吉林省通化市梅河口市重点中学2023-2024学年高二上册数学开学考试试卷

吉林省通化市梅河口市重点中学2023-2024学年高二上册数学开学考试试卷
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1．（2023高二上·梅河口开学考）已知复数，则z的共轭复数在复平面内对应的点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2023高二上·梅河口开学考）已知，，则（　　）
A． B． C． D．
3．（2023高二上·梅河口开学考）一个水平放置的三角形ABC的直观图是边长为2的等边三角形，则的面积是（　　）
A． B． C． D．
4．（2023高一下·湖州期末）在空间中，l，m是不重合的直线，，是不重合的平面，则下列说法正确的是（　　）
A．若，，，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
5．（2019·全国Ⅱ卷文）生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标。若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为（　　）
A． B． C． D．
6．（2023高二上·梅河口开学考）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，二面角A-D1C1-C大小等于（　　）
A． B． C． D．
7．（2023高二上·梅河口开学考）设为三角形三边长，，若，则三角形的形状为（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定
8．（2023高二上·梅河口开学考）某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30]，样本数据分组为（17.5，20），（20，22.5），（22.5，25），（25，27.5），（27.5，30）.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（　　）
A．56 B．60 C．140 D．120
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．（2023高二上·梅河口开学考）下列关于复数z的说法正确的是（　　）
A．
B．若，则z的虚部为i
C．
D．在复平面内满足的点的集合表示图形的面积为
10．（2023高二上·梅河口开学考）已知正方体的棱长为2，以中点为球心作半径为R的球，若该球面与正方体的每条棱都没有公共点，则球的半径可以是（　　）
A．1 B． C． D．2
11．（2023高二上·梅河口开学考）已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（　　）
A．若，则锐角三角形
B．若，则
C．若，则为锐角三角形
D．在中，若，，，则
12．（2023高二上·梅河口开学考）在平面凸四边形中，，，，现沿对角线折起，使点到达点，设二面角的平面角为，若，当则三棱锥的外接球的表面积可以是（　　）
A． B． C． D．
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（2021高一下·天津月考）向量 ， ，则 　 　.
14．（2023高二上·梅河口开学考）设某批电子手表的正品率为，次品率为，现对该批电子手表进行检测，每次抽取一个电子手表，假设每次检测相互独立，则第3次首次测到次品的概率为　 　．
15．（2021高一下·河北期末）已知 是方程 的一个根，则 　 　．
16．（2023高二上·梅河口开学考）如图，是由正四棱锥和长方体拼接而成的组合体，其顶点都在半径为的球面上，记为的外接圆半径.若该正四棱锥和长方体体积相等，则　 　.
四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2023高二上·梅河口开学考）已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，已知．
（1）求角B；
（2）若，且，求的周长．
18．（2023高二上·梅河口开学考）如图，长方体的体积是24，E为的中点，平面将长方体分成三棱锥和多面体两部分．
（1）若，求多面体的表面积；
（2）求三棱锥的体积．
19．（2023高二上·梅河口开学考）为了解学生的周末学习时间（单位：小时），高一年级某班班主任对本班名学生某周末的学习时间进行了调查，将所得数据整理绘制出如图所示的频率分布直方图，根据直方图所提供的信息：
（1）求该班学生周末的学习时间不少于小时的人数；
（2）估计这名同学周末学习时间的分位数；
（3）如果用该班学生周末的学习时间作为样本去推断该校高一年级全体学生周末的学习时间，这样推断是否合理？说明理由．
20．（2023高二上·梅河口开学考）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
（1）若，求cosB的值；
（2）是否存在△ABC，满足B为直角？若存在，求出△ABC的面积；若不存在，请说明理由.
