中小学教育资源及组卷应用平台
12.2 全等三角形的判定
【基础巩固】
一、单选题
1．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，，，垂足分别为、，且，则与全等的理由是（ ）
A．SAS B．AAS C．SSS D．HL
3．已知三角形和三角形，其中，下列条件中不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，小明把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是（ ）
A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．①②③都带去
5．下列说法中，正确的是（ ）
A．三角形任意两边之差小于第三边
B．三角形的一条角平分线将三角形分成两个面积相等的三角形
C．两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等
D．三角形的三条高都在三角形内部
6．如图，是和的公共边，下列条件不能判定的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
7．如图，已知，，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，于，于，，则图中全等三角形共有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
9．如图，，且．、是上两点，，．若，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在中，，的角平分线，相交于点，过作交的延长线于点，交于点，则下列结论：①；②；③；④连接，平分．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
二、填空题
11．如图，，，，要根据“”证明，则还需要添加一个条件是 ．
12．如图，，，要使，需要添加的一个条件是 ．（写出一种即可）
13．如图，在中，，AD平分，则的根据是 ．
14．如图，，，点在上，连接，，若，，，，则长为 ．
15．如图，在中，，，平分，于E，若，则为 ．
16．如图，在中，，分别是，边上的高，在上取一点D，使，在射线上取一点G，使，连结，．若，，则的度数为 ．
17．如图，点在上，于点，交于点，，．若，则 ．
18．如图，在中，，，分别过点B、C作经过点A的直线的垂线段、，若厘米，厘米，则的长为 ．
三、解答题
19．如图，．求证：．
20．已知，为射线上一点，在内部，求作，使．（保留作图痕迹，不写作法）
21．如图，已知点B，E，C，F在同一条直线上，，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
22．如图，在中，，．过点作，垂足为，延长至点．使．在边上截取，连接．求证：．
【能力提升】
23．已知，，，，垂足分别为点D，E．
(1)如图①，求证：
(2)如图②，（1）中的结论还成立吗？如果不成立，请写出线段之间的数量关系，并说明理由．
24．如图，在中，，分别是，边上的高，在上载取，延长至点使，连接，．
(1)求证：；
(2)求的度数；
25．如图，在中，，，点为中点，交于点，交于点．求证：
(1)；
(2)．
26．如图，在中，，是的角平分线交于点，过作于点，点在上，且．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若，，求线段的长．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
12.2 全等三角形的判定
【基础巩固】
1．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据三角形全等的判定方法即可求解．
【详解】解：、若加上，
在和中，，，，
∴，故选项能判定；
、若加上，
在和中，，，，
∴，故选项能判定；
、若加上，
在和中，，，，
∴，故选项能判定；
、若加上，
则已有的条件为两边及其中一边的对角对应相等，不满足全等的判定方法，
∴不能判定出和全等，故选项不能判定．
故选：．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
2．如图，，，垂足分别为、，且，则与全等的理由是（ ）
A．SAS B．AAS C．SSS D．HL
【答案】D
【分析】根据题中的条件可得和是直角三角形，再根据条件，可根据定理判定．
【详解】解：，，
，
在和中
，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、，解题的关键是结合已知条件在图形上的位置选择恰当的判定方法．
3．已知三角形和三角形，其中，下列条件中不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据三角形全等的判定条件可直接排除选项．
【详解】如图所示，
解：A．若，则根据“”可判定，故不符合题意；
B．若，则根据“”可判定，故不符合题意；
C．若，则根据“”可判定，故不符合题意；
D．若，则不能判定，故符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的条件是解题的关键．
4．如图，小明把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是（ ）
A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．①②③都带去
【答案】A
【分析】根据全等三角形的判定可进行求解
【详解】解：第①块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据来配一块一样的玻璃．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定方法的开放性的题，要求学生将所学的知识运用于实际生活中，要认真观察图形，根据已知选择方法．
5．下列说法中，正确的是（ ）
A．三角形任意两边之差小于第三边 B．三角形的一条角平分线将三角形分成两个面积相等的三角形
C．两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等 D．三角形的三条高都在三角形内部
【答案】A
