时,,在上单调递减,
②当,,时,;当,,时,,
所以在,上单调递减,在,上单调递增.
（2） 由,得,,所以,令,,当时,,时,,所以在上单调递增,在上单调递减,所以,故,
即的取值范围是,.
B级 关键能力提升练
7. B
[解析]设,则,由,得,所以在上是减函数,因为,所以,又,是定义域为的恒大于0的可导函数,故.
8. A
[解析]令,则,
因为在上恒成立,
所以在上恒成立,
故在上是减函数,
所以,
即,即.
9. A
[解析]令,
则,
因为,
所以,
所以,
所以函数在上是增函数,
又可化为,且,
所以,解得,
所以不等式的解集是.
10.
[解析]令,
则.
当时,,
即,
在上单调递增.
又,,
在上,的解集为,的解集为.
为奇函数,为偶函数, 在上,的解集为,的解集为.
由,得.
又的解集为,
不等式的解集为.
C级 学科素养创新练
11. （1） 证明
当时,,
,
当时,,单调递增,当时,,单调递减,所以,即.
（2） 解
当时,,只有1个零点;
当时,由,得,.
令,
则,
令,
则在上单调递减,
又，
所以在上大于0,单调递增,在上小于0,单调递减.
而,,且当时,,
则要使函数有且只有一个零点,
则需或,
即或.
综上所述,若函数有且只有一个零点,则实数的取值范围是.午练7 导数的概念及其意义
1. 若一质点的运动位移与时间的关系可用表示,则该质点在时间段中的平均速度是( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
2. 一质点做直线运动,若它所经过的路程（单位:）与时间（单位:）的关系为,则该质点在时的瞬时速度为( )
A. B. C. D.
3. 物体自由落体的位移（单位:）与时间（单位:）之间的关系为,取.若,那么下列说法正确的是( )
A. 是物体从 到 这段时间内的平均速度
B. 是物体从 变到 时物体的速度
C. 是物体在 这一时刻的瞬时速度
D. 是物体从 到 这段时间内的平均速度
4. 若函数,则的值等于( )
A. B. 1 C. D.
5. [2023山东烟台月考]曲线在点处的切线的倾斜角 等于( )
A. B. C. D.
6. 过曲线上两点和作曲线的割线,当时,割线的斜率;当时,割线的斜率.
7. 曲线在点处切线的斜率为.
8. 函数在处的导数是.
9. 已知曲线在点处的切线斜率为16,则点的坐标为.
10. 已知函数.
（1） 求函数在区间上的平均变化率；
（2） 求函数的图象在点,处的切线方程.
午练7 导数的概念及其意义
1. B
[解析]
2. D
[解析]当时,该质点的瞬时速度为.故选.
3. C
[解析]当无限趋近于0时,平均速度无限趋近于该时刻的瞬时速度.
4. C
[解析]
.
5. C
[解析],
所以.
又切线的倾斜角 的取值范围为 ,
所以所求倾斜角 .
6. 2.1; 2.001
[解析]若，则，
则，
则.
若，则，
则，
则.
7. 6
[解析]因为，
所以曲线在点处切线的斜率为
.
8. 2
[解析],
在处的导数是.
9.
[解析]令,设点,
则
,令,得,所以点的坐标为.
10. （1） 解 函数在区间上的平均变化率为.
（2） 设函数的图象在点,处的切线斜率为,则
又因为,
所以切线方程为,
即.午练8 导数的运算
1. 下列求导运算:;;;;.运算正确的个数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2. （多选题）下列求导运算正确的是( )
A. B.
C. D.
3. 已知函数,为的导数,则( )
A. B. 1 C. D.
4. 函数的复合过程正确的是( )
A. , B. ,
C. , D. ,
5. 广东广州海珠期末］已知函数,则等于( )
A. B. 2 C. D. 1
6. 函数的导函数为( )
A. B. C. D.
7. [2023天津河东质检]设,若在处的导数,则的值为( )
A. B. C. 1 D.
8. 某物体做直线运动,其位移与时间之间的关系是（的单位：,的单位：）则它在第末的瞬时速度应该为.