21．（2023高二上·梅河口开学考）随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：），按照区间，，，，分组，得到样本身高的频率分布直方图如图所示．
（1）求频率分布直方图中的值及身高在及以上的学生人数；
（2）估计该校100名生学身高的75％分位数．
（3）若一个总体划分为两层，通过按样本量比例分配分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，．记总的样本平均数为，样本方差为，证明：
①；
②．
22．（2023高二上·梅河口开学考）在中，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，且三角形的外接圆半径为．
（1）求C的大小；
（2）若的面积为，求的值；
（3）设的外接圆圆心为O，且满足，求m的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：由题意可得：，则，
所以z的共轭复数在复平面内对应的点为，位于第三象限.
故答案为：C.
【分析】根据复数的除法求得，进而可得共轭复数，结合复数的几何意义分析判断.
2．【答案】D
【知识点】二倍角的正弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解： 已知，，可知，
则，所以.
故答案为：D.
【分析】先根据题意求，进而结合倍角公式运算求解.
3．【答案】A
【知识点】平面图形的直观图
【解析】【解答】解：由题意可得： 的面积.
故答案为：A.
【分析】根据原图的面积与直观图的面积关系，运算求解即可.
4．【答案】D
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面平行的性质；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】A、 若，， ，则或，是异面直线，A错误；
B、若，，则或，B错误；
C、若，，，则或，C错误；
D、若，，，则， D正确。
故答案为：D
【分析】根据线面的平行与垂直性质与判定判断选项。
5．【答案】B
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】 【解答】每次取出兔子的事件之间相互独立，则根据伯努利概率公式 ，
故答案为：B
【分析】每次事件之间相互独立满足伯努利概率公式代入数值求出结果即可。
6．【答案】B
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：因为平面，可得，
所以 二面角的平面角为，大小等于.
故答案为：B.
【分析】根据正方体的性质分析可得二面角的平面角为，进而可得结果.
7．【答案】B
【知识点】对数的性质与运算法则；换底公式的应用
【解析】【解答】解：因为 ，则，
由， 可得，
则，
所以，即，
可知角C为直角，即 三角形 为直角三角形.
故答案为：B.
【分析】根据题意可得，再结合对数的运算可得，即可得结果.
8．【答案】C
【知识点】频率分布直方图
【解析】【解答】解： 由频率分布直方图可知，的频率为，
所以所求人数为人.
故答案为：C.
【分析】先根据频率分布直方图可得的频率，进而可得相应人数.
9．【答案】A,C,D
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；复数代数形式的加减运算；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：对于A、C：设，则，
所以 ，故A正确；
所以，故C正确；
对于B：若，则z的虚部为1，故B错误；
对于D.：在复平面内满足1≤|z|≤2的点的集合表示图形为圆心为原点，半径为2的圆内，和半径为1的圆外，所包含的圆环，
所以圆环的面积为，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】对于AC：根据共轭复数的概念结合复数的运算分析判断；对于B：根据虚部的概念分析判断；对于D：根据复数模的几何意义分析判断.
10．【答案】A,D
【知识点】棱柱的结构特征；球内接多面体
【解析】【解答】解：由题意可知：正方体的棱切球的半径为，外接球的半径，
若该球面与正方体的每条棱都没有公共点，则或.
故答案为：AD.
【分析】根据正方体的性质可求其棱切球的半径和外接球的半径，可得或，结合选项分析判断即可.
11．【答案】B,C
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；两角和与差的正切公式；二倍角的余弦公式；正弦定理
【解析】【解答】解：对于A：因为 ，则 ，即角C为锐角，
但不能确定角的大小，所以不能得到为锐角三角形，故A错误；
对于B：若，则，由正弦定理可得，
则，所以，故B正确；
对于C：因为，
整理得，
若， 即，
在中，可知都是正数，即A，B，C都是锐角，
所以是锐角三角形，故C正确；
对于D.：由正弦定理，可得，
注意到，所以 或，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】对于A：根据数量积的定义分析判断；对于B：由题意结合正弦定理可得，进而结合倍角公式分析判断；对于C：利用三角恒等变换可得，进而结合三角形的性质分析判断；对于D：利用正弦定理可得，结合三角形的性质分析判断.
