第1课时 距离问题
A级 必备知识基础练
1. [2023江苏徐州期末]［探究点一］已知直线过点,且方向向量为,则点到的距离为( )
A. B. C. D.
2. ［探究点一］在棱长为1的正方体中，为的中点，则点到直线的距离为( )
A. B. C. D.
3. ［探究点二］在棱长为的正方体中，是的中点，则点到平面的距离是( )
A. B. C. D.
4. ［探究点二］如图,直三棱柱的侧棱,在中, ,,则点到平面的距离为.
5. ［探究点二、三］如图，已知正方形的边长为1, 平面,且,,分别为,的中点.
（1） 求点到平面的距离;
（2） 求直线到平面的距离.
B级 关键能力提升练
6. 在空间直角坐标系中，定义：平面 的一般方程为（,,,,且,,不同时为零），点到平面 的距离,则在底面边长与高都为2的正四棱锥中，底面中心到侧面的距离等于( )
A. B. C. 2 D. 5
7. 如图，在棱长为的正方体中，为的中点，为上任意一点，，为上两个动点，且的长为定值，则点到平面的距离( )
A. 等于 B. 和 的长度有关
C. 等于 D. 和点 的位置有关
8. （多选题）已知正方体的棱长为1,点是的中点，在正方体内部且满足,则下列说法正确的是( )
A. 点 到直线 的距离是
B. 点 到直线 的距离是
C. 平面 与平面 间的距离为
D. 点 到直线 的距离为
9. 如图，棱长为1的正方体中，,分别为,的中点，为线段上的点，且,过,,的平面交于点,则到平面的距离为.
10. 如图，正方体的棱长为4,,,,分别为,,,的中点，则平面与平面的距离为.
11. 如图,在梯形中,,,, 平面,且,点在上,且.
（1） 求点到平面的距离；
（2） 求到平面的距离.
C级 学科素养创新练
12. ［北师大版教材例题］已知向量,,,对任意的实数,,当向量的长度最小时,求,的值.
第1课时 距离问题
A级 必备知识基础练
1. B
[解析] 点,点，,
,
又直线的方向向量为,
点到的距离,，故选.
2. C
[解析]建立空间直角坐标系，如图，则,,,,,所以，，，，
所以点到直线的距离故选.
3. A
[解析]建立如图所示的空间直角坐标系，则,
,,,
,,.
设平面的法向量为,
则即
令,则,,
可得
点到平面的距离
4.
[解析]如图所示,建立空间直角坐标系,
则,,,,,,
,,.
设平面的法向量为,
则即
令得,,
点到平面的距离
.
5. （1） 解 建立以为坐标原点,,,分别为轴、轴、轴正方向的空间直角坐标系，如图所示.
则,,,,,,,1,,所以,,,
设平面的法向量,
则即
令,则,,所以,
所以点到平面的距离,因此点到平面的距离为.
（2） 因为,分别为,的中点,所以.
又因为 平面, 平面,
所以平面.
因为,所以点到平面的距离.
所以直线到平面的距离为.
B级 关键能力提升练
6. B
[解析]以底面中心为坐标原点，建立空间直角坐标系,如图，
则,,,.
设平面的方程为,将，，三点的坐标代入计算得,,,所以方程可化为,即,所以.
7. A
[解析]取的中点，连接，，，则, 点到平面的距离即点到平面的距离，与的长度无关，故错误.又平面， 点到平面的距离即点到平面的距离，即点到平面的距离，与点的位置无关，故错误.
如图，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，则,,,,0,,
,,,0,.设是平面的法向量,
则由得
令,则,，所以是平面的一个法向量.
设点到平面的距离为,则,故正确，错误.故选.
8. BC
[解析]如图，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，0，，
所以,,0,.
设 ,则，
.
故点到直线的距离,故错误,正确.
,,.
设平面的法向量为,
则所以
令,得,,所以
所以点到平面的距离.
因为易证得平面平面,所以平面与平面间的距离等于点到平面的距离,
所以平面与平面间的距离为,故正确.
因为，
所以,,,
又,则，
所以点到的距离,
故错误.
9.
[解析]以点为坐标原点，直线,,分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示,则,1,,,1,,,0,,,,
,,,.
