2023-2024学年山东省重点中学高二（上）开学数学试卷（8月份）（暑假调研）（含解析）

2023-2024学年山东省重点中学高二（上）开学数学试卷（8月份）（暑假调研）
一、单选题（本大题共9小题，共45.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若是虚数单位，则复数的模为( )
A. B. C. D.
2. 如图所示，表示水平放置的的直观图，在轴上，和轴垂直，且，则的边上的高为( )
A.
B.
C.
D.
3. 设，，，若，则与的夹角余弦值为( )
A. B. C. D.
4. 由于受到网络电商的冲击，某品牌的洗衣机在线下的销售受到影响，承受了一定的经济损失，现将地区家实体店该品牌洗衣机的月经济损失统计如图所示估算月经济损失的平均数为，中位数为，则( )
A. B. C. D.
5. 我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作数书九章中，提出了已知三角形三边长求三角形的面积的公式，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实一为从隔，开平方得积”若把以上这段文字写成公式，即，其中，，分别为内角，，的对边若，，则面积的最大值为( )
A. B. C. D.
6. 在下列条件中，使与，，一定共面的是( )
A. B.
C. D.
7. 已知直线：，直线：，若，则( )
A. B. C. D.
8. 若过直线上一点向圆：作一条切线于切点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
9. 已知三条不同的直线，，和两个不同的平面，，下列四个命题中正确的为( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
二、多选题（本大题共3小题，共15.0分。在每小题有多项符合题目要求）
10. 如图，已知正方体的棱长为，，分别为，的中点，在线段上运动包含两个端点，以下说法正确的是( )
A. 三棱锥的体积与点位置无关
B. 若为中点，则过点，，作正方体的截面，所得截面的面积是
C. 若与重合，则过点，，作正方体的截面，截面为三角形
D. 若为中点，三棱锥的体积为
11. 在锐角中，若，且，则不能取到的值有( )
A. B. C. D.
12. 下列命题正确的是( )
A. 已知空间向量，且，则实数
B. 过点，斜率是的直线方程是
C. 已知直线与直线平行，则实数为
D. 圆心为且和轴相切的圆的方程是
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 某单位有职工人，其中业务人员人，管理人员人，后勤服务人员人，为了了解职工基本情况，要从中抽取一个容量为的样本，如果采取比例分层抽样方式，那么抽到管理人员的人数为______ ．
14. 已知正四棱锥的底面边长为，侧棱长为，则该正四棱锥外接球的表面积为______ ．
15. 已知是边长为的正三角形，点为平面内一点，且，则的取值范围为______ ．
16. 与圆相交所得的弦长为，且在轴上截距为的直线方程是______ ．
四、解答题（本大题共4小题，共40.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
如图，，原点是的中点，点的坐标为，点在平面上，且，．
求向量的坐标．
求与的夹角的余弦值．
18. 本小题分
某校后勤服务中心为了解学校食堂的服务质量情况，每学期会定期进行两次食堂服务质量抽样调查，每次调查的具体做法是：随机调查名就餐的教师和学生，请他们为食堂服务质量进行评分，师生根据自己的感受从到分选取一个分数打分，根据这名师生对食堂服务质量的评分绘制频率分布直方图下图是根据本学期第二次抽样调查师生打分结果绘制的频率分布直方图，其中样本数据分组为，，，．
学校规定：师生对食堂服务质量的评分平均分不得低于分，否则将进行内部整顿用每组数据的中点值代替该组数据，试估计该校师生对食堂服务质量评分的平均分，并据此回答食堂是否需要进行内部整顿；
学校每周都会随机抽取名学生和校长共进午餐，每次校长都会通过这名学生了解食堂服务质量校长的做法是让学生在“差评、中评、好评”中选择一个作答，如果出现“差评”或者“没有出现好评”，会立即让后勤分管处亲自检查食堂服务情况若以本次抽取的名学生样本频率分布直方图作为总体估计的依据，并假定本周和校长共进午餐的学生中，评分在之间的会给“差评”，评分在之间的会给“中评”，评分在之间的会给“好评”，已知学生都会根据自己的感受独立地给出评价不会受到其它因素的影响，试估计本周校长会让后勤分管处亲自检查食堂服务质量的概率．
19. 本小题分
在四棱锥中，侧面底面，为直角梯形，，，，，，为，的中点．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ若与所成角为，求的长；
Ⅲ在Ⅱ的条件下，求二面角的余弦值．
20. 本小题分
在中，角、、的对边分别为，，．
若，，求的值．
