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【北师大版九年级数学（上）单元测试卷】
第二章：一元二次方程
一.选择题：（每小题3分共30分）
1．下列方程中，有实数根的是（ ）·
A． B．
C． D．
2．若，是方程的两个实数根，则的值是（ ）
A． B． C． D．
3．下列一元二次方程中，有实数根的是（ ）
A．（m是实数） B．
C． D．
4．若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是( )
A． B． C．且 D．且
5．关于的一元二次方程的根的情况（ ）
A．有两个实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．由的取值确定
6．方程的根是（ ）
A． B． C．， D．，
7．下列关于x的方程中，有一个实数根为的方程是（ ）．
A． B．
C． D．
8．如图，长，宽的矩形基地上有三条宽的小路，剩余种花，依题意列方程（ ）
A． B．
C． D．
9．某商场销售一款恤，进价为每件40元，当售价为每件60元时，平均每周可卖出200件，为扩大销售，增加利润，商场准备降价销售．经市场调查发现，每件每降价1元，平均每周可多卖出8件，若要使每周销售该款恤获利8450元，设每件降低元，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
10．对于一元二次方程，下列说法：
①若，则；
②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
③若c是方程的一个根，则一定有成立；
④存在实数，使得；
其中正确的（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
二.填空题：（每小题3分共15分）
11．用换元法解方程，如果设，那么原方程可化为关于的整式方程为 ．
12．某型号的手机原来每台售价800元，经过两次降价，且每次降价的百分率相同，现在每台售价为578元，则每次降价的百分率是 ．
13．如果是方程的一个根，那么代数式的值是 ．
14．已知：且，，那么的值等于 ．
15．已知实数，在数轴上的位置如图所示．
（1）关于的不等式组的解集为 ；
（2）关于的一元二次方程的根的情况是 ．（填“有两个不相等的实数根”“有两个相等的实数根”或“没有实数根”）
三.解答题：（共55分）
16．（8分）用因式分解法解下列方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
17．（6分）已知关于x的一元二次方程有两实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)是否存在实数m，满足？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．
18．（7分）近年来，我国逐步完善养老金保险制度．甲，乙两人计划分别缴纳养老保险金12万元和8万元，虽然甲计划每年比乙计划每年多缴纳养老保险金0.1万元，但是甲计划缴纳养老保险金的年数还是比乙要多4年，已知甲.乙两人计划缴纳养老保险金的年数都不超过20年，求甲计划每年缴纳养老保险金多少万元？
19．（8分）返校复学之际，某班家委会出于对学生卫生安全考虑，为每位学生准备了便携式免洗抑菌洗手液，去市场购买时，发现当购买量不超过100瓶时，免洗抑菌洗手液的单价为8元；超过100瓶时，每增加10瓶，单价就降低0.2元，但最低价格不能低于每瓶5元，设家委会共买了x瓶免洗抑菌洗手液．
(1)当时，每瓶洗手液的价格是 元；当时，每瓶洗手液的价格是 元．
(2)如果家委会购买洗手液共花费1200元，问一共购买了多少瓶洗手液？
20．（8分）某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件．为了增加利润，减少库存，商店决定采取适当的降价措施．经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么可多售出2件．设每件童装降价元．
(1)降价后，每件盈利__________元，每天可销售__________件；（用含的代数式填空）
(2)该专卖店每天盈利能否等于1300元，若能，求出此时每件童装降价多少元，若不能，说明理由．
21．（9分）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是和，则方程是“倍根方程”．
(1)根据上述定义，一元二次方程__________（填“是”或“不是”）“倍根方程”．
(2)若一元二次方程是“倍根方程”，则__________．
