25.2 用列举法求概率 导学案（知识清单+典型例题+巩固提升）

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九年级数学上册 25.2 用列举法求概率 导学案
【知识清单】
常用的列举法有两种：列表法和树形图法.
列表法：
　　当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法.
列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.
细节剖析：
（1）列表法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；
（2）列表法适用于涉及两步试验的随机事件发生的概率.
树形图：当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图.
树形图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.
细节剖析：
(1) 树形图法同样适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；
（2）在用列表法或树形图法求可能事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同.
【典型例题】
考点1：列举法求概率
例1．用2、3、4三个数字排成一个三位数，则排出的数是偶数的概率为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用列举法得到所有的三位数，再找出是偶数的三位数，然后利用概率公式求解即可．
【详解】解：用2、3、4三个数字排成一个三位数有、、、、、，共6种等可能的结果，其中排出的数是偶数有4种，故排出的数是偶数的概率为，
故选：A．
【点睛】本题考查列举法求概率，正确列出所有的三位数是解答的关键．
考点2：列表法或树状图法求概率
例2．工厂从三名男工人和两名女工人中，选出两人参加技能大赛，则这两名工人恰好都是男工人的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】画树状图，共有20种等可能的结果，这两名工人恰好都是男工人的结果有6种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图如图：
共有20种等可能的结果，这两名工人恰好都是男工人的结果有6种，
∴这两名工人恰好都是男工人的概率为，
故选：C．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
考点3：游戏的公平性
例3．甲乙两人玩一个游戏，判定这个游戏公平不公平的标准是（ ）
A．游戏的规则由甲方确定 B．游戏的规则由乙方确定
C．游戏的规则由甲乙双方确定 D．游戏双方获胜的概率相等
【答案】D
【分析】判断游戏是否公平不取决于谁制定游戏规则，而取决于游戏双方获胜的概率相等．
【详解】解：游戏的规则由甲方确定，获胜概率不一定不相等，故A不符合题意；
游戏的规则由乙方确定，获胜概率不一定不相等，故B不符合题意；
游戏的规则由甲乙双方确定，获胜概率不一定不相等，故C不符合题意；
游戏双方获胜的概率相等，故D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．游戏公平是指要计算每个参与者获胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．准确理解定义是解题的关键．
【巩固提升】
选择题
1．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则出现两个正面朝上的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．今年2月，某班准备从《在希望的田野上》《我和我的祖国》《十送红军》三首歌曲中选择两首进行排练，参加永州市即将举办的“唱响新时代，筑梦新征程”合唱选拔赛，那么该班恰好选中前面两首歌曲的概率是（ ）
A． B． C． D．1
3．“天宫课堂”第二课月日在中国空间站开讲，包括六个项目：太空“冰雪”实验、液桥演示实验、水油分离实验、太空抛物实验、空间科学设施介绍与展示、天地互动环节．若随机选取一个项目写观后感，则恰好选到“实验”项目的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．向上抛掷两枚相同的硬币，落地后出现一正面、一反面的概率是（ ）
A． B． C． D．1
5．小明和小芳做一个“配色”的游戏，下图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并涂上图中所示的颜色．同时转动两个转盘，如果转盘A转出了红色，转盘B转出了蓝色，或者转盘A转出了蓝色，转盘B转出了红色，则红色和蓝色在一起配成紫色，这种情况下小芳获胜；同样，蓝色和黄色在一起配成绿色，这种情况下小明获胜；在其它情况下，则小明、小芳不分胜负，那么小明获胜的概率为（ ）

