北师大版数学九年级上册 1.1.3 菱形的性质与判定综合应用教学设计（表格版）

1.1.3 菱形的性质与判定综合应用
一、教材及学情分析
通过前两节课的学习，学生已经经历了对菱形的性质及判定的探究及验证过程，基本掌握了菱形的各项性质及判别方法，积累了不少关于菱形的探究活动经验，这些都为本节课的教学打好了基础。本节课是对菱形性质及判定的巩固和提升，要求学生能综合利用菱形性质定理及判定定理解决一些相关的问题。菱形是学生们继平行四边形之后学习的第一种更特殊的四边形，其教学探索过程和活动经验的积累为进一步学习特殊四边形矩形、正方形做以铺垫。
二、教学目标及重难点
1.知识与技能目标：能灵活运用菱形的性质定理、判定定理及面积公式解决一些相关问题。
2.过程与方法目标：经历菱形性质定理及判定定理的应用过程，在应用中进一步认识性质与判定定理的区别与联系。体会数形结合、转化、方程等思想方法。
3.情感与态度目标：在学习过程中感受数学与生活的联系，增强数学应用意识。通过师生、生生对话交流，培养学生的合作交流能力与数学表达能力。
教学重点：应用菱形性质、判定和面积公式解决相关问题，理解性质与判定的区别与联系，在直观演示的基础上进行理性的思考推理。
教学难点：综合应用菱形的性质和判定定理，在问题解决的过程中提炼出处理菱形问题一般性的策略和方法，体验转化、归纳、综合和拓展。
三、现代教学手段的应用
现代教学技术应用：交互式白板，电子笔，平板电脑，PPT，几何画板。
借助交互式白板的书写功能标注分析，真正体现思维过程，发展学生的推理能力和探究能力。精心制作PPT，使得传递给学生的信息直观生动、条理清晰，帮助学生理解，提高数学学习兴趣。通过平板选取合适的教学素材，推送学生的解答，便于所有学生共同观察纠错，提升讲评效率效果。通过几何画板，动态演示变化过程，帮助学生理解内化，突破教学难点。
四、教学设计流程图
(
复习
3
条判定定理
（尺
规
作菱形）
) (
看图说性质
（基本元素，整体对称性）
) (
回顾菱形的性质和判定
)
(
菱形
性质的应用
) (
菱形的
计算问题
) (
菱形的
面积
)
(
菱形问题转化到特殊三角形
等面积，方程思想
)
(
面积公式的选择
巧用面积“桥”
) (
1
、巧用性质求线段（周长）
.
2
、巧用性质求角度
3
、巧用性质判形状
)
(
综合应用
严格证明
) (
几何直观
推理判定
) (
综合应用
菱形的性质与判定
)
(
3
、性质
判定
相辅相成
区别与联系
)
(
菱形背景求线段和最值
) (
拓展提升：
菱形中的
最值
问题
) (
菱形中的动态三角形面积最值
)
(
4
、巧用对称、旋转
变中寻找不变
)
(
升华小结
一般方法策略
) (
课后完成“专项练习”，应用提升
)
五、教学过程设计
教学活动
教学 步骤 师生活动 设计意图
知识 回顾 引入 新课 前两天我们一起探索了菱形的性质与判定，一起先来回忆一下它的相关性质． 1：请大家看着图来说。一般我们研究一个四边形，是从哪几个方面来研究它的性质呢？ 微观：基本元素 宏观：整体的对称性 2：如果我们要判定一个图形是菱形，我们先要看这个原四边形是什么形状 （1）如果原四边形是平行四边形，你应该给他加一个什么样的条件？ （2）如果把这个原四边形弱化成任意四边形，还能不能有什么条件来判定它是菱形？ （3）这些增加的条件和菱形的性质有何关系？ 3、如果我想让黑板上的线段AC为菱形的一条对角线，你能否用尺规作图的方式帮老师画出这个菱形？ 学生表述老师操作，追问作图依据。 4、我们学习了这么多性质和判定定理，到底它们有何用？用什么？又该怎么用？引入新课。 通过复习回忆菱形的相关概念性质。为进一步应用性质、判定做好准备。 让学生再次体会按照基本元素“边，角，对角线”来研究四边形的性质是我们常用的研究思路。 通过问题串帮助学生理清判定菱形的层次，感悟其与菱形性质的区别与联系。 判定的简单应用，使学生获得成就感，调动学生的积极性，并呈现我们课堂要研究的基本图形。 带着思考学习、感悟，提升课堂效能。