又 平面, 平面，
平面到平面的距离，即为到平面的距离.
设平面的一个法向量为,
则即
令,则,,
又,
点到平面的距离,到平面的距离为.
10.
[解析]如图所示，建立空间直角坐标系,
则,,,,,,,,,,
,,
,,,.
平面平面.
设是平面的法向量，
则解得
取,则,,得
平面到平面的距离就是点到平面的距离.
, 平面与平面间的距离.
11. （1） 解 由题意知,,两两垂直,建立空间直角坐标系,如图，
则,,,,.设,
则,
,
,
,,即.
设平面的法向量为,
则
解得
取,得
设点到平面的距离为,由,
得
（2） 由于,,.
设平面的法向量为,
由得
取,得
设点到平面的距离为,
, 平面,
平面,
则为到平面的距离,
C级 学科素养创新练
12. 解 如图所示,,,要使向量的长度最小,也就是线段的长度最短.
由点到平面距离的定义,当且仅当 平面时,线段的长度最短.这时,
由,,,
得
即解得
所以当的长度最小时,,.第2课时 夹角问题
A级 必备知识基础练
1. ［探究点一］已知点,,,,则直线和直线所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
2. ［探究点三］已知正方形所在平面外一点, 平面,若,则平面与平面的夹角为( )
A. B. C. D.
3. ［探究点二］如图所示,在长方体中,,,则与平面所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
4. ［探究点二］［北师大版教材习题］已知长方体的一条对角线与平面和平面所成的角都是,则直线与平面所成的角是.
5. [2023重庆渝中月考]［探究点三］如图,四棱锥中, 平面,,,,,为中点.
（1） 求证： 平面；
（2） 若,求二面角的余弦值.
B级 关键能力提升练
6. 如图，已知在菱形中， ,将沿折起，使得平面 平面，则二面角的余弦值为( )
A. 2 B. C. D.
7. [2023辽宁鞍山月考]长方体中，,,为线段上的动点,则与平面所成角的余弦值的最小值为( )
A. B. C. D.
8. 如图,三棱柱中,平面 平面,且 , ,,,求异面直线与所成角的余弦值为.
C级 学科素养创新练
9. 如图,在正方形中,,若沿将正方形折成一个二面角后,,则直线与所成角的余弦值为.
第2课时 夹角问题
A级 必备知识基础练
1. A
[解析],,而,,故直线和所成角的余弦值为.
2. B
[解析]如图所示，建立空间直角坐标系.设,
则,,,
.
取的中点,则,
,
易知是平面的一个法向量,是平面的一个法向量，所以,故平面与平面的夹角为 .
3. D
[解析]如图所示,建立空间直角坐标系,则,,,,,,.
连接,易证 平面,
平面的一个法向量为
所求角的正弦值为.
4.
[解析]建立如图所示空间直角坐标系,设,,，.
因为是平面的一个法向量,是平面的一个法向量,所以,所以,所以.
设所求角为 ,取是平面的一个法向量,则.
因为,所以.
5. （1） 证明连接,如图所示.在中,
,,为等腰三角形,为中点,
.
又 平面, 平面,
.
又,且,
平面.
（2） 解以为原点,,,所在直线分别为轴、轴、轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,,
,.
又易知平面的一个法向量,
设平面的一个法向量为,
则取,
设二面角的平面角为 ,
则,
二面角的余弦值为.
B级 关键能力提升练
6. D
[解析]设菱形的边长为1，取的中点，连接，，因为 ,所以,又平面 平面，平面 平面，所以 平面，如图，建立空间直角坐标系，则,,,,所以，，.设平面的法向量为，
则即
令,得,,则
易知平面的一个法向量为,所以.故选.
7. D
[解析]建立如图所示空间直角坐标系，则,,,.
平面,
平面的法向量为.
,
设与平面所成角为 ,
.
,
.故选.
8.
[解析]以为坐标原点,,所在直线分别为轴、轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,,
所以,.设所求的角为 ,
则,
即异面直线与所成角的余弦值为.
C级 学科素养创新练
9.
[解析]因为,
所以,即,,两两垂直,
所以建立如图所示的空间直角坐标系.
