吉林省长春重点中学2023-2024学年高三上册数学期初试卷
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.）
1．（2023高三上·吉林开学考）已知集合M，下列选项正确的是（ ）
A．M B．M C．M D．M
2．（2023高三上·吉林开学考）“2x>2”是“x2>1”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2021·焦作模拟）某市一次高三模拟考试一共有3.2万名考生参加，他们的总分服从正态分布，若，则总分高于530分的考生人数为（ ）
A．2400 B．3520 C．8520 D．12480
4．（2023高三上·吉林开学考）已知，则=（ ）
A．15 B．16 C．7 D．8
5．（2023高三上·吉林开学考）在射击比赛中，甲乙两人对同一目标各进行一次射击，甲击中目标的概率为，乙击中目标的概率为，在目标被击中的情况下，甲击中目标的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023高三上·吉林开学考）设某医院仓库中有10盒同样规格的光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的．且甲、乙、丙三厂生产该种光片的次品率依次为，，，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张光片，则取得的光片是次品的概率为（ ）
A．0.08 B．0.1 C．0.15 D．0.2
7．（2023高三上·吉林开学考）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”，“乐”，“射”，“御”，“书”，“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，若课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，则所有可能的排法种数为（ ）
A．216 B．480 C．504 D．624
8．（2023高三上·吉林开学考）已知函数满足对任意x恒成立，且时，则的值为（ ）
A．－2 B．－1 C．1 D．2
二、多选题（本题共2小题，每小题5分，全部选对得5分，部分选对得2分.）
9．（2023高三上·吉林开学考）下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若关于的不等式的解集为，则
D．若a>0，b>0，则“”是“”的必要不充分条件
10．（2023高三上·吉林开学考）已知函数，则（ ）
A．在是增函数
B．有极大值点，且
C．的极小值点，且
D．没有零点
三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
11．（2023高三上·吉林开学考）函数的定义域是 ．
12．（2023高三上·吉林开学考）曲线y＝在点（1，－1）处的切线方程为 .
13．（2023高三上·吉林开学考）已知m，n是正实数，函数的图象经过点，则的最小值为 .
14．（2023高三上·吉林开学考）已知定义在上的连续函数满足：
①在上单调
②
③对恒成立
④对恒成立若，，，，记与形成的封闭图形的面积为，，则满足的最小的n的值为 .
四、解答题（本题共4小题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤）
15．（2023高三上·吉林开学考）已知
（1）解上述不等式；
（2）在（1）的条件下，求函数的最大值和最小值及对应的的值.
16．（2023高三上·吉林开学考）甲乙两所友好学校举行篮球联谊赛，先获得3场比赛胜利的学校获得冠军并终止比赛，比赛交替在甲校与乙校进行，第一场比赛在甲校进行.已知甲队在主场（甲校）获胜的概率为，在客场（乙校）获胜的概率为，每场比赛要分出胜负且胜负概率不变.
（1）求甲队以3胜1负的成绩赢得冠军的概率；
（2）设篮球联谊赛比赛进行的场数为X，求随机变量X的分布列与期望.
17．（2023高三上·吉林开学考）某品牌中性笔研发部门从流水线上随机抽取100件产品，统计其性能指数并绘制频率分布直方图（如图1）
产品的性能指数在的适合儿童使用（简称A类产品），在的适合少年使用（简称B类产品），在的适合青年使用（简称C类产品），三类产品的销售利润分别为每件1.5，3.5，5.5（单位：元）．以这100件产品的性能指数位于各区间的频率代替产品的性能指数位于该区间的概率．
（1）该公司为了解年营销费用（单位：万元）对年销售量（单位：万件）的影响，对近5年的年营销费用和年销售量的数据做了初步处理，得到散点图（如图2）及一些统计量的值（如下表）．
16.30 24.87 0.41 1.64
表中．根据散点图判断，可以作为年销售量（万件）关于年营销费用（万元）的回归方程，求关于的回归方程；（取）
（2）求每件产品的平均销售利润；并用所求的回归方程估计该公司应投入多少营销费，才能使得该产品一年的收益达到最大？（收益=销售利润-营销费用）
参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为．
18．（2023高三上·吉林开学考）
（1）证明：当时，；
（2）是否存在正数a，使得在上单调递增，若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】元素与集合的关系；子集与真子集；集合间关系的判断；空集
【解析】【解答】解：由题意可得：，
所以ABC错误，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据元素与集合，集合间的关系逐项分析判断.