知识 应用 感悟 生活 1、展示一组生活中常见的应用菱形的图片。动态展示著名设计师兼具艺术与功能性的家具作品，让学生感受到菱形的妙用。 2.菱形性质的直接应用 （1）巧用菱形性质求线段（周长） （2）巧用菱形性质求角度。 （3）巧用菱形性质判定形状。 由学生独立思考完成，上台展示讲解。 小结提炼：菱形问题 转化 特殊三角形。 把多边形的问题转化为三角形的问题展开研究，是在多边形学习过程中经常使用的有效方法。 吸引注意力，激发好奇心，使学生感悟到应用数学可以创造更美的生活。 菱形不仅图形很美，应用也非常广泛。其设计美观，制作方便，灵活实用。 3道较简单的菱形问题，既是对菱形性质应用的巩固，也给了学生展示的舞台。第3题同时为最后的拓展提升打下伏笔。 　　不同类型的问题使学生感受到菱形性质应用的多样性，让学生更加深入的掌握相关性质；同时多解归一，感悟解决菱形问题的一般方法。
知识 活用 菱形 面积 菱形面积巧突破 出示问题，引导学生回顾菱形的面积计算公式： ； 问题1、如图，菱形ABCD的周长为8cm，∠ABC ＝ 3∠BAD 。则这个菱形的面积为 。 由于菱形的面积计算方式多样，引导学生学会根据题意选择公式。 问题2、如图，四边形ABCD是菱形，AC=8,DB=6,DH⊥AB于点H，则DH的长为 _____. 小结提炼： 在前面的课堂中我们已推导出了菱形面积的2个计算公式。通过具体的问题引导回顾，为进一步灵活应用做铺垫。 问题2，引导学生感悟，用两种方法计算面积，这里面蕴含着等量关系，我们可以活用方程思想进行计算，进而求出其一边上的高. 通过两道有关菱形面积练习的思考及讲评，使学生体会到菱形面积算法灵活，要学会根据题意合理选择，同时体会到面积的“桥梁”作用，巧用等面积法求线段。
综合 应用 典例 探究 综合应用菱形性质和判定推理计算 例1、红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志．将宽为1 cm的红丝带交叉成60°角重叠在一起(如图)，请求出重叠四边形的周长和面积。 师生共析，鼓励学生多角度解决问题，展示自己的方法。 引导学生通过几何直观去感知这个图形可能是什么形状？是不是特殊四边形？进而推证重叠四边形是菱形，为进一步计算推理做铺垫。通过问题串，着重分析 “宽为1cm”， 促进学生理解。 例2、已知:如图,四边形ABCD是平行四边形,AE平分∠BAD,与BC相交于点E,EF//AB,与AD相交于点F. 求证:AE⊥BF 师生共析后由学生独立书写证明过程，教师巡场，找出典型作答推送至白板，集体纠错评析，体会性质与判定的综合应用。 想证垂直，可以通过判定四边形ABEF是菱形，这里要用到平行四边形ABCD性质，最后利用菱形对角线的性质得到垂直。 小结提炼：证明题六步骤：看已知，巧标注，想定理，抓结论，写思路，细检查。 通过两道例题的师生共析，使学生感受到性质和判定是一对相辅相成的好兄弟，它们既有区别又有联系，在解决问题时，常常需要综合使用它们，可以帮助我们巧妙的解决很多问题。 师生共析后，由学生自主回答说理，互相补充，提高数学说理表达能力，增强应用菱形性质和判定的信心。 明确性质虽好用，但未说明不能默认。我们可以通过先判定菱形，获得更多线段和角的条件，为进一步推证计算提供条件。锻炼学生主动应用菱形性质和判定的意识，使学生不仅做得到，而且想得到。 学生完成典型例题后及时总结经验，帮助学生形成解题思路，获得解题策略，突破易错难点，规范完整作答。