9. 设曲线在点处的切线与直线垂直,则.易知,曲线在点处的切线的斜率,又切线与直线垂直,故,则.
10. [2023四川成都月考]求下列函数的导数：
（1） ;
（2） ;
（3） .
11. 设（,,,为常数）,曲线与直线在点处相切.求,的值.
午练8 导数的运算
1. B
[解析],故①错误；，故②正确；，故③正确;,故④错误;,故⑤错误.故选.
2. BC
[解析]中，,不正确；中,,不正确；,正确.
3. B
[解析]由题意，所以.
4. A
5. A
[解析]由,得,所以.故选.
6. A
[解析]因为，所以，故选.
7. B
[解析]由,得.由,解得.故选.
8.
[解析]由,可得瞬时速度,故它在第末的瞬时速度应该为.
9. 2
10. （1） 解.
（2） .
（3） .
11. 解由曲线过点，可得，故.由，得，则，此即曲线在点处的切线的斜率.由题意，得，故.午练9 函数的单调性
1. 设定义在上的函数的图象如图所示,则其导函数的图象可能为( )
A.
B.
C.
D.
2. 函数的单调递增区间是( )
A. , B. C. , D. ,
3. 若函数在内单调递增,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
4. 已知定义域为的函数的导函数的图象如图,则关于以下函数值的大小关系,一定正确的是( )
A. B.
C. D.
5. 若函数在上为减函数,则( )
A. B. C. D.
6. 若函数恰好有三个单调区间,则( )
A. B. C. 或 D. 或
7. 若函数在,上是单调递增的,则的取值范围是.
8. 已知函数.
（1） 求函数的导数；
（2） 求函数的单调区间.
9. 求函数的单调区间.
午练9 函数的单调性
1. C
[解析]在,内单调递减,在内单调递增, 当或时,;当时,.故选.
2. C
[解析],令,
即,得.
故函数的单调递增区间为,.
3. A
[解析]（方法1）由函数在上单调递增得恒成立，则，所以，即.
（方法2）由函数在上单调递增得恒成立，则，所以在上恒成立.令，则.故，故选.
4. D
[解析]由的导函数图象可知,在,上单调递增,在上单调递减,,错误;又,,,错误;,,正确.
5. A
[解析]若函数在上为减函数,则在上恒成立,所以.
6. D
[解析]若函数有三个单调区间,则有两个不相等的实根,故,解得或.
7.
[解析]因为在,上是单调递增的,所以在,上恒成立,即在,上恒成立.令,则,当,时,,则是单调递减的,所以,所以.
8. （1） 解函数的定义域为，.
（2） 当，即时，函数单调递增；当，即时，函数单调递减.故函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
9. 解易得函数的定义域是,.
①当时,在上恒成立,故在上单调递减.
②当时,令,即,
又,所以.
令,即,
又,所以.
所以在,上单调递减,在,上单调递增.
综上可知,当时,的单调递减区间为,无单调递增区间；当时,的单调递减区间为,,单调递增区间为,.午练10 函数的极值与最值
1. 已知函数的导函数的图象如图所示,则关于的结论正确的是( )
A. 在区间 上单调递减 B. 在 处取得极小值
C. 在区间 , 上单调递增 D. 在 处取得极大值
2. 设函数,则( )
A. 为 的极大值点 B. 为 的极小值点
C. 为 的极大值点 D. 为 的极小值点
3. 函数的极大值为( )
A. 18 B. 21 C. 26 D. 28
4. （多选题）已知函数在处有极值,则下列区间是该函数的一个单调递增区间的是( )
A. B. C. D.
5. 函数在,上取最大值时,的值为( )
A. 0 B. C. D.
6. 函数的最小值是.
7. 设函数,若对任意,有恒成立,则实数的取值范围是.
8. 函数在区间上的最小值为,则的取值范围为.
