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12.2 全等三角形的判定 （重难点）
【知识精讲】
【知识点一、三角形全等的判定1（SSS）】
文字：在两个三角形中，如果有三条边对应相等，那么这两个三角形全等.
图形：
符号：在与中，
【知识点二、三角形全等的判定2：（SAS）】
三角形全等的判定2：边角边（SAS）
文字：在两个三角形中，如果有两条边及它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等；
图形：
符号：在与中，．
【知识点三、 三角形全等的判定3：（ASA）】
三角形全等的判定3：角边角（ASA）
文字：在两个三角形中，如果有两个角及它们的夹边对应相等，那么这两个三角形全等；
图形：
符号：在与中，，
．
【知识点四、 三角形全等的判定4：（AAS）】
三角形全等的判定4：角角边（AAS）
文字：在两个三角形中，如果有两个角及其中一个角的对边对应相等，那么这两个三角形全等；
图形：
符号：在与中，
【知识点五、 三角形全等的判定5（HL）】
直角三角形全等的判定：HL
文字：在两个直角三角形中，如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等（简记：HL）
图形：
符号：在Rt与Rt中，
【重点题型】
考点1：利用全等三角形的判定求度数
例1．如图，在中，，D为中点，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】证明得到，，即可利用三角形内角和定理求出答案．
【详解】解：∵D为中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
故选A．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，证明是解题的关键．
【变式训练1-1】如图，在中，，M，N，K分别是上的点，且，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】证明，得到，根据三角形的外角的性质求出，根据三角形内角和定理计算即可．
【详解】解：在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】此题主要考查全等三角形的性质和判定，以及三角形的外角性质和内角和定理的运用，掌握全等三角形的判定方法是关键．
【变式训练1-2】如图，点A，C，B，D在同斗条直线上，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据，可得，再利用求证和全等即可．
【详解】解：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴
∴．
故选：A．
【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质、平行线的性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．
【变式训练1-3】如图，在中，平分交于点D，延长到点E，使得，连接．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】证明，得到，再根据，可求出．
【详解】解：平分，
，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查的是三角形全等的性质与判定，解题的关键是证明．
考点2：添加条件使两个三角形全等
例2．如图，，，添加一个条件，不能判断的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据全等三角形的判定方法逐项分析即可．
【详解】∵，，
∴A．添加，不能判断，故符合题意；
B．添加，可得，根据能判断，故不符合题意；
C．添加，根据能判断，故不符合题意；
D．添加，根据能判断，故不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．注意：、不能判定两个三角形全等．
【变式训练2-1】如图，已知．添加一个条件后，不能证明的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据全等三角形的判定定理，逐个进行判断即可．
【详解】解：A、∵，，
∴，即，
在和中，
，
∴，故A不符合题意；
B、在和中，
，
∴，故B不符合题意；
C、在和中，
，
∴，故C不符合题意；
D、在和中，，，，不能得出，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法有：．
【变式训练2-2】．如图，点B，F，C，E在一条直线上，，，那么添加下列一个条件后，仍无法判断的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】全等三角形的判定中，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
【详解】解：∵，则，
∴，
A、当，，时，依据可得；
B、当，，时，依据可得；
C、由，得，依据可得；
D、当，，时，不能得出；
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
【变式训练2-3】如图，，，要说明，需添加的条件不能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据，，再根据添加的条件逐一分析判断即可．
【详解】解：∵，，
添加，
∴，
∴，故A不符合题意；
∵，，
添加，
∴，
∴，故B不符合题意；
∵，，
添加，
不能得出证明全等需要的条件，
∴不能证明，故C符合题意；
∵，，
添加，
∴，故D不符合题意；
故选C
【点睛】本题考查的是添加一个条件证明三角形全等，熟记三角形全等的判定方法是解本题的关键．
考点3：利用全等三角形的判定求线段长度
例3．如图，在中，是边上的高，是边上的高，且交于点F．若，则线段的长度为 ．
【答案】5
【分析】先证明，再根据全等三角形的性质可得，即可算出的长．
【详解】解：∵是边上的高，是边上的高，
∴，
∴，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，解题关键是掌握全等三角形的判定和性质．
【变式训练3-1】 如图，在和中，，点、、、在同一直线上，已知，且，，，，则的长度为 ．
【答案】
【分析】先证明，通过全等三角形的性质转化线段求解即可；
