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2.1 整式（重难点）
【知识精讲】
【知识点一、.代数式】
用基本运算符号把数和字母连接而成的式子叫做代数式，如n，－1，2n＋500，abc．单独的一个数或一个字母也是代数式．
【知识点二、单项式】
1.表示数与字母的乘积的代数式叫单项式．单独的一个数或一个字母也是代数式．
2.单项式的系数：单项式中的数字因数
3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和
【知识点三、多项式】
1.几个单项式的和叫做多项式．每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项．
2.多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数．常数项的次数为0.
【知识点四、整式】
单项式和多项式统称为整式．
注意：分母上含有字母的不是整式．
【知识点五、代数式书写规范】
数与字母、字母与字母中的乘号可以省略不写或用“·”表示，并把数字放到字母前；
2 .出现除式时，用分数表示；
带分数与字母相乘时，带分数要化成假分数；
若运算结果为加减的式子，当后面有单位时，要用括号把整个式子括起来．
【重点题型】
考点1：列代数式
例1．某商店经销一种品牌的空气炸锅，其中某一型号的空气炸锅的进价为每台元，商店将进价提高30%后作为零售价销售，一段时间后，商店又按零售价的8折销售，这时该型号空气炸锅的零售价为（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
【变式训练1-1】．某种草莓的售价是元，现用元买这种草莓，应找回（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
【变式训练1-2】．用代数式表示“a的3倍与1的和”，正确的是 （ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-3】．一个两位数，它的个位数字是，十位数字是，那么这个两位数是（ ）
A． B． C． D．
考点2：单项式的定义及判定
例2．下列各式：，其中单项式有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【变式训练2-1】．单项式的次数是（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【变式训练2-2】．单项式的系数和次数分别为（ ）
A．，3 B．，2 C．，3 D．，2
【变式训练2-3】．下列说法错误的是（ ）
A．是二次三项式 B．a是单项式 C．的系数是 D．的次数是6
考点3：多项式的定义及判定
例3．下列说法正确的是（ ）
A．是六次六项式 B．是多项式 C．是三次二项式 D．是二次二项式
【变式训练3-1】．在下列代数式：，，，，，，中，多项式有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式训练3-2】．在多项式中，次数最高的项的系数为（ ）
A．3 B．5 C． D．1
【变式训练3-3】．下列说法正确的是（ ）
A．是单项式 B．单项式的系数为2
C．是单项式 D．多项式的次数是2
【点睛】本题主要考查了单项式的相关概念，准确理解单项式的相关概念是解题的关键
考点4：数字、字母类规律探究
例4．13．有一组数依次为，，，…按此规律，第个数为 ．（用含的代数式表示）
【变式训练4-1】．一组数据为，，，…，观察其规律，推断第个数据应为 ．
【变式训练4-2】请你观察下面的一组等式：；；；……．请你根据此规律，写出第n个等式： ．
【变式训练4-3】．已知：
；
；
……；
按此规律，则 ．
考点5：图形规律探究
例5．下面由火柴棒拼出的一系列图形中，第n个图形由n个正方形组成：
通过观察可以发现，第四个图形中，火柴棒有 根，第五个图形中，火柴棒有 根；第n个图形中，火柴棒有 根（用含n的代数式表示）．
【变式训练5-1】．观察下列图形：第1个图形有6根小棒，第2个图形有11根小棒，第3个图形有16根小棒，…，则第n个图形中有 根小棒．（n为正整数）
【变式训练5-2】．用正三角形、正四边形和正六四边形按如图所示的规律拼图案，则第n个图案中正三角形的个数为 ．
【变式训练5-3】．如图是某广场用地板铺设的部分图案，中央是一块正六边形的地板砖，周围是正三角形和正方形的地板砖．从里向外的第1层包括6个正方形和6个正三角形，第2层包括6个正方形和18个正三角形，依此递推，第10层中含有正三角形个数为 个，第层含有正三角形个数为 个．
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2.1 整式（重难点）
【知识精讲】
【知识点一、.代数式】
用基本运算符号把数和字母连接而成的式子叫做代数式，如n，－1，2n＋500，abc．单独的一个数或一个字母也是代数式．
【知识点二、单项式】
1.表示数与字母的乘积的代数式叫单项式．单独的一个数或一个字母也是代数式．
2.单项式的系数：单项式中的数字因数
3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和
【知识点三、多项式】
1.几个单项式的和叫做多项式．每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项．
2.多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数．常数项的次数为0.
