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《比的认识》单元整体设计
一、单元主题解读
（一）课程标准要求分析
《比的认识》单元是数与代数领域第三学段“数量关系”中的重要内容。《数学课程标准》在“内容要求”中指出：“在实际情境中理解比和比例以及按比例分配的含义，能解决简单的问题。能运用常见的数量关系解决实际问题，能合理解释结果的实际意义，逐步形成模型意识和几何直观，提高解决问题的能力。”在“学业要求”中指出：“能在具体情境中判断两个量的比，会计算比值，理解比值相同的量，能解决按比例分配的简单问题。”
（二）单元教材内容分析
本单元是在学生学习了除法的意义、分数的意义、分数与除法的关系的基础上进行教学的。《生活中的比》一课教材结合系列情境，概括比的意义，介绍比的读写及其各部分名称，然后引导学生思考比与除法、分数的联系。在《比的化简》一课教材让学生在解决问题的过程中，运用比、除法、分数之间的关系对小数比、分数比、整数比进行化简。《比的应用》一课实际上就是“按比例分配”的内容，教材结合具体的实例，引导学生学会应用不同的策略解决这类实际问题。
单元学习内容的前后联系：
（三）学生认知情况
学生已经学过分数的意义及分数与除法的关系、百分数的意义及应用，这些都为学生学习比奠定了基础，但学生对比的意义的理解往往比较困难。有的学生在生活中已经接触或使用过比，并有一些相关的活动经验，但对学生来说，他们对比的理解仅仅停留在形式上。所以，本单元的学习难点是使学生真正理解比的意义。因此，在设计中密切联系学生已有的生活经验和学习经验，设计了系列情境，教学力求通过具体的材料，使学生在丰富的学习背景中逐步体会比的意义的价值。
二、单元目标拟定
1.经历从具体情境中抽象出比的过程，体会认识比的必要性，理解比的意义及其与除法、分数的关系。
2.在实际情境中，体会化简比的必要性，会运用商不变性质或分数的基本性质化简比，并能解决一些实际问题。
3.能运用比的意义，解决按一定的比进行分配的实际问题，感受比在生活中的广泛应用。
三、关键内容确定
（一）教学重点
1.理解掌握比的意义，比与分数、除法之间的联系。
2.化简比，用比的知识解决生活中的实际问题。
（二）教学重难点
用比的意义解决按照一定的比进行分配的实际问题。
四、单元整合框架及说明
整合指导思想定位：
会用数学的眼光观察现实世界
会用数学的思维思考现实世界
会用数学的语言表达现实世界
这是数学课程的核心素养内涵。本单元第一课时分别是同类量和不同类量的比的意义的理解，最突出的核心素养是模型思想的感悟。第二课时比的基本性质，也是对比的本质属性的进一步探究。本节课在观察、猜想、验证、结论中完成了知识的探究过程，发展了学生的合情推理能力，同时建构了比、分数、除法之间的关系。第三课时，解决按比分配的问题。引导小学生获得解决这一类问题的方法，同时在图示分析问题的过程中也发展了几何直观能力。
组织本单元学习内容的思路如下：
本单元教材的具体编排结构如下：
（一）提供多种情境，经历从具体情境中抽象出比的意义的过程
比是数学中的一个重要的概念，而学生理解比的意义往往比较困难。教科书提供了大量情境，引发学生的思考与讨论，并在此基础上抽象出比的概念，使学生体会引入比的必要性以及比在生活中的广泛应用。
教材从几何的角度探究“长方形的长与宽有什么关系”,引入比，体会引入比的必要性；借助多个生活情境多角度解释比，并逐步抽象出比的意义，让学生感受比产生的实际背景，理解比的意义。
（二）运用画图和列表的方式解决问题，提高学生分析问题和解决问题的能力
在学习按一定比进行分配的实际问题中,教材设计了利于引导学生思考和交流的问题，鼓励尝试多种解决问题的方法和策略。
五、单元课时规划
单元划分依据 □课程标准 教材章节 □知识结构
课程内容模块 数与代数 □图形与几何 □统计与概率 □综合与实践
单元数量 6
单元主题 单元名称 主要内容 课时
数与代数 比的认识 生活中的比 1
比的化简 1
比的应用 1
重点渗透的数学思想方法 抽象 符号化 □分类 □集合 对应 □演绎 归纳 类比 □转化 □数形结合 □极限 模型 □方程 □函数 □统计 分析 综合 比较 □假设 □其他
课时 学习目标 评价形式 评价标准
