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12.3 角平分线的性质
【基础巩固】
一、单选题
1．如图，，点C是内一点，于点D，于点E．且，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．在一个三角形的内部有一个点，这个点到三角形三边的距离相等，这个点是（ ）
A．角平分线的交点 B．中线的交点
C．高线的交点 D．中垂线的交点
3．如图，在中，角平分线，相交于点，连接，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C．平分 D．
4．如图，中，，平分，过点作于，测得，，则的周长是（ ）
A．30 B．24 C．18 D．12
5．如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，点E为线段上一动点．若，当最小时，的面积是（ ）．
A．15 B．30 C．45 D．60
6．如图，已知平分，P是上一点，于点H，Q是射线上的一个动点，如，则长的最小值为（ ）
A．10 B．5 C．3 D．6
7．如图，的两条角平分线和交于点，且点到的距离，的周长为，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．在中，，BD是的角平分线，过点D作于点E，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
9．如图，平分，于点E，，F是射线上的任意一点，则的长度不可能是（ ）
A．4 B．5 C． D．6
10．如图，是的角平分线，、分别是和的高，下列说法中正确的有（ ）个.
（1）垂直平分；（2）；（3）；（4）四边形的面积是面积的一半
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11．如图，是的角平分线，点在上，，垂足分别是，，则 ．
12．如图，在的内部取一点O，过点O作于点M，于点N，若，且，则 °．
13．如图，，，垂足分别为、，、相交于点，且平分，，则 ．
14．如图，已知的周长是22，PB、PC分别平分和，于D，且，的面积是 ．
15．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，S△ABC＝21，DE＝3，AB＝9，则AC长是 ．
16．如图所示，△ABC的三边AB,BC,CA的长分别是6,10,12，三条角平分线的交点为o,则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO= .
17．如图，的外角的平分线与内角的平分线交于点，若，则 ．
18．如图，是平分线上的一点，若，，则 ．
三、解答题
19．如图，已知BD为∠ABC的平分线，点P在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于N，且PM＝PN．求证AD＝CD．
20．下面是“求作∠AOB的角平分线”的尺规作图过程．
已知：如图，钝角∠AOB．
求作：∠AOB的角平分线．
作法：
①在OA和OB上，分别截取OD、OE，使OD＝OE；
②分别以D、E为圆心，大于的长为半径作弧， 在∠AOB内，两弧交于点C；
③作射线OC．
所以射线OC就是所求作的∠AOB的角平分线．
（1）请你根据上述的作图方法，利用直尺和圆规完成作图（保留作图痕迹）；
（2）在该作图中蕴含着几何的证明过程：
由①可得：OD＝OE
由②可得：_________________
由③可知：OC＝OC
∴______≌_________（依据：________________________）
∴可得∠COD=∠COE（全等三角形对应角相等）
即OC就是所求作的∠AOB的角平分线．
21．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAD=∠BAD，DE⊥AB于E，点F在边AC上．
（1）求证：DC=DE；
（2）若AC=4，AB=5，且△ABC的面积等于6，求DE的长．
22．如图，是的平分线，，点在上，连接、，分别过点作、的垂线、，垂足分别为、．
（1）求证：；
（2）求证：．
【能力提升】
23．如图，在中，的平分线与的外角平分线交于点，于点，于点．
(1)若，求点到直线的距离；
(2)求证：点在的平分线上．
24．如图，在中，于点D，G是延长线上一点，平分，且，E是上一点，连接并延长交于点F．
(1)求证：；
(2)猜想并证明：当E在何处时，．
25．如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E 点，∠ADC+∠CBE=180°．求证：
（1）BC=CD；
（2）2AE=AB+AD．
26．角平分线性质定理描述了角平分线上的点到角两边距离的关系，小储发现将角平分线放在三角形中，有一些新的发现，请完成下列探索过程：
【知识回顾】
（1）如图1，是的平分线上的一点，于点，作于点，试证：
【深入探究】
（2）如图2，在中，为的角平分线交于于点，其中，求．
【应用迁移】
（3）如图3，中，的角平分线与的中线交于点为中点，连接，若，则的长度为__________．
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12.3 角平分线的性质
【基础巩固】
一、单选题
1．如图，，点C是内一点，于点D，于点E．且，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据角平分线的判定定理可得平分，再计算角度．
【详解】解：∵，，，
∴平分，
∴，
故选C．
【点睛】本题主要考查了角平分线的判定，注意：到角的两边距离相等的点在角平分线上．
2．在一个三角形的内部有一个点，这个点到三角形三边的距离相等，这个点是（ ）
A．角平分线的交点 B．中线的交点
C．高线的交点 D．中垂线的交点
【答案】A
【分析】根据角平分线上点的特点进行解答即可．
【详解】解：因为角平分线上的点到角的两边距离相等，因此三角形三条角平分线的交点，到三角形三边的距离相等，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了角平分线性质，解题的关键是熟练掌握角平分线上的点到角的两边距离相等．
3．如图，在中，角平分线，相交于点，连接，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C．平分 D．
【答案】C
【分析】根据三角形的三条角平分线相交于同一点可知平分，从而得解．
【详解】解：∵角平分线，相交于点，
∴平分．
故选：C．
【点睛】本题考查角平分线的性质，掌握三条角平分线相交于同一点是解题的关键．
4．如图，中，，平分，过点作于，测得，，则的周长是（ ）
A．30 B．24 C．18 D．12
