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《比的认识》单元整体设计
一、单元主题解读
（一）课程标准要求分析
《比的认识》单元是数与代数领域第三学段“数量关系”中的重要内容。《数学课程标准》在“内容要求”中指出：“在实际情境中理解比和比例以及按比例分配的含义，能解决简单的问题。能运用常见的数量关系解决实际问题，能合理解释结果的实际意义，逐步形成模型意识和几何直观，提高解决问题的能力。”在“学业要求”中指出：“能在具体情境中判断两个量的比，会计算比值，理解比值相同的量，能解决按比例分配的简单问题。”
（二）单元教材内容分析
本单元是在学生学习了除法的意义、分数的意义、分数与除法的关系的基础上进行教学的。《生活中的比》一课教材结合系列情境，概括比的意义，介绍比的读写及其各部分名称，然后引导学生思考比与除法、分数的联系。在《比的化简》一课教材让学生在解决问题的过程中，运用比、除法、分数之间的关系对小数比、分数比、整数比进行化简。《比的应用》一课实际上就是“按比例分配”的内容，教材结合具体的实例，引导学生学会应用不同的策略解决这类实际问题。
单元学习内容的前后联系：
（三）学生认知情况
学生已经学过分数的意义及分数与除法的关系、百分数的意义及应用，这些都为学生学习比奠定了基础，但学生对比的意义的理解往往比较困难。有的学生在生活中已经接触或使用过比，并有一些相关的活动经验，但对学生来说，他们对比的理解仅仅停留在形式上。所以，本单元的学习难点是使学生真正理解比的意义。因此，在设计中密切联系学生已有的生活经验和学习经验，设计了系列情境，教学力求通过具体的材料，使学生在丰富的学习背景中逐步体会比的意义的价值。
二、单元目标拟定
1.经历从具体情境中抽象出比的过程，体会认识比的必要性，理解比的意义及其与除法、分数的关系。
2.在实际情境中，体会化简比的必要性，会运用商不变性质或分数的基本性质化简比，并能解决一些实际问题。
3.能运用比的意义，解决按一定的比进行分配的实际问题，感受比在生活中的广泛应用。
三、关键内容确定
（一）教学重点
1.理解掌握比的意义，比与分数、除法之间的联系。
2.化简比，用比的知识解决生活中的实际问题。
（二）教学重难点
用比的意义解决按照一定的比进行分配的实际问题。
四、单元整合框架及说明
整合指导思想定位：
会用数学的眼光观察现实世界
会用数学的思维思考现实世界
会用数学的语言表达现实世界
这是数学课程的核心素养内涵。本单元第一课时分别是同类量和不同类量的比的意义的理解，最突出的核心素养是模型思想的感悟。第二课时比的基本性质，也是对比的本质属性的进一步探究。本节课在观察、猜想、验证、结论中完成了知识的探究过程，发展了学生的合情推理能力，同时建构了比、分数、除法之间的关系。第三课时，解决按比分配的问题。引导小学生获得解决这一类问题的方法，同时在图示分析问题的过程中也发展了几何直观能力。
组织本单元学习内容的思路如下：
本单元教材的具体编排结构如下：
（一）提供多种情境，经历从具体情境中抽象出比的意义的过程
比是数学中的一个重要的概念，而学生理解比的意义往往比较困难。教科书提供了大量情境，引发学生的思考与讨论，并在此基础上抽象出比的概念，使学生体会引入比的必要性以及比在生活中的广泛应用。
教材从几何的角度探究“长方形的长与宽有什么关系”,引入比，体会引入比的必要性；借助多个生活情境多角度解释比，并逐步抽象出比的意义，让学生感受比产生的实际背景，理解比的意义。
（二）运用画图和列表的方式解决问题，提高学生分析问题和解决问题的能力
在学习按一定比进行分配的实际问题中,教材设计了利于引导学生思考和交流的问题，鼓励尝试多种解决问题的方法和策略。
