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11.3多边形及其内角和 （重难点）
【知识精讲】
【知识点一、 多边形的相关概念】
多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．
各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形；
【知识点二、多边形的对角线】
多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
从n边形一个顶点可以引（n－3）条对角线，将多边形分成（n－2）个三角形；
从边形的一个顶点出发，可以画（n－3）条对角线，边形一共有条对角线．
【知识点三、 多边形的内角和与外角和定理】
多边形的内角和公式：边形的内角和为；
多边形的外角和定理：多边形的外角和等于360°．
【重点题型】
考点1：多边形内角和公式简单应用
例1．正十二边形的外角和为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-1】．五边形的内角和等于（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-2】．若一个边形的内角和为，则的值是（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【变式训练1-3】．一个多边形的内角和是，则这个多边形是（ ）
A．十边形 B．九边形 C．八边形 D．七边形
考点2：多边形的对角线
例2．从一个多边形的任何一个顶点出发都只有2条对角线，则它的边数是（ ）条.
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式训练2-1】如果一个多边形从一个顶点出发最多能画五条对角线，则这个多边形的边数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【变式训练2-2】一个多边形从一个顶点最多能引出四条对角线，这个多边形是（ ）
A．四角形 B．五边形 C．六边形 D．七边形
【变式训练2-3】．七边形的对角线的条数一共有（ ）
A．7 B．14 C．28 D．35
考点3：复杂图形求角的度数
例3．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝ ．
【变式训练3-1】如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I＝ ．
【变式训练3-2】如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠K的度数为 ．
【变式训练3-3】如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝ ．
考点4：外角
例4．正五边形的一个外角等于 °．
【变式训练4-1】若一个正多边形的每一个外角都是，则这个正多边形的边数为 ．
【变式训练4-2】若正多边形的一个外角是，则该正多边形的内角和为 ．
【变式训练4-3】已知某正多边形每一个外角都等于，则从此多边形一个顶点出发，可以引的对角线的条数是 条
考点5：截去一个角
例5．一个长方形切去一个角后，形成另一多边形的内角和为 ．
【变式训练5-1】一个多边形截去一个角后，形成的新多边形的内角和是，则原多边形的边数是 ．
【变式训练5-2】．一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1440°．则原来多边形的边数是 ．
【变式训练5-3】已知一个多边形的内角和是900°，把这个多边形剪去一个角，则剩下多边形的内角和可以是 ．
考点6：内角和外角综合
例6．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为 ．
【变式训练6-1】已知一个多边形的内角和与外角和之差为，则这个多边形的边数是 ．
【变式训练6-2】如果一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍，那么这个多边形是 边形．
【变式训练6-3】一个多边形外角和是内角和的，则这个多边形的对角线共有 条．
考点7：实际问题
例7．如图，小玲从点A出发，前进3米后向右转20°，再前进3米后又向右转20°，这样一直下去，直到她第一次回到出发点A为止，她所走的路径构成了一个多边形．
(1)小玲一共走了多少米？
(2)求这个多边形的内角和．
【变式训练7-1】如图，某人从A处出发，向东走10米到达B处，再向左转72°走10米到达C处……照此方法行走，拐过4次弯后再走10米，他在何处？
【变式训练7-2】小华从点A出发向前走10m，向右转36°然后继续向前走10m，再向右转36°，他以同样的方法继续走下去，他能回到点A吗？若能，当他走回到点A时共走多少米？若不能，写出理由
【变式训练7-3】如图1，小红沿一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步，小红每从一条小路转到下一条小路时，跑步的方向改变一定的角度．
(1)该五边形广场的内角和是 度；
(2)她跑完一圈，跑步方向改变的角度的和是 度；
(3)如图2，小红参加“全民健身，共筑健康中国”活动，从点A起跑，绕湖周围的小路跑至终点E，若，且，求行程中小红身体转过的角度的和（图的值）．
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11.3多边形及其内角和 （重难点）
【知识精讲】
【知识点一、 多边形的相关概念】
多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．
各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形；
【知识点二、多边形的对角线】
多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
从n边形一个顶点可以引（n－3）条对角线，将多边形分成（n－2）个三角形；
从边形的一个顶点出发，可以画（n－3）条对角线，边形一共有条对角线．
【知识点三、 多边形的内角和与外角和定理】
多边形的内角和公式：边形的内角和为；
多边形的外角和定理：多边形的外角和等于360°．
【重点题型】
考点1：多边形内角和公式简单应用
例1．正十二边形的外角和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据任何多边形的外角和都为即可解答．
【详解】解：因为多边形的外角和为360°，所以正十二边形的外角和为：．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了多边形的外角和，掌握任何多边形的外角和都为是解答本题的关键．
【变式训练1-1】．五边形的内角和等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据多边形内角和为：，即可．
【详解】∵多边形内角和为：，
∴五边形的内角和为：，
故选：B．
【点睛】本题考查多边形的知识，解题的关键是掌握多边形内角和公式．
【变式训练1-2】．若一个边形的内角和为，则的值是（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】B
【分析】根据多边形的内角和公式直接求解即可．
【详解】解：根据题意得；，
解得：．
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是多边形的内角和定理的应用，掌握多边形的内角和公式是解题的关键．
【变式训练1-3】．一个多边形的内角和是，则这个多边形是（ ）
A．十边形 B．九边形 C．八边形 D．七边形
【答案】B
【分析】设这个多边形是n边形，就可以列出方程，即可解得n的值．
【详解】解：设这个多边形是n边形，根据题意得：，
解得，
则这个多边形是九边形．
故选：B
【点睛】本题考查了多边形内角和定理，熟练掌握n边形的内角和可以表示成是解答本题的关键．
考点2：多边形的对角线
例2．从一个多边形的任何一个顶点出发都只有2条对角线，则它的边数是（ ）条.
