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12.1 全等三角形
【基础巩固】
一、单选题
1．已知图中的两个三角形全等，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，，和，和是对应边，那么等于（ ）
A． B． C． D．
4．下列说法正确的是（ ）
A．全等三角形的周长和面积分别相等 B．全等三角形是指形状相同的两个三角形
C．全等三角形是指面积相等的两个三角形 D．所有的等边三角形都是全等三角形
5．若，，，那么的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．庆阳湖国家水利风景区位于甘肃省庆阳市西峰区，景区规划面积，其中水城面积，属于城市河湖型水利风景区．如图，小明利用全等三角形的知识测量庆阳湖两端M、N的距离，若，则只需测出其长度的线段是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，，若，，则的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
8．如图，在中，D，E分别是边，上的点，若≌≌，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，锐角△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点，，，且，BE、CD交于点F．若∠BAC＝35°，则∠BFC的大小是（ ）
A．105° B．110° C．100° D．120°
10．如图，把沿线段折叠，使点落在点处；若，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，，，则 ．
12．如图，四边形四边形，若，，，则 °．
13．已知，则的对应边是 ，的对应角是 ．
14．已知，的周长为22，，，则 ．
15．已知，，的面积为，则边上的高为 ．
16．如图，两个三角形全等，则等于 ．
17．如图，， 的延长线交于点F，， 则= °．
18．如图，△ABD≌△EBC，AB＝12，BC＝5，A，B，C三点共线，则下列结论中：①CD⊥AE；②AD⊥CE；③∠EAD＝∠ECD；正确的是 .
三、解答题
19．如图所示，，对应，请写出其余对应边和对应角．
20．下列图形由七巧板拼成，找出这些拼板中的全等图形，用它们的编号表示出来．
21．如图，已知，，，求的度数．
22．如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，AC与BD交于点F，AB＝6，BC＝3，∠C＝55°，∠D＝25°．
（1）求AE的长度；
（2）求∠AED的度数．
【能力提升】
23．如图，，，三点在同一直线上，且≌线段，，有怎样的数量关系？请说明理由．
24．如图，A，E，C三点在同一直线上，且△ABC≌△DAE．
(1)线段DE，CE，BC有怎样的数量关系？请说明理由．
(2)请你猜想△ADE满足什么条件时，DE∥BC，并证明．
25．如图所示，，，，的延长线交于点，交于点，，，，求的度数．
26．如图，把三角形纸片沿折叠，点落在四边形内部点处，
（1）写出图中一对全等的三角形，井写出它们的所有对应角．
（2）设的度数为，的度数为，那么的度数分别是多少(用含或的式子表示)？
（3）与之间有一种数量关系始终保持不变，请找出这个规律，井说明理由．
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12.1 全等三角形
【基础巩固】
一、单选题
1．已知图中的两个三角形全等，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据全等三角形对应角相等可知是a、c边的夹角，由图形可知的对应角是，据此即可解答．
【详解】解：∵是a、c边的夹角，a、c边的夹角是，
∴的度数是．
故选：B．
【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，掌握“全等三角形的对应角相等”是解本题的关键．
2．如图，，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据全等三角形的性质即可得到结论．
【详解】解： ，，
∴，
∵，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，熟练掌握全等三角形的性质定理是解题的关键．
3．如图，，和，和是对应边，那么等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据全等三角形的性质可得结论．
【详解】解：∵，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的对应角相等．
4．下列说法正确的是（ ）
A．全等三角形的周长和面积分别相等 B．全等三角形是指形状相同的两个三角形
C．全等三角形是指面积相等的两个三角形 D．所有的等边三角形都是全等三角形
【答案】A
【分析】根据全等三角形的定义和性质，即可进行解答．
【详解】解：形状大小完全相同的三角形是全等三角形，故B、C、D不正确，不符合题意；
全等三角形对应边相等，故周长和面积分别相等，故A正确；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的定义和性质，解题的关键是掌握形状大小完全相同的三角形是全等三角形，全等三角形对应边相等．
5．若，，，那么的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据三角形内角和定理求出，根据全等三角形性质推出，即可得出答案．
【详解】解：，，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形性质的应用，主要考查学生的推理能力，难度不大．