2．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；指数函数单调性的应用；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：因为在定义域内单调递增，且，解得，
，解得或，
且是的真子集，所以“”是“”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】根据指数函数单调性解，根据二次不等式解，结合充分、必要条件与包含关系分析判断.
3．【答案】B
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】由题意，总分服从正态分布，且，
根据正态分布曲线的对称性，可得，
所以总分高于530分的考生人数为.
故答案为：B.
【分析】 根据已知条件，结合正态分布的对称性，考查频率与频数的关系，即可求解出答案.
4．【答案】A
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【解答】解：因为 ，可得，
则 ，所以 .
故答案为：A.
【分析】由二项式定理可知，，结合题意运算求解.
5．【答案】C
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式；条件概率乘法公式
【解析】【解答】解：由题意可知： 目标被击中的对立事件为”甲，乙均未击中“，概率分别为，
所以目标被击中的情况下，甲击中目标的概率为.
故答案为：C.
【分析】根据对立事件求 目标被击中的 概率，在结合条件概率运算求解.
6．【答案】A
【知识点】全概率公式
【解析】【解答】解：记 ”光片是次品 “为事件A，”光片 是甲厂生产“为事件B，”光片 是乙厂生产“为事件C，”光片 是丙厂生产“为事件D，
由题意可知：，
所以.
故答案为：A.
【分析】根据题意可知结合全概率公式运算求解.
7．【答案】C
【知识点】基本计数原理的应用；排列及排列数公式；组合及组合数公式；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解： 当“御”排在第一周时， 课程 “乐”排在最后一周，则共有种；
当“御”排在第一周时， 课程 “乐”不排在最后一周，则共有种；
当“御”不排在第一周时， 课程 “乐”排在最后一周，则共有种；
当“御”不排在第一周时， 课程 “乐”不排在最后一周，则共有种；
则 所有可能的排法种数为.
故答案为：C.
【分析】分类讨论“御”是否排在第一周时， 课程 “乐”是否排在最后一周，结合排列数、组合数运算求解.
8．【答案】A
【知识点】抽象函数及其应用；函数的周期性；函数的值；有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：因为，则，
可得，所以函数是以2为周期的周期函数，
则，
又因为 ，则，即，
所以，
则，
且 时， 可得，，
所以 .
故答案为：A.
【分析】根据可得，可知函数是以2为周期的周期函数，根据周期性结合指、对数运算求解.
9．【答案】B,C
【知识点】函数单调性的性质；利用不等式的性质比较大小；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系；基本不等式；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：对于A：例如，满足，但，即，故A错误；
对于B：若 ，可知：，
且在内单调递增，所以 ，故B正确；
对于C： 若关于的不等式的解集为，
可知为方程的两根，且，
则，解得，所以 ，故C正确；
对于D：因为 a>0，b>0，若“”，则，当且仅当时，等号成立，
若“”，例如，满足，但，
可知“”是“”的充分不必要条件，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】对于A：取特例，分析判断；对于B：由 可知，结合的单调性分析判断；对于C：分析可知为方程的两根，且，结合韦达定理运算求解；对于D：根据基本不等式结合充分、必要条件分析判断.
10．【答案】A,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：因为 ，
令，解得；令，解得；
可知 在上单调递增，在上单调递减，
则有极小值点，且为最小值点，所以，
对于A：因为，所以 在是增函数，故A正确；
对于BC：因为，故B错误，C正确；
对于D：因为，所以无零点，故D错误.
故答案为：ACD.
【分析】求导，利用导数判断原函数的单调性、极值与最值，进而逐项分析判断.
11．【答案】{x | x>2或x≤-6}
【知识点】函数的定义域及其求法；对数函数的概念与表示
【解析】【解答】解：由题意可知：，解得 x>2或x≤-6，
所以函数的定义域是{x | x>2或x≤-6} .
故答案为： {x | x>2或x≤-6} .
【分析】根据题意可得，解不等式即可得结果.
