高中一年级三角函数试题（含解析）

高一三角函数测试
姓名：___________班级：___________
一、单选题
1．直角三角形的最长边的长为10,一条直角边长为6,另一条直角边长为(　　)
A．6 B．8 C．10 D．4
2．如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到建筑物的高度是（ ）
A．12米 B．13米 C．14米 D．5米
3．下面四组线段能够组成直角三角形的是(　　)
A．2,3,4 B．3,4,5 C．6,7,8 D．7,8,9
4．如图所示, 一个高1.5米,宽3.6米的大门,需要在相对的顶点间用一条木板加固,则这块木板的长度是(　　)
A．3.8米 B．3.9米 C．4米 D．4.4米
5．如图所示,在ΔABC中,AB=AC=10,AD⊥BC于点D,若AD=6,则ΔABC的周长是 (　　)
A．36 B．40 C．38 D．32
6．如图，两个较大正方形的面积分别为225、289，则字母A所代表的正方形的面积为（　　）
A．4 B．8 C．16 D．64
7．如图，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树干底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是（　　）
A．8米 B．12米 C．5米 D．5或7米
8．满足下列条件的，不是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B离墙角C的距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上了，测得BD长为0.9米，则梯子顶端A下滑（　　）．
A．0.9米 B．1.3米 C．1.5米 D．2米
10．如图，一只蚂蚁从A点沿圆柱侧面爬到顶面相对的B点处，如果圆柱的高为8cm，圆柱的半径为cm，那么最短路径AB长( )
A．8 B．6 C．平方后为208的数 D．10
11．一个圆桶，底面直径为24 cm，高32cm，则桶内所能容下的最长木棒为( ) ．
A．24cm B．32cm C．40 cm D．45
12．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB＝17，BD＝15，DC＝6，则AC的长为(　　)．
A．11 B．10 C．9 D．8
13．已知a、b、c是三角形的三边长，若满足，则这个三角形的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．直角三角形
14．如图，在中，，于点，则的长是（ ）
A．6 B． C． D．
15．如图，分别以直角三角形的三边为边长向外作正方形，然后分别以三个正方形的中心为圆心，正方形边长的一半为半径作圆，记三个圆的面积分别为，，，则，，之间的关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
16．如图1，有一个由传感器控制的灯，要装在门上方离地高的墙E，任何东西只要移至该灯及5以内时，灯就会自动发光如图2，当一个身高的学生（即）走到灯刚好发光的地方时，他离墙的距离为（ ）
图1 图2
A． B． C． D．
17．如图，有一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上且与AE重合，则BD的长为（ ）
A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm
18．将一个直角三角形的三边都扩大为原来的3倍后，得到的新三角形为（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
二、填空题
19．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，则小正方形的面积为 （用a、b表示代数式）
20．如图为某楼梯的侧面，测得楼梯的斜长AB为13米，高BC为5米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要 米．
21．中，，则 ．
22．如图，在直线上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是、、、，则 ．
23．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何 ”翻译成数学问题是：如图所示，中，∠ACB＝90°，AC＋AB＝10，BC＝3，求AC的长，如果设AC＝x，则可列方程为 （方程不用化简）．
三、解答题
24．我市某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，为了绿化环境，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90°，AB=3m，DA=4m，BC=12m，CD=13m．
（1)求出空地ABCD的面积．
（2)若每种植1平方米草皮需要200元，问总共需投入多少元？

25．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1m，当他把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高.
26．《中华人民共和国道路交通管理条例》规定：小汽车在城市街道上行驶速度不得超过70千米/时，一辆小汽车在一条城市街道上直向行驶，某一时刻正好行驶到距车速检测仪正前方50米的处，过了6秒后，测得小汽车的位置与车速检测仪之间的距离为130米，这辆小汽车超速了吗？请说明理由.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】根据勾股定理进行求解即可得.
【详解】由直角三角形的最长边的长为10，一条直角边长为6，
所以另一条直角边为：=8，
故选B.
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键.
2．A
【分析】根据题意画出图形，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，∵梯子的底端离建筑物5 米，梯子长为13米，
∴（米）．
∴梯子可以到达建筑物的高度为12米.
故选：A．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
3．B
【分析】根据勾股定理的逆定理逐项进行判断即可得.
【详解】A、22 +32 ≠42 ，故不是直角三角形，故本选项错误；
B、32 +42=52 ，故是直角三角形，故本选项正确；
C、62+72≠82 ，故不是直角三角形，故本选项错误；
D、72 +82≠92 ，故不是直角三角形，故本选项错误，
故选B.
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键.
4．B
【分析】由于大门的宽和高与所加固的木板正好构成直角三角形，故利用勾股定理进行求解即可得.
【详解】设这条木板的长度为x米，
由勾股定理得：x2=1.52+3.62，
解得x=3.9米，
故选B．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，在实际问题中找到直角三角形是解决问题的关键.
5．A
【分析】由等腰三角形的性质可知BC=2BD，根据题意可知△ABD是直角三角形，利用勾股定理求出BD的长即可得BC的长，然后利用三角形的周长公式进行求解即可得答案.
