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11.2与三角形有关的角 （重难点）
【知识精讲】
【知识点一、三角形的内角和定理】
1. 三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
2. 三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
3. 三角形内角和定理的证明：证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
【知识点二、三角形的外角性质】
1. 三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．
2. 三角形的外角性质：①三角形的外角和为360°．②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．
【知识点三、 直角三角形的性质】
1. 有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．
2. 直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：
性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．
性质2：在直角三角形中，两个锐角互余．
性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．
性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．
【重点题型】
考点1：判断三角形形状
例1．在中，，，则的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
【变式训练1-1】在中，，则的形状是（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形
【变式训练1-2】已知则的形状是（）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定形状
【变式训练1-2】中，，则对的形状判断正确的是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定
考点2：利用三角形内角和求度数
例2．在直角三角形中，一个锐角比另一个锐角的3倍少，则两锐角的度数分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【变式训练2-1】．在中，已知，则C的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-2】在中，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-3】如图，在中，的度数是（ ）
A． B． C． D．
考点3：利用三角形外角的性质求度数
例3．如图，是的一个外角，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-1】如图，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-2】如图，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-3】如图，在中，，D为边上的一点，E点在边上，，若，则（ ）
A． B． C． D．
考点4：翻折类
例4．如图，在中，点D、E分别为边、上的点，连接，将沿翻折得到，使．若，，则的大小为 ．
【变式训练4-1】如图，在中，，点在边上，将沿着直线翻折，点B的对应点E恰好落在边上．如果，那么 度．
【变式训练4-2】．如图，将沿、翻折，顶点A，B均落在点O处，且与重合于线段，若，则的度数为 °．
【变式训练4-3】在△ABC中，点E、F分别为边AB、AC上的点，把△ABC沿EF翻折，翻折后的图形如图所示．若，则的度数为 ．
考点5：利用三角板求度数
例5．将一副三角尺按如图所示方式放置，，则 ．
【变式训练5-1】如图，将直尺与含角的直角三角尺叠放在一起，若，则的大小为 ．
【变式训练5-2】将一副三角尺按如图的方式拼摆，则的度数为 ．
【变式训练5-3】如图，直线ab，将一个含30°角的三角尺按如图所示的位置放置，若∠1＝24°，则∠2的度数为 ．
考点6：利用高求度数
例6．如图分别是的高和角平分线，，，求的度数．
【变式训练6-1】如图，是的高，是的角平分线，和交于点，求的度数．
【变式训练6-2】如图，在中，，，是上的高，平分，、交于点F，求和的度数．
【变式训练6-3】如图，为的角平分线，为的高，交于点F，，，求的度数．
考点7：利用角平分线求度数
例7．在在中，，点在边上．
(1)如图①，点在线段上，若，证明：；
(2)如图②，平分，点在线段上，交延长线于点，设与的角平分线交于点，求与的度数之比
【变式训练7-1】如图，、是的角平分线，与相交于点．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，延长至，的角平分线交射线于点，若，求的度数．
【变式训练7-2】如图，与的角平分线交于点，与相交于点，交于点、交于．
(1)若，，求的度数；
(2)猜想，，的等量关系，直接写出结果．
【变式训练7-3】如图①，在中，与的平分线相交于点P．
(1)如果，求的度数；
(2)如图②，作外角，的角平分线交于点Q，试探索、之间的数量关系．
(3)如图③，延长线段交于点E，中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求的度数．
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11.2与三角形有关的角 （重难点）
【知识精讲】
【知识点一、三角形的内角和定理】
1. 三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
2. 三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
3. 三角形内角和定理的证明：证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
【知识点二、三角形的外角性质】
1. 三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．
2. 三角形的外角性质：①三角形的外角和为360°．②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．
【知识点三、 直角三角形的性质】
1. 有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．
2. 直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：
性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．
性质2：在直角三角形中，两个锐角互余．
性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．
性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．
【重点题型】
考点1：判断三角形形状
例1．在中，，，则的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
【答案】C
【分析】先根据三角形内角和定理求出，再根据三角形的分类方法求解即可．
【详解】解：∵在中，，，
∴，
∵，
∴的形状是钝角三角形，
故选C．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形的分类，灵活运用所学知识是解题的关键．