设,
则,,,,
所以,
,
所以,所以直线与所成角的余弦值为.第一章测评
（时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 在长方体中，等于( )
A. B. C. D.
2. 已知，，，若，，三向量共面，则实数 等于( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3. 若向量，，且与的夹角的余弦值为，则等于( )
A. 3 B. C. D. 3或
4. 如图，将边长为1的正方形沿对角线折成直二面角，若点满足，则的值为( )
A. B. 3 C. D.
5. 已知空间向量，，若与垂直，则等于( )
A. B. C. D.
6. 如图所示，在空间直角坐标系中，，原点是的中点，点，点在平面内，且 ， ，则的长为( )
A. B. C. D.
7. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，且，， 平面,且，则与平面所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
8. 如图，已知四棱锥，底面是边长为2的正方形，是以为斜边的等腰直角三角形， 平面，点是线段上的动点（不含端点），若线段上存在点（不含端点），使得异面直线与成 的角，则线段长的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知空间三点，，.若，且，则点的坐标为( )
A. B. C. D.
10. 如图,在空间四边形中,,分别是,的重心,设,,,下列结论正确的是( )
A. B. 若 , ,则
C. D.
11. 如图所示，在直三棱柱中，底面是以为直角的等腰直角三角形，，，是的中点，点在棱上，要使 平面，则的值可能是( )
A. B. C. D.
12. 将正方形沿对角线翻折，使平面与平面的夹角为，以下四个结论正确的是( )
A. B. 是等边三角形
C. 直线 与平面 所成的角为 D. 与 所成的角为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 将正方形沿对角线折起，当以，，，四点为顶点的三棱锥体积最大时，异面直线与所成的角为.
14. ①若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则；②若非零向量，，满足,,则有;③若是空间的一个基底，且,则，，，四点共面；④若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底.上述说法中，正确的有.
15. 如图所示，在直平行六面体中，，，点在上，且，则点到平面的距离为.
16. 如图，正方形，的边长都是1，而且平面，互相垂直，点在上移动，点在上移动，若，则线段最短为.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. （10分）已知，，，，，求：
（1） ，，；
（2） 向量与夹角的余弦值.
18. （12分）如图所示，在四棱锥中， 平面，，在四边形中，， ，，，点在上，且， ，求证：平面.
19. （12分）如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，，，，为的中点.求证：
（1） 平面；
（2） 平面.
20. （12分）在三棱柱中，底面为正三角形，且侧棱 底面，且底面边长与侧棱长都等于2，，分别为，的中点，求平面与平面间的距离.
21. [2023湖北荆州期末]（12分）如图1，四边形为等腰梯形，，，将沿折起，为的中点，连接，，如图2，.
图1
图2
（1） 求线段的长；
（2） 求直线与平面所成的角的正弦值.
22. （12分）如图，在四棱锥中， ，，，.
（1） 求证：平面 平面；
（2） 若点在线段上，且 ，平面与平面的夹角为 ，求 的值.
第一章测评
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. A
[解析].
2. A
[解析]若向量，，共面，则，其中，，
即，
则有
解得
3. A
[解析]因为，且与的夹角的余弦值为，
所以，
且，
解得或（舍去）.
4. D
[解析]由题意知，，.
， ， ，
所以.
5. B
[解析]因为，，
所以
因为与垂直，
所以，
所以，解得，
所以,
所以.
6. D
[解析]因为点在平面内，
所以点的横坐标为0，
又，原点是的中点， ， ，
所以点的竖坐标，纵坐标，
所以.
所以
.
7. C
[解析]依题意，以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，，，
则，，，，从而，，，
设平面的法向量为，
则即
不妨取，则，，
所以平面的一个法向量为，
设与平面所成角为 ,
则.
8. B
[解析]由是以为斜边的等腰直角三角形， 平面，底面为正方形，取的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，设，，
设，，故，，.
又，异面直线与成 的角，
故 ，
即，
即,，
,
,
.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. AB
[解析]设.
又，
，解得，
或.
设点的坐标为，则，
或
解得或
故点的坐标为或.
10. ABD
[解析]对于和选项,是的重心,
，，，，
,故正确,错误；
对于,若,,则，，
，
,故正确；
对于，，，，
,故正确.