【知识点四、整式】
单项式和多项式统称为整式．
注意：分母上含有字母的不是整式．
【知识点五、代数式书写规范】
数与字母、字母与字母中的乘号可以省略不写或用“·”表示，并把数字放到字母前；
2 .出现除式时，用分数表示；
带分数与字母相乘时，带分数要化成假分数；
若运算结果为加减的式子，当后面有单位时，要用括号把整个式子括起来．
【重点题型】
考点1：列代数式
例1．某商店经销一种品牌的空气炸锅，其中某一型号的空气炸锅的进价为每台元，商店将进价提高30%后作为零售价销售，一段时间后，商店又按零售价的8折销售，这时该型号空气炸锅的零售价为（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
【答案】C
【分析】根据题意可以得到最后打折后的零售价，从而可以解答本题．
【详解】解：由题意可得， 某一型号的空气炸锅的零售价：（元），
故选C．
【点睛】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．
【变式训练1-1】．某种草莓的售价是元，现用元买这种草莓，应找回（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
【答案】B
【分析】用减去购买草莓的钱数即可得到答案．
【详解】解：由题意得，应找回元，
故选B．
【点睛】本题主要考查了列代数式，正确理解题意是解题的关键．
【变式训练1-2】．用代数式表示“a的3倍与1的和”，正确的是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先表示a的3倍，再表示与1的和．
【详解】解：“a的3倍与1的和”可表示为，
故选：B．
【点睛】本题考查列代数式，判断出运算顺序是解决本题的关键．
【变式训练1-3】．一个两位数，它的个位数字是，十位数字是，那么这个两位数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据两位数的表示方法：十位数字个位数字，即可解答．
【详解】解：∵一个两位数，它的个位数字是，十位数字是，
∴根据两位数的表示方法，这个两位数表示为：．
故选：B．
【点睛】本题考查了用字母表示数的方法，会用含有字母的式子表示数量是解题的关键．
考点2：单项式的定义及判定
例2．下列各式：，其中单项式有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】C
【分析】根据单项式的定义进行判断即可．
【详解】解：所给式子中，是单项式，有3个，
故选：C．
【点睛】本题考查了单项式的定义：只含有数与字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．
【变式训练2-1】．单项式的次数是（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】直接利用单项式的次数的定义得出答案．
【详解】解：单项式的次数是．
故选：D．
【点睛】本题考查了单项式的次数，正确把握定义是解题的关键．单项式的次数是指所有字母的指数之和．
【变式训练2-2】．单项式的系数和次数分别为（ ）
A．，3 B．，2 C．，3 D．，2
【答案】A
【分析】直接利用单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，即可得出答案．
【详解】单项式的系数和次数分别是：，3．
故选：A．
【点睛】本题考查了单项式的定义．确定单项式的系数和次数时，把一个单项式写成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键．
【变式训练2-3】．下列说法错误的是（ ）
A．是二次三项式 B．a是单项式 C．的系数是 D．的次数是6
【答案】D
【分析】利用多项式的项数与次数的定义，单项式的次数与系数的定义解答即可．
【详解】解：A、是二次三项式，原说法正确，故此选项不符合题意；
B、a是单项式，原说法正确，故此选项不符合题意；
C、的系数是，原说法正确，故此选项不符合题意；
D、的次数是4，原说法错误，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查了多项式，单项式，熟练掌握多项式和单项式的有关定义是解本题的关键．
考点3：多项式的定义及判定
例3．下列说法正确的是（ ）
A．是六次六项式 B．是多项式 C．是三次二项式 D．是二次二项式
【答案】B
【分析】几个单项式的和是多项式，多项式中的每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高项次数，就是这个多项式的次数．
【详解】解：A. 是五次二项式，故A错误，不符合题意；
B. 是多项式，故B正确，符合题意；
C. 中是常数项，是二次二项式，故C错误，不符合题意；
D. 是三次二项式，故D错误，不符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查多项式的定义、次数和项数等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
【变式训练3-1】．在下列代数式：，，，，，，中，多项式有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】多项式是几个单项式的和，可得答案．
【详解】解：在：，，，，，，中，
，π+2是单项式，
，不是整式，不是多项式，
多项式有：，，，有3个．
故选：B．
【点睛】本题考查了多项式的定义，熟记多项式的定义（由几个单项式的和组成的代数式叫做多项式）是解题关键．
【变式训练3-2】．在多项式中，次数最高的项的系数为（ ）
