2023-2024学年福建省福州市连江县黄如论中学高一（上）入学数学试卷（含解析）

2023-2024学年福建省福州市连江县黄如论中学高一（上）入学数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1. 已知全集，，，则( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
2. 化简二次根式的结果为( )
A. B. C. D.
3. 不等式的解集是( )
A. B.
C. D.
4. 如图所示，在中，，点是斜边的中点，点是的重心，于点，若，那么的长为( )
A. B. C. D.
5. 直角三角形中，是斜边，，高把分为和两段，，那么的面积是( )
A. B. C. D.
6. 已知全集，集合或，或，则集合( )
A. B.
C. D. 或
7. 已知关于的一元二次不等式的解中有且仅有个正整数，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8. 已知，，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
9. 将下列多项式因式分解，结果中含有因式的是( )
A. B.
C. D.
10. 若，，，则下列命题正确的是( )
A. 若且，则 B. 若，则
C. 若且，则 D.
11. 已知关于的不等式的解集为或，则下列结论中，正确结论的序号是( )
A.
B. 不等式的解集为
C. 不等式的解集为
D.
12. 下列结论正确的是( )
A. 设，则的最小值是
B. 当时，的最小值是
C. 当时，
D. 当时，的最大值是
二、非选择题（共40分）
13. 已知，则集合的真子集的个数为______．
14. 不等式组的解集为______ ．
15. 已知函数，若关于的不等式的解为，则 ______ ， ______ ．
16. 已知中，，，，边上的高，则内切圆的半径为______ ．
17. 集合，，且，则的值是______ ．
18. 已知，是一元二次方程的两个实数根，若，满足，则 ______ ．
19. 已知集合，，若，则实数的取值范围为______ ．
20. 用的材料制造某种长方体形状的无盖车厢，按交通部门的规定车厢宽度为，则车厢的最大容积为______ ．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为全集，，，
则，，故A错，，故B错，，则C错误，，故D正确，
故选：．
根据交集、并集的定义可接．
本题考查交集、并集的定义，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：因为，所以，所以．
故选：．
利用根式运算化简即可，注意二次根号下的范围限制．
本题主要考查根式运算化简，属于基础题．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查分式不等式的解法，属于基础题．
由题意可得，再根据一元二次不等式的解法求解即可．
【解答】
解：，
解得，
所以不等式的解集为：
故选B．
4.【答案】
【解析】解：连接并延长交于点，
点是的重心，，
，，，
，．
故选：．
利用重心的性质和比例线段可得答案．
本题考查了三角形中的几何计算，属基础题．
5.【答案】
【解析】解：由射影定理得，，
则，解得舍去，或，
，
由勾股定理得，，
的面积，
故选：．
利用射影定理，由求得，进而即可求解结论．
本题主要考查三角形中的几何计算，考查计算能力，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：由题意可知，，
或，
．
故选：．
根据已知条件，结合补集、交集的定义，即可求解．
本题主要考查补集及其运算，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：由，得，
因为关于的一元二次不等式的解集中有且仅有个正整数，
所以，不等式的解为，且，
故选：．
先求解不等式，根据解集中正整数的个数确定的取值范围．
本题考查了一元二次不等式的求解，是基础题．
8.【答案】
【解析】解：已知，，
设，可得到解得
故．
，，，，
．
故选：．
设，推出结合已知条件，转化求解即可．
本题考查不等式的基本性质的应用，也可以利用线性规划求解，是基础题．
9.【答案】
【解析】解：原式，符合题意；
B.原式，符合题意；
C.原式，不符合题意；
D.原式，符合题意．
故选：．
