数学人教A版（2019）必修第一册2.1等式与不等式性质（共30张ppt）

(共30张PPT)
2.1 等式与不等式性质
第二章 一元二次函数、方程与不等式
现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系．例如多与少、大与小、长与短、轻与重等，又如两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，等等．
B
A
C
B
A
这种不等关系都可用不等式来表示．
1.限速40km/h的路标,指示司机在前方路段行驶时,
应使汽车的速度v不超过40km/h,写成不等式就是:
_____________.
2.某品牌酸奶的质检查规定,酸奶中脂肪的含量f
应不少于2.5%,蛋白质的含量p应不少于2.3%,写
成不等式组就是:
0f ≥ 2.5%,
p ≥ 2.3%
1.不等关系
一：不等关系与不等问题
讲授新知
常见的文字语言与符号语言之间的转换
文字语言 大于，高于，超过 小于，低于，少于 大于等于，至少，不低于 小于等于，至多，不超过
符号语言 __ __ ___ ___
>
<
≥
≤
问题1 设点A与平面 的距离为d，B为平面 上的任意一点，则d |AB|.
A
B
B
B
d
2.不等问题
≤
问题2 :某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以销售出8万本。据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本，若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？
元万本
单价提高元销量减少2000本
单价提高元销量减少2万本
解：设提价后每本杂志的单价为元，则销售总收入为万元.
于是，不等关系“销售总收入不低于20万元”可以用不等式表示为： ①
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例1
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例2
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小奶茶
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可乐
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马卡龙
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对点2
刮一刮
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对点3
刮一刮
刮一刮
刮一刮
对点1
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　　例1.某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车，根据需要，A型汽车至少买5辆，B型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式(组).
解：设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆、y辆，
探究　在初中，我们知道由于数轴上的点与实数一一对应，所以可以利用数轴上点的位置关系来规定实数的大小关系，具体是如何规定的呢？
　设a，b是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是A，B.那么，当点A在点B的左边时，ab.
关于两个实数大小关系的基本事实：
1、一个事实：
（1）对于任意两个实数a、b，在a＞b，a= b，a＜b三种关系中有且仅有一种成立．
（2）判断两个实数大小：
比较两个实数a与b的大小,归结为判断它们的差a-b的符号
二:不等式的性质
例1.比较和的大小.
解：∵
∴
这里，我们借助多项式减法运算，得出了一个明显大于0的数(式).这是解决不等式问题的常用方法.
0是正数与负数的分界点，它为实数比较大小提供了“标杆”.
例2.已知，比较与的大小.
变2.(1)已知，比较与的大小.
解(1)：∵
变2.(2)比较与的大小.
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例1
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例2
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小奶茶
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可乐
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马卡龙
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对点2
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对点3
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对点1
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对点2已知a>0,比较与的大小.
对点3.已知0解：
新知探索
右图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客.你能在这个图中找出一些相等关系和不等关系吗？
将图中的“风车”抽象成图.在正方形中有4个全等的直角三角形.
新知探索
设直角三角形的两条直角边的长为，那么正方形的边长为.
由于正方形的面积大于4个直角三角形的面积和，我们就得到了一个不等式：
这样，4个直角三角形的面积和为，正方形的面积为.
新知探索
当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有：
于是就有
新知探索
一般地，，有，
当且仅当时，等号成立.
事实上，利用完全平方公式，得：
因为，，
当且仅当时，等号成立，所以.
因此，由两个实数大小关系的基本事实，
得，当且仅当时，等号成立.
练习
实际应用
用一段长为30的篱笆围成一个一遍靠墙的矩形菜园，墙长18，要求菜园的面积不小于110靠墙的一边长为试用不等式表示其中的不等关系.
解：由于矩形菜园靠墙的一边长为，而墙长为18，∴
这时菜园的另一条边长为
因此菜园的面积
依题意有即
故该题中的不等式关系表示为
练习
变1.用一段长为30的篱笆围成一个一遍靠墙的矩形菜园，墙长18，要求矩形菜园的长宽都不能超过11，靠墙的一边长为试用不等式表示其中的不等关系.
解：由于矩形菜园靠墙的一边长为，
这时菜园的另一条边长为
而矩形的长宽都不能超过11，
∴有
即.
练习
方法技巧：
1.用不等式(组)表示不等关系的步骤：
(1)审清题意，明确条件中的不等关系的个数；
(2)适当设未知数表示变量；
(3)用不等式表示每一个不等关系，并写成不等式组的形式.
2.用不等式表示不等关系的注意点
(1)利用不等式表示不等关系时，应注意必须是具有相同性质，可以比较大小的两个量才可用，没有可比性的两个量之间不能用不等式来表示.
(2)在用不等式表示实际问题时，一定要注意单位统一.
练习
方法技巧：
比较两个实数(代数式)大小的步骤：
(1)作差.对要比较大小的两个实数(或式子)作差；
(2)变形.对差进行变形；
(3)判断差的符号.结合变形的结果及题设条件判断差的符号；
(4)得出结论.
上述步骤可概括为“三步一结论”，这里的“判断符号”是目的，“变形”是关键.在变形中，一般变得越彻底，越有利于下一步的判断.其中变形的技巧较多，常见的有因式分解法、配方法、有理化法等.
思考.
用今天所学的数学知识来解释生活中“糖水加糖甜更甜”的现象.
谢谢学习