五、单元课时规划
单元划分依据 □课程标准 教材章节 □知识结构
课程内容模块 数与代数 □图形与几何 □统计与概率 □综合与实践
单元数量 6
单元主题 单元名称 主要内容 课时
数与代数 比的认识 生活中的比 1
比的化简 1
比的应用 1
重点渗透的数学思想方法 抽象 符号化 □分类 □集合 对应 □演绎 归纳 类比 □转化 □数形结合 □极限 模型 □方程 □函数 □统计 分析 综合 比较 □假设 □其他
课时 学习目标 评价形式 评价标准
6.1《生活中的比》 目标： 经历从具体情境中抽象出比的过程，理解比的意义。能正确读写比，会求比值，理解比与除法、分数的关系。能利用比的知识解释一些简单的生活问题。 任务一：观察图片，找出与图A比较像的图片 → 任务二：图片长和宽的关系 → 任务三：认识比 → 任务四：生活中的比 → 任务五：说一说下面各比的意义 → 任务六：比比谁的速度快？哪种苹果最便宜？→ 任务七：比与分数、除法的关系 → 1.观察图片，能说出哪张图片与A最相像。 2.通过测量图片的长与宽，能发现并总结长和宽之间的关系。 3.结合具体的例子，知道比的数学意义、读写方法、各部分的名称，以及求比值。 4.能举出生活中的比，体会比与生活的广泛联系。 5.结合具体的情境解释比的含义，知道这两个比都是同类量的比。 6.知道通过比较比值，就可以比较速度和单价。 7.回忆过去学习分数和除法的过程，并结合具体的例子，分析初比与分数、除法之间的关系。
6.2《比的化简》 目标： 实际情境中，体会化简比的必要性，进一步体会比的意义。会运用商不变的规律和分数的基本性质化简比，并能解决相应的简单实际问题。 任务一：比较哪杯水更甜 → 任务二：观察相等的比，尝试写出相等的比 → 任务三：化简比 → 1.通过蜂蜜与水的体积比来比较出哪杯更甜，体会化简比的必要性。 2.能够在化简比的过程中理解比的基本性质与商不变的规律、分数的基本性质具有等价性。 3.总结出比的化简步骤与根据。
6.3《比的应用》 目标： 在解决问题的过程中，进一步体会比的意义。能用比的意义解决有关按比分配的实际问题，提高解决问题的能力。 任务一：探究合理的分配方法 → 任务二：按3:2分配橘子 → 任务三：把140个橘子按 3:2分一分 → 任务四：解决问题 → 1.理解“怎么分合理”的含义，说出怎么分合理：按1班和2班人数的比来分比较合理。 2.借助列表法，理解3:2分的含义。 3.探索解决按比分配的实际问题，独立思考如何将140个橘子按3:2分配。 4.借助画图来描述和分析问题，并得出正确结果。
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生活中的比
北师大版六年级上册
教学目标
1.体会认识比的重要性，理解比的意义。
2.能正确读写比，会求比值，理解比与除法、分数的关系。
3.能利用比的知识解释一些简单的生活问题，感受比在生活中的广泛应用。
新知导入
1.将除法改写成分数，分数改成除法，然后再填一填。
4÷5= 7÷3= = =
3
2
7
6
4
5
7
3
3÷2
7÷6
分数
除法
联 系 区 别
分子
分数线
分母
被除数
除号
除数
是一种数
是一种运算
新知导入
2.解决问题。
①一个长方形，长5厘米，宽3厘米，长是宽的几分之几？
②一辆汽车4小时行驶320千米，平均每小时行多少千米？
5÷3=
5
3
320÷4=80（千米）
上面的两道题都是应用数量间的相除关系解决问题的，它是一种比较两个数量关系的常见方法。
新知讲解
A
B
C
D
E
有的照片被拉长，有的被拉宽了。
还有的放大或缩小了。
新知讲解
