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【北师大版九年级数学（上）单元测试卷】
第三章：概率的进一步认识
一.选择题：（每小题3分共30分）
1．在一个黑色布袋中装有标号分别为2.3.4的三个小球，从中摸出一个小球，不放回，再摸出一个小球，两次摸出小球的标号的和为奇数的概率是（ ）
A． B． C． D．
解：根据题意，画树状图如下：
由树状图可知，共有种等可能的情况，其中两次和为奇数的情况有种，
两次摸出小球的标号的和为奇数的概率，
故选：C．
2．下列说法错误的是（ ）
A．通过大量重复试验，可以用频率估计概率
B．投一枚硬币，“正面朝上”的概率不能用列举法计算
C．必然事件发生的概率是1
D．概率很小的事件不可能发生
解：A.通过大量重复试验，可以用频率估计概率，则此项正确，不符合题意；
B.投一枚硬币，“正面朝上”的概率不能用列举法计算，则此项正确，不符合题意；
C.必然事件发生的概率是1，则此项正确，不符合题意；
D.概率很小的事件也有可能发生，则此项错误，符合题意；
故选：D．
3．一个不透明的口袋中有五个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5．随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球．两次取出的小球标号之和为偶数的概率是（ ）
A． B． C． D．
解：根据题意画图如下：
共有25种等可能的情况数，其中两次取出的小球标号之和为偶数的有13种，
则两次取出的小球标号之和为偶数的概率是．
故选：B．
4．一个口袋里只有黑球10个和若干个黄球，从口袋中随机摸出一球记下其颜色，再把它放回口袋中摇匀，重复上述过程，共试验200次，其中有120次摸到黄球，由此估计袋中共有球的个数是（ ）
A．6 B．10 C．15 D．25
解：设袋中共有x个球，则黄球的个数为，
∵黄球的概率近似为＝，
∴，解得，
经检验：是分式方程的解．
故选D．
5．在如图所示的电路图，当随机闭合开关..中的任意两个时，能使灯泡发亮的概率为（ ）
A． B． C． D．
解：把开关..分别记为..，
画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中能使灯泡发光的结果有种，即，，，，
∴能使灯泡发光的概率为，
故选：．
6．抛掷两枚质量和形状相同的硬币，则出现“一正一反”的概率是（ ）
A．1 B． C． D．
解：根据题意列出表格如下：
正 反
正 正正 正反
反 反正 反反
共有4种等可能出现的情况，其中出现“一正一反”的情况有2种，
出现“一正一反”的频率是：，
故选：C．
7．下列说法正确的是（ ）
A．为了解我国初中生近视情况可以采用普查的方式
B．小明记录了名亲朋好友的生日，则必有两个人生日相同
C．体操比赛时，甲.乙两班学生身高的方差分别为，，则甲班学生的身高较整齐
D．抛掷两枚硬币，出现一正一反的概率为
解：为了解我国初中生近视情况可以采用抽查的方式，故选项A不符合题意；
小明记录了名亲朋好友的生日，，则必有两个人生日相同，故选项B正确，符合题意；
体操比赛时，甲.乙两班学生身高的方差分别为，，方差越小越稳定，则乙班学生的身高较整齐，故选项C错误，不符合题意；
抛掷两枚硬币，树状图如下：
出现一正一反的概率为，故选项D错误，不符合题意；
故选：．
8．分别印有汉字“学而不思则惘”的6张卡片，它们除汉字外完全相同，若将这些卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，然后随机抽出一张，不放回，再随机抽出一张，两次抽出的卡片上的汉字是“思”和“学”的概率是（ ）
A． B． C． D．
解：“学”“而”“不”“思”“则”“惘”的六张卡片分别用A.B.C.D.E.F表示，画树状图如图所示：
由树状图可知，共有30种等可能的结果，其中两次抽出的卡片上的汉字是“思”和“学”的有2种，
所以两次抽出的卡片上的汉字是“思”和“学”的概率是，
故选：D．
9．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过10的素数2，3，5，7中，随机选取两个不同的数，其和小于10的概率是（ ）
A． B． C． D．
解：画树状图如图：
共有12个等可能的结果，抽到的两个素数之和小于10的结果有8个，∴抽到的两个素数之和小于10的概率为．
故选：B．
10．如图，正方形内接于，现有一小球可在内自由滚动，则小球停留在阴影部分内（各图形的边界忽略不计）的概率是（ ）
A． B． C． D．
解：设半径为1．
则正方形的面积为．
小球停留在阴影部分内的概率为．
故选C．
二.填空题：（每小题3分共15分）
11．一个口袋中有15个黑球和若干个白球，从口袋中一次摸出10个球，求出黑球数与10的比值，不断重复上述过程，总共摸了10次，黑球数与10的比值的平均数为，因此可估计口袋中大约有 个白球.