12．【答案】B,C,D
【知识点】球的体积和表面积；空间中直线与平面之间的位置关系；球内接多面体；直线与平面垂直的性质；正弦定理
【解析】【解答】解：因为，则A、B、C、D四点共圆，
设平面凸四边形ABCD所在圆的圆心为，沿对角线BD折起，使点到达点F，
取BD中点E，连接，
设 三棱锥的外接球的 球心为，连接，
则平面FBD，平面ABD，
在中，由正弦定理可得，即圆的半径为，
由垂径定理可得，
因为，且，
所以，则，
又因为，则二面角的平面角，
可得，即，
则，
可得外接球的半径，
所以三棱锥的外接球的表面积.
故答案为：BCD.
【分析】平面凸四边形ABCD所在圆的圆心为，沿对角线BD折起，使点到达点F，外接球的 球心为，利用正弦定理可得圆的半径为，进而可得，根据几何性质以及二面角可得，进而可得以及外接球的半径的范围，再求球的面积结合选项分析即可.
13．【答案】
【知识点】向量的模；平面向量的坐标运算
【解析】【解答】 ，因此， .
故答案为： .
【分析】首先求出向量的坐标，再由向量模的定义代入数值计算出结果即可。
14．【答案】
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解： 若第3次首次测到次品 ，则前2次均为正品，
所以 第3次首次测到次品的概率为
故答案为： .
【分析】由题意可知：若第3次首次测到次品 ，则前2次均为正品，结合独立事件概率乘法公式运算求解.
15．【答案】33
【知识点】虚数单位i及其性质
【解析】【解答】设该方程的另一个根为 ，则 从而 解得 即
故 ．
故答案为：33.
【分析】设该方程的另一个根为 ，由已知对立方程组，解之可得 的值 。
16．【答案】
【知识点】棱柱的结构特征；棱锥的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积；球内接多面体
【解析】【解答】解：如图，设正四棱锥与长方体的公共外接球的球心为O，正方形的中心为Q，正方形的中心为H，
可知O是长方体的中心，且P、H、O、Q四点共线，平面，平面，
可得，
且，
因为正四棱锥与长方形的底面积相等，它们的体积又相等，所以，
即，整理得，所以.
故答案为： .
【分析】设球心为O，正方形的中心为Q，正方形的中心为H，可知O是长方体的中心，且P、H、O、Q四点共线，结合球的性质可求，根据体积关系可得，运算求解即可.
17．【答案】（1）解：由题意，
即，
因为，所以，，
所以；
（2）解：由题意，则，
由余弦定理，
即，得，
所以三角形的周长.
【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】(1)利用正弦定理结合三角恒等变换可得 ，即可得结果；
(2)先利用面积公式可得 ， 进而结合余弦定理运算求解.
18．【答案】（1）解：因为长方体的体积是24，E为的中点，，
所以，则，所以，
因此，，，
因此，
所以多面体的表面积为
；
（2）解：因为在长方体中，侧棱和底面垂直，所以平面；
由（1）可得三棱锥的体积.
【知识点】组合几何体的面积、体积问题；棱柱的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【分析】(1)先根据长方体的体积可得 ， 进而可求各面的面积，即可得结果；
(2)因为 平面 ，结合锥体的体积公式运算求解.
19．【答案】（1）解：由图可知，该班学生周末的学习时间不少于20小时的频率为
则名学生中周末的学习时间不少于20小时的人数为．
（2）解：学习时间在小时以下的频率为，
学习时间在小时以下的频率为，
所以分位数在，
，
则这名同学周末学习时间的分位数为．
（3）解：不合理，样本的选取只选在高一某班，不具有代表性．
【知识点】收集数据的方法；频率分布直方图；用样本估计总体的百分位数
【解析】【分析】(1)先根据频率分布直方图求 不少于20小时的频率 ，进而求人数；
(2)根据题意分析可得 分位数在， 结合百分位数的定义运算求解；
(3)根据随机抽样的性质分析判断.
