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【北师大版九年级数学（上）单元测试卷】
第四章：图形的相似
一.选择题：（每小题3分共30分）
1．两个相似多边形的面积之比为，则它们的对应高之比为（ ）
A． B． C． D．
解：∵两个相似多边形的面积之比为，
∴相似比是，
又∵相似多角形对应高的比等于相似比，
∴对应边上高的比为．
故选：A．
2．如图，已知，，那么下列结论中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
解：∵，，
∴，故A选项正确；
，故B选项错误；
的值无法确定，故C选项错误；
的值无法确定，故D选项错误；
故选A．
3．如图，已知在中，点D.E.F分别是边..上的点，，，且，那么等于（ ）
A． B． C． D．
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故选：A．
4．已知，则的值是（ ）
A．3 B． C． D．
解：∵，
∴，
∴．
故选：B．
5．两千多年前，希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，如图，点在线段上，若满足，则称点是线段的黄金分割点，黄金分割的应用很广泛，例如：在舞台上，主持人站在黄金分割点主持节目时，视觉效果最好，若舞台长20米，设主持人登台后至少走米可到舞台的黄金分割点上，则可列出方程（ ）
A． B． C． D．
解：由题意知，点是的黄金分割点，且，，则，
，
，
故选：A．
6．如图，在平行四边形中，点E在边上，，连接交于点F，则的面积与的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
解：在平行四边形中,，
又∵
∴，
∴
∵
∴
∴
故选：D
7．如图，在中，，，则下列比例式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
解：A．由，得，故A选项错误；
B．由，得，又由，得，则，故B选项错误，D选项正确；
C．由，得，故C选项错误；
故选：D．
8．如图，在中，，将沿图中的线剪开，下列四种剪开的方法中，剪下的阴影三角形与原三角形相似的是（ ）
A．①② B．③④ C．①③ D．①③④
解①阴影部分的三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似；
②阴影部分的三角形与原三角形仅有一个角对应相等，故两三角形不一定相似；
③两三角形对应边不仅满足，且夹角相等，故两三角形相似；
④两三角形对应边虽然满足，但夹角不一定相等相等，故两三角形不一定相似；
故正确的有：①③，
故选：C．
9．如图，在正方形和正方形中，在上，连接并延长，交于，若，，则（ ）
A． B． C． D．
解：四边形和四边形为正方形，
，，，
≌，，，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
故选：C．
10．如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在第二象限，点B坐标为，点C坐标为，以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形．若点A的对应点的坐标为，点B的对应点的坐标为，则点A坐标为（ ）
A． B． C． D．
解：作轴，轴，如图
∵， ， ，
∴，，，
∴，，
∵由题意可得：
∴
∵，
∴
∴
∴，
∴
∴点A坐标为
故选：C
二.填空题：（每小题3分共15分）
11．如图，已知，，那么 ．
解：，
，
，，
，
解得：，
故答案为：1.8．
12．已知，那么a.b的比例中项等于 ．
解：设，的比例中项是，则，
∴，故答案为：．
13．如图，与是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为点的坐标为，则点的坐标为 ．
解：∵与是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，点的坐标为，
∴的坐标为即
故答案为：．
14．如图，在平面直角坐标系中，与的相似比为，点A是位似中心，已知点，点，．则点的坐标为 （结果用含a，b的式子表示）
解：过C作于M，过作于N，
则，
∵与的相似比为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点，点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点的坐标为，
故答案为：．
15．如图，在正方形的CD边上取一点E（不与点C，D重合），以线段CE为边在CD的右侧作正方形，分别连接AF，DG且相交于O，则度数为 ．
解：连接，如图：
∵四边形，四边形是正方形，
∴，，
，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
三.解答题：（共55分）
16．（6分）如图，点是的边上的一点，点为上的一点，若，，求证：．
证明：，
，
， ， ．
17．（7分）如图，已知直线..分别截直线于点A.B.C，截直线于点D.E.F，且．如果，，求的长．
解：．
，
，
．
18．（8分）如图，在中，D.E.F分别是上的点，且，．
(1)当，时，求的长；
(2)求证：．
（1）解：∵，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∴．
19．（8分）如图，在菱形中，点E.F分別在.上，连接..，与交于点H，延长.交于点G，．
(1)求证：；
(2)求证：．
（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：四边形是菱形，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴．
20．（8分）如图，四边形是平行四边形，点在边上，点在对角线上，，．
(1)求证：；
(2)若，，，直接写出的长 ．
（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，，，
，
，
故答案为：．