解：由题意知，黑球数与10的比值的平均数为，则说明黑球占总球数的，
所以总球数为个，则白球数为个．
故答案为：
12．某班有两名男生和两名女生报名参加知识竞赛，班主任计划从这四名学生中随机抽选两名学生进行测试，则恰好选中一名男生和一名女生的概率为 ．
解：画树状图如下：
一共有种等可能的结果，其中恰好选中一名男生和一名女生的结果数为个，
所以恰好选中一名男生和一名女生的概率是，
故答案为：．
13．从2名专家，4名技术人员中任选2名组成专家组参加某项开发工作，则其中至少有一名专家的概率是 ．
解：画树状图为：（2名专家用A.B表示，4名技术人员用a.b.c.d表示）
共有30种等可能的结果，其中2人中至少有一名专家的结果数18，
所以至少有一名专家的概率，
故答案为：．
14．七巧板是我国古代劳动人民的一项发明，被誉为“东方魔板”．小明利用七巧板拼成的正方形（如图所示）做“滚小球游戏”，小球可以在拼成的正方形上自由地滚动，并随机地停留在某块板上，则小球最终停留在阴影区域上的概率是 ．
解如图，如图，设大正方形的边长为，则，到的距离
∴阴影区域的面积为：，大正方形的面积是：，
∴小球最终停留在阴影区域上的概率是，
故答案为：．
15．一个不透明的盒子里装有20个红.黄两种颜色的小球，这些小球除颜色外其他完全相同．每次摸球前先将盒子里的球摇匀任意摸出1个球记下颜色后再放回盒子．通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3，那么估计盒子中黄球有 个
解：设盒子中黄球有个，
根据题意可得：
，
解得：，
故答案为：6．
三.解答题：（共55分）
16．（6分）如图，，两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形，转盘上的数字分别是，，5，转盘上的数字分别是6，，4（两个转盘除表面数字不同外，其他完全相同）．小聪和小明同时转动，两个转盘，使之旋转（规定：指针恰好停留在分界线上，则重新转一次）．
(1)转动转盘，转盘指针指向正数的概率是________；
(2)若同时转动两个转盘，转盘指针所指的数字记为，转盘指针所指的数字记为，若，则小聪获胜；若，则小明获胜；请用列表法或树状图法说明这个游戏是否公平．
（1）解：∵为正数
∴转盘指针指向正数的概率为：
（2）解：列表得：
6
4
一共有9种等可能的结果
其中的有4种...；
其中的有4种...
∴（小聪获胜）；（小明获胜）
（小聪获胜）（小明获胜）
∴这个游戏公平
17．（8分）将甲.乙两名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰.知道速滑和冰球（分别用字母A，B，C表示）个项目进行培训，每名志愿者可被随机分配到其中任何一个项目．
(1)甲志愿者被分配到项目A进行培训的概率是________；
(2)请用列表法或画树状图法求甲.乙两名志愿者恰好都被分配到项目A的概率．
（1）解：由题意得
甲参加的培训项目有A，B，C，个项目，
，
故答案：．
（2）解：由题意得
列表如下：
乙甲
共有种等可能结果，其中甲.乙两名志愿者恰好都被分配到项目A的是的种结果，
．
答：甲.乙两名志愿者恰好都被分配到项目A的概率为．
18．（8分）2022年春季开学时为防控冠状病毒，学生进校园必须戴口罩，测体温，某校开通了A，，三条测体温的通道，给进校园的学生测体温．在3个通道中，可随机选择其中的一个通过．
(1)求该校学生小明进校园时，选择通道测体温的概率；
(2)用画树状图法或列表法，求该校学生小明和他的同学乐乐进校园时，选择相同通道测体温的概率．
（1）解：该校学生小明进校园时，选择A通道测体温的概率为；
（2）树状图如图所示，
共有9种等可能的结果，其中选择相同通道测体温的结果有3种，
则该校学生小明和他的同学乐乐进校园时，选择相同通道测体温的概率是．
19．（8分）某校对初一新生随机摇号分班，一共分4个班，班号分别为1班.2班.3班.4班，甲.乙两人是该校的初一新生．
(1)甲恰好被分在1班的概率为______；
(2)用画树状图或列表方法求甲.乙被分在班号连续的两个班级的概率．
解（1）∵所有等可能的情况数有4种，甲恰好被分在1班的情况有1种，
∴甲恰好被分在1班的概率为，
故答案为：；
（2）列表如下：
1 2 3 4
1
2
3
4
所有等可能的情况有16种，其中甲.乙被分在班号连续的两个班级的情况数有6种，分别为，，，，，，
则P（甲.乙被分在班号连续的两个班级）．
20．（8分）一个不透明的袋子中装有四个小球，这四个小球上各标有一个数字，分别是2，2，3，5，这些小球除标有的数字外都相同．
(1)从袋中随机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标有的数字是2的概率为________；
(2)先从袋中随机摸出一个小球，记下小球上标有的数字后，放回，摇匀，再从袋中随机摸出一个小球，记下小球上标有的数字，请利用画树状图或列表的方法，求摸出的这两个小球上标有的数字之积是奇数的概率．
（1）解：从袋中随机摸出一个小球，一共有4种等可能的结果，摸出的这个小球上标有的数字是2的结果有2种，
因此，摸出的这个小球上标有的数字是2的概率，