A． B． C． D．
6．“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”，小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给好朋友小乐，小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．甲、乙两人一起玩如图4的转盘游戏，将两个转盘各转一次，指针指向的数的和为正数，甲胜，否则乙胜，这个游戏（ ）
A．公平 B．对甲有利 C．对乙有利 D．公平性不可预测
8．有2个信封，第一个信封内的四张卡片上分别写有1，2，3，4，第二个信封内的四张卡片上分别写有5，6，7，8，甲、乙两人商定了一个游戏，规则是：从这两个信封中各随机抽取一张卡片，得到两个数．为了使大量次游戏后对双方都公平，获胜规则不正确的是（ ）
A．第一个信封内取出的数作为横坐标，第二个信封内取出的数作为纵坐标，所确定的点在直线上甲获胜，所确定的点在直线上乙获胜
B．取出的两个数乘积不大于15甲获胜，否则乙获胜
C．取出的两个数乘积小于20时甲得3分，否则乙得6分，游戏结束后，累计得分高的人获胜
D．取出的两个数相加，如果得到的和为奇数，则甲获胜，否则乙获胜
9．某口袋中有10个球，其中白球x个，绿球2x个，其余为黑球．甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球则甲获胜，甲摸出的球放回袋中，乙从袋中摸出一个球，若为黑球则乙获胜，要使游戏对甲、乙双方公平，则x应该是（ ）
A．3 B．4 C．1 D．2
二、填空题
10．有4根细木棒，长度分别为1，2，3，4，从中任选3根，恰好能搭成一个三角形的概率是 ．
11．现有长度分别为和的木棒，用5根长度为、、、、的木棒分别与之围成三角形，则能围成三角形的概率为 ．
12．一个布袋中装有1个蓝色球和2个红色球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出一个球后放回摇匀，再随机摸出一个球，则两次摸出的球都是红球的概率是 ．
13．在不透明的口袋中装有2个红球，1个白球，它们除颜色外无其他差别，从口袋中随机摸出一个球后，放回并摇匀，再随机摸出一个球，两次摸出的球都是红球的概率为 ．
14．小军和小红用2、3、4三张数字卡片做游戏，如果摆出的三位数是偶数，算小红赢，否则算小军赢，这个游戏规则 （填“公平“或“不公平”）．
三、解答题
15．由于疫情原因，我校在校门口建立两个体温检测通道，九（3）班甲乙两位同学上午从两个通道中任意一个通道进入校园，求下列事件发生的概率．
(1)甲同学从通道进入的概率是 ；
(2)求甲乙两位同学都从通道进入的概率．（请写出分析过程）
16．小丽与妈妈用一个如图所示的六等分、可以自由转动的转盘来玩游戏；将转盘随机转一次，指针指向的数字如果是能被整除妈妈获胜，如果是不能被整除，则小丽获胜（指针指到线上则重转）．求：

(1)转完转盘后指针指向数字是的倍数概率是多少？
(2)这个游戏公平吗？请你说明理由．
17．一个盒中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球．
(1)请用列表法（或画树状图法）列出所有可能的结果；
(2)求两次取出的小球标号的和大于6的概率．
18．一个游戏转盘如图，游戏规则是：自由转动转盘，若指针落在灰色扇形内则获奖，落在白色扇形内不获奖．已知灰色扇形的圆心角为120°．

