中小学教育资源及组卷应用平台
11.3多边形及其内角和
【基础巩固】
一、单选题
1．在一个凸n边形中，它的内角和是，则n为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．五边形的内角和等于（ ）
A． B． C． D．
3．从一个多边形的任何一个顶点出发都只有2条对角线，则它的边数是（ ）条.
A．3 B．4 C．5 D．6
4．在学习多边形的内角和外角知识以后，2班的小朋友们在操场做了一个实验，如图，张梓佑从点出发沿直线前进8米到达点后向左旋转度，再沿直线前进8米，到达点后，又向左旋转度，照这样走下去，第一次回到出发地点时，她共走了72米，请计算出张梓佑每次旋转的角度为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，五边形中，，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．我们学习多边形后，发现凸多边形的对角线有一定的规律，①中的四边形共有2条对角线，②中的五边形共有5条对角线，③中的六边形共有9条对角线，…，请你计算凸十边形对角线的总条数（ ）
A．54 B．44 C．35 D．27
7．如图，是五边形的三个外角，边的延长线相交于点F，如果，那么的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．将一个正五边形按如图方式放置．若直线mn，∠2=42°，则∠1度数是（ ）
A．78° B．76° C．72° D．68°
9．小刚设计了用n个完全相同的△ABC纸片(如图1)拼接正多边形的游戏，用6个△ABC纸片按照图2所示的方法拼接起来，能够围成正六边形．如果用若干个△ABC纸片按照图3所示的方法拼接起来，那么能够围成的正多边形为（ ）
A．正六边形 B．正八边形 C．正九边形 D．正十边形
10．如图所示，将正六边形与正五边形按此方式摆放，正六边形与正五边形的公共顶点为O，且正六边形的边AB与正五边形的边DE共线，则∠COF的度数是（ ）
A．86° B．84° C．76° D．74°
二、填空题
11．一个多边形的每一个外角都为，则这个多边形的边数是 ．
12．一个多边形的内角和等于外角和的倍，它的边数是 ．
13．如图，在五边形ABCDE中，点M、N分别为在AB、AE的边上，∠1+∠2＝120°，则∠B+∠C+∠D+∠E＝ ．
14．如图，∠1+∠2+∠3+∠4=290°，则∠5= °．
15．如图，在五边形中满足，则图形中的的值是 ．
16．如图，七边形ABCDEFG中，AB，ED的延长线交于点O，外角∠1，∠2，∠3，∠4的和等于220°，则∠BOD的度数是 度．
17．小明制造了一个简单的机器人，小明遥控它每前行米便向左转，问它需要经过 米才能回到原地．
18．在中，，，将、按照如图所示折叠，若，则 °
三、解答题
19．如图，在四边形中，，．
(1)当时，求的度数．
(2)的平分线交于点E，当时，求的度数．
20．求下列各图形中的值．
21．如图，六边形中，，，
(1)求证：．
(2)若，，求．
【能力提升】
22．阅读佳佳与明明的对话，解决下列问题：
佳佳：我把一个多边形的各内角相加，所得的和为；
明明：什么？不可能的！虽然你的运算正确，但是你错把一个外角当成一个内角了！
(1)“多边形内角和为”，为什么不可能？
(2)佳佳求的是几边形的内角和？
(3)错当成内角的那个外角为多少度？
23．如图，求的度数．
24．小明在进行多边形内角和计算时，求得一多边形的内角和为1125°，重新检查时，发现少加了一个内角，求这个内角的度数，及求这个多边形的边数．
25．请认真阅读下列材料，并完成相应学习任务．
探索四边形的内角和
数学课上，老师提出如下问题：我们知道，三角形的内角和等于，正方形、长方形的内角和都等于．那么，任意一个四边形的内角和是否也等于呢？你能利用三角形内角和定理证明四边形的内角和等于吗？
“勤奋小组”的思路是：如图1，连接对角线，则四边形被分为两个三角形，即和．由此可得，
∵，
∴．即四边形的内角和是360°．
“智慧小组”受到“勤奋小组”的启发，他们发现，在四边形的一条边上取一点E，或在四边形内部取一点E，也可以将四边形分为几个三角形（如图2或图3），进而证明四边形内角和等于360°．
“创新小组”的思路是：如图4，在四边形外部取一点E，分别连接，，，…
任务一：
勤奋小组在探索四边形内角和的过程中，主要体现的数学思想是（ ）
A．从一般到特殊 B．转化 C．抽象
任务二：
在图2和图3中，选择一种，按照智慧小组的思路．求证：；
任务三：
如图4，请按照创新小组的思路求证：．
26．在四边形ABCD中，，点E、F分别是边AD，BC上的点，点P是一动点，令．
初探：
(1)如图①，若点P在线段CD上，且，则________°；
