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《比的认识》单元整体设计
一、单元主题解读
（一）课程标准要求分析
《比的认识》单元是数与代数领域第三学段“数量关系”中的重要内容。《数学课程标准》在“内容要求”中指出：“在实际情境中理解比和比例以及按比例分配的含义，能解决简单的问题。能运用常见的数量关系解决实际问题，能合理解释结果的实际意义，逐步形成模型意识和几何直观，提高解决问题的能力。”在“学业要求”中指出：“能在具体情境中判断两个量的比，会计算比值，理解比值相同的量，能解决按比例分配的简单问题。”
（二）单元教材内容分析
本单元是在学生学习了除法的意义、分数的意义、分数与除法的关系的基础上进行教学的。《生活中的比》一课教材结合系列情境，概括比的意义，介绍比的读写及其各部分名称，然后引导学生思考比与除法、分数的联系。在《比的化简》一课教材让学生在解决问题的过程中，运用比、除法、分数之间的关系对小数比、分数比、整数比进行化简。《比的应用》一课实际上就是“按比例分配”的内容，教材结合具体的实例，引导学生学会应用不同的策略解决这类实际问题。
单元学习内容的前后联系：
（三）学生认知情况
学生已经学过分数的意义及分数与除法的关系、百分数的意义及应用，这些都为学生学习比奠定了基础，但学生对比的意义的理解往往比较困难。有的学生在生活中已经接触或使用过比，并有一些相关的活动经验，但对学生来说，他们对比的理解仅仅停留在形式上。所以，本单元的学习难点是使学生真正理解比的意义。因此，在设计中密切联系学生已有的生活经验和学习经验，设计了系列情境，教学力求通过具体的材料，使学生在丰富的学习背景中逐步体会比的意义的价值。
二、单元目标拟定
1.经历从具体情境中抽象出比的过程，体会认识比的必要性，理解比的意义及其与除法、分数的关系。
2.在实际情境中，体会化简比的必要性，会运用商不变性质或分数的基本性质化简比，并能解决一些实际问题。
3.能运用比的意义，解决按一定的比进行分配的实际问题，感受比在生活中的广泛应用。
三、关键内容确定
（一）教学重点
1.理解掌握比的意义，比与分数、除法之间的联系。
2.化简比，用比的知识解决生活中的实际问题。
（二）教学重难点
用比的意义解决按照一定的比进行分配的实际问题。
四、单元整合框架及说明
整合指导思想定位：
会用数学的眼光观察现实世界
会用数学的思维思考现实世界
会用数学的语言表达现实世界
这是数学课程的核心素养内涵。本单元第一课时分别是同类量和不同类量的比的意义的理解，最突出的核心素养是模型思想的感悟。第二课时比的基本性质，也是对比的本质属性的进一步探究。本节课在观察、猜想、验证、结论中完成了知识的探究过程，发展了学生的合情推理能力，同时建构了比、分数、除法之间的关系。第三课时，解决按比分配的问题。引导小学生获得解决这一类问题的方法，同时在图示分析问题的过程中也发展了几何直观能力。
组织本单元学习内容的思路如下：
本单元教材的具体编排结构如下：
（一）提供多种情境，经历从具体情境中抽象出比的意义的过程
比是数学中的一个重要的概念，而学生理解比的意义往往比较困难。教科书提供了大量情境，引发学生的思考与讨论，并在此基础上抽象出比的概念，使学生体会引入比的必要性以及比在生活中的广泛应用。
教材从几何的角度探究“长方形的长与宽有什么关系”,引入比，体会引入比的必要性；借助多个生活情境多角度解释比，并逐步抽象出比的意义，让学生感受比产生的实际背景，理解比的意义。
（二）运用画图和列表的方式解决问题，提高学生分析问题和解决问题的能力
在学习按一定比进行分配的实际问题中,教材设计了利于引导学生思考和交流的问题，鼓励尝试多种解决问题的方法和策略。
五、单元课时规划
单元划分依据 □课程标准 教材章节 □知识结构
