25.3 用频率估计概率 导学案（知识清单+典型例题+巩固提升）

中小学教育资源及组卷应用平台
九年级数学上册 25.3 用频率估计概率 导学案
【知识清单】
当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率.
细节剖析：
用试验去估计随机事件发生的概率应尽可能多地增加试验次数，当试验次数很大时，结果将较为精确.
【典型例题】
考点1：求某事件的频率
例1．下列说法中错误的是（　 ）
A．掷一枚普通的正六面体骰子，出现向上一面点数是的概率是
B．从装有个红球的袋子中，摸出个白球是不可能事件
C．任意抛掷一枚图钉，钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等
D．某种彩票的中奖率为，买张彩票一定有张中奖
【答案】D
【分析】根据概率的定义可知正确；根据随机事件和必然事件可知正确，根据概率的意义可知错误．
【详解】解：∵掷一枚普通的正六面体骰子，共有种等可能的结果，则出现向上一面点数是的概率是
∴项的说法正确，
故项不符合题意；
∵从装有个红球的袋子中，摸出的应该都是红球，
∴摸出个白球是不可能事件，
∴项的说法正确，
故项不符合题意；
∵任意抛掷一枚图钉，共有两种可能的结果，但可能性不一样大，钉尖朝上的可能大，
∴钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等，
∴项说法正确，
故项不符合题意；
∵某种彩票的中奖率为，是中奖频率接近，
∴买张彩票一定有张可能中奖，也可能不中奖，
∴项说法错误；
故项符合题意，
故选：．
【点睛】本题考查了概率的定义，概率的意义，随机事件和必然事件，掌握概率的定义及概率的的意义是解题的关键．
考点2：由频率估计概率
例2．一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，小颖在做掷骰子的实验，投掷a次，点数为偶数朝上的有b次，记．下列说法正确的是（ ）
A．p一定等于 B．多投一次，p会更接近
C．p一定不等于 D．投掷次数逐渐增加，p稳定在附近
【答案】D
【分析】根据大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，这个固定的近似值就是这个事件的概率，因此随着投掷次数逐渐增加，p稳定在附近．
【详解】解：颖在做掷骰子的实验，投掷a次，点数为偶数朝上的有b次，记，如果投掷次数逐渐增加，p稳定在附近，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
考点3：概率的应用
例3．一个不透明的盒子里有n个除颜色外完全相同的小球，其中有9个黄球，摇匀后任意摸出一球记下颜色后放回，大量重复实验后发现摸到黄球的频率稳定在，估计盒中小球的个数n为（ ）
A．20 B．24 C．28 D．30
【答案】D
【分析】在同样条件下，大量重复实验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，据此进一步分析求解即可．
【详解】由于该盒子中共有n个小球，
则：，
解得：，
∴该盒子中小球个数为30个，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了用频率估计概率，熟练掌握相关概念是解题关键．
【巩固提升】
选择题
1．下列说法中正确的是（ ）
A．小明在装有红绿灯的十字路口，“遇到红灯”是随机事件
B．确定事件发生的概率是1
C．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子600次，点数为1与点数为6的频率相同
D．从某校1000名男生中随机抽取2名进行引体向上测试，其中有一名成绩不及格，说明该校的男生引体向上成绩不及格
2．期中调研日期为“2023年04月20日”，其中出现的频率相同的数字是（ ）
A．0和4 B．0和3 C．2和4 D．0和2
