2023-2024学年苏科版九年级数学上册2.4圆周角 强化提优训练（二）（含答案）

2023-2024学年苏科版九年级数学上《2.4圆周角》强化提优训练（二）
（时间：90分钟 满分：120分）
一．选择题(30分）
1.如图A,B,C是☉O上的三点,若∠C=35°,则∠ABO的度数是(　　)
A.35°　　B.55°　　C.60°　　D.70°
第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 第5题图
2.如图,△ABC内接于☉O,CD是☉O的直径,∠ACD=40°,则∠B=(　　)
A.70°　　B.60°　　C.50°　　D.40°
3．如图，⊙A过原点O，分别与x轴、y轴交于点C和点D，点B在⊙A上，已知∠B＝30°，⊙A的半径为2，则圆心A的坐标是（　　）
A．（，1） B．（1，） C．（，1） D．（1，）
4．如图，AB，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，BE是⊙O的直径．若AC＝3，则DE的长是（　　）
A．3 B．3.5 C．2 D．1.5
5．如图，点A，B，C，D为⊙O上的四个点，AC平分∠BAD，AC交BD于点E，CE＝4，CD＝6，则AE的长为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
6.如图,已知∠ABC=60°,点D为BA边上一点,BD=10,点O为线段BD的中点,以点O为圆心,线段OB的长为半径作弧,交BC于点E,连接DE,则BE的长是 (　　)
A.5　 　B.5
第6题图 第7题图 第8题图 第9题图 第10题图
7．如图，△ABC的外接圆上，，，的度数之比为12∶13∶11.在劣弧BC上取一点D，分别作直线AC，AB的平行线，且交BC于E，F两点，则∠EDF的度数为(　　)
A．55° B．60° C．65° D．70°
8.如图,AB为☉O的直径,弦CD交AB于点E,,∠CDB=30°,AC=2,则OE=(　　)
A.　　 C.1　　D.2
9.如图,A、B、C是☉O上的点,且∠ACB=140°.在这个图中,画出下列度数的圆周角:40°,50°,90°,140°,仅用无刻度的直尺能画出的有(　　)
A.1个　　B.2个　　C.3个　　D.4个
10.如图,AB是☉O的直径,BC是☉O的弦,先将沿BC翻折交AB于点D,再将,设∠ABC=α,则α所在的范围是 (　　)
A.21.9°<α<22.3°　B.22.3°<α<22.7° C.22.7°<α<23.1°　D.23.1°<α<23.5°
二．填空题(30分)
11．如图，在⊙O中，已知∠ACB＝∠CDB＝60°，弦AC＝3，则△ABC的周长是_____．
第11题图 第12题图 第13题图 第14题图 第15题图
12．如图，以原点O为圆心的圆交x轴于A、B两点，交y轴的正半轴于点C，D为第一象限内⊙O上的一点，若∠DAB＝20°，则∠OCD＝　 　°．
13．如图，⊙O是△ABC的外接圆，CD是直径，∠B＝40°，则∠ACD的度数是　 　．
14．如图，OB、OC是⊙O的半径，A是⊙O上一点，若∠B＝20°，∠C＝30°，则∠BOC＝　 　．
15．如图，⊙O的直径CD为6cm，OA，OB都是⊙O的半径，∠AOD＝2∠AOB＝60°，点P在直径CD上移动，则AP+BP的最小值为　 　．
16．如图，有一个圆形展厅，在其圆形边缘上的点A处安装了一台监视器，它的监控角度是40°.为了监控整个展厅，最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器_______台．
第16题图 第17题图 第18题图 第19题图 第20题图
17．如图，点A，B，C在⊙O上，CO的延长线交AB于点D，∠A＝50°，∠B＝30°，则∠ADC的度数为　 　．
18．如图，AB是⊙O的直径，半径OC⊥AB，过OC的中点D作弦EF∥AB，则∠ABE的度数是_______.
19．如图，量角器外缘边上有A、P、Q三点，它们所表示的读数分别是180°，70°，30°，则∠PAQ的大小为________.
