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11.2与三角形有关的角
【基础巩固】
一、单选题
1．中，，，则（ ）
A．66° B．36° C．56° D．46°
2．如图，的一个外角是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，，都是的高，则与一定相等的角是（ ）
A． B． C． D．
4．直角三角形一个锐角是30度，另一个锐角的度数是（ ）
A．60度 B．30度 C．90度 D．45度
5．在中，，则∠C的度数为（ ）
A．100° B．90° C．60° D．30°
6．如图，已知的两个顶点分别在直线上，，交于点，若平分，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，平分，于点，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，已知为边延长线上一点，于交于，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，、是的角平分线，并且、交于点，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
10．如图，点A、B分别在锐角的边、上，射线在的内部，点D、E在射线上，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．在中，，则 °．
12．图中 ．
13．如图，中，平分，若，， ．
14．如图，在中，，，且与交于点H，若，则的度数为 °．
15．如图，在△ABC中，∠ACB＝80°，点D在AB上，将△ABC沿CD折叠，点B落在边AC的点E处．若∠ADE＝30°，则∠A的度数为 ．
16．一副直角三角板（分别含30°、60°；45°、45°），如图所示叠放在一起，则图中的度数是 °．
17．如图，中，，，点D为边上一点，将沿直线折叠后，点C落到点E处，若，则的度数为 ．
18．如图，，、、分别平分的外角、内角、外角，以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 （填序号）．
三、解答题
19．如图，在中，于D，平分交于点E，，求的度数．
请完善解答过程，并在括号内填写相应的理论依据．
解：（ ），
（等式的性质）．
∵平分（已知），
∴ （ ）．
∵(已知），
∴
∵
∴ = ．
20．如图，在中，点是边上的一点，连接．
(1)若，，求的度数；
(2)若平分，，，试说明：．
21．如图，D为内一点，平分，若，求的度数．
【点睛】本题主要考查三角形内角和的应用，解题的关键在于根据三角形内角和计算角的度数，通过计算即可推出结论．
【能力提升】
22．如图，在中，，于点，平分．
(1)若，，则______；
(2)、与有何数量关系？证明你的结论；
(3)点是线段上任一点（不与、重合），作，交的延长线于点，点在的延长线上．若，，求、（用含、代数式表示）．
23．在中，平分，，垂足为F，与交于点D．
(1)如图①，若，，求的度数；
(2)如图②，在内部作，求证：．
24．如图，已知：点分别在的边上，连接与交于点，．
(1)如图1，当都是的角平分线时，求的度数；
(2)如图2，当都是的高时，求的度数；
(3)如图3，当时，探究与的数量关系，并说明理由．
25．如图所示，AB、CD相交于点O，∠A＝48°，∠D＝46°．
(1) 若BE平分∠ABD交CD于F，CE平分∠ACD交AB于G，求∠BEC的度数；
(2) 若直线BM平分∠ABD交CD于F，CM平分∠DCH交直线BF于M，求∠BMC的度数．
26．（1）如图，把沿折叠，使点落在点处，试探究、与的关系；
（2）如图2，若，，作的平分线，与的外角平分线交于点，求的度数；
（3）如图3，若点落在内部，作，的平分线交于点，此时，，满足怎样的数量关系？并给出证明过程．
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11.2与三角形有关的角
【基础巩固】
一、单选题
1．中，，，则（ ）
A．66° B．36° C．56° D．46°
【答案】B
【分析】设，利用直角三角形的两锐角互余列方程解题即可．
【详解】解：设，则，根据直角三角形的两锐角互余可得：
，
解得，
∴，
故选B．
【点睛】本题考查直角三角形的两锐角互余，掌握运用方程解比例式的题目是解题的关键．
2．如图，的一个外角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据三角形的外角是一边的延长线与另一边的夹角判断出是的一个外角．
【详解】由图可知的一个外角是，
故选：C．
【点睛】此题主要是考查了三角形的外角的定义，能够熟记三角形外角的定义是解题的关键．
3．如图，，都是的高，则与一定相等的角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据等量代换、三角形的高的性质、三角形内角和定理即可求得答案．
【详解】∵，都是的高，
∴．
∴．
A、当时，可得，该选项不符合题意；