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】根据从多边形的一个顶点可以做条对角线即可求解．
【详解】解：∵从一个多边形的任何一个顶点出发都只有2条对角线，
∴，
解得．
故选：C．
【点睛】本题考查了多边形的对角线，解题的关键是熟练掌握多边形对角线的条数规律．
【变式训练2-1】如果一个多边形从一个顶点出发最多能画五条对角线，则这个多边形的边数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【分析】根据从边形的一个顶点可以作出条对角线，求出边数即可．
【详解】解：多边形的边数为，
由题意可得：，
解得，
故选：D．
【点睛】本题考查了一个顶点出发的对角线条数，解题的关键是掌握边形从一个顶点可以作出条对角线．
【变式训练2-2】一个多边形从一个顶点最多能引出四条对角线，这个多边形是（ ）
A．四角形 B．五边形 C．六边形 D．七边形
【答案】D
【分析】根据从n边形的一个顶点可以作对角线的条数公式求出边数即可得解．
【详解】解：∵从一个多边形的一个顶点出发可以引4条对角线，设多边形边数为n，
∴，
解得．
故选：D．
【点睛】本题考查了多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．掌握n边形从一个顶点出发可引出条对角线是解题的关键．
【变式训练2-3】．七边形的对角线的条数一共有（ ）
A．7 B．14 C．28 D．35
【答案】B
【分析】根据多边形对角线条数的计算公式可得．
【详解】解：七边形的对角线的条数一共有．
故选：B
【点睛】本题主要考查多边形对角线，熟练掌握n边形对角线有条是解题的关键．
考点3：复杂图形求角的度数
例3．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝ ．
【答案】540°
【分析】连接ED，由三角形内角和可得∠A+∠B=∠BED+∠ADE，再由五边形的内角和定理得出结论．
【详解】连接ED，
∵∠A+∠B=180°-∠AOB，∠BED+∠ADE=180°-∠DOE，∠AOB=∠DOE，
∴∠A+∠B=∠BED+∠ADE，
∵∠CDE+∠DEF+∠C+∠F+∠G=(5-2) ×180°=540°，
即∠CDO+∠ADE+BED+∠BEF+∠C+∠F+∠G=540°，
∴∠A+∠B+∠C+∠CDO+∠BEF+∠F+∠G=540°．
故答案为：540°．
【点睛】本题考查了三角形的内角和公式，以及多边形的内角和公式，熟记多边形的内角和公式为(n-2)×180°是解答本题的关键．
【变式训练3-1】如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I＝ ．
【答案】900°
【分析】根据多边形的内角和，可得答案．
【详解】解：连EF，GI，如图
，
∵6边形ABCDEFK的内角和＝（6－2）×180°＝720°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝720°－（∠1＋∠2），
即∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋（∠1＋∠2）＝720°，
∵∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F∠H＋（∠3＋∠4）＝900°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝720°＋180°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＝900°，
故答案为：900°．
【点睛】本题考查了n边形的内角和定理：n边形的内角和为（n－2）×180°（n≥3的整数）．
【变式训练3-2】如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠K的度数为 ．
【答案】1080°
【分析】连KF，GI，根据n边形的内角和定理得到7边形ABCDEFK的内角和＝（7－2）×180°＝900°，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠1＋∠2）＝900°，由三角形内角和定理可得到∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝900°＋180°，即可得到∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K的度数．
【详解】解：连KF，GI，如图，
∵7边形ABCDEFK的内角和＝（7－2）×180°＝900°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＝900°－（∠1＋∠2），
即∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠1＋∠2）＝900°，
∵∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＝900°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝900°＋180°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K＝1080°．
故∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K的度数为1080°．
故答案为：1080°．
【点睛】本题考查了n边形的内角和定理：n边形的内角和为（n－2）×180°（n≥3的整数）．
【变式训练3-3】如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝ ．
【答案】540°
【分析】利用三角形的外角性质得∠6+∠7=∠8,在两个四边形中减掉（∠10+∠9）,即可解题.