20．如图，AB是⊙O的直径，M是⊙O上一点，MN⊥AB，垂足为N．P、Q分别是、上一点（不与端点重合），如果∠MNP＝∠MNQ，下面结论：①∠1＝∠2；②∠P+∠Q＝180°；③∠Q＝∠PMN；④PM＝QM；⑤MN2＝PN QN．其中正确的是_________.
三.解答题（60分）
21．（8分）如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC＝BD，连接AC交⊙O于点E，点E不与点A重合，
（1）AB与AC的大小有什么关系？为什么？
（2）若∠B＝60°，BD＝3，求AB的长．
22．（8分）如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC＝BD，连接AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若⊙O的半径为4，∠BAC＝60°，求DE的长．
23．（10分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AD的延长线与BC的延长线相交于点E，DC＝DE．
（1）求证：∠A＝∠AEB；
（2）如果DC⊥OE，求证：△ABE是等边三角形．
24.（10分）如图,在每个小正方形的边长均为1的网格中,△ABC的顶点A,C均落在格点上,点B在网格线上,且AB=.
(1)线段AC的长等于　　　　;
(2)以BC长为直径的半圆与边AC相交于点D,若P,Q分别为边AC,BC上的动点,当BP+PQ取得最小值时,请用无刻度的直尺,在如图所示的网格中,画出点P,Q,并简要说明点P,Q的位置是如何找到的(不要求证明):　 　　　　　　　.
25．（12分）如图⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°.
(1)△ABC的形状是____________．
(2)试探究线段AP，BP，CP之间的数量关系，并证明你的结论．
(3)当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．
26．（12分）新定义如图3－5－16，P为圆外一点，PB交圆于点A，B，PD交圆于点C，D，的度数为75°，的度数为15°.
(1)求∠P的度数；
(2)如果我们把顶点在圆外，并且两边都和圆相交的角叫圆外角，请你仿照圆周角定理“圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半”来概括出圆外角的性质；
(3)请你定义“圆内角”，并概括出圆内角的性质．
教师样卷
一．选择题(30分）
1.如图A,B,C是☉O上的三点,若∠C=35°,则∠ABO的度数是(　B　)
A.35°　　B.55°　　C.60°　　D.70°
第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 第5题图
2.如图,△ABC内接于☉O,CD是☉O的直径,∠ACD=40°,则∠B=(　C　)
A.70°　　B.60°　　C.50°　　D.40°
3．如图，⊙A过原点O，分别与x轴、y轴交于点C和点D，点B在⊙A上，已知∠B＝30°，⊙A的半径为2，则圆心A的坐标是（　A　）
A．（，1） B．（1，） C．（，1） D．（1，）
4．如图，AB，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，BE是⊙O的直径．若AC＝3，则DE的长是（　A　）
A．3 B．3.5 C．2 D．1.5
5．如图，点A，B，C，D为⊙O上的四个点，AC平分∠BAD，AC交BD于点E，CE＝4，CD＝6，则AE的长为（　B　）
A．4 B．5 C．6 D．7
6.如图,已知∠ABC=60°,点D为BA边上一点,BD=10,点O为线段BD的中点,以点O为圆心,线段OB的长为半径作弧,交BC于点E,连接DE,则BE的长是 (　A　)
A.5　 　B.5
解法一:由题意可得BD为☉O的直径,∴∠BED=90°,　∵∠ABC=60°,∴∠EDB=30°,∵BD=10,∴BE=5.故选A.解法二:如图,连接OE,由已知可得OE=OB=BD=5,∵∠ABC=60°,
∴△BOE是等边三角形,∴BE=OB=5.故选A.
第6题图 第7题图 第8题图 第9题图 第10题图
7．如图，△ABC的外接圆上，，，的度数之比为12∶13∶11.在劣弧BC上取一点D，分别作直线AC，AB的平行线，且交BC于E，F两点，则∠EDF的度数为(　C　)
A．55° B．60° C．65° D．70°
解:∵，，的度数之比为12∶13∶11，∴＝×360°＝120°，
＝×360°＝110°，∴∠ACB＝×120°＝60°，∠ABC＝×110°＝55°.
∵AC∥DE，AB∥DF，∴∠FED＝∠ACB＝60°，∠EFD＝∠ABC＝55°，∴∠EDF＝180°－60°－55°＝65°.故选C.