12．【答案】2x＋y－1＝0
【知识点】导数的几何意义；导数的乘法与除法法则；直线的点斜式方程
【解析】【解答】解：因为，则，可得，
即切点坐标为 （1，－1） ，斜率，
所以切线方程为，即.
故答案为：.
【分析】求导，根据导数的几何意义可得切线斜率，再结合直线的点斜式方程运算求解.
13．【答案】
【知识点】指数函数的图象与性质；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解： 函数的图象经过点， 则，即，
因为 m，n是正实数， 则 ，
当且仅当，即时，等号成立，
所以 的最小值为 .
故答案为： .
【分析】根据题意可得，则结合基本不等式运算求解.
14．【答案】9
【知识点】抽象函数及其应用；等比数列的前n项和；数列与不等式的综合
【解析】【解答】解：因为 对恒成立 ，可知 在的函数图象关于对称，
又 对恒成立 ，可知 在的函数图象关于对称，
结合 ①② ，不妨作出的图象如下：
根据对称性可知与形成的封闭图形的面积为，
又因为 ，，， ，
可知的值域为，
所以 与 形成的封闭图形的面积为，
所以，
由题意可得：，解得，
且 ， 所以满足 的最小的n的值为9．
故答案为：9.
【分析】根据题意可知 在的函数图象关于对称， 在的函数图象关于对称，结合图象可得，进而结合，，， ，可知，利用等比数列的求和公式运算求解.
15．【答案】（1）解：由题意得
所以不等式的解集为
（2）解：
，则
【知识点】函数的值域；指数型复合函数的性质及应用；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【分析】(1)根据题意结合对数函数的定义以及单调性可得 ，运算求解即可；
(2)换元令 ，可得 ，结合二次函数性质运算求解.
16．【答案】（1）解：设事件A为：“甲队以3胜1负的成绩赢得冠军”，
则.
（2）解：由题意：X的可能取值为3，4，5.
则，，
，故随机变量X的分布列为：
X 3 4 5
P
则.
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1) 甲队以3胜1负的成绩赢得冠军 ，讨论甲队输球的可能场次，结合独立事件概率乘法公式运算求解；
(2)分析可知 X的可能取值为3，4，5，结合题意求分布列和期望.
17．【答案】（1）解：由得，，
令，则，由表中数据可得，，
则，∴，
即，∵，∴，∴所求的回归方程为．
（2）解：由题意及（1）得，设每件产品的销售利润为元，则的所有可能取值为1.5，3.5，5.5，
由直方图可得，三类产品的频率分别为0.15，0.45，0.4，
∴，，，所以随机变量的分布列为：
1.5 3.5 5.5
0.15 0.45 0.4
所以，故每件产品的平均销售利润为4元；
设年收益为Z万元，则，设，
则，
当时，，在单週递增，
当时，，在单调递减，∴当，即时，Z有最大值为768，
∴估计当该公司一年投入256万元营销费时，能使得该产品年收益达到最大．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用；线性回归方程；可线性化的回归分析；n次独立重复试验中恰好发生k次的概率；离散型随机变量及其分布列
【解析】【分析】(1) 由整理得，换元令，则， 根据线性回归方程结合题中数据运算求解即可；
(2)根据题意可得 的所有可能取值为1.5，3.5，5.5， 进而可得分布列和期望，分析可得 年收益，结合导数判断原函数的单调性和最值，即可得结果.
18．【答案】（1）解：设，，
由，且时，，时，，
则，可得（*）；
由（*）可知，当时，得，原不等式得证；
（2）解：，则，
设，则，
在上单调递增在上恒成立，
注意到，只需在处取得最小值，易知其必要条件为，则，
下面证明充分性：当时：
，则，故，
①当时，，
所以在上单调递增，即在上单调递增；
②当时，若，则，
若，，所以在上递减，即在上递减. 由①②可知，，故当时，在上单调递增.
当，由（1）知时，
，当时，，单调递减，不合题意；当时：同理可得时，，
当时，，单调递减，不合题意；
综上所述：当时，函数在上单调递增
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】(1)构建函数 ， 利用导数判断原函数的单调性和最值，即可得结果；
（2）由题意可知： 在上恒成立，构建， 结合定点可得 ，并把 代入得，分 ， 两种情况，利用导数证明，即可得结果.