若为锐角三角形中，，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由，
得，
．
故选：．
把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：在坐标系下的面积为；
根据水平放置的平面图形的直观图画法知，
在坐标系下的面积为；
由，且，
所以，即边上的高为．
故选：．
根据平面图形的直观图与原图形的面积比为：，列方程求出结果．
本题考查了平面图形的直观图画法与有关计算问题，熟记平面图形的直观图与原图形的面积比，是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：设，，，
若，．
设与的夹角为，
则，则，
．
，
故选：．
由题意利用两个向量的数量积公式，两个向量垂直的性质，两个向量的夹角公式，求得与的夹角余弦值．
本题主要考查两个向量的数量积公式，两个向量垂直的性质，两个向量的夹角公式，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：根据频率分布直方图的性质，所有的矩形块面积之和等于，
，
第一块小矩形的面积为，第二块小矩形的面积为，所以中位数在第二组，
故，
又平均数，
故．
故选：．
根据频率分布直方图的性质，所有的矩形块面积之和等于，可求得的值，根据中位数的定义可求得，再根据频率分布直方图估算平均数可求得，进而即得．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了平均数和中位数的定义，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
，
，
的面积
，
时，的面积的最大值为．
故选：．
由已知利用正弦定理可求，代入公式即可计算得解．
本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：在中，由，得，则、、为共面向量，即、、、四点共面；
对于，由，得，不能得出、、、四点共面；
对于，由，得，所以、、、四点不共面；
对于，由，得，其系数和不为，所以、、、四点不共面．
故选：．
利用空间向量基本定理进行验证，可得时，、、是共面向量，从而可得、、、四点共面．
本题考查了空间向量基本定理，也考查了分析问题、解决问题的能力，是基础题．
7.【答案】
【解析】解：直线：，直线：，
若，则，
即，
所以，
所以．
故选：．
根据两直线垂直求出与的关系，计算的值，再求的值．
本题考查了直线垂直关系应用问题，也考查了三角函数求值问题，是基础题．
8.【答案】
【解析】解：圆：的圆心坐标为，半径为．
要求的最小，则圆心到直线的距离最小，为．
的最小值为．
故选：．
要使最小，则圆心到直线的距离最小，求出圆心到直线的距离，再由勾股定理求解．
本题考查圆的切线方程，考查直线与圆的位置关系的应用，考查数学转化思想方法，是基础题．
9.【答案】
【解析】【分析】
对于，与相交、平行或异面；对于，或；对于，与平行或相交；对于，由面面垂直的判定定理得．
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力，是中档题．
【解答】
解：三条不同的直线，，和两个不同的平面，，
对于，若，，则与相交、平行或异面，故A错误；
对于，若，，则或，故B错误；
对于，若，，则与平行或相交，故C错误；
对于，若，，则由面面垂直的判定定理得，故D正确．
故选：．
10.【答案】
【解析】解：对于选项A：所以，三楼锥的体积与点位置无关，从而D错误，A正确，
对于选项B：正方体中，由，，分别为，，的中点，则，
因为且，所以，四边形为平行四边形，所以，，
且有，
由勾股定理可得，
在梯形中，上底，下底，腰，
分别过点、在平面内作，，垂足分别为、，
，，，所以≌，
，
因为，，，则四边形为矩形，则，
，所以，
故故B正确，
对于选项，设直线分别交直线、于点、，
连接交于点，连接交于点，连接、，
所以，若与重合，则过点、、作正方体的截面，截面为五边形，错．
故选：．
利用维体的体积可判断选项；作出截面，并计算出截面的面积，可判断选项；作出截面，可判断选项．
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
11.【答案】
【解析】解：由，
又，
所以，则．
因为，
根据正弦定理得，
故，
即，
所以，
即，
根据正弦定理得，
所以，
因为为锐角三角形，且，
所以，即，
解得，
所以
，
因为，所以，则，
所以，
即．
故选：．
由得到，再根据正弦定理将化简整理可得，由为锐角三角形得到，根据正弦定理可得，最后结合两角差的正弦公式、辅助角公式即可求解．
本题主要考查解三角形，正弦定理的应用，三角恒等变换以及正弦函数的性质的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：选项，由于，所以，所以选项正确．
选项，过点，斜率是的直线方程是，选项正确．
选项，当时，两直线方程为，，
