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12.1 全等三角形 （重难点）
【知识精讲】
【知识点一、 全等图形】
全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形．全等形的形状相同，大小相等，与图形所在的位置无关．
【知识点二、全等三角形】
全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．
把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角．
全等三角形的表示：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”．如三角形△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF．记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上．
【知识点三、 全等三角形的性质】
全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等．
全等三角形对应边上的高、中线分别相等，对应角的平分线相等，面积相等，周长相等．
【重点题型】
考点1：利用全等三角形性质求角
例1．已知图中的两个三角形全等，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-1】．如图，，，，则的度数是（ ）
A．22° B．23° C．30° D．33°
【变式训练1-2】．如图，若，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-3】．如图，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
考点2：利用全等三角形性质求边
例2．如图，已知，若，，，，则长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式训练2-1】如图，，若，，则的长度为（ ）
A．9 B．6 C．3 D．2
【变式训练2-2】如图，，的周长为，，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-3】如图，，点B和点C是对应顶点，，，则的长是 （ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
考点3：识别全等形
例3．下列各组图形中，属于全等图形的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-1】下列四个选项中，不是全等图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练3-2】下列各组中的两个图形属于全等图形的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-3】下列个图形中，是全等图形的是（ ）
A．，，， B．与 C．，， D．与
考点4：识别全等三角形
例4．如图，AB＝AD，BC＝DC，则图中全等三角形共有（ ）．
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
【变式训练4-1】如图，△ABC中，AB＝AC，高BD、CE相交于点O，连接AO并延长交BC于点F，则图中全等的直角三角形共有（ ）
A．4对 B．5对 C．6对 D．7对
【变式训练4-2】如图，将一张长方形纸片沿对角线AC折叠后，点D落在点E处，与BC交于点F，图中共有全等三角形（）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
【变式训练4-3】如图，已知中，， 于，且 在BC上，则图中共有多少对全等的直角三角形( )
A．1 B．2
C．3 D．4
考点5：全等三角形的概念
例5．下列说法正确的是（ ）
A．形状相同的两个三角形全等
B．面积相等的两个三角形全等
C．完全重合的两个三角形全等
D．所有的等腰三角形都全等
【变式训练5-1】下列说法正确的是（ ）
A．全等三角形是指面积相等的两个三角形 B．全等三角形是指形状相同的两个三角形
C．两个周长相等的三角形是全等三角形 D．全等三角形的周长、面积分别相等
【变式训练5-2】下列说法正确的是（ ）
A．周长相等的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等
C．完全重合的两个三角形全等 D．所有的等边三角形全等
【变式训练5-3】下列说法正确的是（ ）
A．两个面积相等的图形一定是全等形 B．两个等边三角形是全等形
C．若两个图形的周长相等，则它们一定是全等形 D．两个全等图形的面积一定相等
考点6：网格中的全等形
例6．如图，网格中有△ABC和点D，请你找出另外两点E、F，在图中画出△DEF，使△ABC≌△DEF，且顶点A、B、C分别与D、E、F对应．
【变式训练6-1】如图所示的网格中有△ABC．
（1）试在DE一侧找出格点C，使得以D，E，C为顶点的三角形与△ABC全等；
（2）计算△ABC的面积．
【变式训练6-2】如图，用三种不同的方法沿网格线把正方形分割成4个全等的图形（三种方法得到的图形相互间不全等）．
【变式训练6-3】如图，在每个小正方形的边长均相等的网格中，△ABC的顶点均在格点（网格线的交点）上．
（1）线段CD将△ABC分成面积相等的两个三角形，且点D在边AB上，画出线段CD．
（2）△CBE≌△CBD，且点E在格点上，画出△CBE．
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12.1 全等三角形 （重难点）
【知识精讲】
【知识点一、 全等图形】
全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形．全等形的形状相同，大小相等，与图形所在的位置无关．
【知识点二、全等三角形】
全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．
把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角．
全等三角形的表示：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”．如三角形△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF．记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上．
【知识点三、 全等三角形的性质】
全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等．
全等三角形对应边上的高、中线分别相等，对应角的平分线相等，面积相等，周长相等．
【重点题型】
考点1：利用全等三角形性质求角
例1．已知图中的两个三角形全等，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据全等三角形对应角相等可知是、边的夹角，可得对应角，则，从而可得答案．
【详解】解：∵如图，两个三角形全等，与的角是、边的夹角，
∴的度数是．
故选：D．
【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，掌握“全等三角形的对应角相等”是解本题的关键．
【变式训练1-1】．如图，，，，则的度数是（ ）