A
B
C
D
E
观察上面的图片，哪几张图片与图A比较像？
与图A比较像
太胖了
又太瘦了
还是图B和图D像。
新知讲解
A
B
C
D
E
思考：
这些长方形的照片，你觉得哪些看起来更美观、更舒服些？
还是图B和图D。
新知讲解
思考：
1.一个方格的边长为1，先标出每个图形的长和宽。
2.观察这些图片的长与宽分别与A的长和宽有什么关系？
新知讲解
6
4
3
2
12
8
B的长和宽分别是A的长和宽的 。
1
2
D的长和宽分别是A的长和宽的2倍。
新知讲解
将图A的长缩小到原来的 ，宽扩大到原来的2倍，得到图C。
1
2
将图A的长扩大到原来的2倍，宽缩小到原来的 ，得到图E。
1
2
新知讲解
2÷4=
1
2
3÷6=
1
2
B的长和宽分别是A的长和宽的 。
1
2
8÷4=2
12÷6=2
D的长和宽分别是A的长和宽的2倍。
图B、D的长和宽与A比，同时扩大和缩小了相同的倍数。
新知讲解
当长方形的长是宽的1.5倍，宽是长的 时最美，所以在日常生活中许多长方形的物体的长和宽都存在着这种关系。
2
3
新知讲解
你知道吗？
十七世纪，数学家莱布尼茨认为，两个量的比，包含有除的意思，但又不能占用÷，于是他把除号中的小横线去掉，于是“ : ”就成了比号。
新知讲解
两个数相除又叫做两个数的比。
如，6÷4可以写作6 : 4，读作6比4。
…
比号
6 : 4
＝6 ÷ 4
＝1.5
…
前
项
…
后
项
…
比
值
6
4
＝
比的前项除以后项所得的商叫比值，比值常用分数表示，也可用小数、整数表示。
比表示两个数的关系，而比值表示一个数。
新知讲解
说一说：
你能联系实际说说生活中有哪些比吗？与同伴说说。
我们班男生与女生的人数比是23：22。
老师与学生的人数比是1：45。
像这种相比的两个量是同类的量，叫做同类量比。
新知讲解
说说下面各比的含义。
1比2表示1份甘蔗汁2份水，2份甘蔗汁4份水。
6比3表示树高是影子的2倍，影长是树高的 。
1
2
新知讲解
填一填，说一说。
路程 时间 路程与 时间的比 速度
马拉松选手 40km 2时
骑车人 45km 3时
（1）谁快？
40:2
45:3
20千米/时
15千米/时
任务：
请翻开课本第70页，完成第一个表格，比一比谁快？
马拉松选手的速度快。
新知讲解
填一填，说一说。
（2）哪种苹果最便宜？
品种 总价 数量 总价与 数量的比 单价
A 9元 2kg
B 15元 3kg
C 12元 3kg
9:2
15:3
4.5元/千克
5元/千克
任务：
请翻开课本第70页，完成第二个表格，比一比谁快？
12:3
4元/千克
C种苹果最便宜。
新知讲解
思考：
想一想，比与分数、除法的关系？与同伴交流。
6 : 4
6
4
＝
＝6 ÷ 4
＝1.5
新知讲解
6 : 4
6
4
＝
＝6 ÷ 4
＝1.5
联 系 区 别
除法
分数
比
被除数
除数
÷（除号）
商
分子
分母
分数值
（分数线）
前项
后项
:（比号）
比值
不能为0。
课堂练习
基础题：
1.根据信息写出比。
一本书看了13页，还剩72页。
（1）看了的与没有看的页数比是（ ）。
（2）没有看的与看了的页数比是（ ）。
（3）看了的与一本书的总页数的比是（ ）。
（4）没有看的与一本书的总页数的比是（ ）。
13:72
72:13
13:85
72:85
课堂练习
基础题：
2.求比值。
24:36
0.32:0.4
:
1
2
1
3
2
3
0.8
3
2
课堂练习
提高题：
3.在方格图中画出两个不同的三角形，使它们各自的底和高的比都是3:2。
底
高
底
高
课堂练习
拓展题：
4.在一道减法算式里，减数是被减数的 ，差与减数的比是多少？