【详解】解：∵，
∴
∴
在和中
∴
∴，
∴ ，
∴
故答案为：
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质；熟练运用全等三角形的性质转化线段是解题的关键．
【变式训练3-2】 如图所示，平分，，于点，，，那么的长度为 ．
【答案】
【分析】过C作的延长线于点F，由条件可证，得到．再由条件，由，由全等的性质可得，问题可得解．
【详解】证明：如图，
过C作的延长线于点F，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴（），
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵cm，cm，
∴，
∴cm，
∴cm．
故答案为：3
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握常用的判定方法为： 是解决问题的关键．
【变式训练3-3】 如图，点A在DE上，AC＝EC，AB＝3，BC＝4，∠1＝∠2＝∠3，则DE的长度为 ．
【答案】3
【分析】设AB与CD交于点O，然后证明△ACB≌△ECD即可得到答案．
【详解】解：如图所示，设AB与CD交于点O，
∵∠1=∠2=∠3，∠DOA=∠COB，
∴∠B=∠D，∠BCA=∠2+∠ACD=∠3+∠ACD=∠DCE，
又∵AC=EC，
∴△ACB≌△ECD（AAS），
∴DE=AB=3，
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件．
考点4：实际应用
例4．如图，要测量河岸相对两点的距离，先在的垂线上取两点，使，再作出的垂线，使在同一直线上，可以证明得，因此测得的长就是的长，判断的理由是 ．
【答案】或角边角
【分析】根据题中信息，得出角或边的关系，选择正确证明三角形全等的判定定理即可．
【详解】由题意知：，，
∴
在和中
，
∴．
故答案为：或角边角．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
【变式训练4-1】 如图，A，B两个建筑物分别位于河的两岸，为了测量它们之间的距离，可以沿河岸作射线，且使，在上截取，过D点作，使在一条直线上，测得米，则A，B之间的距离为 米．
【答案】16
【分析】根据已知条件可得，从而得到，从而得解．
【详解】∵，
∴°，
∵，
∴，
∴．
又∵米，
∴，
即之间的距离为16米．
【点睛】此题主要考查全等三角形的应用，解题的关键是熟知全等三角形的判定方法．
【变式训练4-2】 如图，小明想测量池塘两端，间的距离，为了安全起见，小明借助全等三角形的知识．用了这样一个间接测量，间的距离方法：在地上取一点可以直接到达点和点的点，测得长，长为，在的延长线上找一点，使得长为，在的延长线上找一点，使得长为，又测得此时和的距离为，根据小明的数据，可知，之间的距离为 ．
【答案】
【分析】由题意得，，再根据即可证明，即可得．
【详解】解：由题意知，，且，
在和中，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形在实际生活中的应用，考查了全等三角形对应边相等的性质，解题的关键是求证．
【变式训练4-3】 如图，有一种简易的测距工具，为了测量地面上的点M与点O的距离（两点之间有障碍无法直接测量），在点O处立竖杆PO，并将顶端的活动杆PQ对准点M，固定活动杆与竖杆的角度后，转动工具至空旷处，标记活动杆的延长线与地面的交点N，测量点N与点O的距离，该距离即为点M与点O的距离．此种工具用到了全等三角形的判定，其判定理由是 ．
【答案】两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等
【分析】根据全等三角形的判定方法进行分析，即可得到答案．
【详解】解：在和中，
，
，
判定理由是两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等，
故答案为：两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
考点5：基础证明
例5．如图，点在一条直线上，点是的中点，．
求证：．
【答案】见解析
【分析】先证明，利用证明即可得到结论．
【详解】证明：∵点是的中点，∴．
在和中，
，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
【变式训练5-1】 如图，，求证：．
【答案】见解析
【分析】根据“角角边”证明，再根据全等三角形的性质即可求解．
【详解】证明：，
在与中，
，
，
．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握以上知识是解题的关键．
【变式训练5-2】 如图，和都是等腰三角形，，，，交于点F，分别交于点G，H．试猜想线段和的数量和位置关系，再说明理由．
【答案】， ，理由见解析
【分析】求得，然后证明出，得到，，又因为对顶角相等即，得到，即．
【详解】猜测：，．
理由如下：
∵，
∴，
即，
又∵，，
在与中，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定．
【变式训练5-3】 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组拿了两个大小不同的等腰直角三角板进行拼摆，并探究摆放后所构成的图形之间的关系，如图1，在和中，．
(1)勤奋小组摆出如图2所示的图形，点A和点D重合，连接和，求证：．
(2)超越小组在勤奋小组的启发下，把两个三角形板按如图3的方式摆放，点B，C，E在同一直线上，连接，他们发现了和之间的数量和位置关系，请写出这些关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析；
(2)，，理由见解析．
【分析】（1）证明，即可得证；
（2）证明，得到，进而求出，得到，即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵，
∴，，
∴．
在和中，，
∴，
∴．
（2）．理由如下：
∵，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等，是解题的关键．
考点6：含辅助线证明
例6．已知，，，．直线过点，交、于点、．
（1）若是中线，求证：；
（2）若，求证：．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.
