吉林省长春重点中学2023-2024学年高二上册数学期初考试试卷
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．已知（i是虚数单位），z的共轭复数为，则的虚部为（ ）
A．2 B． C．1 D．
2．已知单位向量满足，则与夹角的大小为（ ）
A． B． C． D．
3．已知空间中三个互不相同的平面、、，两条不同的直线a、b，下列命题正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，则
4．“抽陀螺”是中国传统民俗体育游戏，陀螺上大下尖，将尖头着地，以绳绕之，然后抽打，使其旋转．如图所示的陀螺近似看作由一个圆锥与一个圆柱组成的组合体，其中圆柱的底面直径为2，圆锥与圆柱的高都为1，则该几何体的表面积为（ ）
A． B． C． D．
5．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知边长为1的正方形，点为中点，点满足，那么等于（ ）
A．2 B． C． D．
7．如图，湖南岳阳市岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼、江西南昌滕王阁并称为“江南三大名楼”，是“中国十大历史文化名楼”之一，世称“天下第一楼”．因范仲淹作《岳阳楼记》使得岳阳楼著称于世．为了测量岳阳楼的高度CD，选取了与底部水平的直线AC，测得米，则岳阳楼的高度CD为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
8．在正四棱锥中，，若该棱锥的所有顶点都在球的表面上，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分）
9．若，则（ ）
A．
B．
C．
D．在复平面内对应的点在第四象限
10．已知空间向量，，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．在上的投影向量的长度为
11．如图，在正方体中，分别为的中点，则（ ）
A．
B．平面
C．平面
D．直线与直线所成角的余弦值为
12．已知函数的部分图象如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．的周期为
B．的图象关于点对称
C．将函数的图象向左平移个单位长度可以得到函数的图象
D．方程在上有3个不相等的实数根
三、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）
13．已知向量，若，则 ．
14．函数的最小正周期为 ．
15．如图，正方体中，E为线段的中点，则直线与平面所成角的正弦值为 ．
16．已知△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且，若△ABC的面积为，则的取值范围为 ．
四、解答题（本题共4小题，每题10分，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤）
17．已知向量，，．
（1）求
（2）若与共线，求与的夹角．
18．如图，已知正方体的棱长为2．
（1）证明：平面；
（2）证明：BD⊥平面；
19．在中，内角所对的边分别为，且．
（1）求角的大小；
（2）若边上中线长为，求的面积．
20．如图，在四棱锥中，底面，，，，，为棱的中点，是线段上一动点．
（1）求证：平面PBC⊥平面；
（2）若直线与平面所成角的正弦值为时，求平面与平面夹角的余弦值
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算；共轭复数
2．【答案】D
【知识点】平面向量数量积的性质；数量积表示两个向量的夹角
3．【答案】B
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系；直线与平面垂直的性质
4．【答案】B
【知识点】组合几何体的面积、体积问题；旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
5．【答案】C
【知识点】二倍角的余弦公式；同角三角函数基本关系的运用
6．【答案】C
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量数量积的性质；平面向量的数量积运算
7．【答案】D
【知识点】三角形中的几何计算
8．【答案】C
【知识点】棱锥的结构特征；球的体积和表面积；球内接多面体
9．【答案】A,B,C
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；复数的模；共轭复数
10．【答案】B,D
【知识点】空间向量的加减法；空间向量的数乘运算；空间向量的数量积运算
11．【答案】A,D
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量研究直线与直线的位置关系；用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量求直线间的夹角、距离
12．【答案】A,C,D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
13．【答案】
【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量垂直的坐标表示
14．【答案】
【知识点】二倍角的余弦公式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质；辅助角公式
15．【答案】
【知识点】平面的法向量；用空间向量研究直线与平面所成的角
16．【答案】
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；含三角函数的复合函数的值域与最值；解三角形；余弦定理；辅助角公式
17．【答案】（1）解：因为，，所以，
所以；
（2）解：因为，，所以由与共线得，
解得，此时，设，的夹角为θ，
则，又，故与的夹角为．
【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的坐标表示；平面向量夹角的坐标表示
18．【答案】（1）解：在正方体，且，
∴为平行四边形，∴，∵平面，平面
∴平面；
（2）解：∵正方体，底面ABCD，底面ABCD，∴，
∵正方形ABCD中，，又∵平面，平面，，
∴平面；
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
19．【答案】（1）解：，
由正弦定理得，所以，所以，
因为，所以；
（2）解：由（1）得因为边上中线长为，
设中点为，所以，
所以，即，
所以，又因为，所以，解得，
所以．
【知识点】向量加法的三角形法则；平面向量数量积的性质；平面向量的数量积运算；正弦定理；余弦定理
20．【答案】（1）解：因为，，则，又平面，平面，则，
而，平面，因此平面，又平面，
所以平面平面．
（2）解：因为底面，，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，
则、、、、、，
设，，其中，
显然平面的一个法向量为，
依题意，，解得，
于是为的中点，即，设平面的法向量为，，，
则，取，得，
而平面的一个法向量为，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
1 / 1吉林省长春重点中学2023-2024学年高二上册数学期初考试试卷
