2023-2024学年海南省定安中学高二（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年海南省定安中学高二（上）开学数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 集合，，则( )
A. B. C. D.
2. 复数在复平面内对应点所在的象限为( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 如图，正六边形中，( )
A. B. C. D.
4. 已知向量，，则等于( )
A. B. C. D.
5. 已知向量，满足，，，则( )
A. B. C. D.
6. 在中，角，，的对边分别为，，，，，，则( )
A. B. C. D.
7. 某市为了解高中教师对新冠肺炎防控知识的掌握情况，调研组采用分层抽样的方法，从甲、乙、丙三所不同的高中共抽取名教师进行调查．已知甲、乙、丙三所高中分别有名、名、名教师，则从乙校中应抽取的人数为( )
A. B. C. D.
8. 从，，，这四个数中依次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知，，是三个不重合的平面，是直线，给出的下列命题中，正确的命题有( )
A. 若上两点到的距离相等，则 B. 若，，则
C. 若，，且，则 D. 若，，则
10. 下列关于复数的四个命题，其中为真命题的是( )
A. 的虚部为 B.
C. 的共轭复数为 D.
11. 口袋里装有红，白，黄共个形状大小完全相同的小球，从中任取球，事件取出的两球同色，取出的球中至少有一个黄球，取出的球中至少有一个白球，取出两个球不同色，取出的球中至多有一个白球下列判断中正确的是( )
A. 事件与为对立事件 B. 事件与是互斥事件
C. 事件与为对立事件 D. 事件
12. 下列统计量中，能度量样本，，，的离散程度的有( )
A. 样本，，，的标准差 B. 样本，，，的中位数
C. 样本，，，的极差 D. 样本，，，的平均数
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知向量，，若，则 ．
14. 的内角，，的对边分别为，，若的面积为，则______．
15. 是虚数单位，复数_____ ．
16. 如图，在长方体中，，，则与平面所成角的正弦值为______．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
在；；这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答．
问题：的内角，，的对边分别为，，，若，_____，求和．
注：若选择多个条件作答，按第一个解答计分．
18. 本小题分
某中学举行电脑知识竞赛，先将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图．
求参赛学生成绩的众数、中位数；
高一参赛学生的平均成绩；
按分层抽样的方法从，中抽取名学生，再从这人中，抽取人，则求这两人都是在的概率．
19. 本小题分
在四棱锥中，底面为矩形，平面，点在线段上，平面．
证明：平面；
若，，求几何体的体积．
20. 本小题分
某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计，甲、乙、丙三人米跑互不影响的成绩在内称为合格的概率分别为，，若对这三名短跑运动员的米跑的成绩进行一次检测．求：
三人都合格的概率；
三人都不合格的概率；
出现几人合格的概率最大．
21. 本小题分
如图所示，已知为梯形，，．
设平面平面，证明：；
在棱上是否存在点，使得平面，若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由．
22. 本小题分
第届亚运会将于年月在杭州举行，志愿者的服务工作是亚运会成功举办的重要保障某高校承办了杭州志愿者选拔的面试工作现随机抽取了名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图已知第三、四、五组的频率之和为，第一组和第五组的频率相同．
求，的值；
根据组委会要求，本次志愿者选拔录取率为，请估算被录取至少需要多少分．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：集合，，
、的共同元素有和，故A．
故选：．
根据题意，找出集合与集合的共同元素，即可求出、的交集．
本题主要考查了集合的表示法、集合的交集运算等知识，属于基础题．
2.【答案】
【解析】【分析】
利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数所对应点的坐标得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
【解答】
解：，
在复平面内，复数对应的点的坐标为，位于第一象限．
故选：．
3.【答案】
【解析】【分析】
由题意，结合正六边形的性质和向量的加法运算法则，进行计算即可．
本题考查了平面向量的运算问题，解题时应根据平面向量的加法法则，直接计算即可，是基础题．
【解答】
解：正六边形中，
，；
．
故选：．
4.【答案】
【解析】解：向量，，
则．
故选：．
利用向量的坐标运算求解即可．
本题考查向量的坐标运算，考查计算能力．
5.【答案】
【解析】解：因为向量，满足，，，
所以，
两边平方得，
，
解得，
故选：．
利用，结合数量积的性质计算可得结果．
本题考查了平面向量数量积的运算和性质，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：因为，，，
所以由正弦定理有：，
所以．
故选：．
由正弦定理直接计算可得．
本题考查正弦定理的应用，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：根据分层抽样原理，可知从乙校应抽取的人数为人．
故选：．
利用分层抽样原理，即可求出从乙校应抽取的人数．
本题考查了分层抽样原理，是基础题．
8.【答案】
【解析】解：从，，，这四个数中一次随机地取两个数，可有种方法，其中一个数是另一个数的两倍的只有，；，这两种选法．
其中一个数是另一个数的两倍的概率．
故选：．
从，，，这四个数中一次随机地取两个数，可有种方法，其中一个数是另一个数的两倍的只有，；，两种选法．利用古典概型的概率计算公式即可得出．
本题考查了古典概型的概率计算公式和组合的意义，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：对于，若上两点到的距离相等，则可以与平面相交，选项A错误；