11. AC
[解析]以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，.
设点的坐标为，
则，
，.由 平面，得，，故
即
解得或，即或.
12. ABD
[解析]如图所示，以的中点为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，
设正方形的边长为，
则，，，，
所以，，.故，正确.
又，，，所以为等边三角形，正确.
对于，为平面的一个法向量，
，
.
因为直线与平面所成的角的范围是,
所以与平面所成的角为，故错误.又,
因为异面直线所成的角为锐角或直角，所以与所成的角为，故正确.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.
[解析]根据题意可知，当最大时，平面 平面，
设的中点为，连接，,建立空间直角坐标系，如图所示，
令，则，，，，，
，，
因此，
所以异面直线与所成的角为.
14. ①③④
[解析]对于①,若向量,与空间任意向量都不能构成基底，则,必共线，即,故①正确；
对于②,若非零向量,,满足,,当非零向量,,不共面时，与不一定共线，故②不正确；
对于③,由于,则,所以,因此，，共面，所以，，，四点共面，故③正确；
对于④,若不是空间的一个基底，则,,共面，不妨设,则,,于是向量,,共面，与是空间一个基底矛盾，故④正确.
15.
[解析]建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，,,,
，，，
设平面的法向量为，
则
令，则，，
.
点到平面的距离.
16.
[解析]建立空间直角坐标系如图所示，则，，.因为，且四边形，为正方形，
所以,
,
所以.
所以,
即的长为.
当时，，即，分别为，的中点时，的长最小，最小值为.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. （1） 解因为，易知,所以，
解得，，
则，
又，所以，即，
解得，于是
（2） 由（1）得，，设向量与的夹角为 ，
因为，所以向量与夹角的余弦值为.
18. 证明建立如图所示的空间直角坐标系，
，， 平面，
，，
，，，，，
，，
，，.
设平面的一个法向量为，
则
即
令，解得，，
故.
又,
.
平面，
平面.
19. （1） 证明平面 平面 ，平面 平面 ， ， 平面 ，
平面 .
以 为原点， ， ， 分别为 轴、 轴、 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,
则 ， ， ， ， ， .
19. （1） 为的中点，
，
则，，，
，故，，共面.
又 平面，
平面.
（2） ，，，
，
.
又，
.
又，， 平面，
平面.
20. 解如图，连接，
根据题意， 底面，则以为原点，分别以，，所在的直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.
，，，，
平面平面.
平面与平面间的距离即为点到平面的距离.
，，，，
，，.
设为平面的法向量，
则
即
可取
点到平面的距离记为，
则.
平面与平面间的距离为.
21. （1） 解在题图1中作，交于（图略），
则，,,
,
，，
在题图2中，.又，，, 平面，
平面，
取中点，连接，，则，，两两垂直，
以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，
,,
线段的长为
.
（2） ,,,,,
设平面的法向量为，
则取,
得.
设直线与平面所成的角为 ，
则直线与平面所成的角的正弦值为.
22. （1） 证明因为, ，故 ，
所以.
又，，， 平面，
所以 平面.
因为 平面，
所以平面 平面.
（2） 解由（1）可得，平面 平面，
设为的中点，连接，因为，
所以，故 平面.
如图，建立空间直角坐标系，则，，，.
因为 ，
所以，
易得平面的一个法向量为.设为平面的法向量，
，，
由
得
不妨取
因为平面与平面的夹角为 ，
所以，且，
解得或（舍去）,故 的值为.午练1 空间向量及其运算
1. （多选题）下列说法中,正确的有( )
A. 同平面向量一样,任意两个空间向量都不能比较大小
B. 两个相等的向量,若起点相同,则终点也相同
C. 只有零向量的模等于0
D. 共线的单位向量都相等
2. [人教B版教材习题]已知四棱柱的底面是平行四边形，且,,,则( )
A. B. C. D.
3. 在正方体中,下列各对向量夹角为 的是( )
A. 与 B. 与 C. 与 D. 与
4. 在正方体中,是上底面的中心,则与的位置关系是( )
A. 重合 B. 平行 C. 垂直 D. 无法确定
5. ［北师大版教材习题］已知,,是两两垂直的单位向量，则( )
A. 14 B. C. 4 D. 2
6. 如图,在长方体中,设,,是的中点,则与所成角的大小为,.