9. 做一个容积为的长方体水箱,它的底面是正方形,该水箱无盖,当所用材料最省时（即所用材料的面积最小）,它的高为.
10. 已知在时有极值0,求常数,的值.
11. 求函数为自然对数的底数在区间上的最大值.
午练10 函数的极值与最值
1. B
[解析]由图象知在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减，故在处取极小值，在处取极大值，故选.
2. D
[解析]令,得.当时,;当时,.故为的极小值点.
3. D
[解析]函数的定义域为，其导数为，令，解得，.当变化时，,的变化情况如下表所示：
2
0 - 0
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
所以当时，函数有极大值.故选.
4. AB
[解析],且在处有极值,
,即,解得,易验证时,在处有极值.
,
由得或.
5. B
[解析],,,当时,,当时,,所以在,上单调递增,在,上单调递减,故在时取得最大值.
6.
[解析]由,得,当时,,单调递增,当时,,单调递减,因此当时,函数有最小值,最小值为.
7. ,
[解析]令，解得或.，，，，在上的最小值是.在上恒成立，.
8. ,
[解析],在上的最小值为,易知在上单调递减,所以当时,恒成立,即恒成立.所以恒成立.令,当时，,故.
9. 4
[解析]设底面边长为,高为,则有,所以.设所用材料的面积为,则有,,.令,得,当时,,当时,,所以当时,有最小值,此时.
10. 解因为在时有极值0,且,
所以即
解得或
当,时,,所以在上为增函数,无极值,故舍去.
当,时,.
当时,单调递减；当和时,单调递增,所以在时取得极小值,因此,.
11. 解因为,所以.
令,得.
且当时,,当时,,即函数在处取得极小值.
又,,综合比较得函数在区间上的最大值是.第五章综合训练
一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. [2023北京东城期末]函数在点处的切线方程为,则等于( )
A. B. C. 2 D. 4
2. 若函数在时取得极值,则等于( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
3. 若函数有最大值,则实数的值是( )
A. 1 B. C. 4 D.
4. 已知函数在上单调递增,则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
5. 函数的部分图象大致为( )
A. B.
C. D.
6. 方程的根的个数为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
7. [2023江苏南京联考]吹气球时,记气球的半径与体积之间的函数关系为,为的导函数.已知在上的图象如图所示,若,则下列结论正确的是( )
A.
B.
C.
D. 存在 ,使得
8. [2023黑龙江牡丹江期末]设,,,则( )
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. [2023重庆沙坪坝期末]如图是函数的导函数的图象,对于下列四个判断,其中正确的是( )
A. 在 上单调递减 B. 在 上单调递减
C. 当 时, 取得极小值 D. 当 时, 取得极大值
10. [2023湖南怀化期末]已知函数在处取得极值10,则下列说法正确的是( )
A. B.
C. 一定有两个极值点 D. 一定存在单调递减区间
11. [2023福建德化一中模拟]设函数的定义域为，是的极大值点，以下结论一定正确的是( )
A. ， B. 是 的极大值点
C. 是 的极小值点 D. 是 的极小值点
12. 已知函数及其导函数的定义域均为,记.若,均为偶函数,则( )
A. B. C. D.
三、填空题:本题共4小题.
13. 如图,直线是曲线在点处的切线,则的值等于.
14. 某公司租地建仓库,每月土地占用费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位:千米）成反比,而每月库存货物的运费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位:千米）成正比.如果在距离车站处建仓库,和分别为2万元和8万元,那么当仓库建在离车站处时,两项费用之和最小,最小费用为万元.
15. 已知函数的定义域为,部分对应值如表所示,的导函数的图象如图所示.下列关于的结论：
0 4 5
1 2 2 1
①函数的极大值点为0,4;
②函数在上单调递减;
③如果当时,的最大值是2,那么的最大值为4;
④当时,函数有4个零点;
⑤函数的零点个数可能为0,1,2,3,4.其中正确结论的序号是.
16. [2023吉林抚松月考]已知偶函数的导函数为,且满足,当时,,则使得成立的的取值范围是.