6.1《生活中的比》 目标： 经历从具体情境中抽象出比的过程，理解比的意义。能正确读写比，会求比值，理解比与除法、分数的关系。能利用比的知识解释一些简单的生活问题。 任务一：观察图片，找出与图A比较像的图片 → 任务二：图片长和宽的关系 → 任务三：认识比 → 任务四：生活中的比 → 任务五：说一说下面各比的意义 → 任务六：比比谁的速度快？哪种苹果最便宜？→ 任务七：比与分数、除法的关系 → 1.观察图片，能说出哪张图片与A最相像。 2.通过测量图片的长与宽，能发现并总结长和宽之间的关系。 3.结合具体的例子，知道比的数学意义、读写方法、各部分的名称，以及求比值。 4.能举出生活中的比，体会比与生活的广泛联系。 5.结合具体的情境解释比的含义，知道这两个比都是同类量的比。 6.知道通过比较比值，就可以比较速度和单价。 7.回忆过去学习分数和除法的过程，并结合具体的例子，分析初比与分数、除法之间的关系。
6.2《比的化简》 目标： 实际情境中，体会化简比的必要性，进一步体会比的意义。会运用商不变的规律和分数的基本性质化简比，并能解决相应的简单实际问题。 任务一：比较哪杯水更甜 → 任务二：观察相等的比，尝试写出相等的比 → 任务三：化简比 → 1.通过蜂蜜与水的体积比来比较出哪杯更甜，体会化简比的必要性。 2.能够在化简比的过程中理解比的基本性质与商不变的规律、分数的基本性质具有等价性。 3.总结出比的化简步骤与根据。
6.3《比的应用》 目标： 在解决问题的过程中，进一步体会比的意义。能用比的意义解决有关按比分配的实际问题，提高解决问题的能力。 任务一：探究合理的分配方法 → 任务二：按3:2分配橘子 → 任务三：把140个橘子按 3:2分一分 → 任务四：解决问题 → 1.理解“怎么分合理”的含义，说出怎么分合理：按1班和2班人数的比来分比较合理。 2.借助列表法，理解3:2分的含义。 3.探索解决按比分配的实际问题，独立思考如何将140个橘子按3:2分配。 4.借助画图来描述和分析问题，并得出正确结果。
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比的化简
北师大版六年级上册
教学目标
1.体会化简比的必要性，进一步体会比的意义。
2.会运用商不变的规律和分数的基本性质化简比，并能解决相应的简单实际问题。
3.体验知识的相通性以及数学与生活的联系，激发学生学习数学的兴趣。
新知导入
1.比与除法、分数之间的联系和区别是什么？
联 系 区 别
除法
分数
比
被除数
除数
÷（除号）
商
分子
分母
分数值
（分数线）
前项
后项
:（比号）
比值
新知导入
2.看图写出比，并求出比值。（单位：厘米）
5
3
长与宽的比是（ ），比值是（ ）。
长与面积的比是（ ），比值是（ ）。
宽与面积的比是（ ），比值是（ ）。
5：3
5
3
5：15
1
3
3：15
1
5
新知讲解
调制这杯蜂蜜水用了3小杯蜂蜜、12小杯水。
调制这杯蜂蜜水用了4小杯蜂蜜、16小杯水。
哪杯水更甜？说说你是怎么想的？
12÷3=4
16÷4=4
两杯水一样甜。
新知讲解
说一说：
12÷3、16÷4表示什么？
12÷3=4
16÷4=4
两杯中的水都是蜂蜜的4倍。
表示平均1小杯蜂蜜用4小杯水。
新知讲解
思考：
怎么做才能让这两个比都变成是1小杯蜂蜜呢？运用以前学习的知识试试。
3:12
4:16
3
12
=
1
4
=
=1:4
4
16
=
1
4
=
=1:4
所以两杯水一样甜。
新知讲解
观察笑笑写的相等的比，你能找到规律吗？
1∶2＝ 10∶20
4∶12＝ 1∶3
×10
×10
÷4
÷4
比的前项和后项同时乘10，比值的大小不变。
比的前项和后项同时除以4，比值的大小不变。
新知讲解
1∶2＝ 10∶20
4∶12＝ 1∶3
×10
×10
÷4
÷4
学习任务：
照这样的规律，你也能写出一组相等的比吗？
比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数，比值的大小不变。
相同的数可以是0吗？
新知讲解
比的后项不能为0，所以不能乘或除以0。
比的前项和后项同时乘或除以同一个不为0的数，比值的大小不变。
和我们以前学习的商不变的规律、分数的基本性质一样。
这就是比的基本性质。
新知讲解
分数可以约分，比也可以化简。
分 数
最简分数
约分
比
最简比
化简
分子、分母只含有公因数1的分数。
通常情况下比的前项、后项只有公因数1，这样的整数比就是最简整数比。
