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12.3 角平分线的性质 （重难点）
【知识精讲】
【知识点一、 角的平分线及其性质】
1．尺规作角平分线
尺规作角平分线方法（重要）：已知:∠AOB．求作：∠AOB的平分线．
作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N．（2）分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C．（3）画射线OC．射线OC即为所求．
2．角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
【知识点二、角平分线的判定】
1．角平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．
定理的几何表述：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE． ∴点P 在∠AOB的平分线上．
2．三角形的内角平分线
结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等．
已知如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，则点P到三边AB，BC，CA的距离相等．
【重点题型】
考点1：利用角平分线性质求距离
例1．如图，在中，，若，，平分，则点到的距离等于（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【变式训练1-1】如图，点E为平分线上一点，，的面积为15，则点E到直线的距离为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【变式训练1-2】如图，OC是的平分线，于点D，，则点P到的距离是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．都不对
【变式训练1-3】如图，在中，，是的角平分线．若，则点D到的距离是（ ）
A．2 B．4 C．3 D．6
考点2：利用角平分线性质求周长
例2．如图所示，中，，，平分，交于D，于E．，则的周长是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-1】．如图，中，，平分，过点作于，测得，，则的周长是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-2】如图，在中，，，，，若BD平分交于点D，过D作于点E，则的周长为（ ）．
A．8 B．10 C．12 D．14
【变式训练2-3】如图，在 中，， 平分 ， 于，，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
考点3：利用角平分线性质求面积
例3．在中，是的高线，平分，交于点E，，，则的面积等于（ ）
A．3 B．5 C．9 D．12
【变式训练3-1】如图，在中，CD是AB边上的高，BE平分，交CD于点E，已知，，，则的面积等于（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【变式训练3-2】如图，是的角平分线，于，，分别是边，上的点，，若和的面积分别为和，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-3】如图，在四边形中，，，，平分，则的面积是（ ）
A．10 B．12 C．16 D．20
考点4：判定结论是否正确
例4．如图，的外角的平分线相交于点，于，于，下列结论：（1）；（2）点在的平分线上；（3），其中正确的有 （ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【变式训练4-1】如图，，AD、BD、CD分别平分的、、，以下结论：①；②；③；④BD分；⑤。其中误的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式训练4-2】如图，与的平分线相交于点P，，PB与CE交于点H，交BC于F，交AB于G，下列结论：①；②；③ BP垂直平分CE；④，其中正确的判断有（ ）
A．①② B．③④ C．①③④ D．①②③④
【变式训练4-3】如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC、∠ACB的平分线交于E，D是AE延长线上一点，且∠BDC=120°．下列结论：①∠BEC=120°；②DB=DE；③∠BDE=2∠BCE;其中正确结论的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
考点5：尺规作图
例5．如图，在△ABC中，AC=6，BC=10．
(1)用尺规在AB边上求作点P，使点P到∠ACB两边的距离相等；
（不要求写出作法和证明，但要求保留作图痕迹，并写出结论）
(2)如果△ACP的面积为15，那么△BCP的面积是多少．
【变式训练5-1】已知，如图，．
(1)用尺规作的一条角平分线（保留作图痕迹，不写作法，写出结论）；
(2)若，，则_______°
【变式训练5-2】如图，已知利用直尺和圆规，根据要求作图（要求：保留作图痕迹，不需写作法和证明），并解决后面的问题．
(1)作的角平分线
(2)作 交的延长线于点
(3)图中线段与线段相等吗？证明你的结论．
【变式训练5-3】如图，点D在的边上，且．
．
(1)作的平分线，交于点E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；
