2023-2024学年广东省广州大学附中强基计划班高三（上）入学数学试卷（9月份）（含解析）

2023-2024学年广东省广州大学附中强基计划班高三（上）入学数学试卷（9月份）
一、填空题（本大题共20小题，共100.0分）
1. 设为实数，集合，，满足，则的取值范围是______ ．
2. 设为实数，函数在上单调递增，则的取值范围是______ ．
3. 定义在上的奇函数满足，若也为奇函数，则 ______ ．
4. 定义在上的函数满足对任意的实数都有，当时，，当时，，则 ______ ．
5. 已知常数，函数的图象经过点、，若，则______
6. 设，平行于轴的直线：分别与函数和的图像交于点，，若函数的图像上存在点，满足为等边三角形，则 ______ ．
7. 设为实数，直线与函数有四个不同的交点，则的取值范围是______ ．
8. 设，则 ______ ．
9. 设为实数，满足，则 ______ ．
10. 函数的最大值为______ ．
11. 设为实数，满足，，构成一个钝角的三边长，则的取值范围为______ ．
12. 在中，，则的形状为______ 三角形．
13. 设为实数，设向量，，，若和夹角等于和夹角，则 ______ ．
14. 设数列和都为等差数列，记它们的前项和分别为和，满足，则 ______ ．
15. 已知是椭圆上的点，、分别是椭圆的左、右焦点，若，则的面积为______ ．
16. 如图，在正六边形中，则以，为焦点，且经过点，，，的双曲线的离心率 ______ ．
17. 设点，分别为双曲线：的左、右焦点，过点作直线交双曲线的两条渐近线于点，，满足，，则双曲线的离心率 ______ ．
18. 已知为抛物线，点在轴上的射影为，点的坐标是，则的最小值是______ ．
19. 已知函数在上满足，则曲线在点处的切线方程是______ ．
20. 已知函数在处取得极值，则 ______ ．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：集合，，且，
当时，即时，，符合题意；
当时，可得，解得．
综上所述，，即的取值范围是．
故答案为：．
根据题意，是的子集，按照和两种情况讨论，可算出答案．
本题主要考查了集合的表示法、集合的包含关系及其应用等知识，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：因为在上单调递增，
所以，解得．
故答案为：．
由已知结合分段函数的单调性及一次，二次函数的性质可求．
本题主要考查了分段函数单调性的应用，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：因为是上的奇函数，所以的图象关于点对称，且，
设是奇函数，所以的图象关于点对称，
所以是的一个周期，所以．
故答案为：．
根据函数的对称性，可得其又周期性，从而求值．
本题考查抽象函数的求值，属于中档题．
4.【答案】
【解析】解：，时，，时，，
，，，，，，
，且，
．
故答案为：．
根据条件可知是周期为的周期函数，并可求出，然后即可求出答案．
本题考查了周期函数的定义，考查了计算能力，是中档题．
5.【答案】
【解析】解：函数的图象经过点、，
可得，即；
，即
由可得：
，
，而，
解得：
故答案为：．
将，坐标带入，结合，可得的值
本题主要考查指数函数的图象和性质，计算能力．属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：直线的方程为，
由，得，
，
由，得，
，
，
取的中点，连接，如图所示：
为等边三角形，则，
且，
，
点在函数的图像上，
，
解得．
故答案为：．
由直线的方程为，求出，两点的坐标，得到，取的中点，连接，根据等边三角形的性质求出点的坐标，再根据点在函数的图像上，得到关于的方程，求出即可．
本题主要考查了指数函数的图像和性质，考查了对数的运算性质，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：因为函数与直线的图像有四个不同的交点，所以方程有四个不同的实根，
所以与直线有四个不同的交点，
作出函数的图象如图：
由图可知，，解得，
所以的取值范围是．
故答案为：．
将问题转化为与直线有四个不同的交点，作出图形，由图列式可得结果．
本题考查了函数的零点与方程根的关系，考查了数形结合思想和转化思想，属中档题．
8.【答案】
【解析】解：由同角的三角函数关系式可得，且，，
，
，
，
．
故答案为：．
由同角的三角函数关系式可得，结合平方差公式可得，将上面求得的式子进行变形即可得到，故可算出答案．
此题考查同角三角函数的关系，关键是熟记相关公式，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：，
则，
．