3．在一个不透明的盒子中装有个黑、白两种颜色的球，小明又放入了个红球，这些球大小都相同．若每次将球充分搅匀后，任意摸出个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在左右，则的值大约为（ ）
A． B． C． D．
4．某鱼塘里养了条鲤鱼，若干条草鱼和条罗非鱼，该鱼塘主通过多次捕捞试验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在左右，则该鱼塘捕捞到鲫鱼的概率约为（ ）
A． B． C． D．
5．在数学活动课上，张明运用统计方法估计瓶子中的豆子的数量．他先取出粒豆子，给这些豆子做上记号，然后放回瓶子中，充分摇匀之后再取出粒豆子，发现其中粒有刚才做的记号，利用得到的数据可以估计瓶子中豆子的数量约为（　　）粒．
A． B． C． D．
6．如图，转动转盘，指向阴影部分的可能性为，指向空白部分的可能性为，则( )
A．a>b B．a7．在智力竞答节目中，某参赛选手答对最后两题单选题就能利通关，两题均有四个选项，此选手只能排除第1题的一个错误选项，第2题完全不会，他还有两次“求助”机会（使用可去掉一个错误选项），为提高通关概率，他的求助使用策略为（ ）
A．两次求助都用在第1题 B．两次求助都用在第2题
C．在第1第2题各用一次求助 D．两次求助都用在第1题或都用在第2题
8．一个密码箱的密码，每个数位上的数都是从0到9的自然数．若要使不知道密码的人一次就拨对密码的概率小于，则密码的位数至少需要设（ ）
A．五位 B．四位 C．三位 D．二位
二、填空题
9．某人在做掷硬币试验，投掷次，正面朝上有次，若正面朝上的频率，随着次数的增加，的值接近 ．
10．一个口袋中有15个黑球和若干个白球，从口袋中一次摸出10个球，求出黑球数与10的比值，不断重复上述过程，总共摸了10次，黑球数与10的比值的平均数为，因此可估计口袋中大约有 个白球.
11．一批电子产品的抽样合格率为75%，当购买该电子产品足够多时，平均来说，购买 个这样的电子产品，可能会出现1个次品．
12．如图，一个转盘被分为了A，B，C三个区域，自由转动转盘一次，当转盘停止时，指针指向A区域的概率是 ．
13．在一个不透明的口袋里有红、黄、蓝三种颜色的小球，这些球除颜色外完全相同，其中有5个黄球，4个蓝球．若随机摸出一个蓝球的概率为 ，则随机摸出一个红球的概率为 ．
三、解答题
14．对下列说法谈谈你的看法：
(1)某彩票的中奖机会是，如果我买张彩票一定有张会中奖；
(2)我和同学玩飞行棋游戏，我掷了次骰子还没掷得“点”，说明我掷得“点”的机会比其他同学掷得“点”的机会小；
(3)我们知道，抛掷一枚普通硬币得到正面和反面的机会各为50%，出就是说，虽然没人能保证抛掷1000次会得到500次正面和500次反面，但是，我敢保证得到正面的次数会非常接近得到反面的次数．
15．如图，均匀的正四面体的各面依次标有1，2，3，4四个数字．小明做了60次投掷试验，结果统计如下：

朝下数字 1 2 3 4
出现的次数 13 17 20 10
(1)计算上述试验中“3朝下”的频率是_________;
(2)根据试验结果，“投掷一次正四面体，出现4朝下的概率是．”的说法正确吗？为什么？
(3)随机投掷正四面体两次，请用列表法，求两次朝下的数字之和不小于4的概率．
16．对某工厂生产的直径为的乒乓球进行产品质量检查，结果如下表所示：
抽取球数
优等品数
优等品频率
(1)计算各次检查中“优等品”的频率，将结果填入上表（保留两位小数）；
(2)估计该厂生产的乒乓球“优等品”的概率大约是多少（保留两位小数）？请简单说明理由．
17．如图，正方形的边长为2，中心为O，从O、A、B、C、D五点中任取两点．
（1）求取到的两点间的距离为2的概率；
（2）求取到的两点间的距离为的概率；
（3）求取到的两点间的距离为的概率．
18．九（1）班在义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，规定：顾客购物元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是此次活动中的一组统计数据：