【分析】（1）延长至，使，易证≌，可得，，再根据可得，再利用∠BAC、∠BAE、∠EAD和∠DAC四个角和为360°，可得，利用△AEF的内角和可得，可得，即可证明≌，最后利用等角的余角相等的等量代换以及△ABN的内角和为180°可得出结论.
（2）过点作交的延长线于，则，根据，可得；，可得，等量代换得出．根据周角等于360°，可得；根据三角形内角和可得，可得，则可证明≌（AAS），得到；易证≌，即可得到．
【详解】解：（1）如图，延长至，使，
∵是中线，∴．
在和中，，
∴≌（SAS）．∴，．
∵，∴．
∵，，∴．
∵，
∴．
在和中，，
∴≌（SAS）．∴．
∵，∴．∴．
在中，，∴．
（2）如图，过点作交的延长线于，则，
∵，∴．
∵，∴．∴．
∵，，∴．
∵，
∴．
在和中，，
∴≌（AAS）．∴．
∵，∴．
在和中，，
∴≌（AAS）．∴．
【点睛】本题考查三角形全等以及角度之间的等量代换，第（1）题通过“倍长中线”这一辅助线做法，构造全等三角形，从而得出角相等，在遇到有中线的题目，并且题中没有全等三角形，那么我们就可以通过延长中线，或者经过中点的线段，构造全等三角形；
第（2）题是通过构造平行线，进而得到角相等，构造全等三角形，然后再根据角之间的等量代换，常见的就是等角的余角相等、等角的补角相等，当直角比较多的地方都可以想到这种方法.
【变式训练6-1】 （1）如图①，四边形，与互补，，点E、F在线段、上且，若，求：的度数；
（2）如图②，若点E、F在线段、的延长线上，其余条件均不变，求：的度数．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）延长至点G，是使得，连接，先证明，得到，，再证明，得到，进而推出，即可求出的度数；
（2）延长至点H，使得，连接，先证明，得到，，再证明，得到，，然后利用三角形内角和定理，即可求出的度数．
【详解】（1）解：如图，延长至点G，是使得，连接，
四边形，与互补，，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
；
（2）解：如图，延长至点H，使得，连接，
与互补，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，作辅助线构造全等三角形是解题关键．
【变式训练6-2】．如图，在中，，的角平分线、相交于点O，求证：．
【答案】证明见解析
【分析】根据三角形内角和定理和角平分线的定义，得到，，在上截取，连接，分别证明，，得到，即可证明结论．
【详解】证明：，
，
、分别平分、，
，，
，
，
，
如图，在上截取，连接，
在和中，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，做辅助线构造全等三角形是解题关键．
【变式训练6-3】 在中，，点为边上一点，为延长线上的一点，，为边上一点，射线于点，过点作直线于，交于点，作的角平分线交于，过点作的平行线，交于点，交于点，交于点，．
(1)找出图中和相等的一个角，并证明；
(2)判断、、的数量关系，并证明．
【答案】(1)（答案不唯一），证明见解析
(2)，理由见解析
【分析】（1）由垂直定义，则，同理，又，即可得出结论．
（2）连结，先证明，得，再证明，得，即可得出结论．
【详解】（1）解：（答案不唯一）
证明：如图，
，
，
，
，
，
，
．
（2）解：
证明：连结，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
垂直平分，
，
，平分，
，
，
，，
，
，
，
．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，垂线的定义，直角三角形两锐角互余的性质，余角的性质，熟练掌握利用全等三角形的判定与性质证明书角或线段相等是解题的关键．
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12.2 全等三角形的判定 （重难点）
【知识精讲】
【知识点一、三角形全等的判定1（SSS）】
文字：在两个三角形中，如果有三条边对应相等，那么这两个三角形全等.