(1)若苗苗和窦窦准备各玩一次转盘游戏，请用树状图或列表法求出两人都获奖的概率．
(2)圣诞节一天，参加该游戏的共有723人，估计当天获奖的人数．
19．为了传承中华优秀传统文化，增强文化自信，某班准备从甲、乙两名热爱诗词的同学中选出一名参加学校组织的“弘扬民族文化，品味诗词精华”活动，他们想通过做游戏的方式来决定谁去参加活动，于是让班长设计了一个游戏，规则如下：现有两个不透明的盒子，其中一个装入分别标有字母A、B、C的三个小球，另一个装入分别标有字母B、C、D的三个小球，这些小球除字母不同外，其余完全相同，从两个盒子中分别摸出一个小球，若所摸出的两个小球上的字母相同，则甲去参加活动，否则就是乙去．
(1)用列表或画树状图的方法求出乙去的概率；
(2)甲说：“这个规则不公平”，你认同他的说法吗？请说明理由．
20．下图是两个可以自由转动的转盘，甲转盘被等分成3个扇形，乙转盘被等分成4个扇形，每一个扇形上都标有相应的数字．小亮和小颖利用它们做游戏，游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，若指针所指区域内的数字之和小于10，则小颖获胜；若指针所指区域内的数字之和等于10，则为平局；若指针所指区域内的数字之和大于10，则小亮获胜．如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个数字为止．
(1)请你通过画树状图或列表的方法求小颖获胜的概率．
(2)该游戏规则是否公平？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计出一种公平的游戏规则．
参考答案
1．D
【分析】首先利用列举法可得：同时抛掷两枚质地均匀的硬币，等可能的结果有：正正，正反，反正，反反；然后直接利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：∵同时抛掷两枚质地均匀的硬币，等可能的结果有：正正，正反，反正，反反；
∴出现两个正面朝上的概率是：，
故选：D．
【点睛】此题考查了列举法求概率的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
2．B
【分析】根据概率公式，即可解答．
【详解】解：从三首歌曲中选择两首进行排练，有《在希望的田野上》《我和我的祖国》、《在希望的田野上》《十送红军》、《我和我的祖国》《十送红军》共三种选择方式，
故选到前两首的概率是，
故选：B．
【点睛】本题考查了根据概率公式计算概率，排列出总共可能的情况的数量是解题的关键．
3．A
【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．二者的比值就是其发生的概率的大小．
【详解】解：共6个项目，“实验”项目太空“冰雪”实验、液桥演示实验、水油分离实验、太空抛物实验共4个，
恰好选到“实验”项目的概率是，
故选：A．
【点睛】本题考查概率的求法与运用，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
4．C
【分析】根据题意列出表格表示出所有等可能的情况，再找出符合出现一正面、一反面的情况，最后根据概率公式计算即可．
【详解】解：根据题意可列表如下，
第二次 第一次 正 反
正 正，正 反，正
反 正，反 反，反
由表格可知共有4种等可能得情况，其中出现一正面、一反面的情况有2种，
∴落地后出现一正面、一反面的概率是．　
故选：C．
【点睛】本题考查列表法或画树状图法求概率．正确的列出表格或画出树状图表示出所有等可能的情况是解题关键．
5．D
【分析】利用列表法，求出概率即可．
【详解】解：列表如下：
红 黄 蓝
红 红，红 红，黄 红，蓝
黄 黄，红 黄，黄 黄，蓝
红 红，红 红，黄 红，蓝
蓝 蓝，红 蓝，黄 蓝，蓝
共有12种等可能的情况，其中出现蓝色和黄色的情况共有2种，
∴．
故选D．
【点睛】本题考查列表法求概率．正确的列出表格，熟练掌握概率公式，是解题的关键．
6．C
【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：将“立春”、“立夏”、“秋分”、“大暑”的图片分别记为A、B、C、D．根据题意，列表如下：
A B C D
A （A，B） （A，C） （A，D）
B （B，A） （B，C） （B，D）
C （C，A） （C，B） （C，D）
D （D，A） （D，B） （D，C）
由表格可知，共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是“立春”和“立夏”的结果有2种，
故其概率为：．
故选：C．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
7．A
【分析】采用列表法列举分别求出指针指向的数的和为正数的概率和为非正数的概率，比较二者概率即可作答．
【详解】列表如下：
总的情况数为8种，为正数的情况有4种，为非正数的情况有4种，
指针指向的数的和为正数的概率为：；
指针指向的数的和为非正数的概率为：；
∵，概率相同，
∴甲、乙获胜的概率相同，
即游戏对二人公平，
故选：A．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
8．A
【分析】利用列表法分别求出各选项中各自情况情况数即可得出答案．
【详解】解：在上的点有，，，四点；在上的点有，，三点，因此该游戏不公平，故A符合题意；
取出两个数的乘积不大于15的有5、6、7、8、10、12、14、15共8种情况，取出两个数的乘积大于15的有16、18、20、21、24、24、28、32共8种情况，因此该游戏公平，故B项不符合题意；
取出的两个数乘积小于20的情况数为10种，可得分，取出的两个数乘积不小于小于20的情况数为6种，可得分，因此该游戏公平，故C项不符合题意；
取出的两个数相加和为奇数有8种，和不为奇数的有8种，因此该游戏公平，故D项不符合题意
故答案为：A．
【点睛】本题主要考查了游戏的公平性，求出各选项中对应情况数是解题的关键．
9．D
【分析】游戏是否公平，关键要看游戏双方获胜的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等即可．
【详解】解：由题意甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球则获胜；甲摸出的球放回袋中，乙从袋中摸出一个球，若为黑球则获胜可知，
绿球与黑球的个数应相等，也为2x个，
列方程可得x+2x+2x=10，
解得x=2，
故选：D．
【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
10．
【分析】首先利用列举法求得从中任取3根的所有等可能的情况与从中任取3根恰好能搭成一个三角形的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：从1，2，3，4的四根木棒任取3根的所有可能性有：1，2，3；1，2，4；1，3，4；2，3，4共4种情况；
从中任取4根恰好能搭成一个三角形的有：2，3，4共1种情况；
从中任取3根恰好能搭成一个三角形的概率为．
故答案为：．
【点睛】本题考查概率的计算方法，使用列举法解题时，注意按一定顺序，做到不重不漏．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
11．/
【分析】根据三角形的三边关系得出第三根木棒的长度的取值范围，再根据概率公式即可得出答案．
【详解】解：∵两根木棒的长分别是和，
∴第三根木棒的长度大于，小于，
∴能围成三角形的是：、、的木棒，
∴能围成三角形的概率为．
故答案为：．
【点睛】此题考查了列举法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
12．
【分析】列表将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可．
【详解】解：列表得：
蓝 红 红
蓝 （蓝，蓝） （红，蓝） （红，蓝）
红 （蓝，红） （红，红） （红，红）
红 （蓝，红） （红，红） （红，红）
∵共9种等可能的结果，两次都是红色的情况有4种，
∴两次摸出的球都是红球的概率为，
故答案为：．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
13．
【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，其中两次摸出的球都是红球的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图如下：