(2)如图②，若点P在线段CD上运动，试探究与之间的关系，并说明理由；
再探：
(3)如图③，若点P在线段DC的延长线上运动，则之间的关系为________；
(4)若点P运动到四边形ABCD的内部，直接写出此时之间的关系为_________．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
11.3多边形及其内角和
【基础巩固】
一、单选题
1．在一个凸n边形中，它的内角和是，则n为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】根据多边形的内角和公式求解即可．
【详解】解：，
解得：，
故选：B．
【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，解题的关键是掌握边形的内角和等于．
2．五边形的内角和等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据多边形内角和为：，即可．
【详解】∵多边形内角和为：，
∴五边形的内角和为：，
故选：B．
【点睛】本题考查多边形的知识，解题的关键是掌握多边形内角和公式．
3．从一个多边形的任何一个顶点出发都只有2条对角线，则它的边数是（ ）条.
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】根据从多边形的一个顶点可以做条对角线即可求解．
【详解】解：∵从一个多边形的任何一个顶点出发都只有2条对角线，
∴，
解得．
故选：C．
【点睛】本题考查了多边形的对角线，解题的关键是熟练掌握多边形对角线的条数规律．
4．在学习多边形的内角和外角知识以后，2班的小朋友们在操场做了一个实验，如图，张梓佑从点出发沿直线前进8米到达点后向左旋转度，再沿直线前进8米，到达点后，又向左旋转度，照这样走下去，第一次回到出发地点时，她共走了72米，请计算出张梓佑每次旋转的角度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据多边形的外角的定义解决此题．
【详解】解：∵，
∴．
∴每次旋转的角度．
故选：B．
【点睛】本题主要考查多边形的外角，熟练掌握多边形的外角的定义是解决本题的关键．
5．如图，五边形中，，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平行线的性质可得，根据邻补角的定义可得，，再根据多边形内角和定理可得，最后根据邻补角的定义可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
，
在五边形中，
，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查多边形的内角和：（且为整数，为多边形的边数），平行线的性质，邻补角的定义．掌握多边形的内角和定理是解题的关键．
6．我们学习多边形后，发现凸多边形的对角线有一定的规律，①中的四边形共有2条对角线，②中的五边形共有5条对角线，③中的六边形共有9条对角线，…，请你计算凸十边形对角线的总条数（ ）
A．54 B．44 C．35 D．27
【答案】C
【分析】根据一个n边形的对角线条数为进行求解即可．
【详解】解：一个四边形共有2条对角线，一个五边形共有5条对角线，一个六边形共有9条对角线……
一个十边形共有条对角线，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了对角线条数问题，解题的关键是熟练掌握一个n边形的对角线条数为．
7．如图，是五边形的三个外角，边的延长线相交于点F，如果，那么的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用多边形的外角和为360°和三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：∵多边形的外角和为360°，
∴
∴
∵
∴
∴
故选：D．
【点睛】本题考查了多边形的外角和和三角形的内角和定理．任意多边形的外角和等于360°．
8．将一个正五边形按如图方式放置．若直线mn，∠2=42°，则∠1度数是（ ）
A．78° B．76° C．72° D．68°
【答案】A
【分析】根据正五边形的性质和多边形的外角性质可求∠3与∠1的关系，过A点作AB∥n，根据平行线的性质可求∠4与∠3的关系，根据角的和差关系可求∠5与∠4的关系，再根据平行线的性质可求∠2与∠5的关系，从而求解．
【详解】解：（52）×180°÷5=108°，
180°108°=72°，
则∠3=360°72°×2（180°∠1）=36°+∠1，
过A点作AB∥n，
∵m∥n，
∴m∥AB∥n，