6．庆阳湖国家水利风景区位于甘肃省庆阳市西峰区，景区规划面积，其中水城面积，属于城市河湖型水利风景区．如图，小明利用全等三角形的知识测量庆阳湖两端M、N的距离，若，则只需测出其长度的线段是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据全等三角形的对应边相等求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
故需测出其长度的线段，
故选：B．
【点睛】本题考查全等三角形的应用，熟知全等三角形的性质是解答的关键．
7．如图，，若，，则的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】根据全等三角形的性质可得，，即可求解．
【详解】解： ，
，，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，掌握性质是解题的关键．
8．如图，在中，D，E分别是边，上的点，若≌≌，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据全等三角形的性质得出，，根据邻补角定义求出、的度数，根据三角形的内角和定理求出即可．
【详解】解：∵≌≌，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，，
∴．
故选：C．
【点睛】本题主要考查对全等三角形的性质，三角形的内角和定理，邻补角的定义等知识点的理解和掌握，能求出、的度数是解此题的关键．
9．如图，锐角△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点，，，且，BE、CD交于点F．若∠BAC＝35°，则∠BFC的大小是（ ）
A．105° B．110° C．100° D．120°
【答案】B
【分析】由全等三角形的对应角相等可证＝35°+α，＝35°+β，然后根据平行线的性质、三角形外角的性质进行解答．
【详解】解：设＝α，＝β，
∵，，
∴∠ACD＝＝α，∠ABE＝＝β，=∠BAE＝＝35°，
∴＝35°+α，＝35°+β．
∵，
∴∠ABC＝＝35°+α，∠ACB＝＝35°+β，
∴∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，即105°+α+β＝180°．
则α+β＝75°．
∵∠BFC＝∠BDC+∠DBE，
∴∠BFC＝35°+α+β＝35°+75°＝110°．
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，平行线的性质，以及三角形外角的性质，此熟练掌握全等三角形的性质和平行线的性质是解答本题的关键．
10．如图，把沿线段折叠，使点落在点处；若，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由于折叠，可得三角形全等，运用三角形全等得出，利用平行线的性质可得出则即可求．
【详解】解：∵沿线段折叠，使点落在点处，
∴ ，
∴ ，
∵，，
∴ ，
∵，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质及三角形内角和定理、平行线的性质；解题的关键是，理解折叠就是得到全等的三角形，根据全等三角形的对应角相等就可以解决．
二、填空题
11．如图，，，则 ．
【答案】
【分析】根据全等三角形的性质可知解答即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：10.
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键．
12．如图，四边形四边形，若，，，则 °．
【答案】105
【分析】根据全等图形的性质得出，，进而可得出答案．
【详解】解：∵四边形四边形，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：105．
【点睛】本题考查全等图形的性质，掌握全等图形的对应角相等是解题的关键．
13．已知，则的对应边是 ，的对应角是 ．
【答案】
【分析】根据全等三角形的性质进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴的对应边是，的对应角是，
故答案为：，．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，熟知全等三角形对应角相等，对应边相等是解题的关键．
14．已知，的周长为22，，，则 ．
【答案】8
【分析】利用全等三角形的性质得出，，，再结合的周长计算即可．
【详解】解：，
∴，，，
∵的周长为22，
∴，
∴，
故答案为：8．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质，得出对应边相等是解题关键．
15．已知，，的面积为，则边上的高为 ．
【答案】或10厘米
【分析】过A作于M，过D作于N，求出的面积，根据三角形的面积公式求出即可．
【详解】解：过A作于M，过D作于N，
∵，
∴的面积和的面积相等，
∵，的面积为，
∴，
∴，
∴边上的高为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和三角形的面积，关键是能根据已知得出的面积．
16．如图，两个三角形全等，则等于 ．
【答案】/72度
【分析】根据全等三角形的性质：全等三角形对应角相等，即可得到结论．
【详解】∵两个三角形全等，所求的角是边所对的角，
又∵第一个三角形中边所对的角为，
∴
故答案为：
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，正确识图、掌握全等三角形的性质是解题的关键．
17．如图，， 的延长线交于点F，， 则= °．
【答案】87
【分析】根据“全等三角形对应角相等”和三角形内角和定理先求出的度数，再根据“对顶角相等”和三角形内角和定理即可求得的度数.