B、当时，可得，该选项不符合题意；
C、根据题意可知，该选项符合题意；
D、当时，可得，该选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查三角形的高的性质、三角形内角和定理，牢记三角形的高的性质、三角形内角和定理是解题的关键．
4．直角三角形一个锐角是30度，另一个锐角的度数是（ ）
A．60度 B．30度 C．90度 D．45度
【答案】A
【分析】直接根据直角三角形两锐角互余即可解答．
【详解】解：直角三角形一个锐角是30度，另一个锐角的度数是．
故选A．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，掌握直角三角形两锐角互余是解答本题的关键．
5．在中，，则∠C的度数为（ ）
A．100° B．90° C．60° D．30°
【答案】A
【分析】利用三角形的内角和为，利用方程的思想，“遇比则设”，解方程即可．
【详解】解：设，，，
三角形的内角和为，
，
，
，
故选： ．
【点睛】本题考查三角形的内角定理：三角形的内角和为．关键是利用方程的思想，“遇比则设”，然后解一元一次方程即可解决问题．
6．如图，已知的两个顶点分别在直线上，，交于点，若平分，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据平行线的性质得到，再利用角平分线的定义得到，然后根据三角形内角和定理计算的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是；主要根据两已知角求第三个角．也考查了平行线的性质．
7．如图，在中，平分，于点，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据角平分线定理和三角形内角和求出，，，最后利用三角形内角和求出最后结果．
【详解】解：平分，，
，
，
，
在中，，
，
，
，
在中，
，
．
故选：．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，以及角平分线的定义，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．
8．如图，已知为边延长线上一点，于交于，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由，在中可求得；再由可求得的度数．
【详解】 ，
,
，
．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理以及三角形外角性质的综合应用，解题时注意：三角形内角和是，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
9．如图，、是的角平分线，并且、交于点，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由，可得，再根据、是的角平分线，即可得到的度数，最后根据三角形内角和定理，即可得到的度数．
【详解】解：，
，
又、是的角平分线，
，
．
故选：B．
【点睛】本题主要考角平分线的定义，三角形内角和定理的运用，解题时注意：三角形内角和是．
10．如图，点A、B分别在锐角的边、上，射线在的内部，点D、E在射线上，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由可得，再结合三角形内角和和外角性质推理即可．
【详解】∵，
∴，
∵，，
∴
，
故选：B．
【点睛】本题考查平行线的性质，三角形内角和，三角形外角性质，熟练找到角度关系是解题的关键．
二、填空题
11．在中，，则 °．
【答案】
【分析】根据三角形的内角和是求解即可．
【详解】解：∵在中，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形的内角和定理，熟知三角形的内角和是是解答的关键．
12．图中 ．
【答案】180
【分析】根据外角的性质分别得到，，等量代换，利用三角形内角和可得结果．
【详解】解：如图，∵，，
∴
故答案为：180．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理和三角形的外角的性质，掌握三角形内角和等于和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
13．如图，中，平分，若，， ．
【答案】/100度
【分析】根据三角形内角和定理，可求出的度数，再由角平分线的定义得的度数，利用三角形的外角性质即可求的度数．
【详解】∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵是的外角，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，解题关键是掌握三角形的相关定理．
14．如图，在中，，，且与交于点H，若，则的度数为 °．
【答案】130
【分析】根据直角三角形两锐角互余求出，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得计算即可得解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
