1.4充分条件与必要条件 课件（共48张PPT）

(共48张PPT)
1.4.1 充分条件与必要条件
2023年下学期高一
1.命题：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句。
2.真命题：判断为真的命题叫真命题。
3.假命题：判断为假的命题叫假命题。
课前引入
中学数学中的许多命题都可以写成“若，则”的形式.
(2)3能被2整除吗？
(3)x>15.
(1)求证 是无理数.
(4)若x+y是有理数，
则x,y都是有理数 .
若平面内的两条直线垂直于同一条直线，则这两条直线互相平行.
(1)对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
(2)周长相等的两个三角形全等.
若平行四边形的对角线互相垂直,则这个平行四边形是菱形.
（真）
若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等.
（假）
（真）
[导练2]将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假：
(3)平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行;
下面我们将进一步考察命题中和的关系.

真
真
假
假
一般地，“若则”为真命题，是指由通过推理可以得出
这时，我们就说，由可以推出记作
是的充分条件
是的必要条件
如果“若,则”为假命题，那么就说条件不能推出记作此时，我们就说，.
不是的充分条件
不是的必要条件
新知生成
的充分条件
的必要条件
必要
用通俗语言阐释“充分”与“必要”
有这个条件就够了！
充分条件
必不可少的条件！
必要条件
p有充分的理由使q成立
(有p就有q)
q不成立则p必然不成立
（没q就没p）
充分条件在前，必要条件在后
先哲对于“充分”与“必要”的阐释
有之则必然，无之则未必不然
墨子(战国)
充分条件
无之则必不然，有之则未必然
必要条件
墨子(战国)
习题演练

不是
是
是
是
不是
是
举反例是判断一个命题是假命题的重要方法。
《数学必修第一册》P18例1
习题演练

思考2：“若四边形的两组对角分别相等，则四边形是平行四边形”

“四边形的两组对角分别相等”是“四边形是平行四边形”的一个充分条件
这样的充分条件唯一吗？如果不唯一，你能再给出几个不同的充分条件吗？
①若四边形的两组对边分别相等，则这个四边形是平行四边形.
②若四边形的一组对边平行且相等，则这个四边形是平行四边形.
③若四边形的两条对角线互相平分，则这个四边形是平行四边形.
▲p q：p是q的充分条件：是指条件p可推出结论q，
不意味着只有条件p可推出结论q，
数学的每条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件.
即：对给定结论q，使得q成立的条件p是不唯一的.

是
是
不是
是
不是
不是

《数学必修第一册》P19例2

思考3：“若四边形是平行四边形，则四边形的两组对角分别相等”

“四边形的两组对角分别相等”是“四边形是平行四边形”的一个必要条件
这样的必要条件唯一吗？如果不唯一，你能再给出几个不同的必要条件吗？
①若四边形是平行四边形，则这个四边形的两组对边分别相等；
②若四边形是平行四边形，则这个四边形的一组对边平行且相等；
③若四边形是平行四边形，则这个四边形的两条对角线互相平分.
▲p q：q是p的必要条件：是指条件p可推出结论q，
不意味着条件p只能推出结论q，
即：对给定条件p，由p可推出的结论q是不唯一的.
数学的每条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件.
新知巩固：充分与必要条件P20
p q
p是q的充分条件
p不是q的充分条件
p是q的充分条件
q是p的必要条件
q不是p的必要条件
p q
___ a//b
a//b ___
题型一：充分条件的判断与探求
例1.下列命题中，是否是的充分条件？
(1)
(2)四边形的对角线相等，四边形是矩形；
(3)
(4)无实根；
(5)设
不是
不是
是
是
是
(1)∵时，，但
∴，即不是的充分条件.
(2)∵等腰梯形的对角线相等，但等腰梯形不是矩形∴，即不是的充分条件.
(3)∵当时，成立，∴，即是的充分条件.
(4)∵当时，
即无实根.
∴，即是的充分条件.
(5)∵当时，满足.
∴，即是的充分条件.
变2.下列命题中，是否是的必要条件？
(1)两个三角形面积相等，两个三角形全等；
(2)四边形的对角线相等，四边形是矩形；
(3)
(4)，，（均为常数）
是
是
不是
是
解：(1)两个三角形全等两个三角形面积相等，所以是的必要条件.
(2)四边形是矩形四边形的对角线相等，所以是的必要条件.
(3)由得或，不一定有，所以不是的必要条件.
(4)由得所以是的必要条件.
方法技巧：
1.定义法判断必要条件的步骤：
(1)分清“条件”与“结论”.
(2)判断条件能否推出结论.
(3)下结论：若“结论条件”，则是的必要条件；若“结论条件”，则不是的必要条件.
2.集合法判断充分条件
已知满足条件,满足条件.若，则是的必要条件.
对充分条件与必要条件的理解
1.概念辨析






A
B
x
图1
Q
P
图2
如图1，“x∈A” “x∈B”；
“x∈A”是“x∈B”的 条件；
(用符号“ ”或“ ”填空)
(用“充分”或“必要”填空)
如图2，“x∈P”是“x∈Q”的 条件；
若“x∈M”是“x∈N”的 充分 条件，则M_____N
“x∈N”是“x∈M”的 必要 条件.
感
悟
与
归
纳
方法总结
核心素养 之 数学抽象 + 数学建模

