2023-2024学年江西省宜春十中高二（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年江西省宜春十中高二（上）开学数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 设，若复数的虚部为其中为虚数单位，则( )
A. B. C. D.
2. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
3. 已知平面向量，，，若，则( )
A. B. C. D.
4. 攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，多见于亭闷式建筑如故宫中和殿的屋顶为四角攒尖顶，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥，设正四棱锥的侧面等腰三角形的顶角为，则该正四棱锥的底面积与侧面积的比为( )
A. B. C. D.
5. 若，则点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
6. 轴截面为正方形的圆柱的侧面积与全面积的比是( )
A. ： B. ： C. ： D. ：
7. 如图，正方形中，点，分别是，的中点，那么( )
A. B. C. D.
8. 为了得到函数的图象，可以将函数的图象( )
A. 向右平移个单位，向下平移个单位 B. 向左平移个单位，向下平移个单位
C. 向右平移个单位，向上平移个单位 D. 向左平移个单位，向上平移个单位
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知复数，则下列说法正确的是( )
A. 的共轭复数是 B. 的虚部是
C. D.
10. 已知函数表示不超过实数的最大整数部分，则( )
A. 的最小正周期为 B. 是偶函数
C. 在单调递减 D. 的值域为
11. 在中，根据下列条件解三角形，其中恰有一解的是( )
A. B.
C. D.
12. 关于函数的四个结论，正确的是( )
A. 最大值为
B. 把函数的图象向右平移个单位长度得到的图象
C. 单调递增区间为
D. 图象的对称中心为
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知复数满足，的虚部为，所对应的点在第二象限，则______．
14. 已知为第二象限角，且，则的值为______ ．
15. 设，则等于______．
16. 在圆柱内有一个球，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱的体积为，球的体积为，则的值是______．
四、解答题（本大题共5小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知向量，，其中，且．
求和的值；
若，且，求角．
18. 本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，，，，，是的中点．
求异面直线与所成角的正切值；
求证：．
19. 本小题分
在中，内角、、所对的边分别为、、，的面积为．
已知，，，从这三个条件中任选一个，回答下列问题，
求角；
若，求的面积的最大值．
20. 本小题分
如图，在三棱柱中，若，分别是线段，的中点．
求证：；
在线段上是否存在一点，使得平面平面，若存在，指出的具体位置并证明；若不存在，说明理由．
21. 本小题分
已知其图像相邻两条对称轴的距离为，且，．
求；
把函数图像向右平移中得到函数图像，若，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：复数，
因为其虚部为，所以，可得．
故选：．
利用的性质和复数的除法运算化简求出其虚部，令其等于可得答案．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：对于，由可知存在直线，使得，
故当为内与垂直的直线时，显然，，故A错误；
对于，设，则当为内与平行的直线时，，，故B错误；
对于，设，则当为内与与平行的直线时，，故C错误；
对于，由，可得，又，故，故D正确．
故选：．
根据空间线面位置关系的性质与判定判断．
本题考查了空间线面位置关系的判断，属于中档题．
3.【答案】
【解析】解：因为，，所以，
因为，，
所以，解得，
所以，
所以．
故选：．
先求出的坐标，再由，列方程可求出的值，从而可求出的坐标，进而可求出．
本题主要考查平面向量共线的性质，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：根据题意，设该正四棱锥的底面四边形的边长为，则其底面积，
又由该正四棱锥的侧面等腰三角形的顶角为，则其个侧面都是边长为的正三角形，
故正四棱锥的侧面积，
该正四棱锥的底面积与侧面积的比．
故选：．
根据题意，设正四棱锥的底面四边形的边长为，由此求出该正四棱锥的底面积与侧面积，进而计算可得答案．
本题考查棱锥的侧面积与底面积的体积公式，涉及四棱锥的几何结构，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：，
，，即点位于第二象限．
故选B．
由于，可得，，从而可得答案．
本题考查三角函数值的符号，关键在于熟练掌握诱导公式，属于基础题．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了圆柱体的表面积，考查了学生的分析能力，计算能力，属于基础题．
利用圆柱的轴截面为正方形，设圆柱的高为，底面半径为，即，由此即可求出其侧面积与全面积，即可求解．
【解答】
解：由于圆柱的轴截面为正方形，设圆柱的高为，底面半径为，
即；
所以圆柱的侧面积为：；全面积为：；
即圆柱的侧面积与全面积的比为：：：．
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查向量加减混合运算及其几何意义，注意中点关系与向量的方向，属于基础题．