【答案】B
【分析】由中，，，平分，根据角平分线的性质定理得到，即可求出的周长．
【详解】解：∵在中，，
∴
∵，平分，
∴，
∵，，
∴的周长，
故选B．
【点睛】此题考查了角平分线的性质定理，此题比较简单，注意角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等．
5．如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，点E为线段上一动点．若，当最小时，的面积是（ ）．
A．15 B．30 C．45 D．60
【答案】B
【分析】如图：过D作,由垂线段最短的性质可得当时，DE最短，根据题意可知为的平分线，由角平分线的性质得出，再由三角形的面积公式可得出结论．
【详解】解：如图：过D作
∵点E为线段上的一个动点，最短，
∴，
由基本尺规作图可知，是的角平分线，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的面积．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、垂线段最短等性质，正确作出辅助线和利用角平分线的性质成为解答本题的关键．
6．如图，已知平分，P是上一点，于点H，Q是射线上的一个动点，如，则长的最小值为（ ）
A．10 B．5 C．3 D．6
【答案】B
【分析】当时，有最小值，利用角平分线的性质可得，即可解答．
【详解】解：如图：
当时，有最小值，
∵平分，
∴，
∴长的最小值为5，
故选B．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
7．如图，的两条角平分线和交于点，且点到的距离，的周长为，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接，过点作于， 于，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【详解】连接，过点作于， 于，
∵，分别平分，，，，，
∴，
∴，
，
，
，
，
故选: ．
【点睛】此题考查了角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
8．在中，，BD是的角平分线，过点D作于点E，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据角平分线的性质得到，得出，代入求出即可．
【详解】解：，，
，
∵是的角平分线，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
9．如图，平分，于点E，，F是射线上的任意一点，则的长度不可能是（ ）
A．4 B．5 C． D．6
【答案】A
【分析】过Ｄ点作于H，根据角平分线的性质得，再利用垂线段最短得到，然后对各个选项进行判断即可，
【详解】过Ｄ点作于H，
平分，，，
，，
，
故选A
【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，也考查了垂线段最短，掌握角平分线的性质是解题的关键．
10．如图，是的角平分线，、分别是和的高，下列说法中正确的有（ ）个.
（1）垂直平分；（2）；（3）；（4）四边形的面积是面积的一半
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据角平分线的性质、三角形的面积公式和全等三角形的判定与性质依次分析判断即可．
【详解】解：∵、分别是和的高，
∴，
∵平分，
∴，故（2）正确；
∴，
又∵，
∴，即，故（3）正确
∵，
∴，
∴，
∴垂直平分，
但由于不一定是直角，则条件不足以判定垂直平分，故（1）不一定成立；
∵，，
∵不一定等于，故（4）不一定成立；
故选：B．
【点睛】本题考查了角平分线的性质、三角形的面积公式和全等三角形的判定与性质，解题关键是牢记相关概念 与性质，正确分析推理．
二、填空题
11．如图，是的角平分线，点在上，，垂足分别是，，则 ．
【答案】5
【分析】根据角平分线上的点到两边距离相等，即可进行解答．
【详解】解：∵是的角平分线，，
∴，
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了角平分线上的点到两边距离相等，解题的关键是掌握角平分线上的点到两边距离相等．
12．如图，在的内部取一点O，过点O作于点M，于点N，若，且，则 °．
【答案】15°/15度
【分析】根据角平分线的判定可得答案．
【详解】解：∵，，且，
∴平分，
∴，
故答案为：15°．
【点睛】本题考查了角平分线的判定，掌握到角的两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键．
13．如图，，，垂足分别为、，、相交于点，且平分，，则 ．
【答案】2
【分析】根据角平分线的性质定理即可知．
【详解】解：∵，，
∴，．
∵平分，
∴．
故答案为：2．
【点睛】本题考查角平分线的性质定理．掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键．
14．如图，已知的周长是22，PB、PC分别平分和，于D，且，的面积是 ．
【答案】33
【分析】连接AP，过点P分别作PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，根据角平分线的性质定理，可得PD=PE=PF=3，再根据三角形的面积等于三个小三角形的面积之和，即可求解．
【详解】解：如图，连接AP，过点P分别作PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，
∵PB、PC分别平分和，于D，
∴PD=PE，PD=PF，
∴PD=PE=PF=3，
∵的周长是22，
∴的面积是 ．
故答案为：33
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
15．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，S△ABC＝21，DE＝3，AB＝9，则AC长是 ．
【答案】5
【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
【详解】解：∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
∴S△ABC=×9×3+AC 3 =21，
解得AC=5．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
16．如图所示，△ABC的三边AB,BC,CA的长分别是6,10,12，三条角平分线的交点为o,则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO= .