(2)在（1）的条件下，判断直线与直线的位置关系，并证明你的结论．
考点6：利用角平分线性质证全等
例6．如图，已知平分，于E，于F，且．求证：．
【变式训练6-1】如图，在中，是角平分线，于点在边上，．
(1)如图1，若，求证：；
(2)如图2，求证：．
【变式训练6-2】在中，，平分，于．
(1)求证：；
(2)求的长．
【变式训练6-3】如图，已知为的外角的平分线，于点G，于点H，．求证．
考点7：角平分线的实际应用
例7．如图，三条公路两两相交，现计划修建一个油库．
（1）如果要求油库到两条公路的距离都相等，那么如何选择油库的位置？
（2）如果要求油库到这三条公路的距离都相等，那么如何选择油库的位置？
【变式训练7-1】如图，两条公路OA和OB相交于O点，在∠AOB的内部有工厂C和D，现要修建一个货站P，使货站P到两条公路OA、OB的距离相等，且到两工厂C、D的距离相等，用尺规作出货站P的位置．（要求：不写作法，保留作图痕迹，写出结论.）
【变式训练7-2】如图，某个居民小区附近有三条两两相交的道路、、，拟在上建造一个大型超市，使得它到、的距离相等，请确定该超市的位置．
【变式训练7-3】尺规作图：如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，这个集贸市场应建于何处？（不写作法，保留作图痕迹）
考点8：角平分线的判定
例8．已知：如图，在中，，D是上一点，于E，且．
(1)求证：平分；
(2)若，求的度数．
【变式训练8-1】如图，在中，的平分线与的外角平分线交于点，于点，于点．
(1)若，求点到直线的距离；
(2)求证：点在的平分线上．
【变式训练8-2】如图，在中，是的中点，于，于点，且．求证：平分．
【变式训练8-3】如图，，，于．
(1)求证：平分；
(2)若，，求的长．
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12.3 角平分线的性质 （重难点）
【知识精讲】
【知识点一、 角的平分线及其性质】
1．尺规作角平分线
尺规作角平分线方法（重要）：已知:∠AOB．求作：∠AOB的平分线．
作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N．（2）分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C．（3）画射线OC．射线OC即为所求．
2．角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
【知识点二、角平分线的判定】
1．角平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．
定理的几何表述：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE． ∴点P 在∠AOB的平分线上．
2．三角形的内角平分线
结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等．
已知如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，则点P到三边AB，BC，CA的距离相等．
【重点题型】
考点1：利用角平分线性质求距离
例1．如图，在中，，若，，平分，则点到的距离等于（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】过点作，垂足为，由题意可得，再由角平分线的性质可得，即可得到答案．
【详解】解：如图，过点作，垂足为，
，，
，
平分，，
，
∴点到的距离等于3，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
【变式训练1-1】如图，点E为平分线上一点，，的面积为15，则点E到直线的距离为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】设点到直线的距离为，根据三角形面积公式即可求解．
【详解】解：如图，过点作，垂足分别为，
∵为平分线上一点，
∴，
∵，的面积为15，
∴，
∴，
∴，
即点到直线的距离为6．
故选：B．
【点睛】本题考查角平分线的性质定理及点到直线的距离之概念．其关键要理解角平分线上一点到角两边距离相等．
【变式训练1-2】如图，OC是的平分线，于点D，，则点P到的距离是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．都不对
【答案】B
【分析】过点P作于E，根据角平分线的性质即可求解．
【详解】解：如图，过点P作于E，
是的平分线，，，
，
即点P到边的距离为2．
故选：B．
【点睛】本题考查了角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．
【变式训练1-3】如图，在中，，是的角平分线．若，则点D到的距离是（ ）
A．2 B．4 C．3 D．6
【答案】C
【分析】过点D作于点E，根据角平分线的性质得到．
【详解】解：过点D作于点E，
∵，
∴，
∵是的角平分线，，，
∴，
∴点D到的距离是3，
故选：C．
【点睛】此题考查了角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等，正确掌握性质是解题的关键．
考点2：利用角平分线性质求周长
例2．如图所示，中，，，平分，交于D，于E．，则的周长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据角平分线的性质得出，再利用证明，推出，进而通过等量代换可得．
【详解】解： 平分，，，
，
又 ，
，
，
，
，
，
故选B．
【点睛】本题主要考查角平分线的性质、直角三角形全等的判定与性质，解题的关键是通过证明推导出．