【详解】如下图,由三角形的外角性质可知∠6+∠7=∠8,
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠8,
又∵∠1+∠2+∠3+∠10=360°, ∠4+∠5+∠8+∠9=360°,∠10+∠9=180°,
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠8=（∠1+∠2+∠3+∠10）+（∠4+∠5+∠8+∠9）-（∠10+∠9）=540°.
【点睛】本题考查了三角形的外角和性质,四边形的内角,找到外角与邻补角是解题关键.
考点4：外角
例4．正五边形的一个外角等于 °．
【答案】72
【分析】根据多边形的外角和是，即可求解．
【详解】解：正五边形的一个外角72°，
故答案为：72．
【点睛】本题考查多边形的内角与外角，正确理解多边形的外角和是是关键．
【变式训练4-1】若一个正多边形的每一个外角都是，则这个正多边形的边数为 ．
【答案】
【分析】根据正多边形的每一个外角都相等，多边形的边数，计算即可求解．
【详解】这个正多边形的边数：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了多边形外角和．熟练掌握多边形的外角和定理是解题的关键．
【变式训练4-2】若正多边形的一个外角是，则该正多边形的内角和为 ．
【答案】/度
【分析】根据多边形外角和是度，正多边形的各个内角相等，各个外角也相等，直接用可求得边数，进而根据多边形内角和公式即可求解．
【详解】解：多边形外角和是度，正多边形的一个外角是，
即该正多边形的边数是，
∴该正多边形的内角和为
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了多边形外角和以及多边形的边数，多边形内角和公式，解题的关键是掌握正多边形的各个内角相等，各个外角也相等．
【变式训练4-3】已知某正多边形每一个外角都等于，则从此多边形一个顶点出发，可以引的对角线的条数是 条
【答案】2
【分析】利用多边形的外角和是，多边形的每个外角都是，即可求出这个多边形的边数，再根据边形从一个顶点出发可引出条对角线可求答案．
【详解】解：，
．
故这个正多边形从一个顶点出发可以作的对角线条数是．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了多边形的对角线，多边形的外角和定理，边形从一个顶点出发可引出条对角线．
考点5：截去一个角
例5．一个长方形切去一个角后，形成另一多边形的内角和为 ．
【答案】或或
【分析】根据直线不同位置，得出不同的情况，从而得出答案．
【详解】解：将一个长方形切去一个角后，
可得如图三类图形，即五边形，四边形和三角形，
则内角和分别为，，，
故答案为：或或．
【点睛】本题考查了多边形内角和，角的意义以及分类讨论思想，主要考查学生的画图能力和理解能力，题目比较典型，是一道比较容易出错的题目．
【变式训练5-1】一个多边形截去一个角后，形成的新多边形的内角和是，则原多边形的边数是 ．
【答案】17，18或19
【分析】根据多边形的内角和公式可得：，求出新多边形的边数，然后再根据截去一个角的情况进行讨论，计算即可．
【详解】解：设新多边形的边数为，
则，
解得：，
若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为19，
若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为17，
若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为18，
则多边形的边数是17，18或19，
故答案为：17，18或19．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式（且是整数），注意要分情况进行讨论，避免漏解．
【变式训练5-2】．一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1440°．则原来多边形的边数是 ．
【答案】9或10或11
【分析】先根据多边形的内角和公式求出截去一个角后的多边形的边数，再分情况说明求得原来多边形的解．
【详解】解：设多边形截去一个角的边数为，根据题意得：
又截去一个角后的多边形的边可以增加1、不变、减少1，
原多边形的边数为9或10或11．
【点睛】本题考查的是多边形的内角和公式，本题的易错点在于忽略考虑截去一个角后多边形的边数可以不变、增加或者减少．
【变式训练5-3】已知一个多边形的内角和是900°，把这个多边形剪去一个角，则剩下多边形的内角和可以是 ．
【答案】或或
【分析】先求出原多边形是七边形，剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变．根据多边形的内角和定理可以知道，边数增加1，相应内角和就增加180度，由此即可求出答案．
【详解】解：∵多边形的内角和是，
∴，
解得：，即原多边形是七边形，
因为剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变，
当多边形的边数减少了1条边，内角和；
当多边形的边数不变，内角和；
当多边形的边数增加一条边，内角和．
答：将这个多边形剪去一个角，剩下多边形的内角和是或或，
故答案为：或或．
【点睛】本题考查了多边形的内角和定理，在理解剪掉多边形的一个角的含义时，确定其剩余几边形是关键．