1 / 1吉林省长春重点中学2023-2024学年高三上册数学期初试卷
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.）
1．（2023高三上·吉林开学考）已知集合M，下列选项正确的是（ ）
A．M B．M C．M D．M
【答案】D
【知识点】元素与集合的关系；子集与真子集；集合间关系的判断；空集
【解析】【解答】解：由题意可得：，
所以ABC错误，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据元素与集合，集合间的关系逐项分析判断.
2．（2023高三上·吉林开学考）“2x>2”是“x2>1”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；指数函数单调性的应用；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：因为在定义域内单调递增，且，解得，
，解得或，
且是的真子集，所以“”是“”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】根据指数函数单调性解，根据二次不等式解，结合充分、必要条件与包含关系分析判断.
3．（2021·焦作模拟）某市一次高三模拟考试一共有3.2万名考生参加，他们的总分服从正态分布，若，则总分高于530分的考生人数为（ ）
A．2400 B．3520 C．8520 D．12480
【答案】B
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】由题意，总分服从正态分布，且，
根据正态分布曲线的对称性，可得，
所以总分高于530分的考生人数为.
故答案为：B.
【分析】 根据已知条件，结合正态分布的对称性，考查频率与频数的关系，即可求解出答案.
4．（2023高三上·吉林开学考）已知，则=（ ）
A．15 B．16 C．7 D．8
【答案】A
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【解答】解：因为 ，可得，
则 ，所以 .
故答案为：A.
【分析】由二项式定理可知，，结合题意运算求解.
5．（2023高三上·吉林开学考）在射击比赛中，甲乙两人对同一目标各进行一次射击，甲击中目标的概率为，乙击中目标的概率为，在目标被击中的情况下，甲击中目标的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式；条件概率乘法公式
【解析】【解答】解：由题意可知： 目标被击中的对立事件为”甲，乙均未击中“，概率分别为，
所以目标被击中的情况下，甲击中目标的概率为.
故答案为：C.
【分析】根据对立事件求 目标被击中的 概率，在结合条件概率运算求解.
6．（2023高三上·吉林开学考）设某医院仓库中有10盒同样规格的光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的．且甲、乙、丙三厂生产该种光片的次品率依次为，，，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张光片，则取得的光片是次品的概率为（ ）
A．0.08 B．0.1 C．0.15 D．0.2
【答案】A
【知识点】全概率公式
【解析】【解答】解：记 ”光片是次品 “为事件A，”光片 是甲厂生产“为事件B，”光片 是乙厂生产“为事件C，”光片 是丙厂生产“为事件D，
由题意可知：，
所以.
故答案为：A.
【分析】根据题意可知结合全概率公式运算求解.
7．（2023高三上·吉林开学考）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”，“乐”，“射”，“御”，“书”，“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，若课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，则所有可能的排法种数为（ ）
A．216 B．480 C．504 D．624
【答案】C
【知识点】基本计数原理的应用；排列及排列数公式；组合及组合数公式；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解： 当“御”排在第一周时， 课程 “乐”排在最后一周，则共有种；
当“御”排在第一周时， 课程 “乐”不排在最后一周，则共有种；
当“御”不排在第一周时， 课程 “乐”排在最后一周，则共有种；
当“御”不排在第一周时， 课程 “乐”不排在最后一周，则共有种；
则 所有可能的排法种数为.
故答案为：C.
【分析】分类讨论“御”是否排在第一周时， 课程 “乐”是否排在最后一周，结合排列数、组合数运算求解.
8．（2023高三上·吉林开学考）已知函数满足对任意x恒成立，且时，则的值为（ ）
A．－2 B．－1 C．1 D．2
【答案】A
【知识点】抽象函数及其应用；函数的周期性；函数的值；有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：因为，则，
可得，所以函数是以2为周期的周期函数，
则，
又因为 ，则，即，
所以，
则，
且 时， 可得，，
所以 .
故答案为：A.
【分析】根据可得，可知函数是以2为周期的周期函数，根据周期性结合指、对数运算求解.