∴∠4=180°∠3，∠2=∠5，
∵∠5=108°∠4，
∴∠1∠2=36°．
∵∠2=42°，
∴∠1=78°；
故选：A
【点睛】考查了平行线的性质，正五边形的性质和多边形的外角性质，平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
9．小刚设计了用n个完全相同的△ABC纸片(如图1)拼接正多边形的游戏，用6个△ABC纸片按照图2所示的方法拼接起来，能够围成正六边形．如果用若干个△ABC纸片按照图3所示的方法拼接起来，那么能够围成的正多边形为（ ）
A．正六边形 B．正八边形 C．正九边形 D．正十边形
【答案】C
【分析】先根据正六边形计算一个内角为120度，可知△ABC各角的度数，再根据图3中正多边形的内角的度数，可得结论．
【详解】解：∵正六边形每一个内角为120°，
∴∠ACB=120°-80°=40°，
∴∠CAB=180°-120°=60°，
∴图3中正多边形的每一个内角为60°+80°=140°，
∵，
∴可以得到外轮廓的图案是正九边形．
故选：C．
【点睛】本题考查正多边形和图形的变化类，解决本题的关键是掌握正多边形内角和与外角和公式．
10．如图所示，将正六边形与正五边形按此方式摆放，正六边形与正五边形的公共顶点为O，且正六边形的边AB与正五边形的边DE共线，则∠COF的度数是（ ）
A．86° B．84° C．76° D．74°
【答案】B
【分析】利用正多边形的性质求出∠EOF，∠BOC，∠BOE即可解决问题．
【详解】解：由题意：∠EOF＝108°，∠BOC＝120°，∠OEB＝72°，∠OBE＝60°，
∴∠BOE＝180°﹣72°﹣60°＝48°，
∴∠COF＝360°﹣108°﹣48°﹣120°＝84°，
故选：B．
【点睛】本题考查正多边形，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于常考题型．
二、填空题
11．一个多边形的每一个外角都为，则这个多边形的边数是 ．
【答案】10
【分析】根据多边形的外角和等于即可解答．
【详解】解：因为一个多边形的每一个外角都等于，
所以这个多边形的边数为．
故答案为：10．
【点睛】本题主要考查了多边形的外角和，熟知任意多边形的外角和都等于是解题的关键．
12．一个多边形的内角和等于外角和的倍，它的边数是 ．
【答案】
【分析】根据多边形内角和公式和多边形外角和，列式计算即可．
【详解】解：设这个多边形的边数为n，由题意得
，
解得：．
故答案：．
【点睛】本题考查了多边形的内角和公式、多边形的外角和，掌握内角和公式和外角和是解题的关键．
13．如图，在五边形ABCDE中，点M、N分别为在AB、AE的边上，∠1+∠2＝120°，则∠B+∠C+∠D+∠E＝ ．
【答案】480°
【分析】先求出∠A＝180°﹣（∠1+∠2）＝60°，再用五边形内角和减去∠A的度数即可得到答案．
【详解】解：∵∠1+∠2＝120°，∠1+∠2＋∠A＝180°，
∴∠A＝180°－（∠1+∠2）＝60°，
∵五边形ABCDE的内角和为：（5﹣2）×180°＝540°，
∴∠B+∠C+∠D+∠E＝540°﹣∠A＝540°﹣60°＝480°，
故答案为：480°．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键．
14．如图，∠1+∠2+∠3+∠4=290°，则∠5= °．
【答案】
【分析】根据多边形外角和的性质求解即可，多边形的外角和为．
【详解】解：根据多边形外角和的性质可得，
又∵
∴
故答案为：
【点睛】此题考查了多边形外角和的性质，解题的关键是掌握多边形外角和的性质．
15．如图，在五边形中满足，则图形中的的值是 ．
【答案】85
【分析】根据平行线的性质先求∠B的度数，再根据五边形的内角和公式求x的值即可．
【详解】解：∵AB∥CD，∠C＝60°，
∴∠B＝180° ∠C＝120°．
∴（5 2）×180°＝x°＋150°＋125°＋60°＋120°．
∴x＝85．
故答案为：85．
【点睛】本题主要考查多边形的内角和，熟练掌握平行线的性质和多边形内角和定理是解题的关键．
16．如图，七边形ABCDEFG中，AB，ED的延长线交于点O，外角∠1，∠2，∠3，∠4的和等于220°，则∠BOD的度数是 度．
【答案】40．
【分析】在DO延长线上找一点M，根据多边形的外角和为360°可得出∠BOM＝140°，再根据邻补角互补即可得出结论．
【详解】解：在DO延长线上找一点M，如图所示．
∵多边形的外角和为360°，
∴∠BOM＝360°﹣220°＝140°．
∵∠BOD+∠BOM＝180°，
∴∠BOD＝180°﹣∠BOM＝180°﹣140°＝40°．
故答案为：40
【点睛】本题考查多边形的角度计算,关键在于熟记外角和360°.