综合 应用 拓展 提升 菱形中的动态最值问题 问题1、　工人师傅要在主会场的菱形框架内做一个造型PAE,已知菱形框架ABCD的边长为10，∠ABC=60°，E是AB边的中点，P是对角线BD上一动点，为了节约材料，要使PA+PE的值最小，则最小值为______ 。 变式1：若∠ABC=45°， E为AB边上的一个动点，则PA+PE的最小值为？ 变式2：若∠ABC=45°，点E、F分别为AB、AD边上的2个动点，则PE+PF的最小值为？ 由静到动，由一动点到双动点，由特殊到一般，通过几何画板动态演示分析推理过程。 问题2、如图，菱形ABCD中，∠B=60°，边长为2，点E、F分别是边AB，AD上的两个动点。
（1）若∠ECF＝60°，判断△CEF的形状。 （2）设△CEF面积为S，求S的取值范围。 （3）求△AEF面积的最大值。 对于第（2）问，由于第（1）问等边三角形在前面已经证出，加上前一题的经验，为此铺好了台阶，从而较轻松的突破了这一难点。学生能独立分析，表达说理。 对于第（3）问，给学生留出充足的思考时间，独立思考的基础上与同伴进行交流讨论。 小结提炼：解决这类问题的关键是化动为静，在变中寻找不变。同时灵活运用菱形相关性质解决问题． “将军饮马”问题是同学们所熟知的老朋友，放在菱形背景下，新瓶装旧酒，熟悉的味道，有何新意？ 　 通过分析，让学生体会到利用菱形的轴对称性, 可将两线段和的最小值问题转化为两点之间的最短距离问题. 除了菱形外, 其他具有轴对称性的图形, 如角、正方形等也常是此类问题的载体, 其解决方法都与此题类似. 在菱形最值等问题中，可用“对称”“旋转”的方法找到相等的线段和相等的角．像这样将一个问题转变为一个和它等价的问题，是解数学题的常用方法。 通过操作几何画板直观展现动点带动线段变化的过程和三角形旋转的动画过程，帮助学生理解实质，充分发挥多媒体课堂的优越性。
课堂 小结 归纳 升化 请同学们谈谈这堂课有哪些收获。 教师及时肯定学生的表达。 教师应对本节课，在解题思路和方法策略上进行升华点拨。 学生通过这一环节，体会收获，增强概括能力，感受求知带来的愉悦。 教师呼应开头问题，点拨提炼，巩固本节课的核心研究思路和思想方法，丰富孩子们研究策略和经验。
六、教学反思感悟
1、重视在直观演示的基础上进行理性的思考推理。
几何学习离不开图形，本节课相关问题的呈现都很重视引导学生观察几何图形，直观猜测，标注分析，进而严密推理。给学生充分的思考和表达机会，着力培养学生思考问题和理性表达的能力，提升用数学的眼光观察世间，用数学的方法分析问题的意识，让学科素养在数学课堂中落地生长。整个教学设计，让学生经历由易到难，由单一到综合，由特殊到一般，由静态到动态的探索过程，通过问题引领、自主思考、小组交流、学生展讲、教师点拨，形成较好的解题思路，体验转化、归纳、方程、数形结合等重要的数学思想方法。重视学生的反思过程，让学生在不断的反思感悟中思维得到升华。
2、重视针对学情，对教材资源进行合理整合。
在前两节课的教学中教师引导学生通过动手操作、小组合作等方式探究发现了菱形的性质、判定的方式，以及面积周长的算法，并对这些发现进行了严格的推理证明。在探究过程中学生积累了不少关于菱形的活动经验，并能利用性质判定解决一些较简单的问题，加之平行四边形的学习经验，具备了较好的说理表达能力。因此，根据本校学生实际情况对教材进行合理整合，选题类型源于课本又高于课本，有一定梯度。精选例题，并且大多数例题都赋予了实际背景，使学生们感受到数学的实际应用非常广泛，学会用数学的方式来分析问题。对于典型例题进行了变式训练，层层递进，并通过有效追问突破教学难点，起到了较好的效果。
3、重视课堂中对数学思想方法的感悟提炼。
在初中数学课堂中进行数学思想方法的渗透，是将知识转化为能力的过程，数学思想与方法是数学学科的本质与精髓，对提升学生数学能力具有积极的促进作用。本节课对此进行了整体设计，按题型和难易大体分为四个模块，在每一模块的具体问题中，教师都通过点评学生作答，引导学生感悟其作答的精妙之处，并在每一模块之后进行整体的方法提炼，如何联系菱形的性质和判定，运用了怎样的思想方法，帮助学生学会通法，在后面的研究分析中类比迁移。