8.如图,AB为☉O的直径,弦CD交AB于点E,,∠CDB=30°,AC=2,则OE=(　C　)
A.　　 C.1　　D.2
解:如图,连接BC,∵AB为☉O的直径,,∴AB⊥CD,∵∠BAC=∠CDB=30°,AC=2,∴CE=,∴AE2=AC2-CE2=12-3=9,∴AE=3,∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°,∴AB=2BC,∴AB2-BC2=AC2,即4BC2-BC2=12,∴BC=2,∴AB=4,∴OA=2,∴OE=AE-OA=1.故选C.
9.如图,A、B、C是☉O上的点,且∠ACB=140°.在这个图中,画出下列度数的圆周角:40°,50°,90°,140°,仅用无刻度的直尺能画出的有(　D　)
A.1个　　B.2个　　C.3个　　D.4个
解:作直径AD,连接BD、AB,如图,∵∠ACB+∠D=180°,∴∠D=180°-140°=40°,∵AD为直径,∴∠ABD=90°,∴∠BAD=90°-∠D=50°.在上取一点E,连接AE、BE,如图,∴∠AEB=∠ACB=140°.故选D.
10.如图,AB是☉O的直径,BC是☉O的弦,先将沿BC翻折交AB于点D,再将,设∠ABC=α,则α所在的范围是 (　B　)
A.21.9°<α<22.3°　B.22.3°<α<22.7° C.22.7°<α<23.1°　D.23.1°<α<23.5°
解:如图,连接AC,CD,DE.∵,∴ED=EB,∴∠EDB=∠EBD=α,易知,∴AC=CD=DE,∴∠DCE=∠DEC=∠EDB+∠EBD=2α,∴∠CAD=∠CDA=∠DCE+∠EBD=3α,∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠CAB+∠ABC=90°,∴4α=90°,∴α=22.5°,故选B.
二．填空题(30分)
11．如图，在⊙O中，已知∠ACB＝∠CDB＝60°，弦AC＝3，则△ABC的周长是9．
第11题图 第12题图 第13题图 第14题图 第15题图
12．如图，以原点O为圆心的圆交x轴于A、B两点，交y轴的正半轴于点C，D为第一象限内⊙O上的一点，若∠DAB＝20°，则∠OCD＝　65 　°．
解：连接DO，∵∠DAB＝20°，∴∠DOB＝40°，∴∠COD＝90°﹣40°＝50°，∵CO＝DO，∴∠OCD＝∠CDO，∴∠OCD＝（180°﹣50°）÷2＝65°．故答案为：65．
13．如图，⊙O是△ABC的外接圆，CD是直径，∠B＝40°，则∠ACD的度数是　 50° 　．
解：连接AD，∵CD是直径，∴∠CAD＝90°，∵∠B＝40°，∴∠D＝40°，
∴∠ACD＝50°，故答案为50°．
14．如图，OB、OC是⊙O的半径，A是⊙O上一点，若∠B＝20°，∠C＝30°，则∠BOC＝　100° 　．
解：连接OA，如图，∵OA＝OB，OA＝OC，∴∠OAB＝∠B＝20°，∠OAC＝∠C＝30°，
∴∠BAC＝∠OAB+∠OAC＝50°，∴∠BOC＝2∠BAC＝100°．故答案为100°．
15．如图，⊙O的直径CD为6cm，OA，OB都是⊙O的半径，∠AOD＝2∠AOB＝60°，点P在直径CD上移动，则AP+BP的最小值为　 3 　．
解：作点A关于CD的对称点A′，连接A′B就是最小值（P此时为A′B与CD的交点），
∵|OA|＝|OB|＝|OA′|＝|CD|＝3cm且∠AOD＝2∠AOB＝60°，∴∠AOB＝∠BOD＝30°，
∵A关于CD的对称点A′，∴∠DOA′＝∠AOD＝60°，∴∠BOA′＝∠BOD+∠DOA′＝90°，∴△BOA′为等腰直角三角形，∴AP+BP的最小值为：|A′B|＝＝3cm．故答案为：3cm．
16．如图，有一个圆形展厅，在其圆形边缘上的点A处安装了一台监视器，它的监控角度是40°.为了监控整个展厅，最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器5台．
解:∵∠A＝40°，∴该圆周角所对弧的圆心角是80°，360°÷80°＝4.5，∴共需安装这样的监视器5台．
第16题图 第17题图 第18题图 第19题图 第20题图
17．如图，点A，B，C在⊙O上，CO的延长线交AB于点D，∠A＝50°，∠B＝30°，则∠ADC的度数为　110° 　．
18．如图，AB是⊙O的直径，半径OC⊥AB，过OC的中点D作弦EF∥AB，则∠ABE的度数是___15°____.