A．3 B．5 C． D．1
【答案】C
【分析】多项式是几个单项式之和，单项式的次数是其所有字母的指数之和．
【详解】解：多项式中，最高次项是，其系数是．
故选：C．
【点睛】本题考查了多项式的定义以及单项式的系数和指数，属于基础题．
【变式训练3-3】．下列说法正确的是（ ）
A．是单项式 B．单项式的系数为2
C．是单项式 D．多项式的次数是2
【答案】C
【分析】根据单项式，多项式的概念，以及单项式的系数，次数的概念，依次进行判断即可．
【详解】解：A、是多项式，选项说法错误，不符合题意；
B、系数为，选项说法错误，不符合题意；
C、是单项式，选项说法正确，符合题意；
D、的次数是4， 选项说法错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了单项式的相关概念，准确理解单项式的相关概念是解题的关键
考点4：数字、字母类规律探究
例4．13．有一组数依次为，，，…按此规律，第个数为 ．（用含的代数式表示）
【答案】/
【分析】根据所给分数，分别找出分子分母的规律即可得出答案．
【详解】解：∵一组数依次为，，，…
∴第个数为，
故答案为：．
【点睛】本题考查数字类规律探索，找出规律是解题的关键．
【变式训练4-1】．一组数据为，，，…，观察其规律，推断第个数据应为 ．
【答案】
【分析】通过观察题意可得：n为奇数时，单项式为负数．系数的指数为n时，x的指数为，由此可解出本题．
【详解】解：∵单项式的系数为，4，···，
∴n为奇数时，系数为正数，n为偶数时，系数为负数，
∴系数为；单项式的指数为．
∴第n个数据应为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了单项式，确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键．分别找出单项式的系数和次数的规律也是解决此类问题的关键．
【变式训练4-2】请你观察下面的一组等式：；；；……．请你根据此规律，写出第n个等式： ．
【答案】
【分析】根据条件找规律写代数式即可．
【详解】解：∵；；；
∴
故答案为：．
【点睛】本题主要考查有理数找规律问题，涉及带用字母表示数集列代数式，能够通过条件找到规律是解题关键．
【变式训练4-3】．已知：
；
；
……；
按此规律，则 ．
【答案】
【分析】根据已知得到规律并解答．
【详解】解：∵
；
；
∴
故答案为：．
【点睛】此题考查了整式的运算规律，能根据已知的等式发现规律并应用是解题的关键．
考点5：图形规律探究
例5．下面由火柴棒拼出的一系列图形中，第n个图形由n个正方形组成：
通过观察可以发现，第四个图形中，火柴棒有 根，第五个图形中，火柴棒有 根；第n个图形中，火柴棒有 根（用含n的代数式表示）．
【答案】 13 16
【分析】数一数第四个图形中火柴棒的根数即可，再根据前四个图形中火柴棒的根数，归纳类推出一般规律，由此即可得．
【详解】解：由图可知，第一个图形中火柴棒的根数是，
第二个图形中火柴棒的根数是，
第三个图形中火柴棒的根数是，
第四个图形中火柴棒的根数是，
第五个图形中火柴棒的根数是，
归纳类推得：第个图形中火柴棒的根数是，
故答案为：13，16，．
【点睛】本题考查了图形规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
【变式训练5-1】．观察下列图形：第1个图形有6根小棒，第2个图形有11根小棒，第3个图形有16根小棒，…，则第n个图形中有 根小棒．（n为正整数）
【答案】
【分析】根据前几个图形中小棍的个数总结规律，用此规律求解在第n个图形中的小棍的个数即可．
【详解】解：观察图形可知：第1个图形有1×5+1=6根小棍，
第2个图形有2×5+1=11根小棍，
第3个图形有3×5+1=16根小棍，
…，
则第n个图形中小棍根数共有（5n+1），
故答案为：（5n+1）．
【点睛】本题考查规律型：图形的变化类，解决本题的关键是根据前几个图形中小棍的个数总结规律，用此规律求解在第n个图形中的小棍的个数．
【变式训练5-2】．用正三角形、正四边形和正六四边形按如图所示的规律拼图案，则第n个图案中正三角形的个数为 ．
【答案】/
【分析】由题意可知：每个图案中正三角形的个数都比上一个图案中正三角形的个数多4个，由此规律得出答案即可．
【详解】解：第一个图案正三角形个数为；
第二个图案正三角形个数为；
第三个图案正三角形个数为；
…；
第n个图案正三角形个数为．
故答案为：．
【点睛】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的数字运算规律，得出规律，解决问题．
【变式训练5-3】．如图是某广场用地板铺设的部分图案，中央是一块正六边形的地板砖，周围是正三角形和正方形的地板砖．从里向外的第1层包括6个正方形和6个正三角形，第2层包括6个正方形和18个正三角形，依此递推，第10层中含有正三角形个数为 个，第层含有正三角形个数为 个．
【答案】 114
【分析】正方形的个数保持不变，观察三角形的规律，发现：三角形依次是6+12×（1-1），6+12×（2-1），…，6+12×（n-1）块．
【详解】解：根据题意分析可得：从里向外的第1层包括6个正三角形，
第2层包括18个正三角形，
此后，每层都比前一层多12个，
依此递推，第10层中含有正三角形个数是6+12×9=114个，
则第n层中含有正三角形个数是6+12×（n-1）=个，
故答案为：114，．
【点睛】本题考查了平面图形的有规律变化，要求学生通过观察图形并发现规律，解题关键在于能够分别找到三角形和正方形的个数的规律．
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