故答案为：
（2）解：画树状图如下：
从树状图可以看出：一共有16种等可能的结果，摸出的这两个小球上标有的数字之积是奇数的结果有4种，
∴摸出的这两个小球上标有的数字之积是奇数的概率为：，
答：摸出的这两个小球上标有的数字之积是奇数的概率．
21．（8分）一个游戏转盘如图，游戏规则是：自由转动转盘，若指针落在灰色扇形内则获奖，落在白色扇形内不获奖．已知灰色扇形的圆心角为120°．
(1)若苗苗和窦窦准备各玩一次转盘游戏，请用树状图或列表法求出两人都获奖的概率．
(2)圣诞节一天，参加该游戏的共有723人，估计当天获奖的人数．
（1）解：用表示灰色扇形，用表示白色扇形，列表如下：
A B
A A，A A，B
B B，A B，B
共有4种等可能的结果，其中苗苗和窦窦都中奖的结果只有1种，
∴；
（2）由题意，玩一次转盘游戏中奖的概率为：，
∴估计当天获奖的人数为人．
22．（9分）每年的4月23日为世界读书日，为了解某校初三年级学生的课外阅读情况，初三年级随机抽查了部分学生从去年读书日到今年读书日的阅读数量，并制成了如下不完整的扇形统计图.条形统计图．
(1)个体：______；样本容量：______，______，并请补全条形统计图；
(2)若阅读5本书的学生中只有1名男生，现从中选出2名学生座谈．用列表法或树状图法求刚好选出一名男生一名女生的概率．
(3)若又抽查了几名同学的阅读量，把这几名同学的阅读数量与之前的数据合并成一组新数据，发现众数发生了改变，则至少又抽查了______名学生．
（1）解：由题意可得，个体是初三年级一名学生的课外阅读量，
样本容量：，
阅读10本的人数有：（人），
∴，即，
补全统计图如下：
故答案为：初三年级一名学生的课外阅读量，50，32；
（2）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中刚好选出一名男生一名女生的结果有6种，
∴刚好选出一名男生一名女生的概率为；
（3）解：至少要4人参与抽查，理由如下：
∵原数据的众数是10本，
若至少有4人参与抽查，且每人读书15本，则新众数为10本和15本，
∴至少有4人参与抽查，
故答案为：4．
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第三章：概率的进一步认识
一.选择题：（每小题3分共30分）
1．在一个黑色布袋中装有标号分别为2.3.4的三个小球，从中摸出一个小球，不放回，再摸出一个小球，两次摸出小球的标号的和为奇数的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．下列说法错误的是（ ）
A．通过大量重复试验，可以用频率估计概率
B．投一枚硬币，“正面朝上”的概率不能用列举法计算
C．必然事件发生的概率是1
D．概率很小的事件不可能发生
3．一个不透明的口袋中有五个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5．随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球．两次取出的小球标号之和为偶数的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．一个口袋里只有黑球10个和若干个黄球，从口袋中随机摸出一球记下其颜色，再把它放回口袋中摇匀，重复上述过程，共试验200次，其中有120次摸到黄球，由此估计袋中共有球的个数是（ ）
A．6 B．10 C．15 D．25
5．在如图所示的电路图，当随机闭合开关..中的任意两个时，能使灯泡发亮的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．抛掷两枚质量和形状相同的硬币，则出现“一正一反”的概率是（ ）
A．1 B． C． D．
7．下列说法正确的是（ ）
A．为了解我国初中生近视情况可以采用普查的方式
B．小明记录了名亲朋好友的生日，则必有两个人生日相同
C．体操比赛时，甲.乙两班学生身高的方差分别为，，则甲班学生的身高较整齐
D．抛掷两枚硬币，出现一正一反的概率为
8．分别印有汉字“学而不思则惘”的6张卡片，它们除汉字外完全相同，若将这些卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，然后随机抽出一张，不放回，再随机抽出一张，两次抽出的卡片上的汉字是“思”和“学”的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过10的素数2，3，5，7中，随机选取两个不同的数，其和小于10的概率是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，正方形内接于，现有一小球可在内自由滚动，则小球停留在阴影部分内（各图形的边界忽略不计）的概率是（ ）
A． B． C． D．
二.填空题：（每小题3分共15分）
11．一个口袋中有15个黑球和若干个白球，从口袋中一次摸出10个球，求出黑球数与10的比值，不断重复上述过程，总共摸了10次，黑球数与10的比值的平均数为，因此可估计口袋中大约有 个白球.