课程内容模块 数与代数 □图形与几何 □统计与概率 □综合与实践
单元数量 6
单元主题 单元名称 主要内容 课时
数与代数 比的认识 生活中的比 1
比的化简 1
比的应用 1
重点渗透的数学思想方法 抽象 符号化 □分类 □集合 对应 □演绎 归纳 类比 □转化 □数形结合 □极限 模型 □方程 □函数 □统计 分析 综合 比较 □假设 □其他
课时 学习目标 评价形式 评价标准
6.1《生活中的比》 目标： 经历从具体情境中抽象出比的过程，理解比的意义。能正确读写比，会求比值，理解比与除法、分数的关系。能利用比的知识解释一些简单的生活问题。 任务一：观察图片，找出与图A比较像的图片 → 任务二：图片长和宽的关系 → 任务三：认识比 → 任务四：生活中的比 → 任务五：说一说下面各比的意义 → 任务六：比比谁的速度快？哪种苹果最便宜？→ 任务七：比与分数、除法的关系 → 1.观察图片，能说出哪张图片与A最相像。 2.通过测量图片的长与宽，能发现并总结长和宽之间的关系。 3.结合具体的例子，知道比的数学意义、读写方法、各部分的名称，以及求比值。 4.能举出生活中的比，体会比与生活的广泛联系。 5.结合具体的情境解释比的含义，知道这两个比都是同类量的比。 6.知道通过比较比值，就可以比较速度和单价。 7.回忆过去学习分数和除法的过程，并结合具体的例子，分析初比与分数、除法之间的关系。
6.2《比的化简》 目标： 实际情境中，体会化简比的必要性，进一步体会比的意义。会运用商不变的规律和分数的基本性质化简比，并能解决相应的简单实际问题。 任务一：比较哪杯水更甜 → 任务二：观察相等的比，尝试写出相等的比 → 任务三：化简比 → 1.通过蜂蜜与水的体积比来比较出哪杯更甜，体会化简比的必要性。 2.能够在化简比的过程中理解比的基本性质与商不变的规律、分数的基本性质具有等价性。 3.总结出比的化简步骤与根据。
6.3《比的应用》 目标： 在解决问题的过程中，进一步体会比的意义。能用比的意义解决有关按比分配的实际问题，提高解决问题的能力。 任务一：探究合理的分配方法 → 任务二：按3:2分配橘子 → 任务三：把140个橘子按 3:2分一分 → 任务四：解决问题 → 1.理解“怎么分合理”的含义，说出怎么分合理：按1班和2班人数的比来分比较合理。 2.借助列表法，理解3:2分的含义。 3.探索解决按比分配的实际问题，独立思考如何将140个橘子按3:2分配。 4.借助画图来描述和分析问题，并得出正确结果。
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比的应用
北师大版六年级上册
教学目标
1.在解决问题的过程中，进一步体会比的意义。
2.能用比的意义解决有关按比分配的实际问题，提高解决问题的能力。
3.感受比在生活中的广泛应用，激发学生学习数学的兴趣，感受学习数学的价值。
新知导入
1.填一填。
合唱小组男生人数和女生人数的比是4:5。
①合唱小组的总人数是（ ）份，其中男生占（ ）份，女生占（ ）份。
②把合唱小组的（ ）看作单位“1”，男生占其中的（ ），女生占其中的（ ）。
9
4
5
总人数
4
9
5
9
新知导入
2.合唱小组有45人，其中男生占总人数的 ，合唱小组男生有多少人？
4
9
45× =20（人）
4
9
答：合唱小组男生有20人。
求一个数的几分之几是多少，用乘法。
新知讲解
思考：
1班有30人，2班有20人，把这些橘子分给1班和2班，可以怎么分？
平均分
每个班分一半
1班人数多，2班人数少，这样分不合理。
新知讲解
思考：
怎样分合理？分小组说说你是怎么想的。
按1班和2班人数的比来分
30:20就是3:2
像这样，把一个数量按一定的比进行分配的问题在生活中常常会遇到。
新知讲解
这筐橘子按3：2应该怎样分？
小组合作：