【分析】利用三角形三边关系、三角形中线的性质、全等三角形的判定、三角形的高等知识分别判断即可．
【详解】解：A．三角形任意两边之差小于第三边，故选项正确，符合题意；
B．三角形的一条中线将三角形分成两个面积相等的三角形，故选项错误，不符合题意；
C．两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等，故选项错误，不符合题意；
D．三角形的三条高不一定都在三角形内部，如钝角三角形有两条高在三角形的外部，故选项错误，不符合题意．
故选：A．
【点睛】此题考查了三角形三边关系、三角形中线的性质、全等三角形的判定、三角形的高等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键．
6．如图，是和的公共边，下列条件不能判定的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【分析】由全等三角形的判定方法：，，，即可判断．
【详解】解A、由可以判定，故不符合题意；
B、，这两个角分别是，的对角，不能判定，故符合题意；
C、由可以判定，故不符合题意；
D、由可以判定，故不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法．
7．如图，已知，，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先证出，根据三角形全等的性质可得，再根据三角形的外角性质即可得．
【详解】解：，
，即，
在和中，，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、三角形的外角性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键．
8．如图，于，于，，则图中全等三角形共有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【答案】C
【分析】由，，证明，则，，由，，，证明，则，由，，，证明，然后作答即可．
【详解】解：∵，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，，
∴，即，
∵，，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴图中全等三角形共有3对，
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握．
9．如图，，且．、是上两点，，．若，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】只要证明，可得，，推出即可得出最后结果．
【详解】解：，，，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
故选：．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
10．如图，在中，，的角平分线，相交于点，过作交的延长线于点，交于点，则下列结论：①；②；③；④连接，平分．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】D
【分析】根据三角形内角和定理以及角平分线定义判断①；根据全等三角形的判定和性质判断②③；根据角平分线的判定与性质判断④．
【详解】解：在中，
，
，
又、分别平分、，
，
，故①正确；
，
又，
，
，
又，，
，
，，，故②正确；
在和中，
，，，
，
，故③正确；
的角平分线、相交于点，
点到、的距离相等，点到、的距离相等，
点到、的距离相等，
点在的平分线上，
平分，故④正确；
综上，正确的有①②③④，
故选：D．
【点睛】本题考查了角平分线的判定与性质，三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握相关性质．
二、填空题
11．如图，，，，要根据“”证明，则还需要添加一个条件是 ．
【答案】或
【分析】根据垂直求出，在根据三角形全等的判定定理即可解答．
【详解】解：∵，，
∴，
在和中，
或，
∴，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，解题的关键是灵活运用全等三角形的判定定理进行推理并运用数学结合思想．
12．如图，，，要使，需要添加的一个条件是 ．（写出一种即可）
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据可得，添加可证明，利用证明即可，或添加，利用证明即可，或添加，利用证明即可．
【详解】解：∵，
∴，
添加，理由如下：
∵，
∴，
在和中，
，
∴；
添加，理由如下：
在和中，
，
∴；
添加，理由如下：
在和中，
，
∴；
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．掌握三角形全等判定的方法是解题的关键．
13．如图，在中，，AD平分，则的根据是 ．
【答案】
【分析】由、平分、可得出两个三角形对应的两个角及其夹边相等，于是可以利用判定这两个三角形全等．
【详解】∵，
∴．
∵平分，
∴ ．
在与中，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查了三角形全等的判定条件，解题的关键是找到两个三角形对应的边角相等．
14．如图，，，点在上，连接，，若，，，，则长为 ．
【答案】
【分析】首先证明出，然后利用全等三角形的性质求解即可．
【详解】，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
．
故答案为：．
【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定方法．
15．如图，在中，，，平分，于E，若，则为 ．
【答案】6
【分析】延长，交于点，证，，得出，，及，则，可以求出其值．
【详解】解：延长，交于点，
∵，
，，
∵，
，
在和中，
，
，
，
平分，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的性质及判定是解题的关键．
16．如图，在中，，分别是，边上的高，在上取一点D，使，在射线上取一点G，使，连结，．若，，则的度数为 ．
【答案】32度/
【分析】证明得到，根据三角形的内角和定理求得即可．
【详解】解：，分别是，边上的高，
.
，.
.
在和中，，，，
.
.
，
.