7. ［北师大版教材习题］如图，在长方体中，点，分别是,的中点，点为的中点，设,,,用,,表示下列向量:
（1） ,,,;
（2） ,.
8. 如图所示,已知平行六面体的底面是菱形,且 ,求证:.
午练1 空间向量及其运算
1. ABC
[解析]项中,共线的单位向量是相等向量或相反向量.
2. B
[解析].
3. A
[解析]四个选项中两个向量的夹角依次是 , , , ,故选.
4. C
[解析]设正方体的棱长为1，则,,于是,故,即与垂直.
5. B
[解析],
.
6. ; 1
[解析]（方法1）连接,（图略）,则就是与所成的角,在中,易得,即为等边三角形,从而 ,即与所成角的大小为 ,因此.
（方法2）根据向量的线性运算可得.由题意可得,则,从而 .
7. （1） 解，,，
（2） ,.
8. 证明设,,,则,,即.午练2 空间向量基本定理及运算的坐标表示
1. 若,,构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是( )
A. , , B. , , C. , , D. , ,
2. 正方体中，，，分别是，，的中点，以，，为基底，，则( )
A. B. C. D.
3. 下列说法正确的是( )
A. 任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底
B. 空间的基底有且仅有一个
C. 两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底
D. 基底{ , , 中基向量与基底{ , , 中基向量对应相等
4. 如图,在长方体中,,,,已知向量在基底,,下的坐标为.若分别以,,的方向为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系,则的空间直角坐标为( )
A. B. C. D.
5. ［北师大版教材习题］已知向量,,且,则( )
A. , B. , C. , D. ,
6. 已知点，，则，两点的距离的最小值为( )
A. B. C. D.
7. 如图，在四棱锥中,底面是正方形,为中点,若,,,则.
8. 点关于平面的对称点的坐标为,点关于轴的对称点的坐标为.
9. [人教B版教材习题]已知,,为单位正交基底，且向量的坐标为.
（1） 求证：,,;
（2） 分别求与基向量,,夹角的余弦值.
午练2 空间向量基本定理及运算的坐标表示
1. C
[解析]对于，,所以不正确；同理，不正确；对于，,所以不正确.故选.
2. B
[解析]，对比，得.
3. C
[解析]项中应是不共面的三个向量构成空间向量的基底；项，空间的基底有无数个；易知错.故选.
4. D
[解析]设,,,则
5. B
[解析],
由,得,得, ,,
解得,,.
6. C
[解析]因为点，，
所以，当时，取得最小值.
,两点的距离的最小值为，故选.
7.
[解析].
8. ;
[解析]点关于平面的对称点的坐标为,点关于轴的对称点的坐标为.
9. （1） 证明,
.
又,,为单位正交基底，
,,.
,,，
同理可证,
（2） 解由（1）知.
同理得,
.午练3 用空间向量研究直线、平面的位置关系
1. （多选题）若直线的方向向量为,平面 的法向量为,则可能使 的是( )
A. , B. ,
C. , D. ,
2. 已知线段的两端点坐标为,,则直线( )
A. 与坐标平面 平行 B. 与坐标平面 平行
C. 与坐标平面 平行 D. 与坐标平面 相交
3. 若平面 ,则下面可能是这两个平面的法向量的是( )
A. , B. ,
C. , D. ,
4. 下列命题中真命题的个数为( )
①若,分别是平面 , 的法向量，则;
②若是平面 的法向量,与平面 平行，则;
③若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面不垂直.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 0
5. 如图,四棱锥的底面是边长为1的正方形, 底面,且,若,分别为,的中点,则直线与平面的位置关系是.
6. 如图所示,已知矩形,,, 平面,若在上只有一个点满足,则的值等于.
7. ［人教B版教材习题］已知,,,求平面的一个法向量的坐标.
8. ［苏教版教材例题］如图，已知矩形和矩形所在平面互相垂直，点，分别在对角线，上，且,.求证：平面.
9. 如图，在四面体中, 平面,, , ,,分别是,的中点,求证:平面 平面.