新知讲解
分数可以约分，比也可以化简，你能化简下面的比吗？
24：42
2
5
：
1
4
0.7：0.8
学习任务：
尝试化简，并与同伴交流每一步是如何得到的。
新知讲解
根据比和分数之间的关系
24∶42
＝
24
42
＝
4
7
=4：7
根据比的基本性质
24∶42
=（24÷6）：（42÷6）
=4：7
新知讲解
化简整数比：可以先写成分数，然后再化简；或者用前项和后项的最大公因数直接除。
新知讲解
根据比和分数之间的关系
2
5
∶
1
4
＝
2
5
＝
2
5
÷
1
4
×
4
＝
8
5
＝8：5
根据比的基本性质
2
5
∶
1
4
=（ ×20）：（ ×20）
2
5
1
4
＝8：5
新知讲解
化简分数比：先写成除法，按照分数除法的计算方法计算；或先化成整数比，再化成最简整数比。
新知讲解
根据比的基本性质
0.7：0.8
＝7÷8
＝7：8
＝（0.7×10）÷（0.8×10）
化简小数比：先化成整数比，再化成最简整数比。
新知讲解
思考：
化简比和求比值一样吗？
化简比
还是一个比，是一个最简整数比。
结果
求比值
结果
一个数
课堂练习
基础题：
1.找出最简整数比。
18：24
3:4
9:12
课堂练习
基础题：
1.找出最简整数比。
0.12：0.36
12:36
1:3
课堂练习
基础题：
1.找出最简整数比。
：
3:4
6:8
3
8
1
2
课堂练习
基础题：
2.按要求填一填。
（1）育才小学的操场长120米，宽70米，这个长方形的长与宽的比是（ ）。
（2）一辆汽车4小时行驶320千米，这辆汽车行驶的路程和时间的比是（ ）。
（3）把1平方米：250平方分米化成最简整数比是（ ），比值是（ ）
12:7
80:1
2:5
2
5
课堂练习
提高题：
3.一段路有3千米，甲用23分钟走完，乙用34分钟走完。
（1）写出甲乙两人走完全程的时间比，并化简。
（2）写出甲乙两人的速度比，并化简。
23:34
3
23
:
3
34
=34:23
课堂练习
拓展题：
4.一项工程，甲单独做4小时完成，乙单独做5小时完成，甲乙工作效率比是多少？比值是多少？
把这项工程看做整体“1”。
甲的工作效率：
1÷4=
1
4
乙的工作效率：
1÷5=
1
5
1
4
1
5
：
=5:4
=
5
4
答：甲乙工作效率比是5:4，比值是 。
5
4
课堂总结
通过今天的学习，你有哪些收获？
我知道了比的基本性质。
我还能根据比的基本性质化简比了。
板书设计
比的化简
比的性质：比的前项和后项同时乘或除以同一个不为0的数，比值不变。
整数比
分数比 化简 最简整数比
小数比
课堂练习
【知识技能类作业】
必做题：
1.填一填。
（1）（ ）：24= =12÷（ ）=
（2）明明用36元钱买了4本书，用的钱数与买的数量的最简整数比是（ ），比值是（ ），这个比值表示（ ）。
（3）4:7的前项变成8，要使比值不变，后项应乘（ ）；如果前项加上8，要使比值不变，后项应加上（ ）。
9
2
3
8
27
（ ）
32
72
9：1
9
书的单价
14
作业布置
【知识技能类作业】
必做题：
2.化简比并求比值。
0.4:1.8 34:51 ： 40分：1小时
1
3
3
5
=2:9
=
2
9
=2:3
=
2
3
=5:9
=
5
9
=2:3
=
2
3
=40:60
作业布置
【知识技能类作业】
选做题：
1.判断。
（1）化简比的依据是比的基本性质，求比值的依据是比的意义。 （ ）
（2）比值是1.2的整数比只有一个。 （ ）
（3）化简比就是求比值。 （ ）
（4）比化简后，比值将变小。 （ ）
√
×
×
×
作业布置
【知识技能类作业】
选做题：
2.一项工作，甲单独完成需要6小时，甲乙合作2小时就可以完成，甲乙两人的工作效率比是多少？
1
2
1
6
－
=
1
3
1
6
1
3
：
=1:2
答：甲乙两人的工作效率比是1:2。
作业布置
量一量自己的身高，再量一量从脚到肚脐的高度，写出从脚到肚脐的高度与身高的最简整数比；再量一量爸爸、妈妈的情况，比一比，你发现了什么？
【综合实践类作业】
谢谢
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6.2 比的化简 教学设计
一、教学目标