【变式训练1-1】在中，，则的形状是（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形
【答案】A
【分析】根据三角形内角和定理求得，即可求解．
【详解】解：在中，，
∴，
∴的形状是钝角三角形，
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理的应用，三角形的分类，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．
【变式训练1-2】已知则的形状是（）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定形状
【答案】B
【分析】根据三角形的内角和定理求出最大角的度数，进行判断即可．
【详解】解：∵
∴，
又，
∴，即，
故该三角形是直角三角形．
故选B．
【点睛】本题主要考查三角形的分类，三角形内角和定理，解题的关键在于按比例算出最大角的度数．
【变式训练1-2】中，，则对的形状判断正确的是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定
【答案】C
【分析】根据在中，，可求出的度数，进而得出结论．
【详解】解：∵在中，，
∴，
解得，
∴是钝角三角形．
故选：C．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是是解答此题的关键．
考点2：利用三角形内角和求度数
例2．在直角三角形中，一个锐角比另一个锐角的3倍少，则两锐角的度数分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】B
【分析】设另一个锐角为，表示出一个锐角，然后根据直角三角形两锐角互余列方程求解即可．
【详解】解：设另一个锐角为，则一个锐角为，
由题意得，，
解得，
，
所以，这两个锐角的度数分别为，，
故选B．
【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质并列出方程是解题的关键．
【变式训练2-1】．在中，已知，则C的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，算出，再根据三角形的内角和即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和，解题的关键是掌握三角形的内角和为．
【变式训练2-2】在中，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据直角三角形两锐角互余可得，再代入的度数可得的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，两个锐角互余．
【变式训练2-3】如图，在中，的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据三角形的内角和定理列方程即可得到结论．
【详解】解：，
，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键．
考点3：利用三角形外角的性质求度数
例3．如图，是的一个外角，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】直接利用三角形的外角性质进行求解即可．
【详解】解：∵是的一个外角，，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查三角形的外角性质，关键是明确三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和．
【变式训练3-1】如图，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据垂直定义得，再根据三角形外角性质求解即可．
【详解】解：∵
∴
∵
∴
故选：D．
【点睛】本题考查三角形外角和性质，垂直的定义，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻两内角和是解题的关键．
【变式训练3-2】如图，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据平行线的性质及三角形的外角性质即可计算得解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质及三角形的外角性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
【变式训练3-3】如图，在中，，D为边上的一点，E点在边上，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用三角形的外角性质可得，结合，可得出∠，利用三角形的外角性质可得，进而可得出，再结合及即可解答．
【详解】解：∵是的外角，
∴，
∵，
∴．
∵是的外角，
∴，
∴，
又∵，
∴ ，
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角形的外角性质，牢记“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”是解题的关键．
考点4：翻折类
例4．如图，在中，点D、E分别为边、上的点，连接，将沿翻折得到，使．若，，则的大小为 ．
【答案】
【分析】由得出，由折叠性质可知，，再根据三角形外角性质求出．
【详解】解：如图，设交于G，
∵，
∴，
由折叠性质可知，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，三角形外角的性质，平行线的性质，解答本题的关键是求出的度数．
【变式训练4-1】如图，在中，，点在边上，将沿着直线翻折，点B的对应点E恰好落在边上．如果，那么 度．
【答案】40
【分析】先根据直角三角形的性质求出的度数，然后根据翻折的性质求出，进而利用三角形的外角性质即可解答．
【详解】解：∵，，
∴，
∵将沿着直线翻折得到，
∴，
∴．
故答案为：40．
【点睛】本题考查了翻折变换以及三角形的外角性质，解题的关键是熟练应用翻折变换的性质求出．
【变式训练4-2】．如图，将沿、翻折，顶点A，B均落在点O处，且与重合于线段，若，则的度数为 °．
【答案】80
【分析】延长交于点G，根据三角形内角和定理可求出，由翻折的性质可知，，即得出，从而求出，由三角形外角性质结合三角形内角和定理即可得出，从而可求出．
【详解】如图，延长交于点G，
∵，
∴，
由翻折可知，，
∴，即，
∴，
∵，，
∴，即，
∴，
故答案为：80．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，翻折的性质，三角形外角性质，熟练掌握其定理是解题的关键．
【变式训练4-3】在△ABC中，点E、F分别为边AB、AC上的点，把△ABC沿EF翻折，翻折后的图形如图所示．若，则的度数为 ．
【答案】
【分析】如图，延长B′E交C′F的延长线于点A′，连接AA′．证明∠1+∠2=2∠EAF，可得结论．
【详解】解：如图，延长B′E交C′F的延长线于点A′，连接AA′．
∵∠1=∠EAA′+∠EA′A，∠2=∠FAA′+∠FA′A,
∴∠1+∠2=∠EAF+∠EA′F，
∵∠EAF=∠EA′F，
∴∠1+∠2=2∠EAF=110°，
∴∠A=55°．
故答案为：55°．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，翻折变换等知识，解题的关键是证明∠1+∠2=2∠EAF．
考点5：利用三角板求度数
例5．将一副三角尺按如图所示方式放置，，则 ．
【答案】105
【分析】先求出，则由三角形外角的性质即可得到．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，熟知三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角的度数之和是解题的关键．