【详解】
故答案为：87．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理.熟练掌握以上知识是解题的关键.
18．如图，△ABD≌△EBC，AB＝12，BC＝5，A，B，C三点共线，则下列结论中：①CD⊥AE；②AD⊥CE；③∠EAD＝∠ECD；正确的是 .
【答案】①②③
【分析】首先延长AD交EC于点N，延长CD交AE于点M，根据全等三角形的性质，得出∠ABD＝∠EBC，AB＝EB，BD＝BC，∠DAB＝∠CEB，再根据等边对等角，得出∠BAE＝∠BEA，∠BDC＝∠BCD， 又因为∠ABD+∠EBC＝180°，进而得出∠ABD＝∠EBC＝90°，再利用三角形的内角和等于，得出∠BAE＝∠BEA＝45°，∠BDC＝∠BCD＝45°，即可证明①正确；再根据直角三角形两锐角互余，得出∠CEB+∠ECB＝90°，再根据全等三角形的性质，得出∠BAD＝∠BEC，进而得出∠BAD+∠ECB＝90°，即可证明②正确；再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得出∠ADB＝∠EAD+∠AED＝∠EAD+45°，再根据∠ECB＝∠ECD+∠BCD＝∠ECD+45°，又因为∠ADB＝∠ECB，得出∠EAD＝∠ECD，即可证明③正确．
【详解】解：延长AD交EC于点N，延长CD交AE于点M，
∵△ABD≌△EBC，
∴∠ABD＝∠EBC，AB＝EB，BD＝BC，∠DAB＝∠CEB，
∵∠ABD+∠EBC＝180°，∠BAE＝∠BEA，∠BDC＝∠BCD，
∴∠ABD＝∠EBC＝90°，
∴∠BAE＝∠BEA＝45°，∠BDC＝∠BCD＝45°，
∴∠BAE+∠BCD＝90°，
∴∠AMC＝90°，
∴CD⊥AE，故①正确；
∵∠CEB+∠ECB＝90°，∠BAD＝∠BEC，
∴∠BAD+∠ECB＝90°，
∴∠ANC＝90°，
∴AD⊥CE，故②正确；
∵∠ADB＝∠EAD+∠AED＝∠EAD+45°，
∠ECB＝∠ECD+∠BCD＝∠ECD+45°，
∠ADB＝∠ECB，
∴∠EAD＝∠ECD，故③正确；
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质、等边对等角、三角形的内角和定理、直角三角形两锐角互余、三角形的外角定理等知识点，解本题的关键在熟练掌握相关的性质、定理．
三、解答题
19．如图所示，，对应，请写出其余对应边和对应角．
【答案】对应边是：，；对应角是，，．
【分析】根据全等三角形的性质得出即可．
【详解】解：∵，对应，
∴其余的对应边是：，；
对应角是，，．
【点睛】本题考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键．
20．下列图形由七巧板拼成，找出这些拼板中的全等图形，用它们的编号表示出来．
【答案】①⑧全等；② 全等；③⑤⑥⑨全等；④⑩ 全等；⑦ 全等
【分析】根据全等图形的定义：全等图形，形状大小都相同，即可进行解答．
【详解】解：根据题意得：
全等的图形有：①⑧全等；② 全等；③⑤⑥⑨全等；④⑩ 全等；⑦ 全等．
【点睛】本体主要考查了全等图形的定义，解题的关键是熟练掌握全等图形的定义．形状大小都相同的图形是全等图形．
21．如图，已知，，，求的度数．
【答案】
【分析】根据全等三角形的性质和三角形的内角和定理求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的性质和三角形的内角和定理，熟知全等三角形的对应角相等是解答的关键．
22．如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，AC与BD交于点F，AB＝6，BC＝3，∠C＝55°，∠D＝25°．
（1）求AE的长度；
（2）求∠AED的度数．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）先根据全等三角形的性质可得，再根据线段的和差即可得；
（2）先根据全等三角形的性质可得，再根据三角形的外角性质即可得．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∵，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的对应角和对应边相等是解题关键．