任务：把这筐橘子按3∶2分给1班和2班的小朋友，应该怎样分？
要求：
1.同桌两人一组，用小棒代替橘子分一分。
2.记录分配的过程与结果，并完成下表。
新知讲解
1班 2班
3个
2个
6个
4个
30个
20个
…
…
这样一直分，分到不能分为止。
不管怎样分，我们都按3:2来分，所以每次分的橘子个数的比都得是3:2。
新知讲解
学习任务：
如果有140个橘子，按照3：2又应该怎样分？把你的方法记录下来，然后与同伴交流你的想法。
新知讲解
如果有140个橘子，按照3：2又应该怎样分？
我用列表法。
1班 2班
30个
20个
30个
20个
12个
8个
12个
8个
1班：30×2+12×2=84（个）
2班：20×2+8×2=56（个）
答：1班分84个，2班分56个。
新知讲解
如果有140个橘子，按照3：2又应该怎样分？
我用画图。
140个
140÷（3+2）=28(个)
1班：28×3=84（个）
2班：28×2=56（个）
答：1班分84个，2班分56个。
新知讲解
根据比的意义计算，看看一共分成几份，先平均分求出每份的具体数量，再各取所需，乘各自分得的份数。
新知讲解
如果有140个橘子，按照3：2又应该怎样分？
按3:2分，1班占3份，2班占2份。
140个
一班
3
5
二班
2
5
3＋2＝5
140× ＝84（个）
3
5
140× ＝56（个）
2
5
答：1班分到84个，2班分到56个。
新知讲解
根据比与分数的关系，先看看每种物体占总数的几分之几，再用分数乘法来解答。
新知讲解
如果有140个橘子，按照3：2又应该怎样分？
先找出相等的数量关系，设每份橘子有x个，用方程解答。
解：设每份橘子有x个，那么1班3x个，2班2x个。
3x+2x=140
x=28
3x=28×3=84
2x=28×2=56
3份（1班）+2份（2班）=140个
答：1班分到84个，2班分到56个。
新知讲解
淘气有巧克力440g，都用来调巧克力奶。他准备多少克牛奶？
2份巧克力需要9份奶。
440g
？g
先求出一份是多少。
440÷2＝220（克）
220×9＝1980（克）
答：他准备1980克牛奶。
新知讲解
淘气有巧克力440g，都用来调巧克力奶。他准备多少克牛奶？
巧克力的质量是奶的 。
2
9
440÷ ＝1980（克）
2
9
答：他准备1980克牛奶。
新知讲解
笑笑有巧克力280g，也用来调巧克力奶。她能调制出多少克巧克力奶？
？g
280g
2份巧克力，能调出（2+9）份巧克力奶。
还是先求出1份是多少。
280÷2＝140（克）
140×（2＋9）＝1540（克）
答：她能调制出1540克巧克力奶。
新知讲解
笑笑有巧克力280g，也用来调巧克力奶。她能调制出多少克巧克力奶？
巧克力的质量是巧克力奶的 。
2
11
280÷ ＝1540（克）
2
11
2+9=11
答：她能调制出1540克巧克力奶。
课堂练习
基础题：
1.一个直角三角形的两个锐角的比是2：1，这个三角形两个锐角分别是多少度？
180－90=90（度）
2＋1＝3
90× ＝30（度）
1
3
90× ＝60（度）
2
3
答：这个三角形两个锐角分别是60度和30度。
课堂练习
基础题：
2.药粉和药水的比是1：30，如果药水有60千克，那么药粉有多少千克？
答：药粉有2千克。
60÷30=2（千克）
2×1=2（千克)
课堂练习
提高题：
3.六年级男生和女生的人数比是7：5，女生比男生少24人，六年级男、女生各有多少人？
24÷（7－5）=12（人）
12×7=84（人）
12×5=60（人）
答：六年级男生有84人，女生有60人。
课堂练习
拓展题：
4.某学校六年级有三个班，每班都是45人，一班的女生和二班的男生一样多，三班的男生和女生的比是1：2，你能够算出这个学校六年级男生的总人数吗？
1+2=3