A．22° B．23° C．30° D．33°
【答案】A
【分析】根据全等三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
故选A．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，熟知全等三角形对应角相等是解题的关键．
【变式训练1-2】．如图，若，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用全等三角形的对应角相等，以及三角形的内角和定理，即可得解．
【详解】解：∵，，
∴
∴．
故选D．
【点睛】本题考查全等三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找准对应角，利用数形结合的思想解答．
【变式训练1-3】．如图，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】在中由三角形内角和180°可求出，由全等三角形对应角相等可得即可求解．
【详解】解∶在中，，
∴
又∵，
∴，
故选B．
【点睛】本题考查三角形内角和与全等三角形的性质，熟记相应的概念是解题的关键．
考点2：利用全等三角形性质求边
例2．如图，已知，若，，，，则长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据全等三角形的性质求出，进而可得的长．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等，对应角相等是解题的关键．
【变式训练2-1】如图，，若，，则的长度为（ ）
A．9 B．6 C．3 D．2
【答案】C
【分析】根据全等三角形的性质，可以得到和的长，然后根据，代入数据计算即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查全等三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
【变式训练2-2】如图，，的周长为，，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据全等三角形的对应边相等解答．
【详解】解：∵的周长为，，，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．
【变式训练2-3】如图，，点B和点C是对应顶点，，，则的长是 （ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】根据全等三角形的性质求解即可．
【详解】解：，，
，
，，
，
故选：B．
【点睛】此题考查了全等三角形的性质，熟记“全等三角形的对应边相等”是解题的关键．
考点3：识别全等形
例3．下列各组图形中，属于全等图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据全等图形的定义，逐项判断即可求解．
【详解】解：A．不是全等图形，故本选项不符合题意；
B．不是全等图形，故本选项不符合题意；
C．不是全等图形，故本选项不符合题意；
D．是全等图形，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了全等图形的概念，解题的关键是掌握形状和大小都相同的两个图形是全等图形．
【变式训练3-1】下列四个选项中，不是全等图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据全等图形的概念判断即可．
【详解】解：A、两个图形是全等图形，不符合题意；
B、两个是全等图形，不符合题意；
C、两个图形大小不同，不是全等图形，符合题意；
D、两个图形是全等图形，不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题考查全等图形问题，关键根据全等图形的定义判断．
【变式训练3-2】下列各组中的两个图形属于全等图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据全等图形的定义，逐一判断即可．
【详解】A．两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；
B．两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；
C．两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；
D．两个图形能完全重合，是全等图形，符合题意．
故选D．
【点睛】本题主要考查全等图形的定义，熟练掌握“能完全重合的两个图形，是全等图形”是解题的关键．
【变式训练3-3】下列个图形中，是全等图形的是（ ）
A．，，， B．与 C．，， D．与
【答案】D
【分析】根据全等图形的概念求解即可．
【详解】解：由图可知，与是全等图形，
故选：D．
【点睛】本题考查了全等图形的识别，熟知能够完全重合的图形叫全等图形是解题的关键．
考点4：识别全等三角形
例4．如图，AB＝AD，BC＝DC，则图中全等三角形共有（ ）．
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
【答案】B
【分析】可直接判定△ABC≌△ADC，则有∠DAE=∠BAE，∠DCE=∠BCE，可判定△ABE≌△ADE，△BCE≌△DCE，可得到答案．
【详解】解：在△ABC和△ADC中，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BAE=∠DAE，∠BCE=∠DCE，
在△ABE和△ADE中，
∴△ABE≌△ADE（SAS），
同理可得：△BCE≌△DCE，
所以全等三角形有三对，
故选择：B.
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的对应角、对应边相等是解题的关键．
【变式训练4-1】如图，△ABC中，AB＝AC，高BD、CE相交于点O，连接AO并延长交BC于点F，则图中全等的直角三角形共有（ ）
A．4对 B．5对 C．6对 D．7对
【答案】C
【详解】解：有7对全等三角形：
①△BDC≌△CEB
②△BEO≌△CDO
③△AEO≌△ADO
④△ABF≌△ACF
⑤△BOF≌△COF
⑥△AOB≌△AOC
⑦△ABD≌△ACE
故选C．
【变式训练4-2】如图，将一张长方形纸片沿对角线AC折叠后，点D落在点E处，与BC交于点F，图中共有全等三角形（）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
【答案】C
【分析】根据全等三角形的判定定理可得结果.
【详解】△ACD≌△ACE，△ACD≌△CAB，△ACE≌△CAB，△ABF≌△CEF，故选C.
【点睛】本题考查全等三角形的判定，注意折叠前后图形全等，全等具有传递性.
【变式训练4-3】如图，已知中，， 于，且 在BC上，则图中共有多少对全等的直角三角形( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】B
【分析】运用等腰三角形的性质证明BD=CD，DE=DF，证明△ABD≌△ACD，△AED≌△AFD即可解决问题.
【详解】∵
∴BD=CD，DE=DF
在△ABD和△ACD中
∴△ABD≌△ACD（SAS）
同理可证△AED≌△AFD
故图中共有2对全等的直角三角形
故选B
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质，还涉及了等腰三角形的性质，熟练掌握各个性质定理是解题关键.