解：如图连接OE，设CD＝DO＝x，则r＝2x，∵在Rt△EDO中，＝2，∴∠DEO＝30°，
∵EF∥AB，∴∠FEB＝∠EBA，∵EO＝BO，∴∠BEO＝∠EBA，∴∠FEB＝∠BEO∴∠EBA＝15°．
19．如图，量角器外缘边上有A、P、Q三点，它们所表示的读数分别是180°，70°，30°，则∠PAQ的大小为___20度______.
解：P、Q所表示的读数分别是70°，30°，则设圆心是O，连接OP，OQ，则∠POQ＝40°，∠PAQ与∠POQ是同弧所对的圆心角与圆周角，因而∠PAQ＝＝20度．
20．如图，AB是⊙O的直径，M是⊙O上一点，MN⊥AB，垂足为N．P、Q分别是、上一点（不与端点重合），如果∠MNP＝∠MNQ，下面结论：①∠1＝∠2；②∠P+∠Q＝180°；③∠Q＝∠PMN；④PM＝QM；⑤MN2＝PN QN．其中正确的是_①③⑤_________.
解：延长MN交圆于点W，延长QN交圆于点E，延长PN交圆于点F，连接PE，QF∵∠PNM＝∠QNM，MN⊥AB，∴∠1＝∠2（故①正确），∵∠2与∠ANE是对顶角，∴∠1＝∠ANE，∵AB是直径，∴可得PN＝EN，同理NQ＝NF，∵点N是MW的中点，MN NW＝MN2＝PN NF＝EN NQ＝PN QN（故⑤正确），∴MN：NQ＝PN：MN，∵∠PNM＝∠QNM，
∴∠Q＝∠PMN（故③正确）．故选：B．
三.解答题（60分）
21．（8分）如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC＝BD，连接AC交⊙O于点E，点E不与点A重合，
（1）AB与AC的大小有什么关系？为什么？
（2）若∠B＝60°，BD＝3，求AB的长．
解：（1）AB＝AC．理由如下：连接AD，如图，∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC，∵BD＝CD，∴AB＝AC；
（2）在Rt△ABD中，∵∠B＝60°，∴AB＝2BD＝2×3＝6．
22．（8分）如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC＝BD，连接AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若⊙O的半径为4，∠BAC＝60°，求DE的长．
解：（1）证明：连接AD．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°．∵DC＝BD，∴AB＝AC．
（2）∵∠BAC＝60°，由（1）知AB＝AC，∴△ABC是等边三角形．在Rt△BAD中，∠BAD＝30°，AB＝8，∴BD＝4，即DC＝4．又∵DE⊥AC，∴DE＝2．
23．（10分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AD的延长线与BC的延长线相交于点E，DC＝DE．
（1）求证：∠A＝∠AEB；
（2）如果DC⊥OE，求证：△ABE是等边三角形．
证明：（1）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A＝∠DCE，∵DC＝DE，∴∠DCE＝∠DEC，∴∠A＝∠AEB；
（2）∵DC⊥OE，∴DF＝CF，∴OE是CD的垂直平分线，∴ED＝EC，又DE＝DC，∴△DEC为等边三角形，∴∠AEB＝60°，又∠A＝∠AEB，∴△ABE是等边三角形．
24.（10分）如图,在每个小正方形的边长均为1的网格中,△ABC的顶点A,C均落在格点上,点B在网格线上,且AB=.
