北师大版数学八年级上册 7.5三角形内角和定理证明说课稿

三角形的内角和定理
设计理念
教学过程是师生交往、积极互动、共同发展的过程。它需要运用“对话式”的学习方式，采取多种教学策略，使学生在合作、探索、交流中发展能力，实现教者与学者感情上的融洽和情感上的共鸣；给学生体验成功的机会。.教师可以根据学生的提问或者活动中可能出现的某些情况，提供示范、建议和指导，引导学生大胆阐述并讨论他们的观点，让学生说明他们所获得的结论的有效性，并对结论进行评价。学生学习的过程是一个学生亲自参与,丰富、生动的思维活动,经历实践和创新的过程。
教学內容
《义务教育课程标准实验教科书数学》（北师大版）八年级下第207-211页
教学目标
1.知识与技能 ：
⑴掌握三角形内角和定理的证明。
⑵初步体会添加辅助线证题，培养学生观察、猜想和论证的能力
2.过程与方法 ：经历探索三角形内角和定理的过程，初步体会思维的多样性，给学生渗透化归的数学思想。
3.情感态度与价值观：
　　通过师生的共同活动，培养学生的逻辑思维能力，进而激发学生的求知欲和学习的积极主动性。使学生主动探索，敢于实验，勇于发现，合作交流。
学情与教材分析
1.“三角形内角和定理的证明”是八年级下初中数学教材继“相交线与平行线”之后的一个学习内容，应用这个定理可以得出三角形外角和，以及三角形内角与外角的关系，多边形内角和。也是学习“解直角三角形”的基础。因此本节课的内容在教材的编排顺序上起着承上启下的作用。根据新的课程标准，将三角形的内角和定理证明作为重点，教学难点是在三角形内角和定理的证明过程中如何添加辅助线，同时将自主探索、动手操作、协作交流意识的培养作为重点。 在教学过程中循序渐进的设计“猜想”、“讨论”、“验证”、“应用”等环节以突破难点。
2．学生分析：八年级的学生，已具备一定的自主学习和协作交流能力，班级中学生相互评价、相互提问、信息互享的互动氛围较浓；在学习了相交线与平行线的基础上，本节课的学习便是知识的延续和创新，学生会积极主动的投入实验、讨论、交流、建构。
教学准备
教师准备多媒体演示两幅,学生每人准备一个硬纸片三角板。
教学过程
一、引入新课
［师］同学们，我们做这样的实验：将三角形纸片的三个角剪下，随意将它们拼凑在一起，恰好得到一个什么角
［生］平角。
从而大家得出三角形的三个内角和等于180°。[让学生自己动手探究,体会数学研究的乐趣.]
　　［师］现在，我们来看两个电脑的动画演示，验证这个结论是不是正确的。
1.动画演示一
　　
［师］先将△ABC中的∠A通过平移和旋转到如上图所示的位置，再将图中的∠B通过平移到上图所示的位置。
　　拖动点A，改变△ABC的形状，三角形的三个内角和总等于180°
2.动画演示二
　　
［师］先将三角形纸片(图(1))一角折向其对边，使顶点落在对边上，折线与对边平行(图(2))，
　　然后把另外两角相向对折，使其顶点与已折角的顶点相重合(图(3) (4)。)
　［师］由电脑的动画演示可知：∠A、∠B、∠C拼成的角总是一个平角，由此得到三角形的三个内角之和等于180°。[让学生直观感受,调动其研究兴趣]
　　我们通过观察与实验的方法猜想得到的结论不一定正确可靠，要判定一个数学结论正确与否，需要进行有根有据的推理、证明。这就是我们这节课所要研究的内容。
二、定理证明
［师］接下来我们来证明这个命题：三角形的三个内角之和等于180°。这是一个文字命题，证明时需要先做什么呢
［生］需要先画出图形、根据命题的条件和结论，结合图形写出已知、求证。[有本章前面几节作为基础，学生有能力画图，写已知，求证。]