17．小明制造了一个简单的机器人，小明遥控它每前行米便向左转，问它需要经过 米才能回到原地．
【答案】
【分析】根据题意可知：此机器人若回到原地，所走的路径必为一个正多边形，利用外角和和一个外角即可求出正多边形的边数，从而求出机器人走的路程.
【详解】解：∵最后机器人还要回到原处，
∴它正好走过一个正多边形，
∵三角形的外角和是360°，小明遥控它每前行米便向左转
∴正多边形的边数为360°÷30°=12，
∴它需要走的路程为12×1=12m．
【点睛】此题考查了多边形的外角和定理，掌握任何一个多边形的外角和都是360°，然后用 360°除以一个外角的度数等于正多边形的边数是解决此题的关键．
18．在中，，，将、按照如图所示折叠，若，则 °
【答案】
【分析】先根据折叠的性质求出，，，再根据三角形内角和定理求出，，进而求出，然后求出四边形内角和，进而得出，即可得出答案．
【详解】根据折叠性质得，，．
∵，，
∴，，
∴，，
∴．
在四边形中，.
∴，
即，
∴，
∴．
故答案为：265．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，折叠的性质，四边形的内角和等，确定各角之间的数量关系是解题的关键．
三、解答题
19．如图，在四边形中，，．
(1)当时，求的度数．
(2)的平分线交于点E，当时，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据四边形的内角和是，可得，再由即可求出结果；
（2）根据可得，，再利用平分，可求，最后根据三角形的内角和即可求出结果．
【详解】（1）解：，，
，
∵四边形的内角和是，
，
又，
，
．
（2）解：平分，
，
又，，，
，，
，
，
．
【点睛】本题考查了平行线的性质、四边形和三角形的内角和及角平分线的定义，结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算是解决问题的关键．
20．求下列各图形中的值．
【答案】图（1）120；图（2）60．
【分析】根据三角形内角和定理、多边形内角和公式即可求出答案．
【详解】解：图（1）：∵五边形的内角和为：（5-2） 180°=540°，
∴60+x+x+x+x=540，
∴x=120；
图（2）：∵三角形的内角和为180°，
∴x+(x+36)+(x-36)=180，
∴x=60．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理、多边形内角和公式，涉及一元一次方程的解法，熟记多边形内角和公式是解题的关键．
21．如图，六边形中，，，
(1)求证：．
(2)若，，求．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，，根据平行线的性质得到，，利用等式的性质可得；
（2）首先得出，根据平行线的性质得到，则有，再利用四边形内角和计算即可．
【详解】（1）解：如图，连接，，
∵，，
∴，，
∴，
即；
（2）∵，
∴，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的性质，多边形内角和，解题的关键是适当添加辅助线，利用平行线得到相等的角．
【能力提升】
22．阅读佳佳与明明的对话，解决下列问题：
佳佳：我把一个多边形的各内角相加，所得的和为；
明明：什么？不可能的！虽然你的运算正确，但是你错把一个外角当成一个内角了！
(1)“多边形内角和为”，为什么不可能？
(2)佳佳求的是几边形的内角和？
(3)错当成内角的那个外角为多少度？
【答案】(1)不可能，详见解析
(2)佳佳求的是十三边形或十四边形的内角和
(3)或
【分析】（1）设多边形的边数为n，根据多边形内角和公式建立方程求出n的值，看n是否是正整数即可得到结论；
（2）设应加的内角为x，多加的外角为y，则由多边形内角和公式可得，由于，则，解不等式即可得到答案；
（3）根据（2）所求，求出十三边形和是四边形的内角和，再根据
【详解】（1）解：设多边形的边数为n，
由题意得：，
解得：，
∵n为整数，
∴多边形内角和为是不可能的；
（2）解：设应加的内角为x，多加的外角为y，
由题意得，，
∵，
∴，
∴，
∵n为整数，
∴或14，
∴佳佳求的是十三边形或十四边形的内角和．
（3）解：设那个外角的度数为m，与之相邻的内角度数为n，
∵十三边形的内角和：，
∴，
又∵，
∴．
∵十四边形的内角和：，
∴，
又∵，
∴．
∴那个外角的度数为或
【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，多边形的外角和内角的关系，熟练掌握多边形的内角和公式是解题的关键．
23．如图，求的度数．
【答案】
【分析】连结，令与交于点，由三角形内角和得，从而所求角的和转化为求五边形的内角和问题解决．
【详解】连结，如图，
设与交于点，
∵，，
又∵，
∴，
∴
．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，多边形内角和定理，通过转化为多边形内角和是解题的关键．
24．小明在进行多边形内角和计算时，求得一多边形的内角和为1125°，重新检查时，发现少加了一个内角，求这个内角的度数，及求这个多边形的边数．
【答案】这个多边形内角的度数是135°，边数是9.