45+45×
=45+15
=60（人）
1
3
答：这个学校六年级男生总共有60人。
课堂总结
通过今天的学习，你有哪些收获？
我会解决按比分配的应用题了。
我还会用列表法和画图法解决按比分配的问题了。
板书设计
比的应用
3＋2＝5
140× ＝84（个）
3
5
140× ＝56（个）
2
5
答：1班分到84个，2班分到56个。
140÷（3+2）=28(个)
1班：28×3=84（个）
2班：28×2=56（个）
课堂练习
【知识技能类作业】
必做题：
1.一个长方体的长、宽、高的比是3：2：1，已知长方体的棱长总和是72厘米，这个长方体的体积是多少立方厘米？
72÷4÷（3+2+1）=3（厘米）
3×3=9（厘米）
3×2=6（厘米）
3×1=3（厘米）
9×6×3=162（立方厘米）
答：这个长方体的体积是162立方厘米。
作业布置
【知识技能类作业】
必做题：
2.一种什锦糖是由水果糖、奶糖、软糖按5：3：2混合而成的．
（1）如果先称20千克的水果糖，奶糖与软糖各需多少千克？
20÷5=4（千克）
4×3=12（千克）
4×2=8（千克）
答：奶糖需12千克，软糖需8千克。
作业布置
【知识技能类作业】
必做题：
2.一种什锦糖是由水果糖、奶糖、软糖按5：3：2混合而成的．
（2）如果先称出15千克的奶糖，水果糖与软糖各需多少千克？
15÷3=5（千克）
5×5=25（千克）
5×2=10（千克）
答：水果糖需25千克，软糖各需10千克。
作业布置
【知识技能类作业】
选做题：
1.一种药水的药粉和水的比是1：200，现有药粉75克，应加水多少千克？
75×（200÷1）
=75×200
=15000（克）
=15（千克）
答：应加水15千克。
作业布置
【知识技能类作业】
选做题：
2.六年级2班男生和女生的人数比是5：8，全班人数在60和70之间，六年级2班共有学生多少人？
5+8=13
13×5=65（人）
答：六年级2班共有学生65人。
作业布置
找一找生活中的比，并测量与调查相关数据，计算各部分的实际长度。
【综合实践类作业】
谢谢
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6.3 比的应用 教学设计
一、教学目标
1.学习目标描述：在解决问题的过程中，进一步体会比的意义。能用比的意义解决有关按比分配的实际问题，提高解决问题的能力。
2.学习内容分析：“比的应用”这部分知识是在学生学习了比与分数、除法的关系,已经掌握了简单的分数乘、除法应用题数量关系的基础上，把比的知识应用于解决相关的实际问题的课例，掌握了按比分配的解题方法，不仅能有效地解决生活，也为以后学习“比例”、“比例尺”奠定了基础。本节课教材创设了给两个班同学分橘子的情境，首先引人一个讨论，怎么分合理，学生体会到按两个班人数的比去分比较合理。教材鼓励学生实际动手分配，由于没有给出具体的橘子数，所以学生只能进行实际操作。有了实际操作的经验，在解决把140个橘子按3:2分给两个班时，学生可能出现多种解决问题的策略，教师应给予学生充分的探索策略并进行交流的空间。
3.学科核心素养分析：能运用比的意义解决按照一定的比进行分配的实际问题，进一步体会比的意义，感受比在生活中的广泛应用，提高解决问题的能力，激发学生学习数学的兴趣，感受学习数学的价值，增强学生的应用意识。
二、教学重难点
1.重点：能运用比的意义解决按照一定的比进行分配的实际问题。
2.难点：理解按比分配的实际意义，沟通比与分数之间的关系。
三、教学过程
教学目标 教学活动 设计意图 效果评价