20．【答案】（1）解：因为，所以，因为，
所以由正弦定理得，所以，
所以由余弦定理得.
（2）解：假设为直角，则，，由题意根据正弦定理可得，，即，
上式两边平方得：，
所以，由于，
所以，，与矛盾，
故不存在满足B为直角.
【知识点】二倍角的正弦公式；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】(1)根据题意结合正弦定理可得 ， 进而利用余弦定理运算求解；
(2)假设存在，可知 ，， 结合正弦定理可得 ， 进而结合倍角公式分析判断.
21．【答案】（1）解：由频率分布直方图可知，解得，
身高在及以上的学生人数（人）．
（2）解：的人数占比为％，
的人数占比为％，
所以该校100名生学身高的75％分位数落在，
设该校100名生学身高的75％分位数为，
则％，解得，
故该校100名生学身高的75％分位数为．
（3）解：由题得①；②
又
同理，
∴
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；用样本估计总体的百分位数
【解析】【分析】(1)根据题意结合频率和为1求得 ， 进而可求相应人数；
（2）根据题意可知 75％分位数落在， 结合百分位数的定义列式求解；
（3）根据平均数、方差的公式，结合 ， ， 运算求解.
22．【答案】（1）解：在中，，
即，
由余弦定理得，，
即，
即，
即，
中，，则，
又∵，∴；
（2）解：，
由正弦定理得，∴，
则
，
由余弦定理得，
∴＝；
（3）解：∵，
∴，
sinAsinB≠0，上式两边同时除以2sinAsinB得，
两边同时乘以：，
∴①，
如图，
∵O是△ABC的外心，∴，
∴，
同理，，
代入①式得，
由正弦定理，得，，
代入化简得，
∴．
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；二倍角的余弦公式；解三角形；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】(1)根据题意利用余弦定理边化角可得 ， 进而结合三角恒等变换运算求解；
(2)根据题意利用正弦定理角化边可得 ，结合余弦定理运算求解；
(3)根据题意利用数量积的定义可得 ，结合外接圆的性质可得 ， 再结合正弦定理运算求解.
1 / 1吉林省通化市梅河口市重点中学2023-2024学年高二上册数学开学考试试卷
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1．（2023高二上·梅河口开学考）已知复数，则z的共轭复数在复平面内对应的点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：由题意可得：，则，
所以z的共轭复数在复平面内对应的点为，位于第三象限.
故答案为：C.
【分析】根据复数的除法求得，进而可得共轭复数，结合复数的几何意义分析判断.
2．（2023高二上·梅河口开学考）已知，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二倍角的正弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解： 已知，，可知，
则，所以.
故答案为：D.
【分析】先根据题意求，进而结合倍角公式运算求解.
3．（2023高二上·梅河口开学考）一个水平放置的三角形ABC的直观图是边长为2的等边三角形，则的面积是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面图形的直观图
【解析】【解答】解：由题意可得： 的面积.
故答案为：A.
【分析】根据原图的面积与直观图的面积关系，运算求解即可.
4．（2023高一下·湖州期末）在空间中，l，m是不重合的直线，，是不重合的平面，则下列说法正确的是（　　）
A．若，，，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
【答案】D
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面平行的性质；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】A、 若，， ，则或，是异面直线，A错误；
B、若，，则或，B错误；
C、若，，，则或，C错误；
D、若，，，则， D正确。
故答案为：D
【分析】根据线面的平行与垂直性质与判定判断选项。
5．（2019·全国Ⅱ卷文）生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标。若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】 【解答】每次取出兔子的事件之间相互独立，则根据伯努利概率公式 ，
故答案为：B
【分析】每次事件之间相互独立满足伯努利概率公式代入数值求出结果即可。
6．（2023高二上·梅河口开学考）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，二面角A-D1C1-C大小等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：因为平面，可得，
所以 二面角的平面角为，大小等于.