午练3 用空间向量研究直线、平面的位置关系
1. AD
[解析]若 ,则.而中,中,中,中
2. B
[解析]因为,,所以,而坐标平面的一个法向量为,显然,故直线与坐标平面平行.
3. D
[解析]因为平面 ,所以两个平面的法向量平行,只有项符合.
4. C
5. 垂直
[解析]以为原点,,,所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系（图略）,则,,,平面的一个法向量,, 平面.
6. 2
[解析]
以为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,.
设,,则,.
由,得,
即.
当,即时,点只有一个.
7. 解,
设平面的一个法向量为,则有即
令，则,.
因此为平面的一个法向量.
8. 证明因为矩形和矩形所在平面互相垂直，所以，，互相垂直.不妨设，，的长分别为,,,以,,为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,,所以,.
因为,,所以.
又平面的一个法向量是,由,
得到.
因为不在平面内，
所以平面.
9. 证明建立空间直角坐标系,
如图,
设,
则易得,,.
,.
平面,.
又, 平面.
为平面的一个法向量.
设平面的法向量,
,
即.
由,即,
有,.
取,得.
,. 平面 平面.午练4 用空间向量研究距离、夹角问题
1. 两平行平面 , 分别经过坐标原点和点,且两平面的一个法向量为,则两平面间的距离是( )
A. B. C. D.
2. 如图，正方体的棱长为1,是平面的中心，则点到平面的距离是( )
A. B. C. D.
3. 设平面 与平面 的夹角为 ,若平面 , 的法向量分别为,，则( )
A. B. C. D.
4. 如图，在正方体中，,分别为棱和棱的中点，则异面直线和所成的角为( )
A. B. C. D.
5. [2023广东广州月考]如图所示,在正三棱柱中,,则与侧面所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
6. 棱长为1的正方体中,,分别是线段,的中点，则直线到平面的距离为.
7. ［北师大版教材习题］在正方体中,直线与平面所成角的大小为.
8. ［人教B版教材例题］如图所示,四棱锥中,底面是一个边长为1的正方形, 平面,.求点到平面的距离.
9. 如图所示,已知直三棱柱中, ,,,且是的中点.求平面与平面所成角的大小.
午练4 用空间向量研究距离、夹角问题
1. B
[解析] 两平行平面 , 分别经过坐标原点和点,,且两平面的一个法向量, 两平面间的距离.故选.
2. B
[解析]建立空间直角坐标系如图，则,,,.,
设是平面的一个法向量,则
解得,,
又,
点到平面的距离为.
3. B
4. D
[解析]
如图,以为原点，分别以，，所在的直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，,分别为棱和棱的中点，
，，，，，，设异面直线和所成的角为 ，则，
又 是锐角， . 异面直线和所成的角为 ，故选.
5. B
[解析]如图,取的中点,连接,,则根据题意易得 侧面,即为所求,又根据题意易知,,
,故选.
6.
[解析]如图，以点为坐标原点，,,所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.
则,,,1,,,,
,,,，,
,又不在平面内,
平面.
设平面的法向量为,
则即
令,则,
点到平面的距离.即直线到平面的距离为.
7.
[解析]
建立如图所示的空间直角坐标系,设,则.设是平面的法向量.
,
,
所以所以可取.设所求角为 ,则.因为,所以.
8. 解依题意,,,是两两互相垂直的.
以为原点,,,的方向分别为轴、轴、轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系，则,,,,
所以,,.
设平面的法向量为,则
令,则得,,此时
因为,所以点到平面的距离为.
9. 解依题意,,,两两互相垂直.
以为原点,,,的方向分别为轴、轴、轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系，则,,,,
所以,,,.