［师］很好!怎样证明呢 [ 联想前面撕角拼角的方法，学生能想到。 让学生体会转化的数学思想方法，把新知识化为旧知识。]
［生］添加辅助线，延长BC到点D，过点C作CE∥AB，∠A=∠ACE，∠B=∠ECD，进而将三个内角拼成平角。[通过以上分析、研究，让学生讲解依据：根据平行线的性质，利用同位角,内错角把三角形三内角转化为一个平角。使学生亲身参与数学研究的过程，并在过程中体会数学研究的乐趣。] [实验法]
已知：△ABC 求证：∠A+∠B+∠C=180°
证明：延长BC到点D，过点C作CE∥AB
　　∵CE∥AB
　　∴∠A=∠ACE(两直线平行，内错角相等)
　　∠B=∠ECD(两直线平行，同位角相等)
　　∵∠ACE+∠ECD+∠BCA=180°
　　∴∠A+∠B+∠BCA=180°(等量代换)
　　 [教师引导，要把三角形三个内角转化为上述两种角，就要在原图形上添加一些线，这些线叫做辅助线，在平面几何里，辅助线常画成虚线，添辅助线是解决问题的重要思想方法。]
上面我们证明了三角形三个内角和等于180°，这个结论是正确的，我们称它为三角形内角和定理。证明思路是将三角形的三个角集中到点C处，拼成一个平角。根据这个思路，你们有没有其它的证法呢 [教师给出规范的证明过程的板书，可以起到示范的作用。也在向学生强调要重视数学的基本功。]
三、探究讨论
四个学生为一组，探索三角形内角和定理的其它证法分析、证明方法。
［师］给同学们一些时间，在独立思考的基础上合作交流积极探索，看哪个组的思路广，证法多。大家比一比，好吗
［生］(齐声)好! [学生自主探索，教师巡视、诊断，]
给学生足够的时间
　　［师］同学们探索好了吗
　　［生］(齐声)好了，我们有很多证法。
［师］现在，各组派一名代表说明证明的思路。[学生自己得出的猜想和证明会更让他们乐于接受，而方法也在此过程中渗透给了学生。]
1.［生1］过点A作直线PQ∥BC，使三个角凑到“A”处。[通过分析、研究，让不同做法的学生讲解依据。]根据平行线的性质，利用内错角，把三角形三内角转化为一个平角。
　　证明：过点A作直线PQ∥BC
　　∵PQ∥BC
　　∴∠B=∠PAB(两直线平行，内错角相等)
　　∠C=∠QAC(两直线平行，内错角相等)
　　∵∠PAB+∠QAC+∠BAC=180°
　　∴∠B+∠C+∠BAC=180°(等量代换)
2.［生2］在△ABC的一边BC上任取一点D，过点D点作其它两边的平行线，把三个内角拼成以D为顶点的平角。
证明：在BC上任取一点D，过点D作DE∥AB，DF∥AC
　　∴∠B=∠EDC(两直线平行，同位角相等)
　　∠C=∠FDB(两直线平行，同位角相等)
　　∠A=∠FDE(平行四边形的对角相等)
　　∵∠BDF+∠FDE+∠EDC=180°
　　∴∠A+∠B+∠C=180°(等量代换)
［师］很好!这三位同学是将△ABC的三个角集中到一个顶点处或一条边上的任意一点上。其实，通过添加辅助线，是否可以将△ABC的三个角集中到三角形内部或外部的任意一点上拼成一个平角。
3.试一试
证明三角形内角和定理时，可以把三角形的三个角“凑”到BC边上的一点P,（如图6－47（1）），如果把这三个角“凑”到三角形内一点呢？（如图6－47（2））“凑”到三角形外一点呢？（如图6－47（3）），你还能想出其他证法吗？
［教师对学生猜想适当点拨，作为课外研究课题，可以调动学生的研究兴趣。并且了解一题的多种证法，从而拓宽学生的思路。］
［师］同学们，你们由180°还可以联想到什么
［生3］一对邻补角之和等于180°。
［生4］两直线平行，同旁内角互补。
［师］好!从这两个角度去思考，能想到其他的证明方法吗