1.学习目标描述：在实际情境中，体会化简比的必要性，进一步体会比的意义。会运用商不变的规律和分数的基本性质化简比，并能解决相应的简单实际问题。
2.学习内容分析：本节课是在学生认识了比，知道比与分数、除法的关系，学会求比值，并能用比的知识解释一些简单的生活问题的基础上进行教学的。本节的知识点将为学生学习比的应用打下基础也为以后学习比例做好铺垫。教材提供了一个“调制蜂蜜水”的活动，让学生在解决“哪杯水更甜”这个问题的过程中，加深对比的意义的理解，进一步感受比、除法、分数之间的关系，体会化简比的必要性，学会化简比的方法。教材根据比与分数、除法之间的关系，利用商不变的性质或分数的基本性质来化简比。通过笑笑与淘气的观察和发现，介绍了比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以同一个不为0的数，比值的大小不变，但是并没有明确这就是比的基本性质，这是因为利用商不变的性质或分数的基本性质完全可以进行比的化简，也能推出比的基本性质。另外，让学生关注比与除法、分数之间的关系，比单纯地记忆结论更有价值。根据学生实际，教师引导学生发现比的基本性质，并能运用自己的语言加以描述，但不明确这就是比的基本性质。
3.学科核心素养分析：在自主探究中促进知识迁移，培养学生的探究能力。同时体验知识的相通性以及数学与生活的联系，激发学生学习数学的兴趣，感受学习数学的价值，增强学生的应用意识。
二、教学重难点
1.重点：掌握化简比的方法。
2.难点：解决一些简单的实际问题。
三、教学过程
教学目标 教学活动 设计意图 效果评价
导入新课 1.复习旧知（1）比与除法、分数之间的联系和区别是什么？（2）看图写出比，并求出比值。 2.导入新课师：我们学过了商不变的性质、分数的基本性质，还学习了利用分数的基本性质化简分数。这节课，我们就在此基础上学习比的基本性质和化简。板书课题：比的化简 通过复习旧知，检查学生掌握知识的情况，同时为后面学习新的知识奠定基础。 通过交流直接引入新课，调动学生学习的兴趣，同时感受数学与生活的紧密联系。 教师观察学生的活动参与程度和提取已有知识经验的能力，给予及时的鼓励与表扬。
获取新知 任务一：比较哪杯水更甜师：有两位小朋友课前分别调制好了两杯蜂蜜水。课件出示：师：从图中你能获取什么数学信息？学生独自观察，然后自由说说。师：哪杯水更甜？和同伴说说你是怎么想的？同伴相互交流，师巡视指导。师：谁来说说？学生：两杯水一样甜。师：你是怎么知道的？学生展示：12÷3=4 16÷4=4师：12÷3、16÷4表示什么？学生1：两杯中的水都是蜂蜜的4倍。学生2：表示平均1小杯蜂蜜用4小杯水。师：说的真好！那么你能用蜂蜜和水的比也来算算平均1小杯蜂蜜用几小杯水吗？学生尝试写出比：3:12 4:16师：怎么做才能让这两个比都变成是1小杯蜂蜜呢？运用以前学习的知识试试。 学生独自尝试，然后自由交流。反馈：3:12===1:44:16===1:4两杯蜂蜜水中蜂蜜与水的比都是1∶4，所以两杯水一样甜。 通过解决“哪杯水更甜”这个问题，加深学生对比的意义的理解，进一步感受比与分数、除法之间的关系，培养学生运用知识解决问题的能力。 老师通过提问了解学生情况，观察同学是否掌握本环节内容给予及时的鼓励与指导。
任务二：观察相等的比，尝试写出相等的比师：观察笑笑写的相等的比，你能找到规律吗？课件出示：1:2=10:20 4:12=1:3学生独自观察，然后自由说说。学生：我发现比的前项和后项同时乘10，比值的大小不变。根据学生的回答，课件出示：师：第二组比呢？学生：我发现比的前项和后项同时除以4，比值的大小不变。根据学生的回答，课件出示：师：照这样的规律，你也能写出一组相等的比吗？学生尝试写一写，然后展示：8：4=2：1 9:27=3：1 ……师：你能用一句话概括一下你的发现吗？学生：比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数，比值的大小不变。师：相同的数可以是0吗？学生：比的后项不能为0，所以不能乘或除以0。师：现在你能完整的说说自己的发现吗？学生：比的前项和后项同时乘或除以同一个不为0的数，比值的大小不变。师：通过总结，你还发现了什么？学生：我发现和我们以前学习的商不变的规律、分数的基本性质一样。师：所以大家的发现，在数学中称之为比的基本性质。 通过观察帮助学生初步建立数学模型，然后通过写一写进一步感受数与数之间的关系，进一步理解比的基本性质，同时也感受到知识之间的互通性。 通过学生的活动，检查学生掌握知识的情况，并给予及时的鼓励与指导。