(3)若关于的一元二次方程是“倍根方程”，则，，之间的关系为__________．
22．（9分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与正比例函数的图象交于点，与轴交于点．
(1)求的值及直线的解析式；
(2)求的面积；
(3)设直线与直线，交于，两点，当时，请直接写出的值．
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【北师大版九年级数学（上）单元测试卷】
第二章：一元二次方程
一.选择题：（每小题3分共30分）
1．下列方程中，有实数根的是（ ）·
A． B．
C． D．
解：A.，，故没有实数根，不符合题意；
B.，方程两边都乘以得：，检验：当时，分式的分母为0，所以此方程没有解，不符合题意；
C.由，得，因为算术平方根的结果是非负数，所以此方程无解，不符合题意；
D.由，得，两边平方得，解得，经检验是原方程的解，故有实数根，符合题意；
故选：D．
2．若，是方程的两个实数根，则的值是（ ）
A． B． C． D．
解：，是方程的两个实数根，
，，
，
故选：B．
3．下列一元二次方程中，有实数根的是（ ）
A．（m是实数） B．
C． D．
解：A.，方程有实数根，所以A选项符合题意；
B.，即方程没有实数根，所以B选项不符合题意；
C.，即方程没有实数根，所以C选项不符合题意；
D.，方程没有实数根，所以D选项不符合题意；
故选：A．
4．若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是( )
A． B． C．且 D．且
解：∵一元二次方程有实数根，
∴且，
∴且．
故选：D．
5．关于的一元二次方程的根的情况（ ）
A．有两个实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．由的取值确定
解：根据题意可得：
，
∴，
∵，
∴，
∴该方程有两个不相等的实数根，
故选：B．
6．方程的根是（ ）
A． B． C．， D．，
解：∵，
∴，
∴，
∴，，
故选D
7．下列关于x的方程中，有一个实数根为的方程是（ ）．
A． B．
C． D．
解A．，
，
∴原方程没有实数根，故不符合题意；
B．，
，
∴原方程没有实数根，故不符合题意；
C．，
或，
∴，，故符合题意；
D．，
，
∵，
∴原方程没有实数根，故不符合题意．
故选C．
8．如图，长，宽的矩形基地上有三条宽的小路，剩余种花，依题意列方程（ ）
A． B．
C． D．
解：长，宽的矩形基地上有三条宽的小路，
种植花苗的部分可以合成长，宽的矩形，
根据题意得：，
故选：C．
9．某商场销售一款恤，进价为每件40元，当售价为每件60元时，平均每周可卖出200件，为扩大销售，增加利润，商场准备降价销售．经市场调查发现，每件每降价1元，平均每周可多卖出8件，若要使每周销售该款恤获利8450元，设每件降低元，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
解：当每件降低元时，每件的销售利润为元，平均每周可售出件，
根据题意得：，
故选：D．
10．对于一元二次方程，下列说法：
①若，则；
②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
③若c是方程的一个根，则一定有成立；
④存在实数，使得；
其中正确的（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
解：∵
∴是一元二次方程的一个解，即方程有解，
∴，①正确；
方程有两个不相等的实根，则，即
方程的判别式为，
∴方程必有两个不相等的实根，②正确；
若c是方程的一个根，则，即
∴或，③错误；
由可得，
即
∵
∴
∴
所以只需要满足即可得到，④正确；
故选：B
二.填空题：（每小题3分共15分）
11．用换元法解方程，如果设，那么原方程可化为关于的整式方程为 ．
解：设，则原方程可变形为：，
即为；
故答案为：
12．某型号的手机原来每台售价800元，经过两次降价，且每次降价的百分率相同，现在每台售价为578元，则每次降价的百分率是 ．
解：设每次降价百分率为x，
由题意得：，
解得：（舍），
∴每次降价的百分率是，
故答案为：．
13．如果是方程的一个根，那么代数式的值是 ．
解：∵是方程的一个根，
∴，即，
∴
，
故答案为：6．
14．已知：且，，那么的值等于 ．
解：∵，即，
∴，
∴或，
当时，即；
当时，即，
∴的值等于或2．
故答案为：或2．
15．已知实数，在数轴上的位置如图所示．
（1）关于的不等式组的解集为 ；
（2）关于的一元二次方程的根的情况是 ．（填“有两个不相等的实数根”“有两个相等的实数根”或“没有实数根”）
解（1）根据数轴得到，
∴关于的不等式组的解集为，
故答案为：．