【变式训练2-1】．如图，中，，平分，过点作于，测得，，则的周长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由中，，平分，过点作于，根据角平分线的性质，即可得，继而可求得的周长是：，则可求得答案．
【详解】解：中，；
；
平分，；
，
，，
的周长是：．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质．注意角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
【变式训练2-2】如图，在中，，，，，若BD平分交于点D，过D作于点E，则的周长为（ ）．
A．8 B．10 C．12 D．14
【答案】C
【分析】根据角平分线的性质定理可得，从而可证，即得出，最后可求的周长为．
【详解】∵BD平分，，，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选C．
【点睛】本题考查角平分线的性质定理，三角形全等的判定和性质．证明是解题关键．
【变式训练2-3】如图，在 中，， 平分 ， 于，，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据角平分线的性质定理可得，进而可以求出的周长；
【详解】解： 平分 ， ，，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了角平分线的性质定理；熟练运用该定理实现线段的转化是解题的关键．
考点3：利用角平分线性质求面积
例3．在中，是的高线，平分，交于点E，，，则的面积等于（ ）
A．3 B．5 C．9 D．12
【答案】C
【分析】过点E作于点F，根据角平分线的性质可得，再根据三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：过点E作于点F，
∵平分，，，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握角平分线上的点到两边距离相等．
【变式训练3-1】如图，在中，CD是AB边上的高，BE平分，交CD于点E，已知，，，则的面积等于（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【分析】作于，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：如图，作于，
平分，，，
，
的面积，
故选C．
【点睛】本题考查角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
【变式训练3-2】如图，是的角平分线，于，，分别是边，上的点，，若和的面积分别为和，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】如图所示（见详解），过点作于，是的角平分线，于，可证，同理可证，设，和的面积分别为和，列方程即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于，
∵是的角平分线，于，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
设，和的面积分别为和，
∴，解方程得，，
∴，
∴，
故选：．
【点睛】本题主要考查角平分线，三角形全等和性质的综合，理解并掌握角平分线上点到角两边的距离相等，全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【变式训练3-3】如图，在四边形中，，，，平分，则的面积是（ ）
A．10 B．12 C．16 D．20
【答案】D
【分析】过点作于，根据角平分线的性质“角平分线上的点到角的两边的距离相等”得到，根据三角形面积公式计算即可．
【详解】解：过点作于，如图，
∵平分，，，
∴，
∴的面积．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质以及求三角形面积角，理解并掌握角平分线的性质是解题关键．
考点4：判定结论是否正确
例4．如图，的外角的平分线相交于点，于，于，下列结论：（1）；（2）点在的平分线上；（3），其中正确的有 （ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【分析】过点P作PG⊥AB，由角平分线的性质定理，得到，可判断（1）（2）正确；由，，得到，可判断（3）错误；即可得到答案．
【详解】解：过点P作PG⊥AB，如图：
∵AP平分∠CAB，BP平分∠DBA，，，PG⊥AB，
∴；故（1）正确；
∴点在的平分线上；故（2）正确；
∵，
又，
∴；故（3）错误；
∴正确的选项有2个；
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的判定定理和性质定理，解题的关键是熟练掌握角平分线的判定和性质进行解题．
【变式训练4-1】如图，，AD、BD、CD分别平分的、、，以下结论：①；②；③；④BD分；⑤。其中误的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据角平分线定义得出∠ABC=2∠ABD=2∠DBC，∠EAC=2∠EAD，∠ACF=2∠DCF，根据三角形的内角和定理得出∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，根据三角形外角性质得出∠ACF=∠ABC+∠BAC，∠EAC=∠ABC+∠ACB，根据已知结论逐步推理，即可判断各项．
【详解】解：∵AD平分∠EAC，
∴∠EAC=2∠EAD，
∵∠EAC=∠ABC+∠ACB，∠ABC=∠ACB，