设平面的一个法向量为,
则令,则得,,此时
设平面的一个法向量为,则
令,则得,,
此时
因为,所以 ,从而可知平面与平面所成角的大小为 ,也就是说,这两个平面是互相垂直的.第一章综合训练
一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 在平行六面体中,向量,,是( )
A. 有相同起点的向量 B. 等长的向量
C. 共面向量 D. 不共面向量
2. 已知,,,则下列结论正确的是( )
A. , B. , C. , D. 以上都不对
3. 如图,在空间直角坐标系中,有一棱长为2的正方体,的中点到的中点的距离为( )
A. B. C. 2 D. 1
4. [2023山东德州期中]设向量,,不共面,空间一点满足,则,,,四点共面的一组数对是( )
A. B. C. D.
5. 在四棱锥中,,,,则这个四棱锥的高等于( )
A. 1 B. 2 C. 13 D. 26
6. 已知两个不重合的平面 与平面,若平面 的法向量为,,,则( )
A. 平面 平面 B. 平面 平面
C. 平面 ,平面 相交但不垂直 D. 以上均有可能
7. 已知向量,,,若,则与的夹角为( )
A. B. C. D.
8. [2023辽宁沈阳质检]已知棱长都为3的正三棱柱中,,分别为棱,上的点,当取得最小值时,直线与平面所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 已知向量,,,下列等式中正确的是( )
A. B.
C. D.
10. 设是空间的一个基底，则( )
A. 若 , ,则
B. , , 两两共面,但 , , 不可能共面
C. 对空间任一向量 ,总存在有序实数组 ,使
D. , , 一定能构成空间的一个基底
11. 将正方形沿对角线折成直二面角,如下四个结论正确的是( )
A. B. 是等边三角形
C. 与平面 所成的角为 D. 与 所成的角为
12. 如图,已知正方体的棱长为1,,分别为正方体中上、下底面的中心,,,,分别为四个侧面的中心,由这六个中心构成一个八面体的顶点,则( )
A. 直线 与直线 所成角为
B. 二面角 的正切值为
C. 这个八面体的表面积为
D. 这个八面体外接球的体积为
三、填空题：本题共4小题.
13. 棱长为的正四面体中,.
14. 已知空间向量,.若与垂直,则.
15. 设垂直于所在的平面 , ,,分别与 成 和 角,,则与的距离是；点到的距离是.
16. 已知向量,,其中,现有以下说法：
①向量与轴正方向的夹角恒为定值（即与,无关）；
②的最大值为；
③与的夹角的最大值为；
④若定义,则的最大值为.
其中正确的有.（写出所有正确说法的序号）
四、解答题：本题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 如图所示,在四棱锥中,底面是边长为2的正方形,侧棱的长为3,且和,的夹角都是 ,是的中点,设,,,试以,,为基向量表示出向量,并求线段的长.
18. 如图,正三棱柱中,底面边长为 .
（1） 设侧棱长为1,求证：；
（2） 设与的夹角为,求侧棱的长.
19. 已知空间中三点,,,设,.
（1） 若,且,求向量；
（2） 已知向量与互相垂直,求的值；
（3） 求的面积.
20. 已知,,,分别是空间四边形的边,,,的中点.
（1） 用向量法证明,,,四点共面；
（2） 用向量法证明：平面；
（3） 设是和的交点,求证：对空间任一点,有.
21. 如图所示,直三棱柱中,,点在线段上,,,求直线与平面所成角的正弦值.
22. 如图,在四棱锥中,, ,,,.
（1） 求证：平面 平面；
（2） 在线段上是否存在异于,的一点,使平面与平面夹角的余弦值为？若存在,求出点的位置；若不存在,请说明理由.
第一章综合训练
一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. C
[解析]向量,,显然不是有相同起点的向量，不正确；
由该平行六面体不一定是正方体可知，这三个向量不一定是等长的向量，不正确;
又,
,,共面，正确，不正确.
2. C
[解析],,,
,.
,.故选.
3. B
[解析]在空间直角坐标系中,有一棱长为2的正方体,
,,的中点,,,的中点,
的中点到的中点的距离为
.
故选.
4. B
[解析]因为向量,,不共面,,
所以当且仅当时,,,,四点共面.
对于,,故错误；
对于,,故正确；
对于,,故错误；
对于,,故错误.故选.
5. B
[解析]设平面的法向量为,
则即
不妨令,则,,
可得,
四棱锥的高.故选.
6. A
[解析]由题意,计算,得；
计算,得,又,所以 平面,
又两平面不重合，则平面平面.故选.
7. C
[解析]设向量与的夹角为 ,
因为,所以,,所以 .因为向量与的方向相反，所以与的夹角为 .