转动转盘的次数
落在“手工”区域的次数
落在“手工”区域的频率
(1)求出的值；
(2)请估计当很大时，频率将会接近______；假如你去转动该转盘一次，你获得“手工”奖品的概率约是______．（精确到）
19．在一个不透明的抽奖袋中装有红色、黄色、白色、黑色四种除颜色外都相同的小球，从袋子中摸出1个球，红色、黄色、白色分别代表一、二、三等奖，黑色表示谢谢参与．
(1)若小明获得1次抽奖机会，小明中奖是__________事件（填“随机”、“必然”、“不可能”）；
(2)若袋中共有24个球，其中红球3个，黄球6个，黑球9个，则1次抽奖机会中，抽中一等奖的概率为__________；抽中二等奖的概率为___________；中奖的概率为____________；
(3)现有足够多的球，请你从中选15个球设计摸球游戏，使摸到红球的概率和摸到白球的概率相等，且都大于摸到黑球的概率．
参考答案
1．A
【分析】根据事件的分类，频率和概率分别判断即可．
【详解】解：A. 小明在装有红绿灯的十字路口，“遇到红灯”是随机事件,故正确，符合题意；
B. 确定事件发生的概率是1或0，故错误，不合题意；
C. 抛掷一枚质地均匀的正方体骰子600次，点数为1与点数为6的频率不一定相同，故错误，不合题意；
D. 从某校1000名男生中随机抽取2名进行引体向上测试，其中有一名成绩不及格，但抽取的人数太少，不能说明该校的男生引体向上成绩不及格，故错误，不合题意；
故选：A．
【点睛】此题主要考查了事件的分类，概率的意义，频率，解答此题要明确事件类型和概率的关系．
2．D
【分析】根据频率的定义即可解答．
【详解】解：在“2023年04月20日”中，共有0、2、3、4四个数字，其中0出现了3次，2出现了3次，3出现了1次，4出现了1次，
则数字0和2的频率相同，均为，
数字3和4的频率相同，均为．
故选：D．
【点睛】本题考查了频率，掌握频数与总次数的比值（或者百分比）称为这类数据频数的频率是解题关键．
3．A
【分析】根据题意可得摸到红球的概率为，据此利用概率计算公式列出方程求解即可．
【详解】解：∵通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在左右，
∴摸到红球的概率为，
∴，
解得，
检验，当时，，
故选A．
【点睛】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量，熟知大量反复试验下频率的稳定值即为概率值是解题的关键．
4．C
【分析】因为通过多次捕捞试验，捕捞到草鱼的频率稳定在左右，所以，可以把捕捞到草鱼的频率作为捕捞到草鱼的概率，设草鱼的数量为条，可得到关于的分式方程，求解可得到草鱼的数量，进而可求得答案．
【详解】因为通过多次捕捞试验，捕捞到草鱼的频率稳定在左右，所以，可以把捕捞到草鱼的频率作为捕捞到草鱼的概率．
设草鱼的数量为条．
根据题意，得
．
解得，
经检验是所列方程的解且符合题意，
所以鱼塘捕捞到鲫鱼的概率．
故选：C．
【点睛】本题主要考查用频率估计概率、实际问题与分式方程，牢记用频率估计概率的条件（对一般的随机事件，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示出一定的稳定性．因此，我们可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率）是解题的关键．
5．B
【分析】设瓶子中有豆子x粒，根据取出100粒刚好有记号的8粒列出算式，再进行计算即可．
【详解】设瓶子中有豆子粒豆子，
根据题意得：，
解得：，
经检验：是原分式方程的解，
答：估计瓶子中豆子的数量约为粒．
故选：．
【点睛】本题考查了用样本的数据特征来估计总体的数据特征，利用样本中的数据对整体进行估算是统计学中最常用的估算方法．
6．C
【详解】由图可知，阴影部分与空白部分的面积相等，故a=b.
故选C.