【答案】
【分析】过O作OD⊥AB于D，OF⊥BC于F，OE⊥AC于E，根据角平分线性质求出OD=OF=OE，根据三角形面积公式求出即可.
【详解】
如图，过O作OD⊥AB于D， OF⊥BC于F，OE⊥AC于E，
∵O为△ABC三条角平分线的交点，
∴OD=OE=OF，
∵△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为6,10,12，
∴S△ABO∶S△BCO∶S△CAO=(AB×OD):(BC×OF):(AC×OE)=AB:BC:AC=6:10:12
=.
故答案为.
【点睛】本题考查角平分线的性质，掌握角平分线的性质是关键.
17．如图，的外角的平分线与内角的平分线交于点，若，则 ．
【答案】/度
【分析】延长，作，，，设，，进而根据三角形的外角的性质得出，证明，即可求解．
【详解】延长，作，，，
设，
平分，
，，
平分，
，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形外角的性质，角平分线的定义以及性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
18．如图，是平分线上的一点，若，，则 ．
【答案】
【分析】过点作于点，于点，利用结合补角的定义可证，由可证，由全等的性质可得结论
【详解】解：过点作于点，于点，则
是平分线上的一点
在和中
，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了角平分线的性质及全等三角形的判定与性质，灵活利用角平分线上的点到角两边的距离相等这一性质是解题的关键.
三、解答题
19．如图，已知BD为∠ABC的平分线，点P在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于N，且PM＝PN．求证AD＝CD．
【答案】见解析
【分析】首先根据PM⊥AD于M，PN⊥CD于N，且PM＝PN，得到，然后根据ASA证明即可证明AD＝CD．
【详解】解：∵PM⊥AD于M，PN⊥CD于N，且PM＝PN，
∴，
∴在和中，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了角平分线的判定定理，全等三角形的性质和判定，解题的关键是根据角平分线的判定定理求出．
20．下面是“求作∠AOB的角平分线”的尺规作图过程．
已知：如图，钝角∠AOB．
求作：∠AOB的角平分线．
作法：
①在OA和OB上，分别截取OD、OE，使OD＝OE；
②分别以D、E为圆心，大于的长为半径作弧， 在∠AOB内，两弧交于点C；
③作射线OC．
所以射线OC就是所求作的∠AOB的角平分线．
（1）请你根据上述的作图方法，利用直尺和圆规完成作图（保留作图痕迹）；
（2）在该作图中蕴含着几何的证明过程：
由①可得：OD＝OE
由②可得：_________________
由③可知：OC＝OC
∴______≌_________（依据：________________________）
∴可得∠COD=∠COE（全等三角形对应角相等）
即OC就是所求作的∠AOB的角平分线．
【答案】（1）见解析；（2）CD=CE；△OCD；△OCE；SSS
【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形；
（2）利用作法得到OD=OE，CD=CE，加上OC=OC，则可根据“SSS”判断△OCD≌△OCE，即可得到∠COD=∠COE．
【详解】解：（1）如图所示，OC为所作；
（2）由①可得：OD＝OE；
由②可得：CD=CE；
由③可知：OC＝OC；
∴△OCD≌△OCE（SSS），
∴可得∠COD=∠COE（全等三角形对应角相等），
即OC就是所求作的∠AOB的角平分线．
故答案为CD=CE；△OCD；△OCE；SSS．
【点睛】本题主要考查了作图和全等三角形的判定与性质．解题的关键是熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．
21．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAD=∠BAD，DE⊥AB于E，点F在边AC上．
（1）求证：DC=DE；
（2）若AC=4，AB=5，且△ABC的面积等于6，求DE的长．
【答案】（1）见解析；（2）．
【分析】（1）根据角平分线的性质求解即可；
（2）由（1）中证得DC=DE，然后根据即可求出DE的长．
【详解】解：（1）∵∠C=90°，
∴，
又∵∠CAD=∠BAD，DE⊥AB
∴DC=DE；
（2）∵DC=DE，
∴，
∴，
∴，
解得：．
【点睛】此题考查了角平分线性质定理，三角形面积的运用，解题的关键是根据角平分线的性质定理证得DC=DE．
22．如图，是的平分线，，点在上，连接、，分别过点作、的垂线、，垂足分别为、．
（1）求证：；