【能力提升】
23．如图，，，三点在同一直线上，且≌线段，，有怎样的数量关系？请说明理由．
【答案】，理由见解析
【分析】根据全等三角形的性质得出，， 即可求解．
【详解】解：．
理由：≌，
，．
，，三点在同一直线上，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键．
24．如图，A，E，C三点在同一直线上，且△ABC≌△DAE．
(1)线段DE，CE，BC有怎样的数量关系？请说明理由．
(2)请你猜想△ADE满足什么条件时，DE∥BC，并证明．
【答案】(1)DE＝CE+BC，理由见解析
(2)当△ADE满足∠AED＝90°时，DE//BC．证明见详解
【分析】（1）根据全等三角形的性质得出AE＝BC，DE＝AC，再求出答案即可；
（2）根据全等三角形的性质得出∠AED＝∠C，根据两直线平行，内错角相等，得出∠C＝∠DEC，再根据邻补角互补得出∠AED+∠DEC＝180°，再求出∠AED＝90°即可．
【详解】（1）解：DE＝CE+BC．
理由：∵△ABC≌△DAE，
∴AE＝BC，DE＝AC．
∵A，E，C三点在同一直线上，
∴AC＝AE+CE，
∴DE＝CE+BC．
（2）猜想：当△ADE满足∠AED＝90°时，DE//BC．
证明：∵△ABC≌△DAE，
∴∠AED＝∠C，
又∵DEBC，
∴∠C＝∠DEC，
∴∠AED＝∠DEC．
又∵∠AED+∠DEC＝180°，
∴∠AED＝∠DEC＝90°，
∴当△ADE满足∠AED＝90°时，DEBC．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质、等量代换、平行线的性质、邻补角互补，解本题的关键在熟练掌握相关性质．
25．如图所示，，，，的延长线交于点，交于点，，，，求的度数．
【答案】60°
【分析】根据推出，，由此求出∠ACF的度数，根据三角形的内角和定理得到，代入数值求出答案．
【详解】解：，
，，
，
由三角形的内角和定理得，，
，
解得．
【点睛】此题考查全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等，邻补角的定义，三角形内角和定理，熟记三角形全等的性质是解题的关键．
26．如图，把三角形纸片沿折叠，点落在四边形内部点处，
（1）写出图中一对全等的三角形，井写出它们的所有对应角．
（2）设的度数为，的度数为，那么的度数分别是多少(用含或的式子表示)？
（3）与之间有一种数量关系始终保持不变，请找出这个规律，井说明理由．
【答案】（1）△AED≌A’ED，∠A和∠A’，∠AED和∠A’ED，∠ADE=∠A’DE；（2）∠1=180°—2x°，∠2=180°—2y°；（3）2∠A=∠1+∠2
【分析】（1）根据折叠的性质，可得出△ADE≌△A′DE，再根据全等三角形的性质即可得出答案；
（2）由折叠的性质得出，∠1+2∠AED=180°，∠2+2∠ADE=180°，从而得出∠1，∠2的度数；
（3）由折叠的性质得出，∠A=∠A′，再由三角形的内角和定理得出∠A与∠1+∠2的关系．
【详解】（1）由折叠的性质得出△ADE≌△A′DE，∠ADE=∠A′DE，∠AED=∠A′ED，∠A=∠A′，
（2）∵∠1+2∠AED=180°，∠2+2∠ADE=180°，
∴∠1=180°-2∠AED，∠2=180°-2∠ADE，
∵∠AED=x，∠ADE=y，
∴∠1=180°-2∠AED=180°-2x，∠2=180°-2∠ADE=180°-2y，
（3）∵∠A′+∠A′DE+∠A′ED=180°，
∴∠A′DE+∠A′ED=180°-∠A′，
∵∠A=∠A′，
∴∠A′DE+∠A′ED=180°-∠A，
∵∠A′DE=∠ADE，∠A′ED=∠AED
∴∠ADE+∠AED=180°-∠A，
∵∠1+2∠AED=180°，∠2+2∠ADE=180°，
∴2（∠AED+∠ADE）=360°-∠1-∠2，
∴∠AED+∠ADE=180°-（∠1+∠2），
∴∠A=（∠1+∠2），
∴2∠A=∠1+∠2．
【点睛】考查了全等三角形的判定，以及三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180度，解题关键是利用了折叠的性质．
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