导入新课 1.复习旧知（1）填一填。合唱小组男生人数和女生人数的比是4:5。①合唱小组的总人数是（ ）份，其中男生占（ ）份，女生占（ ）份。②把合唱小组的（ ）看作单位“1”，男生占其中的（ ），女生占其中的（ ）。合唱小组有45人，其中男生占总人数的，合唱小组男生有多少人？ 2.导入新课师：学校营养餐，准备给一年级两个班的学生发苹果，可是怎么分配呢？这可难坏了笑笑，大家愿意帮帮她吗？学生：愿意。板书课题：比的应用 通过复习旧知，检查学生掌握知识的情况，同时为后面学习新的知识奠定基础。 通过交流引入新课，调动学生学习的兴趣，同时感受数学与生活的紧密联系。 教师观察学生的活动参与程度和提取已有知识经验的能力，给予及时的鼓励与表扬。
获取新知 任务一：探究合理的分配方法课件出示：师：从图中，你能获取什么数学信息？学生独自观察，然后自由说说。师：1班有30人，2班有20人，把这些橘子分给1班和2班，可以怎么分？学生：平均分。师：平均分怎么分？学生：平均分，就是每个班分一半。师：这样分合理吗？学生：1班人数多，2班人数少，这样分不合理。师：那么怎样分合理？分小组说说你是怎么想的。学生分组交流、讨论，师巡视指导。师：大家想到方法了吗？谁来说说？学生：按1班和2班人数的比来分，比较合理。师：按人数比来分，那你能说出1班和2班的人数比是多少吗？学生：30:20就是3:2。师：像这样，把一个数量按一定的比进行分配的问题在生活中常常会遇到，今天我们就来共同学习这类问题的解决方法。板书课题：比的应用 借助教材创设的情境，通过交流感受按比分配的合理性，同时让学生体会到数学与生活的密切联系，激发学生学习的兴趣。 老师通过提问了解学生情况，观察同学是否掌握本环节内容给予及时的鼓励与指导。
任务二：按3:2分配橘子师：这筐橘子按3：2应该怎样分？课件出示——小组合作：任务：把这筐橘子按3∶2分给1班和2班的小朋友，应该怎样分？要求：1.同桌两人一组，用小棒代替橘子分一分。2.记录分配的过程与结果，并完成下表。同桌两人合作分一分，师巡视指导。师：怎么分才是按3:2来分，你可以给大家介绍一下吗？其他同学也可补充。学生：1班每次拿3个的倍数，2班每次拿2个的倍数，这样一直分，分到不能分为止。师：在这次分小棒的过程中，你有什么发现？说说感受。 学生自由说说。引导学生得出：不管怎样分，我们都按3:2来分，所以每次分的橘子个数的比都得是3:2。 借助列表法探索分配的方法，让学生进一步体会比的意义，在观察记录的过程中规律，理解按一定的比进行分配的意义，为后面的解决问题做好准备。 通过学生的活动，检查学生掌握知识的情况，并给予及时的鼓励与指导。
任务三：把140个橘子按3:2分一分师：如果有140个橘子，按照3：2又应该怎样分？把你的方法记录下来，然后与同伴交流你的想法。学生独自思考，并记录自己的方法，然后与同伴交流。师：谁来说说你是怎样分的？学生一边展示一边反馈：我用的是列表法，1班拿30个，2班拿20个，拿两次，然后1班拿12个，2班拿8个，拿两次，正好分完。1班分30×2+12×2=84（个）2班分20×2+8×2=56（个）师：还有吗？学生：我用画图。 140÷（3+2）=28（个）1班：28×3=84（个）2班：28×2=56（个）师：通过画图，你发现了什么？学生自由说说。根据学生的回答，师小结：根据比的意义计算，看看一共分成几份，先平均分求出每份的具体数量，再各取所需，乘各自分得的份数。师：还可以怎么做？学生：按3:2分，1班占3份，2班占2份，那么一共就有3+2=5（份），其中1班占总数的，二班占总数的。 3+2=5 140×= 84（个） 140×= 56 （个） 师：原来还可以根据比与分数的关系，先看看每种物体占总数的几分之几，再用分数乘法来解答。大家还有不同的方法吗？学生：我先找出相等的数量关系，设每份橘子有x个，用方程解答。3份（1班）+2份（2班）=140个解：设每份橘子有x个，那么1班有3x个，2班有2x个。 3x+2x=140 x=283x=3×28=84 2x=2×28=56师：解决生活中的实际问题时，同学们要认真的分析数量关系，可以选用多种方法解答。 本环节通过学生自主探究、交流、汇报展示对解题方法进行梳理。 让学生尝试用多种方法解决问题，拓展学生的思路，将学生已有的经验与这节课新的知识增长点有机的联系起来，使学生能够比较轻松地掌握新的解决问题的办法。 老师通过学生的活动了解学生情况，观察同学是否掌握本环节内容给予及时的鼓励与指导。