故答案为：B.
【分析】根据正方体的性质分析可得二面角的平面角为，进而可得结果.
7．（2023高二上·梅河口开学考）设为三角形三边长，，若，则三角形的形状为（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定
【答案】B
【知识点】对数的性质与运算法则；换底公式的应用
【解析】【解答】解：因为 ，则，
由， 可得，
则，
所以，即，
可知角C为直角，即 三角形 为直角三角形.
故答案为：B.
【分析】根据题意可得，再结合对数的运算可得，即可得结果.
8．（2023高二上·梅河口开学考）某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30]，样本数据分组为（17.5，20），（20，22.5），（22.5，25），（25，27.5），（27.5，30）.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（　　）
A．56 B．60 C．140 D．120
【答案】C
【知识点】频率分布直方图
【解析】【解答】解： 由频率分布直方图可知，的频率为，
所以所求人数为人.
故答案为：C.
【分析】先根据频率分布直方图可得的频率，进而可得相应人数.
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．（2023高二上·梅河口开学考）下列关于复数z的说法正确的是（　　）
A．
B．若，则z的虚部为i
C．
D．在复平面内满足的点的集合表示图形的面积为
【答案】A,C,D
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；复数代数形式的加减运算；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：对于A、C：设，则，
所以 ，故A正确；
所以，故C正确；
对于B：若，则z的虚部为1，故B错误；
对于D.：在复平面内满足1≤|z|≤2的点的集合表示图形为圆心为原点，半径为2的圆内，和半径为1的圆外，所包含的圆环，
所以圆环的面积为，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】对于AC：根据共轭复数的概念结合复数的运算分析判断；对于B：根据虚部的概念分析判断；对于D：根据复数模的几何意义分析判断.
10．（2023高二上·梅河口开学考）已知正方体的棱长为2，以中点为球心作半径为R的球，若该球面与正方体的每条棱都没有公共点，则球的半径可以是（　　）
A．1 B． C． D．2
【答案】A,D
【知识点】棱柱的结构特征；球内接多面体
【解析】【解答】解：由题意可知：正方体的棱切球的半径为，外接球的半径，
若该球面与正方体的每条棱都没有公共点，则或.
故答案为：AD.
【分析】根据正方体的性质可求其棱切球的半径和外接球的半径，可得或，结合选项分析判断即可.
11．（2023高二上·梅河口开学考）已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（　　）
A．若，则锐角三角形
B．若，则
C．若，则为锐角三角形
D．在中，若，，，则
【答案】B,C
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；两角和与差的正切公式；二倍角的余弦公式；正弦定理
【解析】【解答】解：对于A：因为 ，则 ，即角C为锐角，
但不能确定角的大小，所以不能得到为锐角三角形，故A错误；
对于B：若，则，由正弦定理可得，
则，所以，故B正确；
对于C：因为，
整理得，
若， 即，
在中，可知都是正数，即A，B，C都是锐角，
所以是锐角三角形，故C正确；
对于D.：由正弦定理，可得，
注意到，所以 或，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】对于A：根据数量积的定义分析判断；对于B：由题意结合正弦定理可得，进而结合倍角公式分析判断；对于C：利用三角恒等变换可得，进而结合三角形的性质分析判断；对于D：利用正弦定理可得，结合三角形的性质分析判断.
12．（2023高二上·梅河口开学考）在平面凸四边形中，，，，现沿对角线折起，使点到达点，设二面角的平面角为，若，当则三棱锥的外接球的表面积可以是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B,C,D
【知识点】球的体积和表面积；空间中直线与平面之间的位置关系；球内接多面体；直线与平面垂直的性质；正弦定理
【解析】【解答】解：因为，则A、B、C、D四点共圆，
设平面凸四边形ABCD所在圆的圆心为，沿对角线BD折起，使点到达点F，
取BD中点E，连接，
设 三棱锥的外接球的 球心为，连接，
则平面FBD，平面ABD，
在中，由正弦定理可得，即圆的半径为，
由垂径定理可得，
因为，且，
所以，则，
又因为，则二面角的平面角，
可得，即，
则，
可得外接球的半径，
所以三棱锥的外接球的表面积.