图形：
符号：在与中，
【知识点二、三角形全等的判定2：（SAS）】
三角形全等的判定2：边角边（SAS）
文字：在两个三角形中，如果有两条边及它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等；
图形：
符号：在与中，．
【知识点三、 三角形全等的判定3：（ASA）】
三角形全等的判定3：角边角（ASA）
文字：在两个三角形中，如果有两个角及它们的夹边对应相等，那么这两个三角形全等；
图形：
符号：在与中，，
．
【知识点四、 三角形全等的判定4：（AAS）】
三角形全等的判定4：角角边（AAS）
文字：在两个三角形中，如果有两个角及其中一个角的对边对应相等，那么这两个三角形全等；
图形：
符号：在与中，
【知识点五、 三角形全等的判定5（HL）】
直角三角形全等的判定：HL
文字：在两个直角三角形中，如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等（简记：HL）
图形：
符号：在Rt与Rt中，
【重点题型】
考点1：利用全等三角形的判定求度数
例1．如图，在中，，D为中点，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-1】如图，在中，，M，N，K分别是上的点，且，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-2】如图，点A，C，B，D在同斗条直线上，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-3】如图，在中，平分交于点D，延长到点E，使得，连接．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
考点2：添加条件使两个三角形全等
例2．如图，，，添加一个条件，不能判断的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-1】如图，已知．添加一个条件后，不能证明的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-2】．如图，点B，F，C，E在一条直线上，，，那么添加下列一个条件后，仍无法判断的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-3】如图，，，要说明，需添加的条件不能是（ ）
A． B． C． D．
考点3：利用全等三角形的判定求线段长度
例3．如图，在中，是边上的高，是边上的高，且交于点F．若，则线段的长度为 ．
【变式训练3-1】 如图，在和中，，点、、、在同一直线上，已知，且，，，，则的长度为 ．
【变式训练3-2】 如图所示，平分，，于点，，，那么的长度为 ．
【变式训练3-3】 如图，点A在DE上，AC＝EC，AB＝3，BC＝4，∠1＝∠2＝∠3，则DE的长度为 ．
考点4：实际应用
例4．如图，要测量河岸相对两点的距离，先在的垂线上取两点，使，再作出的垂线，使在同一直线上，可以证明得，因此测得的长就是的长，判断的理由是 ．
【变式训练4-1】 如图，A，B两个建筑物分别位于河的两岸，为了测量它们之间的距离，可以沿河岸作射线，且使，在上截取，过D点作，使在一条直线上，测得米，则A，B之间的距离为 米．
【变式训练4-2】 如图，小明想测量池塘两端，间的距离，为了安全起见，小明借助全等三角形的知识．用了这样一个间接测量，间的距离方法：在地上取一点可以直接到达点和点的点，测得长，长为，在的延长线上找一点，使得长为，在的延长线上找一点，使得长为，又测得此时和的距离为，根据小明的数据，可知，之间的距离为 ．
【变式训练4-3】 如图，有一种简易的测距工具，为了测量地面上的点M与点O的距离（两点之间有障碍无法直接测量），在点O处立竖杆PO，并将顶端的活动杆PQ对准点M，固定活动杆与竖杆的角度后，转动工具至空旷处，标记活动杆的延长线与地面的交点N，测量点N与点O的距离，该距离即为点M与点O的距离．此种工具用到了全等三角形的判定，其判定理由是 ．
考点5：基础证明
例5．如图，点在一条直线上，点是的中点，．
求证：．
【变式训练5-1】 如图，，求证：．
【变式训练5-2】 如图，和都是等腰三角形，，，，交于点F，分别交于点G，H．试猜想线段和的数量和位置关系，再说明理由．
【变式训练5-3】 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组拿了两个大小不同的等腰直角三角板进行拼摆，并探究摆放后所构成的图形之间的关系，如图1，在和中，．
(1)勤奋小组摆出如图2所示的图形，点A和点D重合，连接和，求证：．
(2)超越小组在勤奋小组的启发下，把两个三角形板按如图3的方式摆放，点B，C，E在同一直线上，连接，他们发现了和之间的数量和位置关系，请写出这些关系，并说明理由．
考点6：含辅助线证明
例6．已知，，，．直线过点，交、于点、．
（1）若是中线，求证：；
（2）若，求证：．
【变式训练6-1】 （1）如图①，四边形，与互补，，点E、F在线段、上且，若，求：的度数；
（2）如图②，若点E、F在线段、的延长线上，其余条件均不变，求：的度数．
【变式训练6-2】．如图，在中，，的角平分线、相交于点O，求证：．
【变式训练6-3】 在中，，点为边上一点，为延长线上的一点，，为边上一点，射线于点，过点作直线于，交于点，作的角平分线交于，过点作的平行线，交于点，交于点，交于点，．
(1)找出图中和相等的一个角，并证明；
(2)判断、、的数量关系，并证明．
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