考点6：内角和外角综合
例6．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为 ．
【答案】6
【分析】根据多边形的内角和公式和外角和为，列式计算即可．
【详解】解：由题意，得：，
解得：；
∴这个多边形的边数为6；
故答案为：6
【点睛】本题考查多边形的内角和和外角和的综合应用．解题的关键是掌握多边形的内角和为，外角和为．
【变式训练6-1】已知一个多边形的内角和与外角和之差为，则这个多边形的边数是 ．
【答案】7
【分析】先求出多边形的内角和，再根据多边形的内角和公式求出边数即可．
【详解】解：一个多边形的内角和与外角和之差为，多边形的外角和是，
这个多边形的内角和为，
设多边形的边数为，
则，
解得：，
即多边形的边数为7，
故答案为：7．
【点睛】本题考查了多边形的内角和外角，能列出关于的方程是即此题的关键，注意：边数为的多边形的内角和，多边形的外角和等于．
【变式训练6-2】如果一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍，那么这个多边形是 边形．
【答案】六
【分析】根据多边形内角和及外角和可进行求解．
【详解】解：由题意得：，
解得：；
故答案为六．
【点睛】本题主要考查多边形内角和及外角和，熟练掌握多边形内角和及外角和是解题的关键．
【变式训练6-3】一个多边形外角和是内角和的，则这个多边形的对角线共有 条．
【答案】44
【分析】设这个多边形的边数为n，根据外角和是内角和的列方程求出n，再根据对角线的公式求出答案．
【详解】设这个多边形的边数为n，
则
解得
∴这个多边形的对角线共有条，
故答案为：44．
【点睛】此题考查了多边形内角和与外角和关系，多边形对角线公式，熟练掌握各计算公式是解题的关键．
考点7：实际问题
例7．如图，小玲从点A出发，前进3米后向右转20°，再前进3米后又向右转20°，这样一直下去，直到她第一次回到出发点A为止，她所走的路径构成了一个多边形．
(1)小玲一共走了多少米？
(2)求这个多边形的内角和．
【答案】(1)54米
(2)2880°
【分析】（1）第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个外角是20度的正多边形，求得边数，即可求解；
（2）根据多边形的内角和公式即可得到结论．
【详解】（1）解：∵所经过的路线正好构成一个外角是20度的正多边形，
∴，
（米）．
答：贾玲一共走了54米．
（2）根据题意，得，
答：这个多边形的内角和是．
【点睛】本题考查了正多边形的外角以及多边形的内角和，理解“第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个外角是20度的多边形是正多边形”是解题关键．
【变式训练7-1】如图，某人从A处出发，向东走10米到达B处，再向左转72°走10米到达C处……照此方法行走，拐过4次弯后再走10米，他在何处？
【答案】他在点A处
【分析】根据题意可得，某人行走的路线正好是一个正多边形，利用多边形的外角和即可解决问题．
【详解】解：360°÷72°＝5，
∴某人行走的路线正好是一个正五边形，
∵某人从A处出发，向东走10米到达B处，再向左转72°走10米到达C处……照此方法行走，拐过4次弯后再走10米，
∴一共走了：10×5＝50（米），
∴最后他在点A处．
【点睛】本题主要考查根据多边形的外角和解决实际问题．解题的关键是明确多边形的外角和是360°，明确第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个正多边形．
【变式训练7-2】小华从点A出发向前走10m，向右转36°然后继续向前走10m，再向右转36°，他以同样的方法继续走下去，他能回到点A吗？若能，当他走回到点A时共走多少米？若不能，写出理由
【答案】可以走回到A点，共走100米
【分析】他要想回到原点需要走成正多边形，根据多边形的外角和定理求出多边形的边数，从而求出路程．
【详解】解：根据题意可知，360°÷36°=10，
所以他需要转10次才会回到起点，它需要经过10×10=100m才能回到原地．
所以小华能回到点A．当他走回到点A时，共走100m．
【变式训练7-3】如图1，小红沿一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步，小红每从一条小路转到下一条小路时，跑步的方向改变一定的角度．
(1)该五边形广场的内角和是 度；
(2)她跑完一圈，跑步方向改变的角度的和是 度；
(3)如图2，小红参加“全民健身，共筑健康中国”活动，从点A起跑，绕湖周围的小路跑至终点E，若，且，求行程中小红身体转过的角度的和（图的值）．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据五边形内角和求解即可；
（2）跑步方向改变的角度的和即为五边形的外角和；
（3）延长NE交AB于点F，再在五边形中计算即可．
【详解】（1）五边形广场的内角和，
故答案为：；
（2）∵跑步方向改变的角度的和即为五边形的外角和，
∴跑步方向改变的角度的和是度，
故答案为：；
（3）延长NE交AB于点F
∵
∴
∵
∴
∵在五边形中
∴
【点睛】考查了多边形内角与外角，关键是熟练掌握多边形的外角和等于360度的知识点．
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