四、解答题：本题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知函数,是函数的一个极值点.
（1） 求函数的增区间;
（2） 当时,求函数的最小值.
18. 设函数.
（1） 若对定义域内的任意,都有成立,求实数的值;
（2） 若函数在定义域上是单调函数,求实数的取值范围.
19. [2023江苏苏州月考]已知函数.
（1） 求函数的单调区间;
（2） 设为函数的极小值点,证明：.
20. 如图,假设酒杯杯身的形状为倒立的圆锥,杯深,上口宽,水以的流量倒入杯中,当水深为时,求水面升高的瞬时变化率.
21. 某分公司经销某种品牌产品,每件产品的成本为30元,并且每件产品需向总公司缴纳元为常数,的管理费,根据多年的管理经验,预计当每件产品的售价为元时,产品一年的销售量为（为自然对数的底数）万件.已知当每件产品的售价为40元时,该产品一年的销售量为500万件,经物价部门核定,每件产品的售价最低不低于35元,最高不超过41元.
（1） 求分公司经营该产品一年的利润（单位:万元）与每件产品的售价（单位:元）的函数关系式;
（2） 当每件产品的售价为多少元时,该产品一年的利润最大？并求出的最大值.
22. 已知函数.
（1） 若在,处取得极值.
① 求,的值;
② 若存在,,使得不等式成立,求的最小值.
（2） 当时,若在上是单调函数,求的取值范围.
第五章综合训练
一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. D
[解析],
,
.
故选.
2. D
[解析].由在时取得极值,得,即,所以.
经检验,当时,有两个不相等的实根,符合题意.故.
3. B
[解析]由函数,则.要使得函数有最大值,则.当时,,函数在上单调递增,当时,,函数在上单调递减,所以当时,函数取得最大值,即,解得,满足,故选.
4. D
[解析]由题意知,
由于在上单调递增,
则在上恒成立,
即在上恒成立.
当时,,则有,
解得或.
故选.
5. C
[解析]的定义域为,,则,为奇函数,图象关于原点对称,排除;,排除;当时,,当时,,单调递增,排除.故选.
6. C
[解析]令,
则.
当时,,单调递减;
当时,,单调递增,且,,,结合函数零点存在定理可知函数在区间上有一个零点,在区间上也有一个零点,故方程的根的个数为2.故选.
7. D
[解析]对于,设,,由题图得,所以 ,所以,所以错误;对于,易知图象上点的切线的斜率越来越小,根据导数的几何意义得,所以错误;对于,设,,
,,由题图得,所以错误;对于,表示,两点连线的斜率,表示处切线的斜率,由于,所以可以平移直线使之与曲线相切,切点就是点,所以正确.故选.
8. B
[解析]（方法1）若,则,,
令,
所以.
令,得,
所以在上,,单调递增,
所以,
即,
所以,即.
令,
则,
在,上,,单调递减,
所以,
所以,
所以,
即,
所以.所以.
故选.
（方法2）,所以;当时,,所以.故选.
二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. BC
[解析]由的导函数的图象知,导函数在,上小于0,单调递减,在,上大于0,单调递增,选项错误,正确;函数在处取得极小值,选项正确;时导函数取得极大值,原函数没有取得极大值,原函数在处取得极大值,选项错误.故选.
10. BCD
[解析]由,得,
函数在处取得极值10,
,,
解得或
当,时,,
在处不存在极值,舍去;
当,时,,
当 ,时,,
当,时,,
当时,,
符合在处取得极值10,则,,,故错误,正确;
此时一定有两个极值点且存在单调递减区间,故,正确.
故选.
11. BD
[解析]是的极大值点，并不一定是最小值点，故不正确；的图象相当于的图象关于轴的对称图象，故是的极大值点，故正确；的图象相当于的图象关于轴的对称图象，故应是的极小值点，不能确定的情况，故不正确；的图象相当于的图象先关于轴作对称，再关于轴作对称得到的图象，是的极小值点,故正确.故选.