4
9
减数是被减数的
4
9
减数与被减数的比是4:9
减数占4份，被减数占9份
差：9－4=5
答：差与减数的比是5:4。
课堂总结
通过今天的学习，你有哪些收获？
我认识了比，知道了比各部分的名称。
我还会求比值，知道了比和分数、除法的联系与区别。
板书设计
生活中的比
两个数相除又叫做两个数的比。
6 : 4
6
4
＝
＝6 ÷ 4
＝1.5
…
前
项
…
后
项
…
比
值
读作：六比四
…
比
号
课堂练习
【知识技能类作业】
必做题：
1.写出各杯中盐与水的质量比。（单位：克）
( ) ( ) ( ) ( )
10：60
5：20
15：90
10：100
作业布置
【知识技能类作业】
必做题：
2.填一填。
路程 时间 路程与 时间的比 速度
自行车 120km 8时
摩托车 135km 3时
汽车 110km 2时
120:8
15千米/时
135:3
45千米/时
110:2
55千米/时
作业布置
【知识技能类作业】
选做题：
1.看图写出比。（单位：厘米）
3
5
底与高的比是（ ）。
面积与高的比是（ ）。
面积与底的比是（ ）。
5:3
7.5:3
7.5:5
作业布置
【知识技能类作业】
选做题：
2.一批零件的合格率是99%，那么合格的产品数与不合格的产品数的比是多少？比值是多少？
99%：（1－99%）
=99%：1%
=99:1
=99
答：合格的产品数与不合格的产品数的比是99:1，比值是99。
作业布置
找一找生活中的比，说说比的意义。
【综合实践类作业】
谢谢
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6.1生活中的比 教学设计
一、教学目标
1.学习目标描述：经历从具体情境中抽象出比的过程，体会认识比的重要性，理解比的意义。能正确读写比，会求比值，理解比与除法、分数的关系。能利用比的知识解释一些简单的生活问题，感受比在生活中的广泛应用。
2.学习内容分析：学生已经学过分数的意义及分数与除法的关系、百分数的意义及应用，这些都为学生学习比奠定了基础。教科书结合“哪几张图片与图A比较像”，从几何的角度探究“长方形的长与宽有什么关系”，引入比，体会引入比的必要性；借助“甘蔗汁”“树高和影长”“速度”“苹果价格”等现实背景，进一步理解比，感受比与生活的广泛联系；同时理解比的数学意义，探索比与除法、分数等的密切联系。主情境呈现5张有趣的图片、利于学生通过数形结合探索长方形之间的关系感受比产生的必要性。
3.学科核心素养分析：体会引入比的必要性，能利用比的知识解释一些简单的生活问题， 感受比在生活中的广泛存在，激发学生学习数学的兴趣，感受学习数学的价值，增强学生的应用意识。
二、教学重难点
1.重点：理解比的意义，了解比的各部分的名称，比与分数、除法的关系。
2.难点：理解比的意义。
三、教学过程
教学目标 教学活动 设计意图 效果评价
导入新课 1.复习旧知（1）将除法改写成分数，分数改成除法，然后再填一填。4÷5= 7÷3= = = （2）解决问题。①一个长方形，长5厘米，宽3厘米，长是宽的几分之几？②一辆汽车4小时行驶320千米，平均每小时行多少千米？2.导入新课师：上面的两道题都是应用数量间的相除关系解决问题的，它是一种比较两个数量关系的常见方法。今天我们继续学习一种新的比较方法，叫做比。板书课题：生活中的比 通过复习旧知，检查学生掌握知识的情况，同时为后面学习新的方法打基础。通过交流激起学生的求知欲，为后面学习新的知识奠定基础。 教师观察学生的活动参与程度和提取已有知识经验的能力，给予及时的鼓励与表扬。