【详解】∵AB=AC=10，AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，BC=2BD，
∴BD==8，
∴BC=16，
∴AB+AC+BC=10+10+16=36，
故选：A.
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键.
6．D
【分析】设直角三角形的三边长分别为a、b、c，由题意得，代入得到，计算求出答案即可．
【详解】如图，设直角三角形的三边长分别为a、b、c，
由题意得，
，
∴，
∴字母A所代表的正方形的面积是，
故选：D．
【点睛】此题考查了以弦图为背景的证明，熟记勾股定理的计算公式、理解三个正方形的面积关系是解题的关键．
7．A
【分析】先根据勾股定理求出折断部分的长，再加上没折断的部分即可.
【详解】米，
3+5=8米.
故选A.
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，在直角三角形中，如果两条直角边分别为a和b，斜边为c，那么a2+b2=c2.也就是说，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
8．D
【分析】根据勾股定理的逆定理，以及三角形的内角和定理进行计算即可解答．
【详解】解：A、即，则是直角三角形，故该选项不符合题意；
B、，设，
∴，，
∴，则是直角三角形，故该选项不符合题意；
C、，，
∴，
∴，则是直角三角形，故该选项不符合题意；
D、，，
最大角为，则不是直角三角形，故该选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形内角和定理是解题的关键．
9．B
【分析】要求下滑的距离，显然需要分别放到两个直角三角形中，运用勾股定理求得AC和CE的长即可．
【详解】解：∵在Rt△ACB中，，
∴AC＝2米，
∵BD＝0.9米，
∴CD＝BD+BC=0.9+1.5=2.4（米），
∵在Rt△ECD中，EC2＝ED2﹣CD2＝2.52﹣2.42＝0.49，
∴EC＝0.7米，
∴AE＝AC﹣EC＝2﹣0.7＝1.3（米），故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
10．D
【分析】首先根据画出示意图,连接AB,根据圆的周长公式算出底面圆的周长,AC=×底面圆的周长,再在Rt△ACB中利用勾股定理算出AB的长即可.
【详解】接AB,
∵圆柱的底面半径为cm，
∴AC= ,
Rt△ACB中,AB2=AC2+CB2=36+64=100,
∴AB=10cm,
即蚂蚁爬行的最短路径长为10cm.
故选D.
【点睛】此题主要考查了勾股定理，平面展开图---最短路径问题，做此类题目先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径.一般情况是两点之间，线段最短.在平面图形上构造直角三角形解决问题.
11．C
【分析】桶内能容下的最长的木棒是圆桶内最长的对角线的长，利用勾股定理求出圆桶内最长的对角线的长度，即可解答题目.
【详解】圆桶内最长对角线的长为：AB==40（cm），
则桶内能容下的最长的木棒为40cm．
故选C.
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，勾股定理揭示了直角三角形三边长之间的数量关系：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.当题目中出现直角三角形，且该直角三角形的一边为待求量时，常使用勾股定理进行求解，这在几何的计算问题中是经常用到的，请同学们熟记并且能熟练地运用它.
12．B
【分析】在直角△ABD中由勾股定理可以求得AD的长度；然后在直角△ACD中，根据勾股定理来求线段AC的长度即可．
【详解】如图，∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°.
又∵AB=17，BD=15，DC=6，
∴在直角△ABD中,由勾股定理得到：AD2=AB2 BD2=64.
在直角△ACD中,由勾股定理得到：AC= =10，即AC=10.
故选B.
【点睛】此题考查勾股定理，解题关键在于掌握运算公式.
13．D
【分析】首先根据绝对值，平方数与算术平方根的非负性，求出a，b，c的值，在根据勾股定理的逆定理判断其形状是直角三角形．
【详解】∵（a-6）2≥0，≥0，|c-10|≥0，
∴a-6=0，b-8=0，c-10=0，
解得：a=6，b=8，c=10，
∵62+82=36+64=100=102，
∴这个三角形是直角三角形．
故选D．
【点睛】本题主要考查了非负数的性质与勾股定理的逆定理，此类题目在考试中经常出现，是考试的重点．
14．D
【分析】根据勾股定理的应用与性质即可求解．
【详解】∵，，
∴BC＝
∵
∴CD＝＝＝
故选：D
【点睛】此题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是熟知勾股定理的性质．
15．A
【分析】设大圆的半径是r3，两个小圆的半径分别是r1和r2，分别计算大圆的面积S3，两个小圆的面积S1，S2，根据直角三角形中大圆小圆直径（2r3）2=（2r1）2+（2r2）2的关系，可以求得S1+S2=S3．
【详解】：设大圆的半径是r3，则S3=πr32；
设两个小圆的半径分别是r1和r2，
则S1=πr12，S2=πr22．
由勾股定理，知（2r3）2=（2r1）2+（2r2）2，
得r32=r12+r22．所以S1+S2=S3．
故答案为S1+S2=S3．
故选A.
【点睛】本题考查了勾股定理的正确运算，在直角三角形中直角边与斜边的关系，本题中巧妙地运用勾股定理求得：（2r3）2=（2r1）2+（2r2）2是解题的关键．
16．A
【分析】过点作，交于点，构造出直角三角形，利用勾股定理解答．
【详解】过点作，交于点.