（2）求证：．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）根据SAS证明≌即可求解；
（2）证明是的平分线，根据角平分线的性质即可求解．
【详解】证明：（1）∵是的平分线
∴
在和中
∴≌
∴
（2）由（1）可知：
∴
∴是的平分线
∵，
∴．
【点睛】此题主要考查角平分线的性质与证明，解题的关键是熟知全等三角形的判定与角平分线的性质．
【能力提升】
23．如图，在中，的平分线与的外角平分线交于点，于点，于点．
(1)若，求点到直线的距离；
(2)求证：点在的平分线上．
【答案】(1)8cm
(2)见解析
【分析】（1）利用角平分线上一点到角两边距离相等即可求解；
（2）利用如果一点到角的两边距离相等，则这个点在角的角平分线上．
【详解】（1）解：作于，如图，
又∵平分，，
∴，
即点到直线的距离为8cm；
（2）证明：∵平分，且于点，，
∴，
又，
∴，
∴点在的平分线上．
【点睛】本题考查角平分线性质定理以及逆定理，熟练掌握角平分性质的逆用是解决本题的关键．
24．如图，在中，于点D，G是延长线上一点，平分，且，E是上一点，连接并延长交于点F．
(1)求证：；
(2)猜想并证明：当E在何处时，．
【答案】(1)见解析
(2)E是的中点，理由见解析
【分析】（1）根据角平分线的性质和平行线的性质证明即可；
（2）根据题意证明，即可推出．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
由（1）得，，
∵，
当E是中点时，，
∴，
∴，
∴；
【点睛】本题考查几何证明，涉及到平行线的性质、角平分线的性质等，灵活运用所学知识是关键．
25．如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E 点，∠ADC+∠CBE=180°．求证：
（1）BC=CD；
（2）2AE=AB+AD．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）过C作CF⊥AD于F，根据角平分线的性质得：CF＝CE，根据AAS证明△FDC≌△EBC可得结论；
（2）由（1）中的全等得：DF＝BE，证明Rt△AFC≌Rt△AEC，得AE＝AF，根据线段的和与差得出结论．
【详解】证明：（1）过C作CF⊥AD于F，
∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，
∴CF＝CE，
∵∠ADC＋∠CBE＝180°，∠ADC＋∠FDC＝180°，
∴∠CBE＝∠FDC，
在△FDC和△EBC中，
∵，
∴△FDC≌△EBC（AAS），
∴CD＝BC；
（2）∵△FDC≌△EBC，
∴DF＝BE，
在Rt△AFC和Rt△AEC中，
∵，
∴Rt△AFC≌Rt△AEC（HL），
∴AF＝AE，
∴AB＋AD＝AE＋BE＋AD＝AE＋DF＋AD＝AE＋AF＝2AE．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定、角平分线的性质，注意利用角平分线性质时，必须是到角两边的垂线段相等，本题是常考题型，难度不大，在证明线段的和与差时，要将线段根据图形中分成和与差，利用全等三角形的对应边相等作等量代换，从而得出结论．
26．角平分线性质定理描述了角平分线上的点到角两边距离的关系，小储发现将角平分线放在三角形中，有一些新的发现，请完成下列探索过程：
【知识回顾】
（1）如图1，是的平分线上的一点，于点，作于点，试证：
【深入探究】
（2）如图2，在中，为的角平分线交于于点，其中，求．
【应用迁移】
（3）如图3，中，的角平分线与的中线交于点为中点，连接，若，则的长度为__________．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）10
【分析】（1）根据证明即可；
（2）作于点，作于点，由角平分线的性质得，由三角形的面积公式可得，结合即可求解；
（3）过E作于G，连接，由P为中点，设，根据是边上的中线，设，根据三角形的面积的计算得到，根据角平分线的性质得到，于是得到结论．
【详解】（1）证明：，
，
在和中，
，
，
（2）解：如图，过点作于点，作于点，
平分，
，
，
，
同理可证，
∴．
，
，
设，则
，
，
；
（3）解：过E作于G，连接，
∵P为中点，
∴，
设，
∵是边上的中线，
∴设，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的角平分线，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了三角形的面积的计算，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，三角形中线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
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