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．已知（i是虚数单位），z的共轭复数为，则的虚部为（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】B
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算；共轭复数
2．已知单位向量满足，则与夹角的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量数量积的性质；数量积表示两个向量的夹角
3．已知空间中三个互不相同的平面、、，两条不同的直线a、b，下列命题正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，则
【答案】B
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系；直线与平面垂直的性质
4．“抽陀螺”是中国传统民俗体育游戏，陀螺上大下尖，将尖头着地，以绳绕之，然后抽打，使其旋转．如图所示的陀螺近似看作由一个圆锥与一个圆柱组成的组合体，其中圆柱的底面直径为2，圆锥与圆柱的高都为1，则该几何体的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】组合几何体的面积、体积问题；旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
5．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二倍角的余弦公式；同角三角函数基本关系的运用
6．已知边长为1的正方形，点为中点，点满足，那么等于（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量数量积的性质；平面向量的数量积运算
7．如图，湖南岳阳市岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼、江西南昌滕王阁并称为“江南三大名楼”，是“中国十大历史文化名楼”之一，世称“天下第一楼”．因范仲淹作《岳阳楼记》使得岳阳楼著称于世．为了测量岳阳楼的高度CD，选取了与底部水平的直线AC，测得米，则岳阳楼的高度CD为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】D
【知识点】三角形中的几何计算
8．在正四棱锥中，，若该棱锥的所有顶点都在球的表面上，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】棱锥的结构特征；球的体积和表面积；球内接多面体
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分）
9．若，则（ ）
A．
B．
C．
D．在复平面内对应的点在第四象限
【答案】A,B,C
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；复数的模；共轭复数
10．已知空间向量，，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．在上的投影向量的长度为
【答案】B,D
【知识点】空间向量的加减法；空间向量的数乘运算；空间向量的数量积运算
11．如图，在正方体中，分别为的中点，则（ ）
A．
B．平面
C．平面
D．直线与直线所成角的余弦值为
【答案】A,D
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量研究直线与直线的位置关系；用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量求直线间的夹角、距离
12．已知函数的部分图象如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．的周期为
B．的图象关于点对称
C．将函数的图象向左平移个单位长度可以得到函数的图象
D．方程在上有3个不相等的实数根
【答案】A,C,D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
三、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）
13．已知向量，若，则 ．
【答案】
【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量垂直的坐标表示
14．函数的最小正周期为 ．
【答案】
【知识点】二倍角的余弦公式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质；辅助角公式
15．如图，正方体中，E为线段的中点，则直线与平面所成角的正弦值为 ．
【答案】
【知识点】平面的法向量；用空间向量研究直线与平面所成的角
16．已知△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且，若△ABC的面积为，则的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；含三角函数的复合函数的值域与最值；解三角形；余弦定理；辅助角公式
四、解答题（本题共4小题，每题10分，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤）
17．已知向量，，．
（1）求
（2）若与共线，求与的夹角．
【答案】（1）解：因为，，所以，
所以；
（2）解：因为，，所以由与共线得，
解得，此时，设，的夹角为θ，
则，又，故与的夹角为．
【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的坐标表示；平面向量夹角的坐标表示
18．如图，已知正方体的棱长为2．
（1）证明：平面；
（2）证明：BD⊥平面；
【答案】（1）解：在正方体，且，
∴为平行四边形，∴，∵平面，平面
∴平面；
（2）解：∵正方体，底面ABCD，底面ABCD，∴，
∵正方形ABCD中，，又∵平面，平面，，
∴平面；
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
19．在中，内角所对的边分别为，且．
（1）求角的大小；
（2）若边上中线长为，求的面积．
【答案】（1）解：，
由正弦定理得，所以，所以，
因为，所以；
（2）解：由（1）得因为边上中线长为，
设中点为，所以，
所以，即，
所以，又因为，所以，解得，
所以．
【知识点】向量加法的三角形法则；平面向量数量积的性质；平面向量的数量积运算；正弦定理；余弦定理
20．如图，在四棱锥中，底面，，，，，为棱的中点，是线段上一动点．
（1）求证：平面PBC⊥平面；
（2）若直线与平面所成角的正弦值为时，求平面与平面夹角的余弦值
【答案】（1）解：因为，，则，又平面，平面，则，
而，平面，因此平面，又平面，
所以平面平面．
（2）解：因为底面，，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，
则、、、、、，
设，，其中，
显然平面的一个法向量为，
依题意，，解得，
于是为的中点，即，设平面的法向量为，，，
则，取，得，
而平面的一个法向量为，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
1 / 1