由题意可知，，
所以.
在中，，
由勾股定理得 ，
所以，
故学生走到灯刚好发光的地方时，他离墙的距离为
故选A.
【点睛】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
17．A
【分析】根据折叠的性质可得AC=AE=6cm，CD=DE，∠ACD=∠AED=∠DEB=90°，利用勾股定理列式求出AB，从而求出BE，设CD=DE=x cm，表示出BD，然后在Rt△DEB中，利用勾股定理列式计算即可得解．
【详解】解：∵△ACD与△AED关于AD成轴对称，
∴AC=AE=6cm，CD=DE，∠ACD=∠AED=∠DEB=90°，
在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2=62+82=102，
∴AB=10cm，
∴BE=AB-AE=10-6=4(cm)，
设CD=DE=x cm，则DB=BC-CD=（8-x）cm，
在Rt△DEB中，由勾股定理，得x2+42=（8-x）2，
解得x=3，
∴CD=3cm．
∴BD=8-x =8-3=5(cm)，
故选：A．
【点睛】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，熟记性质并表示出Rt△DEB的三边，然后利用勾股定理列出方程是解题的关键．
18．A
【分析】由题中的三角形是直角三角形得到三边关系，再由题意表示出新三边，进而用勾股定理的逆定理进行判断即可.
【详解】解：设原直角三角形的三边分别为a、b、c，其中c为斜边，则有；三边扩大3倍后边长分别为3a、3b、3c，因为，所以由这三边组成的新三角形仍然是直角三角形，故选A.
【点睛】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，抓住题中的三角形是直角三角形得到三边关系，再由题意表示出新三边，进而用勾股定理的逆定理进行判断是解题的思路.
19．（a﹣b）2，
【分析】根据示意图表示出小正方形的边长，即可表示出小正方形的面积．
【详解】∵图中四个直角三角形全等，直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，
∴小正方形的边长为：a-b，
∴小正方形的面积为：(a-b)2．
故答案为（a﹣b）2，
【点睛】考查了正方形的面积，注意数形结合思想在解题中的应用．
20．17
【分析】当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可．
【详解】由勾股定理得：
楼梯的水平宽度
∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，
地毯的长度至少是12+5=17米.
故答案为17.
【点睛】考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键.
21．8
【分析】由为直角三角形，利用勾股定理得到斜边的平方等于两直角边的平方和，根据斜边的长，可得出两直角边的平方和，然后将所求式子的后两项结合，将各自的值代入即可求出值．
【详解】解：如图，
∵中，，
∴是斜边，
∴，
又∵，
∴，
则．
故答案为：8．
【点睛】本题考查了勾股定理，整体解答是解题的关键．
22．4
【分析】如图（见解析），先根据正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质可得，再根据勾股定理、等量代换可得，同理可得其他正方形的对应等式，然后代入求和即可得．
【详解】解：设正放置的四个正方形的边长分别为，，，，
则
如图，由正方形的性质得：，
，
，即
在和中，
，，
在中，，即
同理可得：
故答案为：4．
【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等知识点，解题的关键是根据三角形全等的判定方法找出全等三角形．
23．
【分析】设AC=x，则AB=10-x，再由即可列出方程．
【详解】解：∵，且，
∴，
在Rt△ABC中，由勾股定理有：，
即：，
故可列出的方程为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解决本题的关键．
24．（1)36；（2)7200元．
【分析】（1)连接BD．在Rt△ABD中可求得BD的长，由BD、CD、BC的长度关系可得△DBC为直角三角形，DC为斜边；由四边形ABCD由Rt△ABD和Rt△DBC构成，则容易求解；
（2)根据总费用=面积×单价解答即可．
【详解】解：（1)连接BD．
在Rt△ABD中，BD2=AB2+AD2=32+42=52．
在△CBD中，CD2=132，BC2=122，而122+52=132，即BC2+BD2=CD2，
∴∠DBC=90°，
S四边形ABCD=S△BAD+S△DBC= AD AB+DB BC=×4×3+×12×5=36．

（2)需费用36×200=7200（元)．
答：总共需投入7200元．
【点睛】本题考查了勾股定理及逆定理的应用，通过勾股定理由边与边的关系也可证明直角三角形，这样解题较为简单．
25．12m
【分析】根据题意设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+1）m，再利用勾股定理即可求得AB的长，即旗杆的高．
【详解】解：设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+1）m
在Rt△ABC中，
∴
解得x＝12
∴AB＝12
∴旗杆的高12m.
【点睛】此题考查了学生利用勾股定理解决实际问题的能力，关键是利用勾股定理即可求得AB的长．
26．小汽车超速了,理由见解析
【分析】先根据勾股定理得到BC=120米，再求出其速度即可得出答案.
【详解】由题意可知：米，米.
在中，是斜边，由勾股定理可得：
，即，
解得：米千米，
∵6秒小时，
∴速度为：（千米/时）.
∵72千米/时千米/时，
∴该小汽车超速了.
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题关键.本题要注意单位的统一.
答案第1页，共2页
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