考点5：全等三角形的概念
例5．下列说法正确的是（ ）
A．形状相同的两个三角形全等
B．面积相等的两个三角形全等
C．完全重合的两个三角形全等
D．所有的等腰三角形都全等
【答案】C
【分析】利用三角形全等的定义及性质解题即可．
【详解】解：A．形状相同，边长不对应相等的两个三角形不全等，故本选项错误；
B．面积相等的两个三角形不一定全等，故本选项错误；
C．完全重合的两个三角形全等，正确；
D．两个腰不相等的等腰三角形不全等，故本选项错误；
故选：C．
【点睛】本题考查三角形全等的性质及定义，熟知三角形全等的定义是解题关键．
【变式训练5-1】下列说法正确的是（ ）
A．全等三角形是指面积相等的两个三角形 B．全等三角形是指形状相同的两个三角形
C．两个周长相等的三角形是全等三角形 D．全等三角形的周长、面积分别相等
【答案】D
【分析】根据全等三角形的定义：形状大小相同，能够完全重合的两个三角形，以及全等三角形的性质逐一判定即可．
【详解】解：A、面积相等的两个三角形不一定全等，选项说法错误，不符合题意；
B、全等三角形是指形状大小相同，能够完全重合的两个三角形，选项说法错误，不符合题意；
C、两个周长相等的三角形不一定全等，选项说法错误，不符合题意；
D、全等三角形的周长、面积分别相等，选项说法正确，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查全等三角形的定义和性质．熟练掌握全等三角形的定义和性质，是解题的关键．
【变式训练5-2】下列说法正确的是（ ）
A．周长相等的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等
C．完全重合的两个三角形全等 D．所有的等边三角形全等
【答案】C
【分析】根据全等三角形的定义，此题应采用排除法，对选项逐个进行分析从而确定正确答案．
【详解】解：A．全等三角形的周长相等，但周长相等的两个三角形不一定全等，故本选项错误；
B．全等三角形的面积相等，但面积相等的两个三角形不一定全等，故本选项错误；
C．正确，符合全等三角形的定义；
D．边长不相等的等边三角形不全等，故本选项错误．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的定义，掌握全等三角形的定义是解答本题的关键．
【变式训练5-3】下列说法正确的是（ ）
A．两个面积相等的图形一定是全等形 B．两个等边三角形是全等形
C．若两个图形的周长相等，则它们一定是全等形 D．两个全等图形的面积一定相等
【答案】D
【分析】依据全等图形的定义和性质进行判断即可．
【详解】全等的两个图形的面积、周长均相等，但是周长、面积相等的两个图形不一定全等，则A、C选项错误；
边长相等的所有等边三角形是全等，所以B选项错误；
故选：D．
【点睛】考查的是全等图形的性质，掌握全等图形的性质是解题的关键
考点6：网格中的全等形
例6．如图，网格中有△ABC和点D，请你找出另外两点E、F，在图中画出△DEF，使△ABC≌△DEF，且顶点A、B、C分别与D、E、F对应．
【答案】见解析
【分析】三边对应相等的两个三角形互为全等三角形，据此可画出图．
【详解】如图所示：从图中可得到两个三角形的三条边对应相等．
【点睛】考查全等三角形的性质，三边对应相等，以及在表格中如何画出全等的三角形．
【变式训练6-1】如图所示的网格中有△ABC．
（1）试在DE一侧找出格点C，使得以D，E，C为顶点的三角形与△ABC全等；
（2）计算△ABC的面积．
【答案】（1）见解析；（2）3.5．
【详解】试题解析：试题分析：直接利用网格，结合全等三角形的判定方法得出符合题意得方程.
用所在矩形的面积减去三个直角三角形的面积即可.
试题解析：（1）如图所示，格点即为所求；
（2）的面积
【变式训练6-2】如图，用三种不同的方法沿网格线把正方形分割成4个全等的图形（三种方法得到的图形相互间不全等）．
【答案】详见解析
【分析】观察图形发现：这个正方形网格的总面积为16，因此只要将面积分为4，即占4个方格，并且图形要保证为相同即可．
【详解】解：如图所示：
【点睛】本题主要考查了全等图形和作图，准确分析是解题的关键．
【变式训练6-3】如图，在每个小正方形的边长均相等的网格中，△ABC的顶点均在格点（网格线的交点）上．
（1）线段CD将△ABC分成面积相等的两个三角形，且点D在边AB上，画出线段CD．
（2）△CBE≌△CBD，且点E在格点上，画出△CBE．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）根据三角形一边上的中线将三角形面积平分，所以找到AB的中点D，连接CD即可；
（2）根据全等三角形的性质得到BE=BD，CE=CD，进而找到E点即可解答．
【详解】解：（1）∵线段CD将△ABC分成面积相等的两个三角形，且点D在边AB上，
∴点D为AB的中点，连接CD，如图所示：
（2）∵△CBE≌△CBD，
∴BE=BD，CE=CD，∠CBD＝∠CBE，
∵点E在格点上，
∴如图，△CBE即为所求作的三角形．
【点睛】本题考查基本作图、三角形中线性质、全等三角形的性质，掌握三角形中线性质是解答的关键．
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