故答案为：BCD.
【分析】平面凸四边形ABCD所在圆的圆心为，沿对角线BD折起，使点到达点F，外接球的 球心为，利用正弦定理可得圆的半径为，进而可得，根据几何性质以及二面角可得，进而可得以及外接球的半径的范围，再求球的面积结合选项分析即可.
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（2021高一下·天津月考）向量 ， ，则 　 　.
【答案】
【知识点】向量的模；平面向量的坐标运算
【解析】【解答】 ，因此， .
故答案为： .
【分析】首先求出向量的坐标，再由向量模的定义代入数值计算出结果即可。
14．（2023高二上·梅河口开学考）设某批电子手表的正品率为，次品率为，现对该批电子手表进行检测，每次抽取一个电子手表，假设每次检测相互独立，则第3次首次测到次品的概率为　 　．
【答案】
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解： 若第3次首次测到次品 ，则前2次均为正品，
所以 第3次首次测到次品的概率为
故答案为： .
【分析】由题意可知：若第3次首次测到次品 ，则前2次均为正品，结合独立事件概率乘法公式运算求解.
15．（2021高一下·河北期末）已知 是方程 的一个根，则 　 　．
【答案】33
【知识点】虚数单位i及其性质
【解析】【解答】设该方程的另一个根为 ，则 从而 解得 即
故 ．
故答案为：33.
【分析】设该方程的另一个根为 ，由已知对立方程组，解之可得 的值 。
16．（2023高二上·梅河口开学考）如图，是由正四棱锥和长方体拼接而成的组合体，其顶点都在半径为的球面上，记为的外接圆半径.若该正四棱锥和长方体体积相等，则　 　.
【答案】
【知识点】棱柱的结构特征；棱锥的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积；球内接多面体
【解析】【解答】解：如图，设正四棱锥与长方体的公共外接球的球心为O，正方形的中心为Q，正方形的中心为H，
可知O是长方体的中心，且P、H、O、Q四点共线，平面，平面，
可得，
且，
因为正四棱锥与长方形的底面积相等，它们的体积又相等，所以，
即，整理得，所以.
故答案为： .
【分析】设球心为O，正方形的中心为Q，正方形的中心为H，可知O是长方体的中心，且P、H、O、Q四点共线，结合球的性质可求，根据体积关系可得，运算求解即可.
四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2023高二上·梅河口开学考）已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，已知．
（1）求角B；
（2）若，且，求的周长．
【答案】（1）解：由题意，
即，
因为，所以，，
所以；
（2）解：由题意，则，
由余弦定理，
即，得，
所以三角形的周长.
【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】(1)利用正弦定理结合三角恒等变换可得 ，即可得结果；
(2)先利用面积公式可得 ， 进而结合余弦定理运算求解.
18．（2023高二上·梅河口开学考）如图，长方体的体积是24，E为的中点，平面将长方体分成三棱锥和多面体两部分．
（1）若，求多面体的表面积；
（2）求三棱锥的体积．
【答案】（1）解：因为长方体的体积是24，E为的中点，，
所以，则，所以，
因此，，，
因此，
所以多面体的表面积为
；
（2）解：因为在长方体中，侧棱和底面垂直，所以平面；
由（1）可得三棱锥的体积.
【知识点】组合几何体的面积、体积问题；棱柱的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【分析】(1)先根据长方体的体积可得 ， 进而可求各面的面积，即可得结果；
(2)因为 平面 ，结合锥体的体积公式运算求解.