由三角形的外角性质得，．
故答案为：130．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键．
15．如图，在△ABC中，∠ACB＝80°，点D在AB上，将△ABC沿CD折叠，点B落在边AC的点E处．若∠ADE＝30°，则∠A的度数为 ．
【答案】35°/35度
【分析】利用翻折不变性，三角形内角和定理和三角形外角的性质即可解决问题．
【详解】解：，
，
是由翻折得到，
，
，
，
解得．
故答案为：35°．
【点睛】本题考查三角形内角和定理和三角形外角的性质，翻折变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
16．一副直角三角板（分别含30°、60°；45°、45°），如图所示叠放在一起，则图中的度数是 °．
【答案】105
【分析】将图形进行标注，利用三角形内角和定理容易得出的度数．
【详解】如图，将图形进行标注如下：
根据题意可知，∠A=30°和∠ACF=45°，
在△ACF中，由三角形内角和为180°可得：
∠A+∠ACF+，
∴．
故本题答案是：105．
【点睛】本题考查三角形的内角和公式，将所求的角放置在适当的三角形中进行求解是解题的关键．
17．如图，中，，，点D为边上一点，将沿直线折叠后，点C落到点E处，若，则的度数为 ．
【答案】72.5°
【分析】根据折叠的性质得等，根据三角形内角和定理，，得，所以，所以．
【详解】解：由题意知，，
∵
∴
∴
∴
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查折叠的性质，三角形内角和定理，外角的性质，根据折叠的性质得到等角是解题的关键．
18．如图，，、、分别平分的外角、内角、外角，以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 （填序号）．
【答案】①②④
【分析】①求得，即可判断的说法是否正确．②根据平分，，可求得，结合，即可判断的说法是否正确．③可先求得，根据可求得，进而可判断的说法是否正确．④结合②③的证明过程，结合，进而可判断的说法是否正确．
【详解】①∵平分，
∴．
∵，，
∴．
∴．
∴．
说法①正确．
②∵平分，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
说法②正确．
③∵，
∴．
∵平分，
∴．
∴．
∵，，
∴．
∴．
∴．
说法③错误．
④∵，，
∴
．
说法④正确．
所以，正确的结论有①②④．
故答案为：①②④．
【点睛】本题主要考查平行线的判定及性质、三角形的外角的性质、角平分线的性质，牢记三角形的外角的性质（三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角的和）是解题的关键．
三、解答题
19．如图，在中，于D，平分交于点E，，求的度数．
请完善解答过程，并在括号内填写相应的理论依据．
解：（ ），
（等式的性质）．
∵平分（已知），
∴ （ ）．
∵(已知），
∴
∵
∴ = ．
【答案】见解析
【分析】根据解答过程，完善推理即可．
【详解】解：（三角形内角和定理），
（等式的性质），
∵平分（已知），
∴（角平分线的定义），
∵(已知），
∵
故答案为：三角形内角和定理，角平分线的定义
【点睛】本题考查了垂直的定义、角平分线的定义、三角形的内角和等知识点．根据条件完成几何推理是解题关键．
20．如图，在中，点是边上的一点，连接．
(1)若，，求的度数；
(2)若平分，，，试说明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据三角形外角的性质可得，结合已知可得的度数；
（2）根据三角形外角的性质可得，由三角形角平分线的定义可得，再利用三角形内角和定理可得，即可得证．
【详解】（1）解：∵，，
又∵，
∴，
∴，
∴的度数为；
（2）证明：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查三角形外角的性质，三角形内角和定理，三角形角平分线的定义，垂直的定义．掌握三角形外角的性质和三角形内角和定理是解题的关键．
21．如图，D为内一点，平分，若，求的度数．
【答案】
【分析】在中利用已知可．再结合已知和三角形内角和定理在中求出．
【详解】解：，
∴，
，
平分，
，
，
，
，
，
【点睛】本题主要考查三角形内角和的应用，解题的关键在于根据三角形内角和计算角的度数，通过计算即可推出结论．
【能力提升】
22．如图，在中，，于点，平分．
(1)若，，则______；
(2)、与有何数量关系？证明你的结论；
(3)点是线段上任一点（不与、重合），作，交的延长线于点，点在的延长线上．若，，求、（用含、代数式表示）．
【答案】(1)
(2)，证明见解析
(3)，
【分析】（1）根据三角形内角和定理得到，根据角平分线定义得到，根据垂直定义得到，根据直角三角形两锐角互余得到，即得；
（2）根据三角形内角和定理与角平分线定义得到，根据垂直定义与直角三角形两锐角互余得到，即得；