试一试 任务四：解决问题课件出示：淘气有巧克力440g，都用来调巧克力奶。他要准备多少克牛奶？师：读一读，说说你知道了什么信息？学生自由读一读，然后自由说说。师：你能用画图的方法表示出数量之间的关系吗？学生尝试画图，师巡视指导。师：谁来说说你是怎么画图的？学生：2份巧克力需要9份奶。师：你能列式算算要准备多少克牛奶吗？学生尝试列式计算。师：你们是怎么计算的？学生1：先求出一份是多少。440÷2＝220（克） 220×9=1980（克）学生2：从图中可知，巧克力的质量是奶的。440÷=1980（克）课件出示：笑笑有巧克力280g，也用来调巧克力奶。她能调制出多少克巧克力奶？师：读一读，你知道了什么数学信息？学生自由读一读，然后自由说说。师：请画图表示出数量之间的关系吗？学生尝试画图，然后展示：师：观察上图，说说你知道了什么？学生：2份巧克力，能调出（2+9）份巧克力奶。师：你找到解决问题的方法了吗？在练习本上算算。学生独自计算，师巡视指导。师：谁来说说？学生1：还是先求出1份是多少。280÷2＝140（克）140×（2＋9）＝1540（克）学生2：从图中可知，巧克力的质量是巧克力奶的。2+9=11 280÷=1540（克） 通过画图，了解其他解决问题的策略，使学生认识到要选择合适的策略解决问题。 通过解决问题，提高学生应用知识解决问题的方法，同时使学生认识到数学与生活的密切联系，增强了学好数学的信心。 老师通过了解学生解决问题的情况，观察同学是否掌握本环节内容给予及时的鼓励与指导。老师通过学生的活动了解学生情况，观察同学是否掌握本环节内容给予及时的鼓励与指导。
迁移运用 任务五：课堂练习基础题：1.一个直角三角形的两个锐角的比是2：1，这个三角形两个锐角分别是多少度？2.药粉和药水的比是1：30，如果药水有60千克，那么药粉有多少千克？ 引导学生能够在课堂练习的完成过程中对要点知识加深巩固，有效应用。 分层挑选学生的作答，及时了解不同层次学生的课堂效果，收集本节课学生知识吸收的反馈信息。
提高题：3.六年级男生和女生的人数比是7：5，女生比男生少24人，六年级男、女生各有多少人？
拓展题：4.某学校六年级有三个班，每班都是45人，一班的女生和二班的男生一样多，三班的男生和女生的比是1：2，你能够算出这个学校六年级男生的总人数吗？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题：1.一个长方体的长、宽、高的比是3：2：1，已知长方体的棱长总和是72厘米，这个长方体的体积是多少立方厘米？2.一种什锦糖是由水果糖、奶糖、软糖按5：3：2混合而成的．（1）如果先称20千克的水果糖，奶糖与软糖各需多少千克？（2）如果先称出15千克的奶糖，水果糖与软糖各需多少千克？选做题：1.一种药水的药粉和水的比是1：200，现有药粉75克，应加水多少千克？2.六年级2班男生和女生的人数比是5：8，全班人数在60和70之间，六年级2班共有学生多少人？【综合实践类作业】找一找生活中的比，并测量与调查相关数据，计算各部分的实际长度。
板书设计 比的应用140÷（3+2）=28(个) 3＋2＝51班：28×3=84（个） 140×＝84（个）2班：28×2=56（个） 140×＝56（个） 答：1班分到84个，2班分到56个。
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