7．D
【分析】根据题意，分类讨论，列举或画出树状图列出等可能的情况，根据概率公式求出每一种情况下的概率，即可判断．
【详解】解：①若两次求助都用在第1题，
假设D选项是第1题的正确选项，选手可以排除的是A选项，使用两次求助时存在三种等可能的情况：
第一种：求助排除AB选项，还剩CD两个选项，答对的概率是，
第二种：求助排除AC选项，还剩BD两个选项，答对的概率是，
第三种：求助排除BC选项，只剩D一个选项，答对的概率是1，
因此第一题答对的概率为：，第2题答对的概率为，
故此时该选手通关的概率为：；
②若在第1第2题各用一次求助，
假设D选项是第1题的正确选项，选手可以排除的是A选项，使用一次求助时存在三种等可能的情况：
第一种：求助排除A选项，还剩BCD三个选项，答对的概率是，
第二种：求助排除B选项，还剩CD两个选项，答对的概率是，
第三种：求助排除C选项，还剩BD两个选项，答对的概率是，
因此第一题答对的概率为：，
第2题使用一次求助后，还剩3个选项，其中只有一个正确选项，因此答对的概率为，
故此时该选手通关的概率为：；
③两次求助都用在第2题，
画树状图如下：上层A、B、C表示第一题剩下的三个选项，下层A、B表示第二题剩下的二个选项，

共有6种等可能的结果，其中该选手通关的可能只有1种，故此时该选手通关的概率为：.
∵，
∴两次求助都用在第1题或都用在第2题时，该选手通关的概率大，
故选：D．
【点睛】此题考查的是求概率问题，掌握画树状图的方法、概率公式和分类讨论的数学思想是解决此题的关键．
8．B
【分析】分别求出取一位数、两位数、三位数、四位数时一次就拨对密码的概率，再根据所在的范围解答即可．
【详解】解：∵取一位数时一次就拨对密码的概率为；
取两位数时一次就拨对密码的概率为；
取三位数时一次就拨对密码的概率为；
取四位数时一次就拨对密码的概率为；
∵，
∴密码的位数至少需要四位，故选项B正确．
故选：B．
【点睛】本题考查概率的求法与运用，一般方法为：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率．
9．/0.5
【分析】频率在一定程度上反映了事件发生的可能性大小，尽管每进行一连串（n次）实验，所得的频率可以各不相同，但只要n相当大，频率与概率是会非常接近的．
【详解】解：随着次数的增加，的值接近．
故答案为：．
【点睛】本题考查了模拟实验，熟练掌握模拟实验的频率与概率的关系是解题关键．
10．60
【分析】把作为黑球与总数的比，用15除以求出总数，减去黑球数即为所求．
【详解】解：由题意知，黑球数与10的比值的平均数为，则说明黑球占总球数的，
所以总球数为个，则白球数为个．
故答案为：
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，关键是根据黑球的频率得到相应的等量关系求得球的总个数．
11．4
【分析】根据“合格率”，“不合格率”的意义，结合“频数与频率”的意义进行判断即可．
【详解】解：∵产品的抽样合格率为，
∴产品的抽样不合格率为
∴当购买该电子产品足够多时，平均来说，每购4个这样的电子产品，就可能会出现1个次品
故答案为：4．
【点睛】本题考查频数与频率，理解“频率”“合格率”“不合格率”的意义是正确判断的前提．
12．
【分析】根据概率的求法，找准两点：
①全部情况的总数；
②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．依此即可求解．
【详解】解：∵A区域扇形的圆心角为90°，
∴自由转动转盘一次，当转盘停止时，指针指向A区域的概率是，
故答案为：．
【点睛】此题考查了概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）．
13．/
【分析】设红球有个，根据“随机摸出一个蓝球的概率为 ”，可以求出红球的个数，最后根据概率公式即可得出随机摸出一个红球的概率．
【详解】解：设红球有个，
随机摸出一个蓝球的概率为 ，
，
解得：，
经检验，是所列方程的解，
∴红球有3个，
∴随机摸出一个红球的概率为：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了概率公式的应用，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
14．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据概率的意义分析即可求解．
（2）根据概率的意义分析即可求解；