共有9种等可能的结果，其中两次摸出的球都是红球的结果有4种，
∴两次摸出的球都是红球的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题的关键是要注意此题是放回试验还是不放回试验．
14．不公平
【分析】分别求出小红和小军获胜的概率，然后进行比较即可．
【详解】解：∵当末位数字是2或4时，摆出的三位数是偶数，当末位数字为3时，摆出的三位数是奇数，
∴摆出的三位数是偶数的概率为，摆出的三位数不是偶数的概率为，
∵，
∴这个游戏不公平，
故答案为：不公平．
【点睛】本题主要考查了概率的计算，解题的关键是分别求出小红和小军获胜的概率．
15．(1)
(2)
【分析】（1）根据简单概率公式直接求解即可得到答案；
（2）根据列举法得到甲乙两位同学可从两个通道中任意一个通道进入校园的结果，利用简单概率公式直接求解即可得到答案．
【详解】（1）解：建立了两个体温检测通道，
甲同学从通道进入的概率是，
故答案为：；
（2）解：根据题意，甲乙两位同学可从两个通道中任意一个通道进入校园，
有①甲从进、乙从进；②甲从进、乙从进；③甲从进、乙从进；④甲从进、乙从进四种等可能的结果，
甲乙两位同学都从通道进入的概率为．
【点睛】本题考查概率综合，涉及一步概率问题及二步概率问题，熟练掌握列举法求二步概率问题是解决问题的关键．
16．(1)
(2)公平，理由见解析
【分析】（1）列举出所有可能出现的结果，进而求出指针指向数字为的概率；
（2）分别求出妈妈获胜和小丽获胜的概率，通过比较得出结论．
【详解】（1）解：将转盘随机转一次，指针指向的数字所有可能的结果有，，，，，，共六种，且每种出现可能性相等，
因此指向数字的倍数概率为：，
答：转完转盘后指针指向数字的倍数概率是；
（2）这个游戏公平，理由如下：
能够被4整除的结果数有3种，所有等可能的结果数有6种，
妈妈获胜的概率为：，小丽获胜的概率为：，
游戏公平．
【点睛】本题考查随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果是解决问题的前提．
17．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据题意画出树状图即可；
（2）画出树状图可知有16种等可能的结果数，其中两次取出的小球标号的和大于6的有3种，进而可求出其概率．
【详解】（1）解：根据题意画树状图如下：

（2）解：画树状图如下：

由树状图可知，一共有16种等可能性的结果数，其中两次取出的小球标号的和大于6的结果数有3种，
∴两次取出的小球标号的和大于6的概率为．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
18．(1)
(2)241人．
【分析】（1）列表法求概率即可；
（2）利用概率公式进行求解即可．
【详解】（1）解：用表示灰色扇形，用表示白色扇形，列表如下：
A B
A A，A A，B
B B，A B，B
共有4种等可能的结果，其中苗苗和窦窦都中奖的结果只有1种，
∴；
（2）由题意，玩一次转盘游戏中奖的概率为：，
∴估计当天获奖的人数为人．
【点睛】本题考查概率的应用．解题的关键是掌握概率的计算公式以及列表法求概率．
19．(1)
(2)同意甲的说法，见解析
【分析】（1）画树状图，共有9种等可能的情况，其中字母不同的有7种情况，再由概率公式求解即可；
（2）由（1）可知，，，即可得出结论．
【详解】（1）画树状图如下：

由图可知共有9种情况，其中字母不同的有7种情况，
．
（2）同意甲的说法．
理由：，，，
这个规则不公平．
【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断以及树状图法求概率．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
20．(1)
(2)不公平，公平的游戏规则见详解
【分析】（1）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出小颖获胜的概率即可；
（2）判断游戏的公平性，首先要计算出游戏双方赢的概率，概率相等则公平，否则不公平；然后设计出公平的游戏规则（答案不唯一）．
【详解】（1）解：根据题意，画树状图如下所示：
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中指针所指区域内的两数字之和小于10的有6种，
∴小颖获胜的概率为；
（2）该游戏规则不公平．
由（1）可知，共有12种等可能的情况，其和大于10的情况有3种，
∴小亮获胜的概率为，而小颖获胜的概率为，
故该游戏规则不公平．
游戏规则可修改为以下两种：①当两个转盘指针所指区域内的数字之和大于或等于10时，小亮获胜；当两个转盘指针所指区域内的数字之和小于10时，小颖获胜；②当两个转盘指针所指区域内的数字之和为奇数时，小亮获胜；当两个转盘指针所指区域内的数字之和为偶数时，小颖获胜．（答案不唯一）
【点睛】本题主要考查了列举法求概率以及概率的应用，理解题意，正确作出树状图或列表是解题关键．
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