12．某班有两名男生和两名女生报名参加知识竞赛，班主任计划从这四名学生中随机抽选两名学生进行测试，则恰好选中一名男生和一名女生的概率为 ．
13．从2名专家，4名技术人员中任选2名组成专家组参加某项开发工作，则其中至少有一名专家的概率是 ．
14．七巧板是我国古代劳动人民的一项发明，被誉为“东方魔板”．小明利用七巧板拼成的正方形（如图所示）做“滚小球游戏”，小球可以在拼成的正方形上自由地滚动，并随机地停留在某块板上，则小球最终停留在阴影区域上的概率是 ．
15．一个不透明的盒子里装有20个红.黄两种颜色的小球，这些小球除颜色外其他完全相同．每次摸球前先将盒子里的球摇匀任意摸出1个球记下颜色后再放回盒子．通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3，那么估计盒子中黄球有 个
三.解答题：（共55分）
16．（6分）如图，，两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形，转盘上的数字分别是，，5，转盘上的数字分别是6，，4（两个转盘除表面数字不同外，其他完全相同）．小聪和小明同时转动，两个转盘，使之旋转（规定：指针恰好停留在分界线上，则重新转一次）．
(1)转动转盘，转盘指针指向正数的概率是________；
(2)若同时转动两个转盘，转盘指针所指的数字记为，转盘指针所指的数字记为，若，则小聪获胜；若，则小明获胜；请用列表法或树状图法说明这个游戏是否公平．
17．（8分）将甲.乙两名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰.知道速滑和冰球（分别用字母A，B，C表示）个项目进行培训，每名志愿者可被随机分配到其中任何一个项目．
(1)甲志愿者被分配到项目A进行培训的概率是________；
(2)请用列表法或画树状图法求甲.乙两名志愿者恰好都被分配到项目A的概率．
18．（8分）2022年春季开学时为防控冠状病毒，学生进校园必须戴口罩，测体温，某校开通了A，，三条测体温的通道，给进校园的学生测体温．在3个通道中，可随机选择其中的一个通过．
(1)求该校学生小明进校园时，选择通道测体温的概率；
(2)用画树状图法或列表法，求该校学生小明和他的同学乐乐进校园时，选择相同通道测体温的概率．
19．（8分）某校对初一新生随机摇号分班，一共分4个班，班号分别为1班.2班.3班.4班，甲.乙两人是该校的初一新生．
(1)甲恰好被分在1班的概率为______；
(2)用画树状图或列表方法求甲.乙被分在班号连续的两个班级的概率．
20．（8分）一个不透明的袋子中装有四个小球，这四个小球上各标有一个数字，分别是2，2，3，5，这些小球除标有的数字外都相同．
(1)从袋中随机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标有的数字是2的概率为________；
(2)先从袋中随机摸出一个小球，记下小球上标有的数字后，放回，摇匀，再从袋中随机摸出一个小球，记下小球上标有的数字，请利用画树状图或列表的方法，求摸出的这两个小球上标有的数字之积是奇数的概率．
21．（8分）一个游戏转盘如图，游戏规则是：自由转动转盘，若指针落在灰色扇形内则获奖，落在白色扇形内不获奖．已知灰色扇形的圆心角为120°．
(1)若苗苗和窦窦准备各玩一次转盘游戏，请用树状图或列表法求出两人都获奖的概率．
(2)圣诞节一天，参加该游戏的共有723人，估计当天获奖的人数．
22．（9分）每年的4月23日为世界读书日，为了解某校初三年级学生的课外阅读情况，初三年级随机抽查了部分学生从去年读书日到今年读书日的阅读数量，并制成了如下不完整的扇形统计图.条形统计图．
(1)个体：______；样本容量：______，______，并请补全条形统计图；
(2)若阅读5本书的学生中只有1名男生，现从中选出2名学生座谈．用列表法或树状图法求刚好选出一名男生一名女生的概率．
(3)若又抽查了几名同学的阅读量，把这几名同学的阅读数量与之前的数据合并成一组新数据，发现众数发生了改变，则至少又抽查了______名学生．
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