获取新知 任务一：观察图片，找出与图A比较像的图片师：同学们，老师今天带来了淘气小时候的照片。课件出示： 师：你发现什么了？ 学生独自观察，然后回答：有的照片被拉长，有的被拉宽了，还有的放大或缩小了。 师：观察上面的图片，哪几张图片与图A比较像？ 学生：图B和图D与图A比较像。 师：图C和图E呢？ 学生：图C太胖了，图E又太瘦了，还是图B和图D像。师：这些图片都是什么形状？学生：长方形。师：这些长方形的照片，你觉得哪些看起来更美观、更舒服些？学生自由说说：还是图B和图D。 通过初步的观察、交流，初步感受像与不像，同时吸引学生的注意力，激发学生观察的兴趣。 老师通过提问了解学生情况，观察同学是否掌握本环节内容给予及时的鼓励与指导。
任务二：图片长和宽的关系师：刚才我们用眼睛直接判断出像与不像，究竟是否准确呢？怎样才能判断呢？我们能否找到一种量化的方法呢？为了便于研究，我们把这几个长方形放在方格中，利用附页中的图2一起来研究一下。课件出示：→师：照片像不像，好看不好看，与长方形的长和宽有关系吗？接下来分小组探究。课件出示——学习提示：1.一个方格的边长为1，先标出每个图形的长和宽。2.观察这些图片的长与宽分别与A的长和宽有什么关系？学生分组交流，师巡视指导。师：谁来说说你们的发现？学生1：我发现B的长和宽分别是A的长和宽的。学生2：我发现D的长和宽分别是A的长和宽的2倍。师：图C和图E呢？学生1：将图A的长缩小到原来的，宽扩大到原来的2倍，得到图C。学生2：将图A的长扩大到原来的2倍，宽缩小到原来的，得到图E。师：通过比较，大家发现这些照片像与不像的秘密了吗？学生1：图B、D的长和宽与A比，同时扩大和缩小了相同的倍数。学生2：6÷4=1.5，3÷2=1.5，12÷8=1.5，我还发现A、B、D的长都是宽的1.5倍。学生3：4÷6=，2÷3=，8÷12=，A、B、D的宽都是长的，所以它们比较像。师：当长方形的长是宽的1.5倍，宽是长的时最美，所以在日常生活中许多长方形的物体的长和宽都存在着这种关系。课件出示： 布置小组合作学习任务，将学习的主动权完全交给学生，让学生在交流、合作中利用已有的知识探究，不仅学习了新知，还让学生获得成功的体验，提高学习的积极性。 通过学生的活动，检查学生掌握知识的情况，并给予及时的鼓励与指导。
任务三：认识比师：在刚才的几个实例中，我们都用除法对两个数进行了比较。其实，用除法对两个数量进行比较时，还有一种新的表示方法——比。课件出示：十七世纪，数学家莱布尼茨认为，两个量的比，包含有除的意思，但又不能占用÷，于是他把除号中的小横线去掉，于是“ : ”就成了比号。学生了解比和比号的来源。师举例：比如长方形A中长除以宽即6÷4，也可以表示为长与宽的比是6:4，读作6比4。“：”叫做比号，6是这个比的前项，4是这个比的后项，6:4表示两个数相除，所以还可以写成分数形式，6÷4所得的商1.5是这个比的比值。根据老师举例课件出示：两个数相除，又叫作这两个数的比。师揭示：比的前项除以后项所得的商叫比值，比值常用分数表示，也可用小数、整数表示。师：比和比值有什么不同？学生自由说说。引导学生得出：比表示两个数的关系，而比值表示一个数。 借助前面的知识引入比，让学生进一步认识比和理解比的意义以及各部分的名称，注意引导学生体验知识的形成过程，调动了学生学习的积极性，启发了学生打开思路想问题。 老师通过介绍比的相关知识，观察同学是否掌握本环节内容给予及时的鼓励与指导。
任务四：生活中的比师：你能联系实际说说生活中有哪些比吗？与同伴说说。同伴相互说说。师：谁来说说？学生1：我们班男生与女生的人数比是23：22。学生2：老师与学生的人数比是1：45。……师：像这种相比的两个量是同类的量，叫做同类量比。 通过说一说，不仅检查学生掌握知识的情况，同时还让学生感受到数学与生活 的紧密联系。 老师通过让学生说一说，观察同学是否掌握本环节内容给予及时的鼓励与指导。