∴∠EAD=∠ABC，
∴AD∥BC，∴①正确；
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∵BD平分∠ABC，∠ABC=∠ACB，
∴∠ABC=∠ACB=2∠DBC，
∴∠ACB=2∠ADB，∴②正确；
在△ADC中，∠ADC+∠CAD+∠ACD=180°，
∵CD平分△ABC的外角∠ACF，
∴∠ACD=∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠ADC=∠DCF，∠ADB=∠DBC，∠CAD=∠ACB
∴∠ACD=∠ADC，∠CAD=∠ACB=∠ABC=2∠ABD，
∴∠ADC+∠CAD+∠ACD=∠ADC+2∠ABD+∠ADC=2∠ADC+2∠ABD=180°，
∴∠ADC+∠ABD=90°
∴∠ADC=90°-∠ABD，∴③正确；
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∵∠ADB=∠DBC，，
∴∠ADB不等于∠CDB，∴④错误；
∵∠ACF=2∠DCF，∠ACF=∠BAC+∠ABC，∠ABC=2∠DBC，∠DCF=∠DBC+∠BDC，
∴∠BAC=2∠BDC，∴⑤错误；
综上所述，错误的是④⑤
即错误的有2个，
故选：B．
【点睛】考查了三角形外角性质，角平分线定义，平行线的判定，三角形内角和定理的应用，主要考查学生的推理能力．
【变式训练4-2】如图，与的平分线相交于点P，，PB与CE交于点H，交BC于F，交AB于G，下列结论：①；②；③ BP垂直平分CE；④，其中正确的判断有（ ）
A．①② B．③④ C．①③④ D．①②③④
【答案】D
【分析】①根据角平分线的性质和平行线的性质即可得到结论；
②根据角平分线的性质和三角形的面积公式即可求出结论；
③根据线段垂直平分线的性质即可得结果；
④根据角平分线的性质和平行线的性质即可得到结果．
【详解】解：①∵AP平分∠BAC，
∴∠CAP=∠BAP，
∵PG∥AD，
∴∠APG=∠CAP，
∴∠APG=∠BAP，
∴GA=GP；
②∵AP平分∠BAC，
∴P到AC，AB的距离相等，
∴S△PAC：S△PAB=AC：AB，
③∵BE=BC，BP平分∠CBE，
∴BP垂直平分CE（三线合一），
④∵∠BAC与∠CBE的平分线相交于点P，可得点P也位于∠BCD的平分线上，
∴∠DCP=∠BCP，
又∵PG∥AD，
∴∠FPC=∠DCP，
∴FP=FC，
故①②③④都正确．
故选D．
【点睛】本题考查角平分线的性质和定义，平行线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握各性质定理是解题关键．
【变式训练4-3】如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC、∠ACB的平分线交于E，D是AE延长线上一点，且∠BDC=120°．下列结论：①∠BEC=120°；②DB=DE；③∠BDE=2∠BCE;其中正确结论的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】根据三角形内角和等于180°求出∠ABC+∠ACB,再根据角平分线的定义求出∠EBC+∠ECB,然后求出∠BEC=120°,判断①正确;过点D作DF⊥AB于F,DG⊥AC的延长线于G,根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DF=DG,再求出∠BDF=∠CDG,然后利用“角边角”证明△BDF和△CDG全等,根据全等三角形对应边相等可得BD=CD,再根据等边对等角求出∠DBC=30°,然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义求出∠DBE=∠DEB,根据等角对等边可得BD=DE,判断②正确,再求出B,C,E三点在以D为圆心,以BD为半径的圆上,根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得∠BDE=2∠BCE,判断③正确.
【详解】∵∠BAC=60°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°，
∵BE、CE分别为∠ABC、∠ACB的平分线，
∴∠EBC= ∠ABC，∠ECB=∠ACB，
∴∠EBC+∠ECB=（∠ABC+∠ACB）=×120°=60°，
∴∠BEC=180°-（∠EBC+∠ECB）=180°-60°=120°，故①正确；
如图，过点D作DF⊥AB于F，DG⊥AC的延长线于G，
∵BE、CE分别为∠ABC、∠ACB的平分线，
∴AD为∠BAC的平分线，
∴DF=DG，
∴∠FDG=360°-90°×2-60°=120°，
又∵∠BDC=120°，
∴∠BDF+∠CDF=120°，∠CDG+∠CDF=120°，
∴∠BDF=∠CDG，
∵在△BDF和△CDG中，
∴△BDF≌△CDG（ASA），
∴DB=CD，
∴∠DBC=（180°-120°）=30°，
∴∠DBE=∠DBC+∠CBE=30°+∠CBE，
∵BE平分∠ABC，AE平分∠BAC，
∴∠ABE=∠CBE，∠BAE=∠BAC=30°，
根据三角形的外角性质，∠DEB=∠ABE+∠BAE=∠ABE+30°，
∴∠DBE=∠DEB，
∴DB=DE，故②正确；
∵DB=DE=DC，
∴B，C，E三点在以D为圆心，以BD为半径的圆上，∴∠BDE=2∠BCE，故③正确；
综上所述，正确的结论有①②③共3个．
故选D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质 ,等角对等边的性质,圆内接四边形的判定,圆周角定理,综合性较强,难度较大,特别是③的证明.