4.［生5］过点A作AD∥BC，有∠C=∠2，将三个内角拼成一对同旁内角。
　　证明：过点A作射线AQ∥BC
　　∴∠C=∠QAC(两直线平行，内错角相等)
　　∠QAC+∠BAC+∠B=180°(两直线平行，同旁内角互补)
　　∴∠BAC+∠B+∠C=180°(等量代换)
5.生6］分别过△ABC各顶点，任作一组平行线a∥b∥c，将三个内角拼成平行的一对同旁内角。[请一位同学上台讲述证明过程]
［师］同学们讨论得真棒。我们由180°联想到一平角等于180°，一对邻补角之和等于180°，两直线平行，同旁内角互补。由此，大家提供了这么多的的证明方法，说明你们能学以致用。接下来，我们做练习以巩固三角形内角和定理。 [根据以上几种辅助线的作法，选择一种,师生合作，写出示范性证明过程。其余由学生自主完成证明过程。目的是培养学生的思维能力和推理能力。进一步搞清作辅助线的思路和合乎逻辑的分析方法，充分让学生表述自己的观点，这个过程对培养学生的能力极为重要，依据不充分时，学生可争论，师生共同小结。]
6.讨论:用橡皮筋构成△ABC，其中顶点B、C为定点，A为动点（如图6－37），放松橡皮筋后，点A自动收缩于BC上，请同学们考察点A变化时所形成的一系列的三角形：△A1BC、△A2BC、△A3BC……其内角会产生怎样的变化呢？
［生甲］当点A离BC越来越近时,∠A越来越接近180°,而其他两角越来越接近于 0°.
［生乙］三角形各内角的大小在变化过程中是相互影响的.
［师］很好.在三角形中，最大的内角有没有等于或大于180°的？
［生丙］三角形的最大内角不会大于或等于180°.
［师］很好.看实验：当点A远离BC时，∠A越来越趋近于0°,而AB与AC逐渐趋向平行，这时，∠B、∠C逐渐接近为互补的同旁内角.即∠B+∠C→180°.
请同学们猜一猜：三角形的内角和可能是多少？
［生齐声］180°
[通过图形变换，培养学生观察、分析、解决问题的能力。]
四、例题讲解
例：△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，如图，求∠DBC的度数。
[学生自主探索，教师巡视、诊断，让学生上台板演，学生辨析，教师小结。]
[使学生灵活应用三角形内角和定理。用代数方法解决几何问题（方程思想）是重要的方法。]
五、练一练
1.填空。
在△ABC中，⑴∠A=60°，∠B=50°，则∠C=（ ）°
⑵∠C=90°，则∠A+∠B=（ ）°
⑶∠A=50°，∠B=∠C，则∠C=（ ）°
[小组测评、互改、对其中出现的问题，教师有针对性地讲解。]
2.已知：如图,在△ABC中，DE∥BC，∠A=60°，∠C=70°
求证：∠ADE=50
证明：
∵DE∥BC（已知）
∴∠AED=∠C（两直线平行，同位角相等）
∵∠C=70°（已知）
∴∠AED=70°（等量代换）
∵∠A+∠AED+∠ADE=180°（三角形的内角和定理）
∴∠ADE=180°－∠A－∠AED（等式的性质）
∵∠A=60°（已知）
∴∠ADE=180°－60°－70°=50°（等量代换）
[进一步使学生灵活运用三角形内角和定理][小组讨论写法，由四名学生代表本组上台板演，进行对比，学生讨论,教师点评。]
　
3.如果△ABC是正三角形,求∠A
4.在△ABC中，若∠A+∠B=2∠C，求∠C
[3、4两题作为课堂小测，小组内部互改，点评订正。]
六、师生共同小结
1.三角形的内角和定理：三角形的三个内角和等于180°