（3）根据频率和概率的关系，进行估算．
【详解】（1）解：不同意．频率和机会在实验次数很大时可以非常接近，但并不一定完全相等；
（2）不同意．若骰子质量分布均匀，掷得6点的次数随着抛掷次数的增多而逐渐稳定于，实验次数较少时得到的机会估计值不可靠；
（3）这种说法是合理的．
【点睛】考查利用频率估计概率，概率的意义，大量反复试验下频率稳定值即概率．随机事件可能发生，也可能不发生，概率在0和1之间．
15．(1)
(2)不正确，理由见解析
(3)
【分析】（1）由频率频数试验次数算出频率；
（2）只有当试验的总次数很大时，事件发生的频率才会稳定在相应的事件发生的概率附近．据此进行解答即可；
（3）列表列举出所有的可能的结果，然后利用概率公式解答即可．
【详解】（1）“3朝下”的频率：．
故答案为：；
（2）这种说法不正确．在60次试验中，“4朝下”的频率为，并不能说明“4朝下”这一事件发生的概率为．只有当试验的总次数很大时，事件发生的频率才会稳定在相应的事件发生的概率附近．
（3）随机投掷正四面体两次，所有可能出现的结果如下：
1 2 3 4
1
2
3
4
总共有16种结果，每种结果出现的可能性相同，而两次朝下数字之和不小于4的结果有种．
∴．
即两次朝下的数字之和不小于4的概率为．
【点睛】本题考查了列表法求概率、频率、频率与概率的关系等知识，解题的关键是正确列出表格，然后用符合条件的情况数m除以所有等可能发生的情况数n即可，即．
16．(1)、、
(2)
【分析】（1）用优等品数除以抽取球数即可得出答案；
（2）根据随着抽取球数的增加，频率稳定于0.90可得答案．
【详解】（1）解：完成表格如下：
抽取球数
优等品数
优等品频率
故答案为：、、．
（2）估计该厂生产的乒乓球“优等品”的概率大约是，
由表知，随着抽取球数的增加，频率稳定于，
所以估计该厂生产的乒乓球“优等品”的概率大约是．
【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
17．（1）（2）（3）
【详解】试题分析：AB=BC=CD=AD=2,AC=BD=2,OD=OC=OA=OB=,求取到的两点间的距离为2、、2 的概率,也就是求取到这些相等线段的概率，总共有10条线段．
试题解析：解：（1）从O、A、B、C、D五点中任取两点，所有等可能出现的结果有：
AB、AC、AD、BC、BD、CD、OA、OB、OC、OD，共有10种，
满足两点间的距离为2的结果有AB、BC、CD、AD这4种，
则P（两点间的距离为2）=．
（2）满足两点间的距离为的结果有AC、BD这2种．
则P（两点间的距离为）=．
（3）满足两点间的距离为的结果有OA、OB、OC、OD这4种．
则P（两点间的距离为）=．
18．(1)，
(2)，
【分析】(1)根据频率频数总数求解即可；
(2)根据表格中的数据可以估计频率是多少以及转动该转盘一次，获得“手工”的概率．
【详解】（1）解：∵转动转盘的次数为，落在“手工”区域的频率为，
∴，
∵转动转盘的次数为，落在“手工”区域的频率为，
∴，
（2）解：∵根据表格信息可知：落在“手工”区域的频率的平均数大约为：,
∴当n很大时，频率将会接近，
∴假如你去转动该转盘一次，你获得“手工”奖品的概率约是．
故答案为：，．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，明确题意，利用数形结合的思想是解题的关键．
19．(1)随机
(2)，，
(3)见解析
【分析】（1）根据“随机事件”、“必然事件”、“不可能事件”的定义判断即可；
（2）利用概率公式直接进行计算．
（3）设计摸球游戏中的球总数为，红球和白球个数相同，且多于黑球的个数即可．
【详解】（1）解：小明可能中奖也可能不中奖
小明中奖是随机事件；
故答案为：随机；
（2）解：袋中共有个球，其中红球个，黄球6个，黑球9个，且从袋子中摸出1个球，红色、黄色、白色分别代表一、二、三等奖，黑色表示谢谢参与，
，
，
．
故答案为：；
（3）解：有足够多的球，从中选个球设计摸球游戏，使摸到红球的概率和摸到白球的概率相等，且都大于摸到黑球的概率，
只要球的总数为个，红球和白球个数相同，且多于黑球的个数，
可设计如下：选红色、黄色、白色、黑色四种除颜色外都相同的小球个，其中红球和白球都是个，黑球个，其他的球都是黄色球．
【点睛】本题考查随机事件，概率公式，游戏设计，掌握概率的意义是解题的关键．
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)