【分析】设这个多边形为m边形，少加的内角为n°，则少加的内角n满足0＜n＜180，由可得，解不等式组即可求得m的范围，进一步即得答案.
【详解】解：设这个多边形为m边形，少加的内角为n°，显然0＜n＜180.
∵，
∴，
解得：，
∵ m为整数，∴ m=9，n=135.
所以这个内角的度数是135°，多边形的边数是9.
【点睛】本题主要考查多边形的内角和定理和一元一次不等式组的解法，正确理解题意并列出不等式组是解题的关键.
25．请认真阅读下列材料，并完成相应学习任务．
探索四边形的内角和
数学课上，老师提出如下问题：我们知道，三角形的内角和等于，正方形、长方形的内角和都等于．那么，任意一个四边形的内角和是否也等于呢？你能利用三角形内角和定理证明四边形的内角和等于吗？
“勤奋小组”的思路是：如图1，连接对角线，则四边形被分为两个三角形，即和．由此可得，
∵，
∴．即四边形的内角和是360°．
“智慧小组”受到“勤奋小组”的启发，他们发现，在四边形的一条边上取一点E，或在四边形内部取一点E，也可以将四边形分为几个三角形（如图2或图3），进而证明四边形内角和等于360°．
“创新小组”的思路是：如图4，在四边形外部取一点E，分别连接，，，…
任务一：
勤奋小组在探索四边形内角和的过程中，主要体现的数学思想是（ ）
A．从一般到特殊 B．转化 C．抽象
任务二：
在图2和图3中，选择一种，按照智慧小组的思路．求证：；
任务三：
如图4，请按照创新小组的思路求证：．
【答案】任务一：B；任务二：证明见解析；任务三：证明见解析．
【分析】根据三角形的内角和定理，通过角的转换即可求解；
【详解】任务一：通过三角形内角和定理，进行角的转换从而得到四边形的内角和；
故选：B．
任务二：以图2为例：证明：分别连接，，则把四边形分成三个三角形．
任务三：证明：分别连接，，，．
则 ．
【点睛】本题主要考查应用三角形的内角和定理求解四边形内角和的应用，掌握三角形内角和定理，通过角的转化进行求解是解题的关键．
26．在四边形ABCD中，，点E、F分别是边AD，BC上的点，点P是一动点，令．
初探：
(1)如图①，若点P在线段CD上，且，则________°；
(2)如图②，若点P在线段CD上运动，试探究与之间的关系，并说明理由；
再探：
(3)如图③，若点P在线段DC的延长线上运动，则之间的关系为________；
(4)若点P运动到四边形ABCD的内部，直接写出此时之间的关系为_________．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据多边形ABFPE的内角和等于，，即可得到答案；
（2）根据多边形ABFPE的内角和等于，，即可得到答案；
（3）根据多边形ABFPE的内角和等于，，即可得到答案；
（4）过点P作MN∥BC，构造出（2）的条件，即可得到答案．
【详解】（1）解：，，
在多边形ABFPE中，，
∴，
∴，
故；
（2）由（1）得，
∴；
（3）在多边形ABFPE中，，，
，
∴，
∴，
∴；
（4）如下图所示，过点P作MN∥BC，交AB于点M，交DC于点N，
由（2）得．
【点睛】本题考查多边形的性质，解题的关键是熟知多边形的内角和．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