对于，若，，则由面面垂直的判定可知，，选项B正确；
对于，若，，且，则由线面平行的判定可知，，选项C正确；
对于，若，，则由平行的传递性可知，，选项D正确．
故选：．
根据空间中线线，线面，面面间的位置关系判断即可．
本题考查空间中线线，线面，面面间的位置关系，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：，故虚部为，共轭复数为，，
，故AB正确，CD错误．
故选：．
根据复数的除法运算化简复数，即可结合选项逐一求解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：口袋里装有红，白，黄共个形状相同小球，从中取出球，
事件“取出的两球同色”，“取出的球中至少有一个黄球”，
“取出的球至少有一个白球”，“取出的两球不同色”，
“取出的球中至多有一个白球”，
由对立事件定义得与为对立事件，故选项A正确；
与有可能同时发生，故B与不是互斥事件，故选项B错误；
与有可能同时发生，不是对立事件，故选项C错误；
，
从而，故选项D正确．
故选：．
根据对立事件和互斥事件的概念，逐项验证得出答案
本题考查互斥事件和对立事件，属于基础题．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了中位数、标准差、极差、平均数的定义以及含义，属于基础题．
利用中位数、标准差、极差、平均数的定义以及含义分析求解即可．
【解答】
解：中位数是反应数据的变化，
方差是反应数据与均值之间的偏离程度，
极差是用来表示统计资料中的变异量数，反映的是最大值与最小值之间的差距，
平均数是反应数据的平均水平，
故能反应一组数据离散程度的是标准差，极差．
故选：．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查向量数量积的坐标运算，向量垂直的充要条件，考查方程思想与运算求解能力，属于基础题．
利用向量的坐标运算求得，再由，可得，即可求解的值．
【解答】
解：因为向量，，
则，
又，
所以，
解得．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】解：由余弦定理可得，
的面积为，
又因为，
所以，
由可得．
故答案为：
由已知结合余弦定理及三角形的面积公式进行化简即可求解．
本题主要考查了余弦定理及三角形的面积公式的简单应用，属于基础试题．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查复数的四则运算，属于基础题．
利用复数的四则运算法则，直接计算即可得出答案．
【解答】
解：
，
故答案为：．
16.【答案】
【解析】解：连接，在长方体中，
平面，则为与平面所成角．
在中，．
故答案为：．
由题意连接，则为所求的角，在计算出此角的正弦值即可．
本题主要考查了求线面角的过程：作、证、求，用一个线面垂直关系，属于中档题．
17.【答案】解：选择条件，
由正弦定理及，知，
整理得，
由余弦定理，得，
，；
选择条件，
由正弦定理及，得，
，，即，
，；
选择条件，
由正弦定理及，得，
，，解得，
，；
由得，，
，整理得，
，，或，解得或．
【解析】选择条件，利用正弦定理化角为边，并结合余弦定理，求得，可得角；
选择条件，利用正弦定理化边为角，并结合三角形的内角和定理，可得角；
选择条件，利用正弦定理化边为角，并结合两角差的余弦公式与同角三角函数的商数关系，推出，得角；
由正弦定理将中的边为角，再根据两角和的正弦公式，辅助角公式，化简运算得角．
本题考查解三角形，熟练掌握正弦定理，余弦定理，三角恒等变换公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
18.【答案】解：的频率为，的频率为，的频率为，的频率为，的频率为，
由题意可知众数为，由于第一个矩形的面积为，设中位数为，则，解得，所以中位数为；
依题意平均成绩为，
所以平均成绩为；
按照分层抽样的方法，从，，中抽取名学生，则分别抽取人，人，人；
设这个人为，，，，，，则从中抽取人有种情况，两个人都在只有一种情况，
故概率值为．
【解析】直接利用频率分布直方图求出众数和中位数；
利用加权平均数求出结果；
利用分层抽样和组合数求出概率值．
本题考查的知识要点：众数，中位数，平均数，概率值的求法，分层抽样，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
19.【答案】证明：平面，，平面，又，
平面．
如图，设与的交点为，连接．
平面，由可知，平面，
由题可知，四边形为正方形．由，得，．
在中，．
易知∽，所以，
即，
，．
，
综上所述，几何体的体积是．
【解析】证明，即可证明平面．
设与的交点为，连接通过∽，求解，然后转化求解几何体的体积即可．
本题考查几何体的体积的求法，直线与平面垂直的判断，是中档题．
20.【答案】解：由题意可得，三人都合格的概率为；
三人都不合格的概率为；
仅一个人合格的概率为，
仅个人合格的概率为．
由可得，没有人合格、三人都合格的概率都是，
，故出现仅一人合格的概率最大．
【解析】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，属于中档题．
利用相互独立事件的概率乘法公式，计算求得结果；
把每个人不合格的概率相乘，即得所求；
再求出仅一个人合格的概率、仅个人合格的概率，结合前两问，比较可得结论．
21.【答案】证明：因为，平面，平面，所以平面，
又平面，平面平面，所以；
解：存在为上靠近的三等分点，使得平面，
连结，设，连结，
因为为上靠近的三等分点，又，，
所以，所以，
又平面，平面，所以平面．
【解析】本题考查直线与平面平行的判断定理以及性质定理的应用，考查转化思想，空间想象能力，逻辑推理能力，属于基础题．
证明平面，然后利用直线与平面平行的性质定理证明；
存在为上靠近的三等分点，使得平面，连结，设，连结，推出，然后说明平面
22.【答案】解：因为第三、四、五组的频率之和为，
所以，解得，
由题意可知，，解得
由频率分布直方图得，，，的频率分别为，，，，
，，
录取分数应该落在第四组，设录取分数为，则，解得，
被录取至少需要分．
【解析】根据已知条件及频率分布直方图的性质即可求解；
根据已知条件确定录取分数落在第四组，进而根据频率为，建立方程即可求解．
本题考查频率分布直方图相关知识等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
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