两条直线的斜率分别为，，所以两直线不平行，选项错误．
选项，由于圆的圆心为且与轴相切，即圆的半径为，
所以圆的方程为，所以选项正确．
故选：．
根据向量平行、直线方程、直线平行、圆的方程等知识对选项进行分析，从而确定正确答案．
本题主要考查命题的真假判断与应用，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：抽到管理人员的人数为．
故答案为：．
根据分层抽样原则直接求解即可．
本题主要考查分层抽样的定义，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：如图所示正四棱锥，设，则平面，

由于平面，所以，
则，
设是外接球的球心，是外接球的半径，
则，即，
所以外接球的表面积为．
故答案为：
先求得外接球的半径，从而求得外接球的表面积．
本题考查球的表面积，属于中档题．
15.【答案】
【解析】解：建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，，，
则，，
则，
又，
则，
故答案为：．
先建立如图所示的平面直角坐标系，标出对应点的坐标，，，，然后结合平面向量数量积的坐标运算求解即可．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了三角函数值域的求法，属中档题．
16.【答案】
【解析】解：由，得，则圆心为，半径为，
由题意可知直线的斜率存在，设直线方程为，
则圆心到直线的距离为，
因为与圆相交所得的弦长为，
所以，解得，
所以直线方程为，即直线方程为，
故答案为：．
先求出圆心和半径，再根据题意设直线方程为，然后求出圆心到直线的距离，再根据圆心距，弦和半径的关系列方程可求出，从而可求出直线方程．
本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离，考查运算求解能力，属中档题．
17.【答案】解：过作于，则，
，
的坐标为
又，
依题设有点坐标为，
，，
则与的夹角的余弦值：
．
【解析】本题考查向量的坐标的求法，考查两向量的夹角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
过作于，则，，由此能求出的坐标，从而能求出．
与的夹角的余弦值，由此能求出结果．
18.【答案】解：，
解得．
因为，所以食堂不需要内部整顿．
由图可知，，，这三组的频率分别为、、；
用频率估计概率，即差评、中评、好评的概率分别为、、；
记名学生分别为甲、乙、丙；
设本周校长不会责成后勤分管副校长亲自检查食堂服务质量的事件记为，
则事件即为：甲好评乙丙中评、甲乙好评丙中评、甲丙好评乙中评、乙好评甲丙中评、
乙丙好评甲中评、丙好评甲乙中评、甲乙丙都好评；
即
．
即本周校长会责成后勤分管副校长亲自检查食堂服务质量的概率为．
【解析】根据频率之和为求得，求得平均数，由此确定正确答案．
根据相互独立事件、对立事件的知识求得本周校长会让后勤分管处亲自检查食堂服务质量的概率．
本题考查频率分布直方图的性质，考查运算能力，属于中档题
19.【答案】Ⅰ证明：连接交于，并连接，，
，，为中点，，且．
四边形为平行四边形，则为中点．
又为中点，平面，平面平面．
Ⅱ解：，为中点，．
侧面底面，侧面底面，平面，平面．
易知为正方形，．
建立如图空间直角坐标系，
设，
则，，，，
．
与所成角为，
，
解得：，．
Ⅲ解：为的中点，所以，
，，
设是平面的法向量，
则
取，则，得．
是平面的法向量．
．
由图可知二面角的平面角是钝角，
所以二面角的余弦值为．
【解析】Ⅰ因为为的中点，可联想连结，交于一点，即可证明点为的中点，利用三角形中位线知识证得线线平行，从而得到线面平行；
Ⅱ以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用两条异面直线所成角为，结合给出的线段的长度，即可求出的长度；
Ⅲ求出两个平面与的法向量，利用两个平面法向量所成的角求二面角的余弦值．
本题考查了线面平行的判定，考查了利用空间向量求二面角的余弦值，解答的关键是空间坐标系的正确建立，同时需要注意的是平面法向量所成的角和二面角的关系，此题是中档题．
20.【答案】解：在中，由，
根据正弦定理得，，
所以，
因为，所以，
因为，所以．
因为，所以，
因为，，所以，
由正弦定理得．
当且仅当时，取等号，
因为三角形是锐角三角形，所以，
所以，所以，
因为，
设，，
所以，
因为函数在上是减函数，在上是增函数，
且，，
所以的取值范围是．
【解析】利用正弦定理、三角恒等变换的知识化简已知条件，求得，，再利用正弦定理求得．
利用余弦定理和基本不等式求得，根据锐角三角形的性质、函数的单调性求得的取值范围．
本题考查了正弦定理、余弦定理和三角恒等变换应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
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