试一试 任务五：说一说下面各比的意义课件出示：师：说说上面各比的含义。学生独自思考，然后自由说说。学生1：1比2表示1份甘蔗汁2份水，2份甘蔗汁4份水。学生2：6比3表示树高是影子的2倍，影长是树高的。 通过说一说，让学生进一步明确比的实际意义，帮助学生理解并掌握比的意义。 老师通过让学生说一说，观察同学是否掌握本环节内容给予及时的鼓励与指导。
任务六：比比谁的速度快？哪种苹果最便宜？师：比不仅可以表示同类的量，还可以表示不同类量。课件出示：填一填，说一说。（1）谁快？ 师：从表中知道了什么数学信息？学生能够自由说说。师：怎样求速度？学生：速度=路程÷时间。师：速度又可以说成谁和谁的比？学生：速度又可以说成路程和时间的比。师：请翻开课本第70页，完成第一个表格，比一比谁快？学生独自完成，然后集体展示反馈。 师：老师这里有三种苹果的价钱情况。课件出示：（2）哪种苹果最便宜？师：从表中知道了什么数学信息？学生能够自由说说。 师：能不能直接比较哪种苹果最便宜？学生：不能。师：怎样才能比较？学生：可以算出单价，然后再比较。师：那么怎么求单价？学生：单价=总价÷数量。师：也就是说苹果的单价是谁和谁的比？学生：是总价和数量的比。师：请翻开课本第70页，完成第二个表格，比一比谁快？学生独自完成，然后集体展示反馈。 借助教材提供的实例，让学生借助学习的知识解决问题，不仅让学生感受到比在生活的广泛应用，还提高了学生运用知识解决问题的能力。 教师观察学生的活动参与程度和提取已有知识经验的能力，给予及时的鼓励与表扬。
任务七：比与分数、除法的关系师：想一想，比与分数、除法的关系？与同伴交流。课件出示：6:4=6÷4==1.5同伴相互交流，师巡视指导，然后展示反馈：师：在比里，该对哪项作出规定呢？学生：比的后项不能为0。师：为什么？谁来说说？学生1：比的后项相当于除数，除数不能为0，所以比的后项不能为0。学生2：比的后项还相当于分母，分母不能为0，所以比的后项不能为0。 通过比较比与分数、除法的关系，将新旧知识有机地融合起来，同时也让学生进一步感受“比”和除法、分数的联系，帮助形成完整的知识框架，提高学生学习的欲望。 老师通过让学生比一比、说一说，观察同学是否掌握本环节内容给予及时的鼓励与指导。
迁移运用 任务六：课堂练习基础题：1.根据信息写出比。一本书看了13页，还剩72页。（1）看了的与没有看的页数比是（ ）。（2）没有看的与看了的页数比是（ ）。（3）看了的与一本书的总页数的比是（ ）。（4）没有看的与一本书的总页数的比是（ ）。2.求比值。 引导学生能够在课堂练习的完成过程中对要点知识加深巩固，有效应用。 分层挑选学生的作答，及时了解不同层次学生的课堂效果，收集本节课学生知识吸收的反馈信息。
提高题：3.在方格图中画出两个不同的三角形，使它们各自的底和高的比都是3:2。
拓展题：4.在一道减法算式里，减数是被减数的 ，差与减数的比是多少？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题：1.写出各杯中盐与水的质量比。（单位：克）（ ）（ ） （ ） （ ）2.填一填。选做题：1.看图写出比。（单位：厘米）2.一批零件的合格率是99%，那么合格的产品数与不合格的产品数的比是多少？比值是多少？【综合实践类作业】找一找生活中的比，说说比的意义。
板书设计 生活中的比两个数相除又叫做两个数的比。
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