3.2.2函数的单调性 第一课时 课件（共16张PPT）

(共17张PPT)
3.2.1 函数的单调性
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
10
8
6
4
2
-2
0
θ/ C
t/h
某市一天24小时的气温变化图
y＝f(x)，x∈[0，24]
请问气温在哪段时间内是逐渐升高的或下降的
一、引例
从直观上看，函数图象这种上升或下降的变化趋势就是函数的一个重要性质——函数的单调性。
x
O
y
1
1
2
4
-1
-2
当x<0时，f(x)=x2图象是下降的，
当x>0,时f(x)=x2图象是上升的。
即f(x)随着x的增大而减小；
即f(x)随着x的增大而增大。
二、基础知识讲解
思考1：对于函数f(x)=x2，说说它图象从左到右是怎样变化的？这反映了函数在数量上怎样的变化规律？
当x<0时，f(x)=x2图象下降的，
思考2:“当x<0时，f(x)随着x的增大而减小”,“x增大了”怎么用符号语言来表示 “对应的函数f(x)减小了”呢？结合以下表格，你能给出具体的描述吗？
x ... -5 -4 -3 -2 -1 ...
f(x)=x2 ... 25 16 9 4 1 ...
当x从-5增大到-4时，f(x)从f(-5)=25减小到f(-4)=16；
即f(x)随着x的增大而减小；
当x从-4增大到-3时， f(x)从f(-4)=16减小到f(-3)=9；
当x从-3增大到-2时， f(x)从f(-3)=9减小到f(-2)=4；
... ...
思考3: 这样的过程写得完吗？为什么？
对于函数 f(x)=x2，自变量x在(-∞，0]上任取两个不同值，“当x增大时，f(x)减小”都是成立。
y
x
O
x2
x1
即当x<0时，
只要x1f(x2)
思考4: 如何表述这种任意性？你能写出更严格的表达吗？
在(-∞,0]上任取 x1、x2 ，只要x1f(x2)，
这时我们说函数f(x)在(-∞,0]上是单调递减的。
思考5: 对于函数f(x)=x2，你能模仿以上的方法，给出“在区间[0,+∞)上，f(x)随着x的增大而增大”的符号语言刻画吗？
在[0,+∞)上任取 x1、x2 ，只要x1这时我们说函数f(x)在[0,+∞)上是单调递增的。
仿照上述方法，用严格的符号语言刻画函数f(x)=|x|的单调性。
练习
对于函数f(x)=|x|：
在(-∞,0]上，图象从左至右下降；
f(x)随着x的增大而减小；
任取 x1、x2 ∈(-∞,0]，当x1f(x2),
即函数f(x)在(-∞,0]上是单调递减的。
同理，任取 x1、x2 ∈[0,+∞)，当x1即函数f(x)在(-∞,0]上是单调递增的。
一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D I:
如果
那么就称函数f(x)在区间D上单调递增.
特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数.
x1, x2∈D，当x1如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间.
如果 x1, x2∈D，当x1f(x2)，
那么就称函数f(x)在区间D上单调递减.
特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，
我们就称它是减函数.
f(x1)
f(x2)
x1
0
x2
x
y
f(x1)
f(x2)
x1
0
x2
x
y
同区间性
有序性
任意性
二、基础知识讲解
增函数与减函数的定义
判断正误：
O
x
y
1
2
(1)对于区间D内的任意两个自变量的值x1，x2，当 x1f(x1)< f(x2)，f(x) 在区间D上才是增函数 ——强调“任意”
(2)函数f(x)在区间A、B上均为增(减)函数，一般不能简单认为f(x)在A ∪ B上是增(减)函数 ——单调区间之间不能用“∪”
(3)单调性是针对函数的定义域内的某个区间而言，不一定整个定义域内都具有单调性. ——在谈单调性时一定要强调区间
(5)函数单调性是对定义域某个区间而言，单独一点，由于其函数值
是唯一确定的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性问题.
-5
O
x
y
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
1
2
3
-1
-2
例1、下图是定义在 [－5，5] 上的函数 y＝f(x) 的图象，根据图象说出 y＝ f(x) 的单调区间，以及在每一单调区间上， y＝ f(x) 是增函数还是减函数.
看图判断单调区间
解：
y = f(x) 的单调减区间有：
[-5,-2)，[1，3）
单调增区间有：[-2，1）, [3，5].
其中 y= f(x) 在[-5，-2）， [1，3）上
是减函数，
在[-2，1）， [3，5）上是增函数.
作图是发现函数单调性的方法之一.
1、(1)二次函数 y=x2﹣2x+1 的单调递增区间是：
(2)二次函数 y=﹣x2﹣2x+1 的单调递增区间是：
(3)二次函数 y=x2﹣2ax+1 的单调递增区间是：
(4)二次函数 y=ax2+bx+c 的单调递增区间是：
[1,+∞)
(-∞,1]
[a,+∞)
练习巩固
增函数：
如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1、x2，当 x1定义法证明单调性
利用定义法证明函数 f(x) 在给定的区间 D 上的单调性的一般步骤：
第一步：任取值。任取 x1，x2∈D，且x1第二步：作差、变形。将 f(x1)－f(x2) 通过因式分解、配方、有理化等方法，将差转换为积或商的形式，有利于判断差的符号。
第三步：定号。确定差的符号。
第四步：下结论（即根据定义指出函数 f(x) 在给定的区间 D 上的单调性）．
二、基础知识讲解
∵x1,x2∈(1,+∞)，
证明: x1,x2∈(1,+∞)且x1∴x1>1, x2>1，∴x1x2>1, x1x2-1>0
又x1取值
练习.根据定义证明函数 在区间(1,+∞)上单调递增.
∴ ，即y1∴函数 在区间(1,+∞)上单调递增.
作差
变形
定号
结论
∴x1-x2<0，
三、练习巩固
C
A
C
本节课主要学习了哪些内容？
1.知识层面：
①单调性的定义
②利用定义法证明单调性
利用图象法观察单调性
2.数学思想：
转化化归、数形结合、分类讨论
类比思想、函数与方程(不等式)思想
四、课堂小结