由题意点，分别是，的中点，求出，，然后求出向量即得．
【解答】
解：因为点是的中点，所以，
点是的中点，所以，
所以．
故选D．
8.【答案】
【解析】解：函数，
将函数的图象向左平移个单位，得的图象；
再向上平移个单位，得的图象．
故选：．
由题意化函数，再根据函数的图象变换规律，可得结论．
本题主要考查了函数的图象变换规律问题，是基础题．
9.【答案】
【解析】解：对于选项A：的共轭复数是，故A正确；
对于选项B：的虚部是，故B错误；
对于选项C：，故C错误；
对于选项D：，故D正确．
故选：．
根据复数的相关概念与运算逐项分析判断．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于：函数表示不超过实数的最大整数部分，
当时，时，
当，，
当时，，，
当时，，
当时，，，
当时，，
当时，，，
当时，，故A正确．
对于：令，所以，故函数为偶函数，故B正确．
对于：时，不单调，故C错误．
对于：函数取到的值为，，，故D错误．
故选：．
直接利用函数的性质赋值法，函数的周期，函数的奇偶性，函数的值域判定、、、的结论．
本题考查的知识要点：函数的性质，赋值法，函数的周期，函数的奇偶性，函数的值域，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：：由正弦定理得，
所以，显然不存在，不符合题意；
：由正弦定理得，
所以，
因为，
所以，
故B为锐角，有一解，符合题意；
：由正弦定理可得，
所以，，则，有唯一解，故C正确；
对于，由正弦定理可得，，即，
因为，
所以，
故符合条件的角有两个，故D不正确．
故选：．
由已知结合正弦定理及三角形大边对大角分别检验各选项即可判断．
本题考查了正弦定理，三角形的边角关系，以及三角形的内角和定理，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，属基础题．
12.【答案】
【解析】解：因为，
所以函数的最大值为，错；
把函数的图象向右平移个单位长度可得到函的图象，错；
单调递增区间满足：，解得：，
所以函数的单调递增区间为，对；
函数的对称中心满足：，解可得：，
所以函数图象的对称中心为，对．
故选：．
利用三角恒等变换化简函数的解析式，利用正弦型函数的最值可判断选项；利用三角函数图象变换可判断选项；利用正弦型函数的对称性可判断选项．
本题考查三角函数的性质的应用，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：设，，
，的虚部为，
，，，
又所对应的点在第二象限，
，，
联立解得，，
．
故答案为：．
根据已知条件，结合复数模公式，以及虚部的定义，即可求解．
本题主要考查复数模公式，以及虚部的定义，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：因为为第二象限角，且，
故．
．
故答案为：．
根据两角和的正弦公式求解即可．
本题主要考查两角和的正弦公式，同角三角函数的基本关系，考查运算求解能力，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：由可知是周期的周期函数，
；
那么．
故答案为．
由可知是周期的周期函数，只需要求解，即可求解答案；
本题主要考查函数值的计算，根据函数的周期性，进行转化是解决本题的关键．
16.【答案】
【解析】解：根据题意：
如图所示：
设圆柱的底面半径为，则圆柱的高为，
所以圆柱的体积，
球的体积为：，
所以：．
故答案为：．
直接利用圆柱的体积公式和球的体积公式求出体积的比值．
本题考查的知识要点：圆柱的体积公式，球的体积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
17.【答案】解：，，且，
，即．
代入，得，
，，则．
则，
；
，，
又，．
．
，．
【解析】本题考查三角函数的化简求值，三角函数中的恒等变换应用，属于中档题．
由已知结合可得，与联立即可求得，的值，再由二倍角的公式求得和的值；由已知可得的范围，并求得，再由，展开两角差的正弦得答案．
18.【答案】解：，
为异面直线与所成角，
所以异面直线与所成角的正切值为；
证明：连接，
由，，，得，
又，是的中点，所以，
平面，平面，所以，
而，是平面内的两条相交直线，所以平面．
又平面，所以．
【解析】本题考查了异面直线所成角的正切值，线面垂直的性质定理和判定定理，属于中档题．
利用，得到为异面直线与所成角的正切值；
连接，求出其长度与相等，为中点，得到与垂直，利用线面垂直的性质定理和判定定理得到证明．
19.【答案】解：选：，
，即，
又，则；
选：，
由正弦定理得，
由余弦定理得，
又，则；
选：，
由正弦定理得，
又，即，
，
又，则；
由得，
由余弦定理得，即，当且仅当时等号成立，
，
的面积的最大值为．
【解析】分别选择条件，利用正弦定理、余弦定理，即可得出答案；
由得，由余弦定理得，即，结合基本不等式，即可得出答案．
本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
20.【答案】解：证明：连接，则为的中点，且为的中点，
为的中位线，
；
在上存在点使得平面平面，为的中点，证明如下：
取的中点，连接，，且为的中点，
，且平面，平面，
平面，同理，平面，且，平面，平面，
平面平面．
【解析】可连接，根据题意知为的中点，然后即可得出；
在上存在点，使得平面平面，为的中点，证明过程为：连接，，可说明，从而得出平面，而同理可得出平面，然后根据面面平行的判定定理即可得出平面平面．
本题考查了三角形中位线的性质，线面平行和面面平行的判定定理，考查了推理能力，属于基础题．
21.【答案】解：由题意得，
则，
则，
，
则，
由，
，
又，
则，
故，
由题意可得，
，
，
则
．
【解析】本题考查三角函数的对称性及特殊点的值，和三角函数的平移化简，属于中档题．
由三角函数的对称轴和特殊值，可得的函数解析式，
由三角函数的平移可得，再进行化简即可．
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