考点5：尺规作图
例5．如图，在△ABC中，AC=6，BC=10．
(1)用尺规在AB边上求作点P，使点P到∠ACB两边的距离相等；
（不要求写出作法和证明，但要求保留作图痕迹，并写出结论）
(2)如果△ACP的面积为15，那么△BCP的面积是多少．
【答案】(1)见解析
(2)25
【分析】（1）作∠ACB的角平分线与AB的交点即为点P；
（2）如图：过点P作PE⊥CA延长线于点E，PF⊥BC于点F，然后证得，最后代入计算即可．
【详解】（1）解：如图：点P即为所求；
（2）解：如图：过点P作PE⊥CA延长线于点E，PF⊥BC于点F
∵CP平分∠ACB，
∴PE=PF，
∴
∵=15
∴
∴=25．
【点睛】本题主要考查了作角平分线、角平分线的性质定理等知识点，解题的关键是灵活运用角平分线的性质．
【变式训练5-1】已知，如图，．
(1)用尺规作的一条角平分线（保留作图痕迹，不写作法，写出结论）；
(2)若，，则_______°
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】(1)根据作角平分线的作法作图，即可作得；
(2)首先根据三角形内角和定理，可求得的度数，再根据BD平分，即可求得的度数，再根据三角形外角的性质，即可求得的度数．
【详解】（1）解：作法如下：
(1)以点B为圆心，以任意长为半径画弧，分别交AB、BC于点M、N；
(2)分别以点M、N为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点E；
(3)作射线BE，交AC于点D，BD即为所求作的角平分线；
（2）解：，，
，
又平分，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了基本作图—角平分线，三角形外角的性质，熟练掌握和运用角平分线的作法是解决本题的关键．
【变式训练5-2】如图，已知利用直尺和圆规，根据要求作图（要求：保留作图痕迹，不需写作法和证明），并解决后面的问题．
(1)作的角平分线
(2)作 交的延长线于点
(3)图中线段与线段相等吗？证明你的结论．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）以为圆心，任意长为半径作弧交于两点，以这两点为圆心，大于两点之间的距离为半径作弧，相交于一点，连接点和该点并延长即为角平分线．
（2）根据作一个角等于已知角的作法解答．
（3）根据角平分线和平行线的性质解答．
【详解】（1）如图所示：
为所作．
（2）如图所示：
为所作．
（3）是角平分线，
【点睛】本题主要考查了作图，熟悉角平分线的作法，已知角的作法是解此题的关键．
【变式训练5-3】如图，点D在的边上，且．
．
(1)作的平分线，交于点E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；
(2)在（1）的条件下，判断直线与直线的位置关系，并证明你的结论．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）利用基本作图（作已知角的平分线）作的平分线即可；
（2）先根据角平分线的定义得出，再利用三角形外角的性质得出，结合可得出，最后利用平行线的判定即可得出
【详解】（1）解：如图，为所作；
；
（2）解：．
理由如下：
平分，
，
又，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了基本作图—作已知角的平分线，平行线的判定，三角形外角的性质，掌握平行线的判定是解题的关键.
考点6：利用角平分线性质证全等
例6．如图，已知平分，于E，于F，且．求证：．
【答案】证明见解析
【分析】先根据角平分线的性质得到，再利用证明即可．
【详解】证明：∵平分，于E，于F，
∴，
在和中，
，
∴．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定，熟知直角三角形全等的判定条件和角平分线上的点到角两端的距离相等是解题的关键．
【变式训练6-1】如图，在中，是角平分线，于点在边上，．
(1)如图1，若，求证：；
(2)如图2，求证：．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析
【分析】（1）先根据角平分线的性质得出，再证明；
（2）过点D作于点G，根据角平分线的性质得出，再证明，得出，证明，得出，根据即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵是角平分线，，，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）证明：过点D作于点G，
∵是角平分线，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴
．
【点睛】本题考查角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．
【变式训练6-2】在中，，平分，于．
(1)求证：；
(2)求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据角平分线的性质可得，再由“”证明即可；
（2）由全等三角形的性质可得，再由进行计算即可得到答案．
【详解】（1）证明：，
，
，平分，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
答：的长是．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形全等的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质，三角形全等的判定与性质是解题的关键．