8. C
[解析]将三棱柱侧面展开,如图（右）,由于两点之间直线段最短,则当展开图中，，，共线时,最小,
此时,由三棱柱棱长都为3可得,，分别为靠近的三等分点，靠近的三等分点,如图（左）建立空间直角坐标系,则,,.
设中点为,则,
由正三棱柱的性质知, 平面,
故为平面的法向量,
又,故直线与平面所成角的正弦值为.故选.
二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. BCD
[解析]对于，左边为向量,右边为实数,显然不相等,故不正确；
对于，左边,右边, 左边右边,故正确;
对于，,左边,右边, 左边右边,故正确;
对于，由选项可得：左边,,, 左边右边,故正确.故选.
10. BCD
[解析]由,,是空间一个基底,知：
对选项,若,,,夹角不一定是，故选项错误；
易知正确；
对选项，由于是空间的一个基底，所以,,不共面.假设,,共面，设,化简得,即,所以,,共面，这与已知矛盾，所以,,不共面，可以作为基底，故选项正确.故选.
11. ABD
[解析]如图所示,建立空间直角坐标系,设正方形的边长为,则,,,,所以,,,
故,正确；
又,,,
所以为等边三角形,正确；
对于,为平面的一个法向量,设 为直线与平面所成的角，
所以.
因为直线与平面所成的角,所以与平面所成的角为,错误；
,因为异面直线所成的角为锐角或直角,所以直线与所成的角为,故正确.故选.
12. ACD
[解析]如图,以点为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,,
所以,,
所以,则直线与所成的角为 ,选项正确；
连接,,且相交于点,作,连接,,
易知 平面,由二面角的定义可知,二面角的平面角为,而,,所以,选项错误；
,则,
所以这个八面体的表面积为,选项正确；
八面体外接球的球心即为四边形的中心,则外接球的半径为,所以外接球的体积为,选项正确.故选.
三、填空题：本题共4小题.
13.
[解析]棱长为的正四面体中,,且与的夹角为 ,易证.
.
14.
[解析],,
与垂直,,
,解得,
,.
15. ;
[解析]如图,作于点,
平面,
.
易得,,,,连接,易知,到的距离.
16. ①③④
[解析]取轴的正方向单位向量,
则,
所以向量与轴正方向的夹角恒为定值,①正确；
,则,结合已知，得,即的最大值为1，所以②错误；
③由②的解析知,所以,即,从而与的夹角的最大值为，所以③正确；
④设与的夹角为 ,由③可知：,所以,,所以,④正确.
综上可知，正确说法的序号是①③④.
四、解答题：本题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 解因为,所以,
.
所以,即的长为.
18. （1） 证明,.
因为 平面,
所以,.
又为正三角形,设 为向量与的夹角，
所以.
因为,,所以.
（2） 解由（1）知,
又,
所以,
所以,即侧棱长为2.
19. （1） 解 空间中三点,,,设,,
.
,且,
,
,
,或
（2） ,,
向量与互相垂直,
,解得.
的值是5.
（3） ,,
,,
.
20. （1） 证明如图,连接,易知,.
则.
由向量共面的充要条件可知，,,共面，又三向量过同一点,所以,,,四点共面.
（2） 因为,所以.
又 平面, 平面，
所以平面.
（3） 由（2）知,同理,所以,,,所以,交于一点且被平分,
所以,得证.
21. 解,,,以为原点,,,所在直线分别为轴、轴、轴,建立空间直角坐标系,如图,则,,,.
,.
设平面的一个法向量为,,,
取,则
设直线与平面所成角为 ,又,则.
22. （1） 证明取的中点,连接,
因为, ,,
所以,, ,
在中,由余弦定理可得,,
所以,所以,所以.因为,,, 平面,故 平面.
因为 平面,则平面 平面.
（2） 解因为 ,所以以点为坐标原点,,所在直线分别为轴、轴,以垂直于平面方向为轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,,因为，,所以,即.
假设存在点满足题意,设,
则,.
不妨设,即,可得,
所以,.
设为平面的法向量,
则
即
令,得,
因为 平面,
所以为平面的法向量.
因为平面与平面夹角的余弦值为,所以,解得,所以点为线段的中点.
故在线段上存在线段的中点,使平面与平面夹角的余弦值为.