利用因式分解求解．
本题考查因式分解，考查运算求解能力，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于，当时，结论不成立，故A错误，
对于，结论等价于，成立，故B正确，
对于，结论等价于，即，成立，故C正确，
对于，结论等价于，成立，故D正确．
故选：．
根据已知条件，结合不等式的性质，以及作差法，即可依次求解．
本题主要考查不等式的性质，以及作差法，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：已知关于的不等式的解集为或，
则，
即，，，
对于选项A，由上可知，选项A正确；
对于选项B，等价于，又，即，即选项B错误；
对于选项C，等价于，即，解得：，即选项C错误；
对于选项D，，即选项D正确，
故选：．
已知关于的不等式的解集为或，则，即，，，然后结合一元二次不等式的解法逐一判断即可得解．
本题考查了一元二次不等式的解法，属基础题．
12.【答案】
【解析】解：于选项A：不是定值，不是的最小值，故选项A错误；
对于选项B：当时，由基本不等式可得，当且仅当，即时取等号，
但，故取不到等号，故不是的最小值，故选项B错误；
对于选项C：当时，由基本不等式可得，当且仅当，即时，等号成立，故选项C正确；
对于选项D：当，即时，
，，
当且仅当，即时等号成立，故选项D正确．
故选：．
运用基本不等式逐一判断即可．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：由题意得，集合中含有，，三个元素，所以集合的真子集个数为．
故答案为：．
根据题意得到集合中元素的个数，然后求真子集的个数即可．
本题主要考查真子集的个数求解，属于基础题．
14.【答案】或
【解析】解：由不等式组可得，
解得或，
故原不等式组的解集为或．
故答案为：或．
分类讨论得到不等式组，解出即可．
本题主要考查了含绝对值不等式的求解，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：由关于的不等式的解为，
可得对应方程的两个根为和，
将代入方程可得，解得，
所以原不等式可化为，即，解得，
所以．
故答案为：；．
根据题意得到方程的两个根为和，将代入方程，求得，再结合一元二次不等式的解法，求得不等式的解集，即可求解．
本题考查了一元二次不等式的解法，是基础题．
16.【答案】
【解析】解：设内切圆的半径是，
，
，
，即内切圆的半径为．
故答案为：．
利用三角形内切圆的性质，结合等面积法可得答案．
本题考查了三角形内切圆的性质以及三角形面积的求法，属于基础题．
17.【答案】或或
【解析】【分析】
本题以方程的解集为例，考查了集合包含关系的判断及应用，属于基础题．在解决一个集合是另一个集合子集的问题时，应注意不能忽略空集这一特殊情况而致错．
解一元二次方程，可得集合或，再由得到集合是集合的子集，最后分析集合的元素，可得的值是或或．
【解答】
解：对于集合，解方程可得或，
，且，
集合是集合的子集，
时，集合为空集，满足题意；
时，集合化简为，
所以或，
解之得：或，
综上所述，可得的值是或或，
故答案为：或或．
18.【答案】
【解析】解：因为一元二次方程有两个实数根，，所以，即．
由一元二次方程根与系数关系，可得，，则，同号．
当，都为负数时，可得，解得，
所以，即，此时，方程无解；
当，都为正数时，可得，解得，
所以，即，解得或．
因为，都为正数，则，即，所以．
综上，．
故答案为：
由根与系数的关系知，同号，分，都为负数和都为正数两种类型讨论，利用根与系数的关系和已知条件，解方程并检验即可．
本题考查了根与系数的关系应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
19.【答案】
【解析】解：因为，
当时，，解得，符合题意，
当时，则或，
解得或，
综上所述，实数的取值范围为．
故答案为：．
分与两种情况，分别讨论求解即可．
本题考查集合的交集运算，考查运算求解能力，属于基础题．
20.【答案】
【解析】解：设长方体长为，高为，
则有，即，
，当且仅当时，等号成立，
，解得，
，
，当且仅当时，等号成立，
故车厢的最大容积是，此时高是．
故答案为：．
设长方体长为，高为，则，再结合基本不等式的公式，即可求解．
本题主要考查函数的实际应用，掌握基本不等式公式是解本题的关键，属于基础题．
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