【变式训练5-1】如图，将直尺与含角的直角三角尺叠放在一起，若，则的大小为 ．
【答案】/20度
【分析】根据三角形外角的性质，，进而可求出的大小．
【详解】解：如下图所示，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的大小为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了对顶角相等、三角形的外角的性质，掌握三角形的外角等于不相邻的两个内角和是关键．
【变式训练5-2】将一副三角尺按如图的方式拼摆，则的度数为 ．
【答案】
【分析】根据三角形外角的性质可得，进而得出答案．
【详解】解：∵一副三角尺按如图的方式拼摆，
∴，，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角板中的角度计算以及三角形外角的性质，熟记三角板的角度以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解本题的关键．
【变式训练5-3】如图，直线ab，将一个含30°角的三角尺按如图所示的位置放置，若∠1＝24°，则∠2的度数为 ．
【答案】/144度
【分析】如图（见解析），先根据角的和差可得，再根据平行线的性质可得，然后根据三角形的外角性质即可得．
【详解】解：如图，由题意得：，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形的外角性质等知识点，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
考点6：利用高求度数
例6．如图分别是的高和角平分线，，，求的度数．
【答案】
【分析】由三角形的内角和可求得，则由角平分线定义可求得，然后利用三角形的外角性质求解即可．
【详解】解：在中
∵，，
∴
∵是的角平分线，
∴
∴．
【点睛】本题考查了角平分线定义，三角形内角和定理的应用，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
【变式训练6-1】如图，是的高，是的角平分线，和交于点，求的度数．
【答案】
【分析】先根据三角形高的定义和角平分线的定义得到，再由三角形外角的性质可得
【详解】解：∵是的高，是的角平分线，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形高的定义和角平分线的定义，熟知三角形中，一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角度数之和是解题的关键．
【变式训练6-2】如图，在中，，，是上的高，平分，、交于点F，求和的度数．
【答案】，
【分析】根据三角形内角和求出，结合三角形的高求出，再根据角平分线的定义得到，最后利用外角的性质计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵是上的高，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了三角形内角和，角平分线的定义，三角形的高，外角的性质，解题的关键是根据所学知识点，理清角的关系．
【变式训练6-3】如图，为的角平分线，为的高，交于点F，，，求的度数．
【答案】
【分析】由为的高得，由三角形内角和定理得，由为的角平分线得到，由三角形外角的性质即可得到的度数．
【详解】解：∵为的高，
∴，
∵，，
∴，
∵为的角平分线，
∴，
∴．
即的度数为．
【点睛】此题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、三角形的高、角平分线的定义等知识，熟练掌握三角形内角和定理、三角形外角的性质是解题的关键．
考点7：利用角平分线求度数
例7．在在中，，点在边上．
(1)如图①，点在线段上，若，证明：；
(2)如图②，平分，点在线段上，交延长线于点，设与的角平分线交于点，求与的度数之比
【答案】(1)见解析．
(2)
【分析】（1）根据三角形的外角定理，, ，而，代入上面式子有：，而，所以，证明了结论；
（2）如图，延长交于，设；有，根据外角定理有，，而，，，而，即，联立可以找到的关系式，即可求解．
【详解】（1）证明：∵,
∴
又∵
∴
∵，
∴
即：．
（2）解：如图，延长交于，设
∵
∴，
∴
∴.
∴
∵
∴
∴
∴
故：与的度数之比为．
【点睛】本题主要考查了三角形外角定理、直角三角形性质、角平分线的定义等知识，熟练运用外角定理，找到相应的等量关系，并通过等量代换找到角之间的关系是求解的关键．
【变式训练7-1】如图，、是的角平分线，与相交于点．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，延长至，的角平分线交射线于点，若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据角平分线的定义得到，再利用三角形的内角和及外角的性质即可解答；
（2）根据角平分线的性质及外角的性质得到即可解答．
【详解】（1）证明：∵、是的角平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵是的角平分线，
∴，
∵的角平分线交射线于点，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
【点睛】本题考查了三角形的内角和，三角形外角的性质，角平分线的定义，掌握三角形的角平分线的定义是解题的关键．
【变式训练7-2】如图，与的角平分线交于点，与相交于点，交于点、交于．
(1)若，，求的度数；
(2)猜想，，的等量关系，直接写出结果．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设，，根据角平分线的定义得出，，根据三角形内角和定理得出①．根据三角形外角的性质得出②．③，进而得出；
（2）由（1）同理可知：，即可求解．
【详解】（1）解：设，，
根据和的角平分线相交于点可知：
，，
三角形的内角和等于，，，
，即①．
是与的外角，
，即②．
同理，是与的外角，
，即③，
①②得，④，
①③得，⑤，
④代入⑤得，，
，
解得；
（2），理由如下：
由（1）同理可知：
，
解得：．
【点睛】本题考查了三角形的角平分线，三角形的外角的性质，熟练掌握三角形的外角的性质是解题的关键．
【变式训练7-3】如图①，在中，与的平分线相交于点P．
(1)如果，求的度数；
(2)如图②，作外角，的角平分线交于点Q，试探索、之间的数量关系．
(3)如图③，延长线段交于点E，中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求的度数．
【答案】(1)；
(2)；
(3)的度数是或或．
【分析】（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出，进而求出即可解决问题；
（2）根据三角形的外角性质分别表示出和，再根据角平分线的性质可求得，最后根据三角形内角和定理即可求解；
（3）在中，由于，求出，，所以如果中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况进行讨论：①；②；③；④；分别列出方程，求解即可．
【详解】（1）解：∵．
∴，
∵点P是与的平分线的交点，
∴；
（2）解：∵外角，的角平分线交于点Q，
∴
，
∴；
（3）解：延长至F，
∵为的外角的角平分线，
∴是的外角的平分线，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
即，
又∵，
∴，即；
∵
．
如果中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况：
①，则，；
②，则，，；
③，则，解得；
④，则，解得．
综上所述，的度数是或或．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键．
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