19．（2023高二上·梅河口开学考）为了解学生的周末学习时间（单位：小时），高一年级某班班主任对本班名学生某周末的学习时间进行了调查，将所得数据整理绘制出如图所示的频率分布直方图，根据直方图所提供的信息：
（1）求该班学生周末的学习时间不少于小时的人数；
（2）估计这名同学周末学习时间的分位数；
（3）如果用该班学生周末的学习时间作为样本去推断该校高一年级全体学生周末的学习时间，这样推断是否合理？说明理由．
【答案】（1）解：由图可知，该班学生周末的学习时间不少于20小时的频率为
则名学生中周末的学习时间不少于20小时的人数为．
（2）解：学习时间在小时以下的频率为，
学习时间在小时以下的频率为，
所以分位数在，
，
则这名同学周末学习时间的分位数为．
（3）解：不合理，样本的选取只选在高一某班，不具有代表性．
【知识点】收集数据的方法；频率分布直方图；用样本估计总体的百分位数
【解析】【分析】(1)先根据频率分布直方图求 不少于20小时的频率 ，进而求人数；
(2)根据题意分析可得 分位数在， 结合百分位数的定义运算求解；
(3)根据随机抽样的性质分析判断.
20．（2023高二上·梅河口开学考）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
（1）若，求cosB的值；
（2）是否存在△ABC，满足B为直角？若存在，求出△ABC的面积；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：因为，所以，因为，
所以由正弦定理得，所以，
所以由余弦定理得.
（2）解：假设为直角，则，，由题意根据正弦定理可得，，即，
上式两边平方得：，
所以，由于，
所以，，与矛盾，
故不存在满足B为直角.
【知识点】二倍角的正弦公式；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】(1)根据题意结合正弦定理可得 ， 进而利用余弦定理运算求解；
(2)假设存在，可知 ，， 结合正弦定理可得 ， 进而结合倍角公式分析判断.
21．（2023高二上·梅河口开学考）随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：），按照区间，，，，分组，得到样本身高的频率分布直方图如图所示．
（1）求频率分布直方图中的值及身高在及以上的学生人数；
（2）估计该校100名生学身高的75％分位数．
（3）若一个总体划分为两层，通过按样本量比例分配分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，．记总的样本平均数为，样本方差为，证明：
①；
②．
【答案】（1）解：由频率分布直方图可知，解得，
身高在及以上的学生人数（人）．
（2）解：的人数占比为％，
的人数占比为％，
所以该校100名生学身高的75％分位数落在，
设该校100名生学身高的75％分位数为，
则％，解得，
故该校100名生学身高的75％分位数为．
（3）解：由题得①；②
又
同理，
∴
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；用样本估计总体的百分位数
【解析】【分析】(1)根据题意结合频率和为1求得 ， 进而可求相应人数；
（2）根据题意可知 75％分位数落在， 结合百分位数的定义列式求解；
（3）根据平均数、方差的公式，结合 ， ， 运算求解.
22．（2023高二上·梅河口开学考）在中，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，且三角形的外接圆半径为．
（1）求C的大小；
（2）若的面积为，求的值；
（3）设的外接圆圆心为O，且满足，求m的值．
【答案】（1）解：在中，，
即，
由余弦定理得，，
即，
即，
即，
中，，则，
又∵，∴；
（2）解：，
由正弦定理得，∴，
则
，
由余弦定理得，
∴＝；
（3）解：∵，
∴，
sinAsinB≠0，上式两边同时除以2sinAsinB得，
两边同时乘以：，
∴①，
如图，
∵O是△ABC的外心，∴，
∴，
同理，，
代入①式得，
由正弦定理，得，，
代入化简得，
∴．
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；二倍角的余弦公式；解三角形；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】(1)根据题意利用余弦定理边化角可得 ， 进而结合三角恒等变换运算求解；
(2)根据题意利用正弦定理角化边可得 ，结合余弦定理运算求解；
(3)根据题意利用数量积的定义可得 ，结合外接圆的性质可得 ， 再结合正弦定理运算求解.
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