12. BC
[解析]是偶函数,
,
函数的图象关于直线对称,
.故正确;
为偶函数,
,
的图象关于直线对称.
,的图象关于直线对称,
的图象关于点对称.
的图象关于直线对称,
的图象关于点对称.
与均是周期为2的函数.
（不恒等于0）,故错误;
,正确;
构造函数符合题目要求,,而 , ,故错误.故选.
三、填空题:本题共4小题.
13.
[解析]由题图可得,直线过点和,则直线的斜率,又由直线是曲线在点处的切线,则,所以.
14. 5; 8
[解析]依题意,可设每月土地占用费,每月库存货物的运费,,是比例系数,且均不为0,于是由,得;由,得.因此,两项费用之和为,.令,得或（舍去）.当时,;当时,,因此,当时,取得极小值,也是最小值,其值为8.
15. ①②⑤
[解析]由的导函数的图象知,函数的极大值点为0,4,故①正确;因为在上,且不恒为0,故函数在上单调递减,故②正确;由表和图象知,所以③不正确;因为极小值未知,所以函数的零点个数可能为0,1,2,3,4,当时,函数的零点个数可能为2,3,4,所以④不正确,⑤正确.
16.
[解析]根据题意,令,
又由为偶函数,
则,
故为偶函数,
且.
又由当时,,
即当时,,
所以函数在上单调递减,
所以在上单调递增,
又,
所以,
则由,可得,
即在上的函数值大于零,
则在上的函数值大于零.
四、解答题：本题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. （1） 解由题意,得,,则.
所以,,
当时,;
当时,;
当时,.
所以函数的增区间为和.
（2） 当时,,的变化情况如表所示：
0 1 2
0 - 0
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调 递增 8
当时,,当时,,
所以当时,函数的最小值为.
18. （1） 解由,得,
的定义域为.
对任意的,都有,
是函数的最小值,故有.
,
,
解得.
经检验,当时,在内单调递减,在内单调递增.为最小值.
故.
（2） ,
又函数在定义域上是单调函数,
或在内恒成立.
若,则在内恒成立,
即在内恒成立,由此得;
当时,仅在处,故.
若,则在内恒成立,即在内恒成立.
在内没有最小值,
不存在实数使恒成立.
综上所述,实数的取值范围是.
19. （1） 解函数的定义域为,
因为,
所以,
当时,恒成立,在上单调递减;
当时,令,得.
当时,,当时,.
综上,当时,函数的单调递减区间为,无单调递增区间;当时,函数的单调递增区间为,单调递减区间为.
（2） 证明 由（1）知当时,在时取得极小值,且极小值为.
设函数,,,
当时,,单调递减;
当时,,单调递增.
故,即,所以.
20. 解由题意,如图,设时刻水面高为,水面圆半径是,
由图知,得,此时水的体积为,又由题设条件知,此时的水量为,故有,
故有,
所以,
又当时,有,
故当时,,
所以当水深为时,
则水面升高的瞬时变化率是.
21. （1） 解设该产品一年的销售量为,
则,
所以,
则该产品一年的销售量,
则该产品一年的利润.
（2） ,.
①若,则,
当时,且不恒为0,单调递减,
所以当时,取得最大值为;
②若,则,
令,
得,
易知当时,取得最大值为.
综上所述,当,且每件产品的售价为35元时,该产品一年的利润最大,最大利润为万元;
当,且每件产品的售价为元时,该产品一年的利润最大,最大利润为万元.
22. （1） ① 解函数的定义域为,.
在,处取得极值,
,,
即解得
② 若存在,,使得不等式成立,
则只需.
由①知,
,
当,时,,函数单调递减;当,时,,当或时,等号成立,函数单调递增;
当时,,函数单调递减,
在处取得极小值,
即.
又,
,
,
,,
故.
（2） 当时,.
当时,,则在上是增函数;
当时,,
,
,则在上是增函数;当时,设,
,故只需,即,
此时在上是减函数.
综上可得, ,.