（2）根据数轴得到，
∵的判别式为，
∴有两个不相等的实数根，
故答案为：有两个不相等的实数根．
三.解答题：（共55分）
16．（8分）用因式分解法解下列方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
解（1）原方程可变形为，
即，
所以或，
即，．
（2）原方程可变形为，
即，
所以．
（3）原方程可变形为，
即，
所以或，
即，．
（4）原方程可变形为，
即，
或，
∴，．
17．（6分）已知关于x的一元二次方程有两实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)是否存在实数m，满足？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．
（1）解：∵关于x的一元二次方程有两实数根，
∴，
解得；
（2）解：存在．理由如下：
由根与系数的关系得
∵
即
即，化简，
解得，
经检验都是原方程的解，
∵，
∴．
18．（7分）近年来，我国逐步完善养老金保险制度．甲，乙两人计划分别缴纳养老保险金12万元和8万元，虽然甲计划每年比乙计划每年多缴纳养老保险金0.1万元，但是甲计划缴纳养老保险金的年数还是比乙要多4年，已知甲.乙两人计划缴纳养老保险金的年数都不超过20年，求甲计划每年缴纳养老保险金多少万元？
解：设乙每年缴纳养老保险金为x万元，则甲每年缴纳养老保险金为万元，
根据题意可得：，
解这个方程，得，
经检验，都是原方程的根，
但是当时，甲计划缴纳养老保险金的年数是年，超过了20年，不合题意，应舍去，
万元；
答：甲计划每年缴纳养老保险金0.6万元．
19．（8分）返校复学之际，某班家委会出于对学生卫生安全考虑，为每位学生准备了便携式免洗抑菌洗手液，去市场购买时，发现当购买量不超过100瓶时，免洗抑菌洗手液的单价为8元；超过100瓶时，每增加10瓶，单价就降低0.2元，但最低价格不能低于每瓶5元，设家委会共买了x瓶免洗抑菌洗手液．
(1)当时，每瓶洗手液的价格是 元；当时，每瓶洗手液的价格是 元．
(2)如果家委会购买洗手液共花费1200元，问一共购买了多少瓶洗手液？
（1）解：当时，每瓶洗手液的价格是8元；
当时，
（元）．
故答案为：8；；
（2）解：，
，
，
解得：，
当时，洗手液单价为：
（元）；
当时，洗手液单价为：
（元）．
最低价不能低于每瓶5元，，
．
答：一共购买了200瓶洗手液．
20．（8分）某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件．为了增加利润，减少库存，商店决定采取适当的降价措施．经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么可多售出2件．设每件童装降价元．
(1)降价后，每件盈利__________元，每天可销售__________件；（用含的代数式填空）
(2)该专卖店每天盈利能否等于1300元，若能，求出此时每件童装降价多少元，若不能，说明理由．
（1）解：一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件．如果每件童装降价1元，那么可多售出2件．设每件童装降价元时，
每件盈利元，每天可销售件，
故答案为：，；
（2）根据题意得，，
整理得：，
∴，，，
∴ ，
∴ 方程无解，专卖店每天盈利不能等于1300元．
21．（9分）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是和，则方程是“倍根方程”．
(1)根据上述定义，一元二次方程__________（填“是”或“不是”）“倍根方程”．
(2)若一元二次方程是“倍根方程”，则__________．
(3)若关于的一元二次方程是“倍根方程”，则，，之间的关系为__________．
解（1），，
解得和，
故一元二次方程不是“倍根方程”．
（2）由题意可设：与是方程的两个根，
∴，，
∴，；
（3）设与是方程的解，
∴，，
∴消去得：．
22．（9分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与正比例函数的图象交于点，与轴交于点．
(1)求的值及直线的解析式；
(2)求的面积；
(3)设直线与直线，交于，两点，当时，请直接写出的值．
解（1）解：把代入中，解得，
∴，
将，代入中，
得
解得，
∴直线的解析式为；
（2）令，解得，
∴点的坐标为，
∴；
（3）由题意可知，点的坐标为，点的坐标为，
∴，点到直线的距离为，
∴，
结合图象分析，当时，，解得，（舍）；
当时，不存在；
当时，，
解得（舍），，
综上所述，的值为0或．
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