【点睛】本题考查三角形的高、全等三角形得判定与性质、三角形的内角和定理，证明是解答的关键．
17．如图，点在上，于点，交于点，，．若，则 ．
【答案】55°/55度
【分析】利用证明得到，利用三角形外角的性质求出的度数，再利用三角形的外角的性质即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，证明得到，是解题的关键．
18．如图，在中，，，分别过点B、C作经过点A的直线的垂线段、，若厘米，厘米，则的长为 ．
【答案】厘米
【分析】利用垂直的定义得到，由平角的定义及同角的余角相等得到，利用证得，再由全等三角形对应边相等得到，，由即可求出长．
【详解】解：，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
则(厘米)，
故答案为：厘米．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，根据平角的定义及同角的余角相等证得是解决问题的关键．
三、解答题
19．如图，．求证：．
【答案】见解析
【分析】由全等三角形的判定定理即可求证．
【详解】证明：∵，
∴
∵，
∴，
在和中，
．
∴．
【点睛】本题考查利用“”证明三角形全等．掌握相关定理进行推导是解题关键．
20．已知，为射线上一点，在内部，求作，使．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】图见解析
【分析】根据作角等于已知角的方法，进行作图即可．
【详解】解：如图所示，即为所求；
【点睛】本题考查作角等于已知角．熟练掌握尺规作图方法，是解题的关键．
21．如图，已知点B，E，C，F在同一条直线上，，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)证明过程见解析.
(2)
【分析】（1）先证明，再利用证明即可；
（2）先根据全等三角形对应角相等证明，再根据三角形内角和定理求出的值．
【详解】（1）证明：∵，
∴，即，
在和中，
，
∴；
（2）解：由得．
∵，，
∴，
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．
22．如图，在中，，．过点作，垂足为，延长至点．使．在边上截取，连接．求证：．
【答案】见解析
【分析】利用三角形内角和定理得的度数，再根据全等三角形的判定与性质可得结论．
【详解】证明：在 中，，，
．
．
．
，
．
在和中，
，
∴．
．
【点睛】此题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．
【能力提升】
23．已知，，，，垂足分别为点D，E．
(1)如图①，求证：
(2)如图②，（1）中的结论还成立吗？如果不成立，请写出线段之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)（1）中的结论不成立．结论：，理由见解析
【分析】（1）证明，推出，，再利用线段间的代换即得结论；
（2）证明，推出，，利用线段间的代换即可得到结论，进而作出判断．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
在和中
∴，
∴，，
∴，
∴；
（2）（1）中的结论不成立．结论：；
理由如下：∵，，
∴
∵，
∴，
∴
在和中，
∴，
∴，，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，属于常考题型，证明三角形全等是解题的关键．
24．如图，在中，，分别是，边上的高，在上载取，延长至点使，连接，．
(1)求证：；
(2)求的度数；
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据高的定义得到，进而得到，由此证明即可证明；
（2）由全等三角形的性质得到，再由三角形内角和定理得到，即可得到，即．
【详解】（1）证明：、分别是、两条边上的高，
，
，
，
在与中，
，
，
；
（2）解：∵，
∴，
∵是边上的高，即，
∴，
∴，
∴，即．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，高的定义，证明是解题的关键．
25．如图，在中，，，点为中点，交于点，交于点．求证：
(1)；
(2)．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据三角形的内角和定理得出，再根据直角三角形两锐角互余得出，即可求证；
（2）过点作的垂线交延长线于点，先证明，得出，，则，再证明，得出，即可求证．
【详解】（1）证明：，，
，
，
，
，
．
（2）证明：过点作的垂线交延长线于点
，
即，
在和中，
，
，
为中点，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握三角形的内角和为，直角三角形两锐角互余，以及正确画出辅助线，构造全等三角形，根据全等三角形的性质进行证明．
26．如图，在中，，是的角平分线交于点，过作于点，点在上，且．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若，，求线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)4
【分析】（1）证，即可得出结论；
（2）设，在上截取，连接，证，得，，再证，得，然后证，即可得出结论；
（3）求出，由全等三角形的性质得，即可求解．
【详解】（1）证明：平分，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）证明：设，
，
，，
则，
在上截取，连接，如图所示：
在和中，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
在中，，
在中，，
，
，
，
在中，，
，
，
，
；
（3）解：，且，
，
，
，
由（2）得：，
，
，
即的长为4．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线定义、直角三角形的性质、三角形的外角性质等知识；证明和是解题的关键．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