【变式训练6-3】如图，已知为的外角的平分线，于点G，于点H，．求证．
【答案】见解析
【分析】根据角平分线的性质得到，利用证明，即可得到结论．
【详解】证明：∵，，
∴．
∵平分，
∴，
又，，
∴．
在和中，
，
∴．
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，解题的关键是根据已知条件找准全等三角形．
考点7：角平分线的实际应用
例7．如图，三条公路两两相交，现计划修建一个油库．
（1）如果要求油库到两条公路的距离都相等，那么如何选择油库的位置？
（2）如果要求油库到这三条公路的距离都相等，那么如何选择油库的位置？
【答案】（1）油库的位置在直线MN或直线EF上；（2）见解析
【分析】（1）作∠BAC角平分线AN，作∠BAD的角平分线AE，直线MN，直线EF上的点满足条件．
（2）根据“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，分别作出三个内角的平分线、相邻两个外角的平分线，共有四个点．
【详解】解：（1）如图，油库的位置在直线MN或直线EF上；
（2）如图，点P1，P2，P3，P4即为所求．
【点睛】此题是考查对角平分线的性质的灵活应用，注意：三角形的外角平分线不要漏掉，思考问题要全面．
【变式训练7-1】如图，两条公路OA和OB相交于O点，在∠AOB的内部有工厂C和D，现要修建一个货站P，使货站P到两条公路OA、OB的距离相等，且到两工厂C、D的距离相等，用尺规作出货站P的位置．（要求：不写作法，保留作图痕迹，写出结论.）
【答案】见解析
【分析】根据点P到∠AOB两边距离相等，到点C、D的距离也相等，点P既在∠AOB的角平分线上，又在CD垂直平分线上，即∠AOB的角平分线和CD垂直平分线的交点处即为点P．
【详解】如图所示：作CD的垂直平分线，∠AOB的角平分线的交点P即为所求．
【变式训练7-2】如图，某个居民小区附近有三条两两相交的道路、、，拟在上建造一个大型超市，使得它到、的距离相等，请确定该超市的位置．
【答案】见解析
【分析】作的角平分线，与的交点到的两边，的距离相等．
【详解】如图所示：作的平分线交于点，点即为该超市的位置．
【点睛】此题主要考查了角平分线的作法，关键是掌握角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
【变式训练7-3】尺规作图：如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，这个集贸市场应建于何处？（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】图见解析，这个集贸市场应建于何处公路、铁路的角平分线上．
【分析】利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知集贸市场在公路、铁路相交的角平分线上．
【详解】解：如图所示：
答：这个集贸市场应建于何处公路、铁路的角平分线上．
【点睛】此题考查了作图与应用设计，解题的关键是掌握角平分线上的点到角两边的距离相等．
考点8：角平分线的判定
例8．已知：如图，在中，，D是上一点，于E，且．
(1)求证：平分；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据已知条件结合角平分线判定定理即可证明．
（2）根据直角三角形的两个锐角互余求得度数．
【详解】（1）证明：，，，
点D在的平分线上，
平分．
（2）解：，，
，
平分，
．
【点睛】本题主要考查了角平分线的判定与性质运用，和直角三角形性质的运用，熟练掌握角平分线的判定定理是解答的关键．
【变式训练8-1】如图，在中，的平分线与的外角平分线交于点，于点，于点．
(1)若，求点到直线的距离；
(2)求证：点在的平分线上．
【答案】(1)8cm
(2)见解析
【分析】（1）利用角平分线上一点到角两边距离相等即可求解；
（2）利用如果一点到角的两边距离相等，则这个点在角的角平分线上．
【详解】（1）解：作于，如图，
又∵平分，，
∴，
即点到直线的距离为8cm；
（2）证明：∵平分，且于点，，
∴，
又，
∴，
∴点在的平分线上．
【点睛】本题考查角平分线性质定理以及逆定理，熟练掌握角平分性质的逆用是解决本题的关键．
【变式训练8-2】如图，在中，是的中点，于，于点，且．求证：平分．
【答案】见解析
【分析】先用证明，则有，然后根据角平分线的判定定理即可求证．
【详解】证明：∵，，
∴，
∵是的中点，
∴，
在和中，
∴ ，
∴，
∵于，于点，
∴点在的角平分线上，
∴平分．
【点睛】本题主要考查三角形全等的判定与性质、角平分线的判定定理，熟练掌握三角形全等的判定与性质、角平分线的判定定理是解题的关键．
【变式训练8-3】如图，，，于．
(1)求证：平分；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)6
【分析】（1）过C点作，交的延长线于点F．由证明，可得，结论得证；
（2）证明，可得，可求出．
【详解】（1）证明：过C点作，交的延长线于点F．
∵，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴平分；
（2）解：由（1）可得，
在和中，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了角平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，关键是作出辅助线构造全等三角形．
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