21．（9分）（1）如图1，在四边形中，，点为上一点，若，，，则______；
（2）如图2，四边形中，，，，点在线段上，且，连接，作，交于点，则四边形的面积是多少？
（3）如图3，四边形中，，，且，点到的距离为．求四边形面积的最小值．
解：∵，，
∴，，
∴，且，
∴，
∴，且，，
∴，
故答案为：；
（2）如图所示，过点作于点，
∵，即，，且，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，且，，，
∴，
∴，解得，，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形的面积是；
（3）如图所示，过点作，过点作的垂线，交于点，交延长线于点，过点作于点，且点到的距离为，
∴，
∵，
∴，
由（1）的推理可知，，且，
∴，
∴，则，
设，则，，，，
∴，，，，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴四边形面积的最小值为．
22．（9分）已知函数的图象与轴.轴分别交于点.点，与函数的图象交于点，点的横坐标为，求：
(1)直线的解析式；
(2)在线段上找一点，使得到直线和直线的距离相等，求点的坐标；
(3)直线上点，过作垂直轴于，若点，在直线和上，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标．
（1）解：把代入，得，
∴，
把代入中，
得：，解得：，
∴直线的解析式为．
（2）过P作于K，于T，如图：
设，则,
∵直线解析式为
∴
∴△POK是等腰直角三角形，
∴，
在中，令得，
∴
∴，
∵，
∴
∴，
∵
∴，
∴，
由P到直线和直线的距离相等得，即
解得，
∴；
（3）设，，
∵，垂直x轴于F
∴,
①若，为对角线，则的中点即是的中点，
，
解得：，
∴，
∴；
②若，为对角线，则的中点即是的中点，
，
解得：，
∴，
∴；
③若，为对角线，则的中点即为的中点，
，
解得：，
∴，
∴；
综上可得，N的坐标为或或 ．
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第四章：图形的相似
一.选择题：（每小题3分共30分）
1．两个相似多边形的面积之比为，则它们的对应高之比为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，已知，，那么下列结论中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，已知在中，点D.E.F分别是边..上的点，，，且，那么等于（ ）
A． B． C． D．
4．已知，则的值是（ ）
A．3 B． C． D．
5．两千多年前，希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，如图，点在线段上，若满足，则称点是线段的黄金分割点，黄金分割的应用很广泛，例如：在舞台上，主持人站在黄金分割点主持节目时，视觉效果最好，若舞台长20米，设主持人登台后至少走米可到舞台的黄金分割点上，则可列出方程（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在平行四边形中，点E在边上，，连接交于点F，则的面积与的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，，，则下列比例式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，，将沿图中的线剪开，下列四种剪开的方法中，剪下的阴影三角形与原三角形相似的是（ ）
A．①② B．③④ C．①③ D．①③④
9．如图，在正方形和正方形中，在上，连接并延长，交于，若，，则（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在第二象限，点B坐标为，点C坐标为，以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形．若点A的对应点的坐标为，点B的对应点的坐标为，则点A坐标为（ ）
A． B． C． D．
二.填空题：（每小题3分共15分）
11．如图，已知，，那么 ．
12．已知，那么a.b的比例中项等于 ．
13．如图，与是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为点的坐标为，则点的坐标为 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，与的相似比为，点A是位似中心，已知点，点，．则点的坐标为 （结果用含a，b的式子表示）
15．如图，在正方形的CD边上取一点E（不与点C，D重合），以线段CE为边在CD的右侧作正方形，分别连接AF，DG且相交于O，则度数为 ．
三.解答题：（共55分）
16．（6分）如图，点是的边上的一点，点为上的一点，若，，求证：．
17．（7分）如图，已知直线..分别截直线于点A.B.C，截直线于点D.E.F，且．如果，，求的长．
18．（8分）如图，在中，D.E.F分别是上的点，且，．
(1)当，时，求的长；
(2)求证：．
19．（8分）如图，在菱形中，点E.F分別在.上，连接..，与交于点H，延长.交于点G，．
(1)求证：；
(2)求证：．
20．（8分）如图，四边形是平行四边形，点在边上，点在对角线上，，．
(1)求证：；
(2)若，，，直接写出的长 ．
21．（9分）（1）如图1，在四边形中，，点为上一点，若，，，则______；
（2）如图2，四边形中，，，，点在线段上，且，连接，作，交于点，则四边形的面积是多少？
（3）如图3，四边形中，，，且，点到的距离为．求四边形面积的最小值．
22．（9分）已知函数的图象与轴.轴分别交于点.点，与函数的图象交于点，点的横坐标为，求：
(1)直线的解析式；
(2)在线段上找一点，使得到直线和直线的距离相等，求点的坐标；
(3)直线上点，过作垂直轴于，若点，在直线和上，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标．
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