二、多选题（本题共2小题，每小题5分，全部选对得5分，部分选对得2分.）
9．（2023高三上·吉林开学考）下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若关于的不等式的解集为，则
D．若a>0，b>0，则“”是“”的必要不充分条件
【答案】B,C
【知识点】函数单调性的性质；利用不等式的性质比较大小；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系；基本不等式；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：对于A：例如，满足，但，即，故A错误；
对于B：若 ，可知：，
且在内单调递增，所以 ，故B正确；
对于C： 若关于的不等式的解集为，
可知为方程的两根，且，
则，解得，所以 ，故C正确；
对于D：因为 a>0，b>0，若“”，则，当且仅当时，等号成立，
若“”，例如，满足，但，
可知“”是“”的充分不必要条件，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】对于A：取特例，分析判断；对于B：由 可知，结合的单调性分析判断；对于C：分析可知为方程的两根，且，结合韦达定理运算求解；对于D：根据基本不等式结合充分、必要条件分析判断.
10．（2023高三上·吉林开学考）已知函数，则（ ）
A．在是增函数
B．有极大值点，且
C．的极小值点，且
D．没有零点
【答案】A,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：因为 ，
令，解得；令，解得；
可知 在上单调递增，在上单调递减，
则有极小值点，且为最小值点，所以，
对于A：因为，所以 在是增函数，故A正确；
对于BC：因为，故B错误，C正确；
对于D：因为，所以无零点，故D错误.
故答案为：ACD.
【分析】求导，利用导数判断原函数的单调性、极值与最值，进而逐项分析判断.
三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
11．（2023高三上·吉林开学考）函数的定义域是 ．
【答案】{x | x>2或x≤-6}
【知识点】函数的定义域及其求法；对数函数的概念与表示
【解析】【解答】解：由题意可知：，解得 x>2或x≤-6，
所以函数的定义域是{x | x>2或x≤-6} .
故答案为： {x | x>2或x≤-6} .
【分析】根据题意可得，解不等式即可得结果.
12．（2023高三上·吉林开学考）曲线y＝在点（1，－1）处的切线方程为 .
【答案】2x＋y－1＝0
【知识点】导数的几何意义；导数的乘法与除法法则；直线的点斜式方程
【解析】【解答】解：因为，则，可得，
即切点坐标为 （1，－1） ，斜率，
所以切线方程为，即.
故答案为：.
【分析】求导，根据导数的几何意义可得切线斜率，再结合直线的点斜式方程运算求解.
13．（2023高三上·吉林开学考）已知m，n是正实数，函数的图象经过点，则的最小值为 .
【答案】
【知识点】指数函数的图象与性质；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解： 函数的图象经过点， 则，即，
因为 m，n是正实数， 则 ，
当且仅当，即时，等号成立，
所以 的最小值为 .
故答案为： .
【分析】根据题意可得，则结合基本不等式运算求解.
14．（2023高三上·吉林开学考）已知定义在上的连续函数满足：
①在上单调
②
③对恒成立
④对恒成立若，，，，记与形成的封闭图形的面积为，，则满足的最小的n的值为 .
【答案】9
【知识点】抽象函数及其应用；等比数列的前n项和；数列与不等式的综合
【解析】【解答】解：因为 对恒成立 ，可知 在的函数图象关于对称，
又 对恒成立 ，可知 在的函数图象关于对称，
结合 ①② ，不妨作出的图象如下：
根据对称性可知与形成的封闭图形的面积为，
又因为 ，，， ，
可知的值域为，
所以 与 形成的封闭图形的面积为，
所以，
由题意可得：，解得，
且 ， 所以满足 的最小的n的值为9．
故答案为：9.
【分析】根据题意可知 在的函数图象关于对称， 在的函数图象关于对称，结合图象可得，进而结合，，， ，可知，利用等比数列的求和公式运算求解.
四、解答题（本题共4小题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤）
15．（2023高三上·吉林开学考）已知
（1）解上述不等式；
（2）在（1）的条件下，求函数的最大值和最小值及对应的的值.
【答案】（1）解：由题意得
所以不等式的解集为
（2）解：
，则
【知识点】函数的值域；指数型复合函数的性质及应用；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【分析】(1)根据题意结合对数函数的定义以及单调性可得 ，运算求解即可；
(2)换元令 ，可得 ，结合二次函数性质运算求解.