2.三角形内角和定理的证明方法不止一种，视角不同，想法不同，证明的方法也不同，也可以说是一题多解。为了证明的需要，常常添作辅助线。过一点作某条直线的平行线是常用辅助线。此类辅助线的用途是：利用平行线的性质造成角的迁移、相等，设法将三个角合并成一个平角或者形成两条平行线间的同旁内角。
3.在解题的过程中，我们往往不是对问题正面直接攻破而是把问题进行变形转化，直到把它化为某个熟悉的或已经解决了的问题，这种解决问题的思想方法就是化归的思想方法。我们证明了一个很有用的三角形内角和定理，证明思想是，运用辅助线将原三角形中处于不同位置的三个内角集中在一起，拼成一个平角。辅助线是联系命题的条件和结论的桥梁，今后我们还要学习[引导学生进行总结和概括，培养学生的归纳概括能力]。
　七、课外作业
1.习题6.6 P210：1、2、3
2.复习本章内容。
板书设计
1.三角形内角和定理。
2.三角形内角和定理的几种证明方法。
3.例析
4.课堂练习
5.师生共同小结
6.作业布置
　 教学反思
　　本节课的教学设计经过实际的教学检验，成功之处有：创设问题情境好，两个电脑动画的演示吸引了学生，激起了他们的求知欲望；教师教学民主，使学生敢于发表自己的不同想法；教学效果好。教学设计的不足之处：学生提供的三角形内角和定理的证明方法很多超出教师的考虑范围，学生还有一些证明方法，由于时间所限，无法在课内――展示。
　　教师的体会：我感觉本套教材对几何内容的择取更加以人为本，更贴近学生生活现实，处理手法上更新颖，给老师和学生更大的活动空间，增进了学生对数学的理解，激发了他们的创造力。本节课的教学中，学生提供的三角形内角和定理的证明方法多种多样，虽然有一些不足之处，但都是他们自己探索得到的。有一些方法，超出我们的预料，带给我们无数的惊喜，我们感叹孩子们的创造力和想象力，这就是新课程带给我们的收获。
设计思路
1.提出疑问：前面的课程学习了三角形三条边的关系，那么三角形的三个内角又存在怎样的关系呢？
2.动手实践：引导学生做剪纸实验，并带领学生一起撕下三角形的任意两个角，拼在第三个角的顶点处。观察拼接结果，发现三个角拼在一起刚好是一个平角。
3.得出猜想：三角形的内角和为180°。
4.教师用多媒体动画展示三角形内角和为180的过程。
5.教师指出：任何实验都会有误差，即使全班同学都各自拼接了不同形状的三角形，但也不能就此说明所有的三角形都具有这一共性。启发学生运用所学的几何知识去证明这一结论。
6.⑴证明猜想，得出定理、 分析命题:让学生结合图形说出已知和求证。已知：△ABC 求证：∠A+∠B+∠C=180°⑵ 教师重点分析证明思路，启发学生根据实验过程添加辅助线，鼓励学生独立思考，寻求证明方法。 学生分组讨论何处能提供180°的结论？如何将三个角相加？如何利用平行线的性质构造同位角、内错角，同旁内角，将角的大小不变，而位置改变，从而将三角形的三个内角集中。各小组展示探究结果，归纳出以下几种证法： 方法①过点C点，作CE∥BA，方法②过A点，作PQ∥BC，方法③在BC边上取任一点D，作DE∥AB、DF∥AC等。方法④过点A作射线AQ∥BC等。⑶分析定理的内容、作用。三角形的内角和定理是任意三角形都必须满足的条件，我们可以利用它找到三角形中角的关系、进行角度的计算。⑷ 巩固练习一:在△ABC中，①∠A=60°，∠B=50°，则∠C=（ ）°② ∠C=90°，则∠A+∠B=（ ）° ③∠A=50°，∠B=∠C，则∠C=（ ）°⑸ 出示例题，应用例题巩固定理，完成 教材208页练习1、 2题,布置210页习题做为作业, 归纳总结：明确知识三角形的内角有怎样的关系？三角形内角和定理的证明，如何添加辅助线是关键。辅助线是怎样添加的？为什么这样添加？⑹最后是教学反思。
A
B
C
D