（3）根据垂直于同一条直线的两条直线平行得到，根据两直线平行内错角相等得到，根据（2）结论得到，根据三角形外角性质得到，即得，．
【详解】（1）∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵于点，
∴，
∴，
∴；
故答案为：；
（2），
证明： ∵，平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴ ；
（3）∵，，
∴，
∴，
由（2）可知，
∴，
∵是的外角，
∴，
即 ，
∴，．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，平行线的判断与性质．解决问题的关键是熟练掌握三角形内角和定理及两个推论，角平分线定义，平行线的判定和性质．
23．在中，平分，，垂足为F，与交于点D．
(1)如图①，若，，求的度数；
(2)如图②，在内部作，求证：．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）根据角平分线的性质，垂直的定义可求，再根据三角形内角和为可求，进一步根据角的和差关系求出的度数；
（2）根据角平分线的性质，垂直的定义可求，再根据等量关系即可求解．
【详解】（1）∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）∵平分，
∴．
∵，
∴．
∵在中，，
在中，，
∴．
又是的外角，
∴
又，
∴．
又∵，
∴．
【点睛】本题主要考查角平分线的性质、三角形内角和定理和三角形外角的知识，解题的关键是熟练掌握性质和定理．
24．如图，已知：点分别在的边上，连接与交于点，．
(1)如图1，当都是的角平分线时，求的度数；
(2)如图2，当都是的高时，求的度数；
(3)如图3，当时，探究与的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)，见解析
【分析】（1）根据角平分线的定义可得 ，结合三角形的内角和定理，得出，，进而推出，即可求解；
（2）根据，都是的高，可得出，进而得出，根据，则，求解即可；
（3）根据三角形的外角定理可得，，根据，，得出，求出，，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵，都是的角平分线，
∴ ， ，
∴ ，
∵，
，
∴
∴；
（2）解：∵，都是的高，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
（3）解：，理由如下：
∵，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】此题主要考查了三角形的内角和定理、三角形的外角的性质、三角形角平分线的定义、四边形的内角和、三角形的高等知识，熟练掌握角之间的相互转化是解题的关键．
25．如图所示，AB、CD相交于点O，∠A＝48°，∠D＝46°．
(1) 若BE平分∠ABD交CD于F，CE平分∠ACD交AB于G，求∠BEC的度数；
(2) 若直线BM平分∠ABD交CD于F，CM平分∠DCH交直线BF于M，求∠BMC的度数．
【答案】（1）47°；（2）43°
【分析】（1）根据三角形内角和定理以及对顶角相等可得出，由平分线的定义可得出、，再结合三角形内角和定理即可得出，代入度数即可得出结论；
（2）由邻补角互补结合角平分线可得出，根据三角形外角性质结合（1）中即可得出，再根据三角形内角和定理即可得出，代入度数即可得出结论．
【详解】解：（1），，，
，
，，
．
平分交于，平分交于，
，．
，，
，
．
（2），平分交直线于，
，
，，
．
【点睛】本题考查了三角形内角和定义、角平分线、三角形的外角性质、对顶角以及邻补角，解题的关键是：（1）根据三角形内角和定理找出；（2）根据三角形内角和定理找出．本题属于中档题，难度不大，但重复用到三角形内角和定义稍显繁琐．
26．（1）如图，把沿折叠，使点落在点处，试探究、与的关系；
（2）如图2，若，，作的平分线，与的外角平分线交于点，求的度数；
（3）如图3，若点落在内部，作，的平分线交于点，此时，，满足怎样的数量关系？并给出证明过程．
【答案】（1） （2） （3），证明见解析
【分析】（1）由折叠的性质可知，，再根据平角的定义得到，，根据三角形外角的性质可得，即可得出结论；
（2）根据（1）的结论求出，再由角平分线的定义和三角形外角的性质推出即可；
（3）先推出，，再由三角形外角的性质推出，利用角平分线的定义和三角形内角和定理推出，即可得到结论．
【详解】（1）解：，理由如下：
由折叠的性质可知，，
，，
，
，
，
；
（2）解：，，，
，
的平分线，与的外角平分线交于点，
，，
，
，
又，
，
；
（3）解：，理由如下；
由折叠的性质可知，，
，，
，
，
，
，的平分线交于点，
，，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，熟知三角形内角和定理和三角形外角的性质是解题的关键．
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