16．（2023高三上·吉林开学考）甲乙两所友好学校举行篮球联谊赛，先获得3场比赛胜利的学校获得冠军并终止比赛，比赛交替在甲校与乙校进行，第一场比赛在甲校进行.已知甲队在主场（甲校）获胜的概率为，在客场（乙校）获胜的概率为，每场比赛要分出胜负且胜负概率不变.
（1）求甲队以3胜1负的成绩赢得冠军的概率；
（2）设篮球联谊赛比赛进行的场数为X，求随机变量X的分布列与期望.
【答案】（1）解：设事件A为：“甲队以3胜1负的成绩赢得冠军”，
则.
（2）解：由题意：X的可能取值为3，4，5.
则，，
，故随机变量X的分布列为：
X 3 4 5
P
则.
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1) 甲队以3胜1负的成绩赢得冠军 ，讨论甲队输球的可能场次，结合独立事件概率乘法公式运算求解；
(2)分析可知 X的可能取值为3，4，5，结合题意求分布列和期望.
17．（2023高三上·吉林开学考）某品牌中性笔研发部门从流水线上随机抽取100件产品，统计其性能指数并绘制频率分布直方图（如图1）
产品的性能指数在的适合儿童使用（简称A类产品），在的适合少年使用（简称B类产品），在的适合青年使用（简称C类产品），三类产品的销售利润分别为每件1.5，3.5，5.5（单位：元）．以这100件产品的性能指数位于各区间的频率代替产品的性能指数位于该区间的概率．
（1）该公司为了解年营销费用（单位：万元）对年销售量（单位：万件）的影响，对近5年的年营销费用和年销售量的数据做了初步处理，得到散点图（如图2）及一些统计量的值（如下表）．
16.30 24.87 0.41 1.64
表中．根据散点图判断，可以作为年销售量（万件）关于年营销费用（万元）的回归方程，求关于的回归方程；（取）
（2）求每件产品的平均销售利润；并用所求的回归方程估计该公司应投入多少营销费，才能使得该产品一年的收益达到最大？（收益=销售利润-营销费用）
参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为．
【答案】（1）解：由得，，
令，则，由表中数据可得，，
则，∴，
即，∵，∴，∴所求的回归方程为．
（2）解：由题意及（1）得，设每件产品的销售利润为元，则的所有可能取值为1.5，3.5，5.5，
由直方图可得，三类产品的频率分别为0.15，0.45，0.4，
∴，，，所以随机变量的分布列为：
1.5 3.5 5.5
0.15 0.45 0.4
所以，故每件产品的平均销售利润为4元；
设年收益为Z万元，则，设，
则，
当时，，在单週递增，
当时，，在单调递减，∴当，即时，Z有最大值为768，
∴估计当该公司一年投入256万元营销费时，能使得该产品年收益达到最大．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用；线性回归方程；可线性化的回归分析；n次独立重复试验中恰好发生k次的概率；离散型随机变量及其分布列
【解析】【分析】(1) 由整理得，换元令，则， 根据线性回归方程结合题中数据运算求解即可；
(2)根据题意可得 的所有可能取值为1.5，3.5，5.5， 进而可得分布列和期望，分析可得 年收益，结合导数判断原函数的单调性和最值，即可得结果.
18．（2023高三上·吉林开学考）
（1）证明：当时，；
（2）是否存在正数a，使得在上单调递增，若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由
【答案】（1）解：设，，
由，且时，，时，，
则，可得（*）；
由（*）可知，当时，得，原不等式得证；
（2）解：，则，
设，则，
在上单调递增在上恒成立，
注意到，只需在处取得最小值，易知其必要条件为，则，
下面证明充分性：当时：
，则，故，
①当时，，
所以在上单调递增，即在上单调递增；
②当时，若，则，
若，，所以在上递减，即在上递减. 由①②可知，，故当时，在上单调递增.
当，由（1）知时，
，当时，，单调递减，不合题意；当时：同理可得时，，
当时，，单调递减，不合题意；
综上所述：当时，函数在上单调递增
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】(1)构建函数 ， 利用导数判断原函数的单调性和最值，即可得结果；
（2）由题意可知： 在上恒成立，构建， 结合定点可得 ，并把 代入得，分 ， 两种情况，利用导数证明，即可得结果.
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