(1)线段AC的长等于　　　　;
(2)以BC长为直径的半圆与边AC相交于点D,若P,Q分别为边AC,BC上的动点,当BP+PQ取得最小值时,请用无刻度的直尺,在如图所示的网格中,画出点P,Q,并简要说明点P,Q的位置是如何找到的(不要求证明):　 　　　　　　　.
解：(1)因为每个小正方形的边长均为1,所以由勾股定理可得AC=.
(2)理由:连接AM,CN,图略.利用网格补形的方法可求得S ACNM=5,设AC与MN之间的距离为h,
∴AC·h=·h=5,∴h=.易知BD⊥AC,
∵S△ABC=AC·BD,∴·BD,∴BD=.显然点B与点B'关于直线AC对称,这也就是先取点M,N的原因.∵点B,B'关于直线AC对称,∴BP=B'P,B'C=BC,∴∠B'BP=∠BB'P,∠B'BC=
∠BB'C,∴∠B'BC-∠B'BP=∠BB'C-∠BB'P,即∠PBQ=∠PB'E,
∵∠BPQ=∠B'PE,BP=B'P,∴△BPQ≌△B'PE,∴∠BQP=∠PEB',
∵∠PEB'=90°,∴∠BQP=90°,即B'Q⊥BC,此时BP+PQ取得最小值.
25．（12分）如图⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°.
(1)△ABC的形状是____________．
(2)试探究线段AP，BP，CP之间的数量关系，并证明你的结论．
(3)当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．
解：(1)△ABC是等边三角形．证明如下：在⊙O中，易得∠ABC＝∠APC，∠BAC＝∠CPB，又∵∠APC＝∠CPB＝60°，∴∠ABC＝∠BAC＝60°，∴△ABC为等边三角形．
(2)CP＝BP＋AP.证明如下：如解图①，在PC上截取PD＝AP.
又∵∠APC＝60°，∴△APD是等边三角形，∴AD＝AP＝PD，∠ADP＝60°，∴∠ADC＝120°.又∵∠APB＝∠APC＋∠BPC＝120°，∴∠ADC＝∠APB.在△APB和△ADC中，∵∴△APB≌△ADC(AAS)，∴BP＝CD.又∵PD＝AP，∴CP＝CD＋PD＝BP＋AP.
(3)如解图②，过点P作PE⊥AB，垂足为E，过点C作CF⊥AB，垂足为F.∵S△APB＝AB·PE，S△ABC＝AB·CF，∴S四边形APBC＝AB·(PE＋CF)．当点P为的中点时，PE＋CF＝PC，PC为⊙O的直径，∴此时四边形APBC的面积最大．又∵⊙O的半径为1，∴其内接正三角形的边长AB＝，∴此时S四边形APBC＝×2×＝.
26．（12分）新定义如图3－5－16，P为圆外一点，PB交圆于点A，B，PD交圆于点C，D，的度数为75°，的度数为15°.
(1)求∠P的度数；
(2)如果我们把顶点在圆外，并且两边都和圆相交的角叫圆外角，请你仿照圆周角定理“圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半”来概括出圆外角的性质；
(3)请你定义“圆内角”，并概括出圆内角的性质．
解：(1)如图①，连结AD，∵的度数是75°，的度数是15°∴∠BAD＝×75°＝37.5°，
∠ADC＝×15°＝7.5°，∴∠P＝∠BAD－∠ADC＝30°.
(2)圆外角的性质：圆外角的度数等于它所夹的较大弧的度数减去较小弧的度数所得差的一半．理由：如图①，连结AD，∵圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半，∴∠BAD ，∠ADC ，∴∠P＝∠BAD－∠ADC －＝(－)，∴圆外角的度数等于它所夹的较大弧的度数减去较小弧的度数所得差的一半．
(3)圆内角的定义：圆的两条弦在圆内相交所成的角叫做圆内角．圆内角的性质：圆内角的度数等于它和它的对顶角所对两弧的度数和的一半．
理由：如图②，延长BA，交圆于点D，延长CA，交圆于点E，连结CD.∵∠BAC是△ACD 的一个外角，∴∠BAC＝∠C＋∠D.∵圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半，∴∠C ，∠D ，∴∠BAC＝∠C＋∠D ＋＝(＋)．