故答案为：．
根据已知条件，先求出，再结合三角函数的同角公式，弦化切，即可求解．
本题主要考查三角函数的同角公式，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：；
当，即时，函数取得最大值为．
故答案为：．
直接利用三角函数关系式的变换，把函数的关系式变形成余弦型函数，再利用函数的性质求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，余弦型函数的性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：由大边对大角知，所对的角为钝角，
则由余弦定理知，，
即，解得，
又由三角形的三边关系知，，即，
所以，
所以的取值范围为．
由余弦定理和三角形的三边关系计算即可．
本题考查应用余弦定理解三角形，属于基础题．
12.【答案】直角
【解析】解：，
则，即，
由余弦定理可得，，即，
故三角形为直角三角形．
故答案为：直角．
根据已知条件，结合余弦定理，以及二倍角公式，即可求解．
本题主要考查三角形的形状判断，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：，，，
则，
和夹角等于和夹角，
则，
，，
，
，解得．
故答案为：．
根据已知条件，结合平面向量的夹角公式，即可求解．
本题主要考查平面向量的夹角公式，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：根据题意，数列和都为等差数列，设的公差为，的公差为，
若，设，则，
由于，则，
同理：，则，
则．
故答案为：．
根据题意，，则，分析两个数列的首项和公差，又由，计算可得答案．
本题考查等差数列的性质以及应用，涉及等差数列的求和，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：已知是椭圆上的点，、分别是椭圆的左、右焦点，
则：，
在中，利用余弦定理得：
解得：
则：
故答案为：
首先利用椭圆的方程求得：，，进一步利用余弦定理解得：，在利用向量的夹角求出，最后利用三角形的面积公式求的结果．
本题考查的知识要点：椭圆的定义和性质，余弦定理得应用，向量的夹角，及三角形的面积的应用．
16.【答案】
【解析】解：设正六边形的边长是，
以为轴，的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，
则，，，
，，
可得，，
．
故答案为：．
设正六边形的边长是，以为轴，的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，
本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合思想，是基础题．
17.【答案】
【解析】解：由，，可得为的中点，且，
则所在直线方程为，
联立，解得，
，整理得：．
即双曲线的离心率．
故答案为：．
由题意画出图形，求出所在直线方程，联立直线方程求得点坐标，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半列式求解．
本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合思想，考查运算求解能力，是中档题．
18.【答案】
【解析】解：抛物线化成标准形式为，
得它的焦点为，准线为：
延长交准线于，连接，根据抛物线的定义，得
中，
当且仅当、、三点共线时，为最小值
的最小值为
故答案为：
求出抛物线焦点为，准线为，延长交准线于，连接，由抛物线定义得，根据三角形两边之和大于第三边，得当、、三点共线时，为最小值，由此即可求得的最小值．
本题给出抛物线上动点，求该点到定点与抛物线准线的距离之和的最小值，着重考查了抛物线的定义和简单几何性质等知识，属于中档题．
19.【答案】
【解析】解：，
，
，
将代入，
得，
，，
在处的切线斜率为，
函数在处的切线方程为，
即．
答案是：．
先根据求出函数的解析式，然后对函数进行求导，进而可得到在点处的切线方程的斜率，最后根据点斜式可求导切线方程．
本题主要考查求函数解析式的方法和函数的求导法则以及导数的几何意义．函数在某点的导数值等于该点的切线方程的斜率．
20.【答案】
【解析】解：由，得，
函数在处取得极值，
，，
，
或，
当时，，在处不存在极值；
当时，
，，，，适合
．
故答案为：．
根据函数在处有极值，可知和，求出，，即可求出．
本题主要考查函数在某点取得极值的条件，注意是是极值点的必要不充分条件，因此对于解得的结果要检验，这是易错点，属于基础题．
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