例:已知条件：条件，若是的充分条件，则实数的取值范围是？若是的必要条件，则实数的取值范围是？
解：由得
令，
若是的充分条件，则
即∴.
若是的必要条件，则
即∴.
练习：的一个必要条件是（ ）.
习题演练
BD
练习：已知，若“”的必要条件是“”，则的取值范围是_____________.
小范围
推出
大范围
练习：下列命题正确的是( ).
A.“”是“”的必要条件
B.“”是“”的必要条件
C.“”是“”的必要条件
D.是的必要条件
解：∵∴A是真命题；
∵，，∴B是假命题；
∵∴C是真命题；
∵，∴不是的必要条件，D是假命题.
习题演练
AC
1.4.2 充要条件
2023年下学期高一
写出上述命题的逆命题
如果“若,则”和它的逆命题“若,则”均是真命题，即既有，又有，就记作.此时，既是的充分条件，也是的必要条件，我们就说
是的充分必要条件，简称为充要条件.显然，如果是的充要条件，那么也是的充要条件.
概括地说，如果，那么与互为充要条件.上述命题(1)(4)中的与互为充要条件.
新知3.四种条件关系
条件p 结论q p能否推q q能否推p p与q的关系
x=1 x3=1 p是q的________________条件
x>2 x2>4 p是q的________________条件
ab=0 a=0 p是q的________________条件
|a|>|b| a>b p是q的_________________条件
充分必要(充要)
充分不必要
必要不充分
既不充分也不必要
①若p q,且q p,则称p是q的充要条件(或q是p的充要条件),记作p q.
充分不必要
题型三：充分不必要条件和必要不充分的判断
充分不必要条件
充分不必要条件
必要不充分条件
既不充分也不必要条件
例3.下列各题中，是的什么条件（请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“既不充分也不必要条件”回答）？
新知演练：四种条件关系P21
(1)p是q的充分不必要条件
(2)p是q的充要条件
(3)p是q的必要不充分条件
(4)p是q的充要条件
解：(1)因为对角线互相垂直且平分的四边形不一定是正方形(为什么)，所以，所以不是的充要条件.
(2)因为“若,则”是相似三角形的性质定理，“若,则”是相似三角形的判定定理，所以它们均为真命题，即，所以是的充要条件.
(3)因为时，不一定成立(为什么)，所以，所以不是的充要条件.
(4)因为“若,则”与“若,则”均为真命题，即，所以是的充要条件.
方法技巧：
判断充分、必要条件的步骤
认清
找推式
下结论
分清哪个是条件，哪个是结论
判断“若，则”及“若，则”的真假
根据推论及定义下结论
新知4.充要条件的证明
p
q
方法技巧：
充要条件的证明思路
根据充要条件的定义，证明充要条件对要从充分性和必要性两个方面分别证明.一般地，证明“是的充要条件”:
(1)充分性：把当作已知条件，结合命题的前提条件，推出；
(2)必要性：把当作已知条件，结合命题的前提条件，推出.
一般地，证明“成立的充要条件为”:
(1)充分性，把当作已知条件，结合命题的前提条件，推出；
(2)必要性，把当作已知条件，结合命题的前提条件，推出.
p q
q p
新知演练.充要条件的证明
例4.已知：的半径为，圆心到直线的距离为.求证：是直线与相切的充要条件.
证明：设：直线与相切.
(1)充分性()：如图，作于点，则若则点在上.在直线上任取一点(易于点),连接在中，所以，除点外直线上的点都在的外部，即直线与仅有一个公共点.所以直线与相切.
(2)必要性()：若直线与相切，不妨设切点为，则因此，.
由(1)(2)可得，是直线与相切的充要条件.
《数学必修第一册》P22例4
新知5.条件类型与集合的关系
充分
P
Q
必要
P(Q)
Q
P
P(Q)
充要
“充小必大”：
充分条件范围小
必要条件范围大
新知5.条件类型与集合的关系
①p是(q的)充分条件：
③p是(q的)充要条件：
④p是(q的)充分不必要条件：
⑤p是(q的)必要不充分条件：
已知p: x∈P，q: x∈Q，则p,q对应的集合满足“充小必大”
充分条件范围小
必要条件范围大
②p是(q的)必要条件：
P
Q
Q
P
例:若集合
则的充要条件是 (　　)　　　 　　　　　
解析:由,得解得.
A
新知巩固：条件类型与集合关系
[例]“x2<9”的必要不充分条件是________．
析：即_____是“x2<9”的必要不充分条件．
析：即_____是“-3大
小
A.0C
A
小
大
新知演练：条件类型与集合关系
[例]设p：-2≤x≤10，q：1－m≤x≤1+m(m>0)．若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是_______．
{m|0变式:若将本例中“的必要不充分条件”改为的充分不必要条件”,其他条件不变,则实数的取值范围是___________.
解析
特别地








练习：（1）已知,求证是的充要条件.
(2)求关于的方程至少有一个负根的充要条件.
解:因为关于的方程至少有一个负根,
所以当时,,满足题意;
当时,设两根分别为,则
或
解得或.
综上,关于的方程至少有一个负根的充要条件为