任务三：化简比师：分数可以约分，比也可以化简。在遇到分数时，要将分数约分成最简分数，比化简的最终结果我们称之为最简比。还记得什么叫最简分数吗？学生：分子、分母只含有公因数1的分数叫做最简分数。师：那你能根据最简分数和比与分数、除法的关系说一说什么叫做最简比吗？学生结合已有的知识经验自由说说。根据学生的回答，师小结：和分数一样，通常情况下比的前项、后项只有公因数1，这样的整数比就是最简整数比。那么怎么化简比呢？课件出示：分数可以约分，比也可以化简，你能化简下面的比吗？24:42 ： 0.7：0.8师：尝试化简，并与同伴交流每一步是如何得到的。学生尝试化简比，然后展示反馈。方法一：根据比和分数之间的关系：24:42===4:7方法二：根据比的基本性质24:42=（24÷6）：（42÷6）=4:7师：结合上面化简整数比的过程，谁能说说怎样化简整数比？学生自由说说。引导学生得出：化简整数比，可以先写成分数，然后再化简；或者用前项和后项的最大公因数直接除。师：分数比又是怎么化简的？学生展示反馈：方法一：根据比和分数之间的关系：=÷=×4==8:5方法二：根据比的基本性质：=（×20）：（×20）=8:5师：结合上面化简分数比的过程，你能说说怎样化简分数比？学生自由说说。引导学生得出：化简分数比，先写成除法，按照分数除法的计算方法计算；或先化成整数比，再化成最简整数比。师：小数比又该怎样化简呢？学生展示反馈：根据比的基本性质0.7：0.8=（0.7×10）÷（0.8×10）=7÷8=7:8师：怎样化简小数比？学生自由说说：化简小数比，先化成整数比，再化成最简整数比。师：化简比和求比值一样吗？学生根据自己的理解自由说说。根据学生的回答，师小结：化简比的结果还是一个比，是一个最简整数比；求比值的结果是一个数。 借助已有的知识经验认识最简整数比，让学生感受知识之间的相互联系，渗透类比思想。学生的学习经历了自主探究、交流、讨论的过程，有利于掌握比的化简的方法，培养学生解决问题的能力、观察能力，锻炼他们用数学语言表达的能力。 老师通过提问了解学生情况，观察同学是否掌握本环节内容给予及时的鼓励与指导。
迁移运用 任务四：课堂练习基础题：1.找出最简整数比。2.按要求填一填。（1）育才小学的操场长120米，宽70米，这个长方形的长与宽的比是（ ）。（2）一辆汽车4小时行驶320千米，这辆汽车行驶的路程和时间的比是（ ）。（3）把1平方米：250平方分米化成最简整数比是（ ），比值是（ ）。 引导学生能够在课堂练习的完成过程中对要点知识加深巩固，有效应用。 分层挑选学生的作答，及时了解不同层次学生的课堂效果，收集本节课学生知识吸收的反馈信息。
提高题：3.3.一段路有3千米，甲用23分钟走完，乙用34分钟走完。（1）写出甲乙两人走完全程的时间比，并化简。（2）写出甲乙两人的速度比，并化简。
拓展题：4.一项工程，甲单独做4小时完成，乙单独做5小时完成，甲乙工作效率比是多少？比值是多少？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题：1.填一填。（1）（ ）：24==12÷（ ）= （2）明明用36元钱买了4本书，用的钱数与买的数量的最简整数比是（ ），比值是（ ），这个比值表示（ ）。（3）4:7的前项变成8，要使比值不变，后项应乘（ ）；如果前项加上8，要使比值不变，后项应加上（ ）。2.化简比并求比值。0.4:1.8 34:51 ： 40分：1小时选做题：1.判断。（1）化简比的依据是比的基本性质，求比值的依据是比的意义。 （ ）（2）比值是1.2的整数比只有一个。 （ ）（3）化简比就是求比值。 （ ）（4）比化简后，比值将变小。 （ ）2.一项工作，甲单独完成需要6小时，甲乙合作2小时就可以完成，甲乙两人的工作效率比是多少？【综合实践类作业】量一量自己的身高，再量一量从脚到肚脐的高度，写出从脚到肚脐的高度与身高的最简整数比；再量一量爸爸、妈妈的情况，比一比，你发现了什么？
板书设计 比的化简比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以同一个不为0的数，比值不变。
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