2.1 等式性质与不等式性质 课件(共31张PPT)

(共31张PPT)
2.1 等式性质与不等式性质
人教A版2019必修第一册
学习目标
1. 了解现实世界和日常生活中存在着的不等关系；
2. 会从实际问题中找出不等关系，并能列出不等式与不等式组.
3. 掌握不等式的基本性质；
4. 会用不等式的性质证明简单的不等式；
5. 会将一些基本性质结合起来应用.
生活中有哪些不等关系的例子？
情景导学
问题1 常见的不等关系有哪些？你能用文字语言和符号语言表述吗？
文字 语言 大于 大于 等于 小于 小于 等于 至多 至少 不少于 不多于
符号 语言
>
≥
<
≤
≤
≤
≥
≥
情景导学
问题1 你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗
（1）某路段限速40km/h；
（2）某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量f 应不少于2.5%，
蛋白质的含量p应不少于2.3%；
（3）三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边；
（4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短．
对于（3），设△ABC的三条边为a，b，c，则a+b > c，a－b < c．
对于（4），设C是直线AB外任意一点，CD垂直于AB，垂
足为D，E是直线AB上不同于D的任意一点，则CD情景导学
问题2 你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗
某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本．如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元
设提价后杂志的定价为x元，则销售的总收入为 万元，那么不等关系“销售的收入不低于20万元”用不等式可以表示为：
情景导学
如何解上述不等式呢？与解方程要用等式的性质一样，解不等式要用不等式的性质．为此，我们需要先研究不等式的性质．
在初中我们已经通过具体实例归纳出了一些不等式的性质．那么，这些性质为什么是正确的？还有其他不等式的性质吗？
回答这些问题要用到关于两个实数大小关系的基本事实．
关于实数a,b大小的比较，有以下基本事实：
如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b等于0，那么a=b；如果a－b是负数，那么a情景导学
这个基本事实可以表示为：
从上述基本事实可知：要比较两个实数的大小,可以转化为比较它们
的差与0的大小．
情景导学
(1)比较(x+2)(x+3)和(x+1)(x+4)的大小
(2)比较3x3与3x2－x＋1的大小．
(3)已知a≥1,试比较 和 的大小.
【例1】
典例分析
(1)比较(x+2)(x+3)和(x+1)(x+4)的大小
解：因为 (x+2)(x+3)-(x+1)(x+4)
=x2+5x+6-(x2+5x+4)
=2>0
所有(x+2)(x+3)>(x+1)(x+4)
典例分析
(2)比较3x3与3x2－x＋1的大小．
解：因为 3x3－(3x2－x＋1)
=3x3－3x2＋x－1
=3x2(x－1)＋(x－1)
=(x－1)(3x2+1)
所以，当x－1>0即x>1时，3x3>3x2－x＋1；
当x－1=0即x=1时，3x3=3x2－x＋1；
当x－1<0即x<1时，3x3<3x2－x＋1；
典例分析
(3)已知a≥1,试比较 和 的大小.
典例分析
小结：比较大小
（3）判断与0的大小
（4）得出结论
（1）作商
（2）变形
（3）判断与1的大小
（4）得出结论
作差法
作商法
（1）作差
（2）变形(通分、因式分解、配方、有理化）
方法小结
思考探究
请你先梳理等式的基本性质，再观察它们的共性，你能归纳一下发现等式基本性质的方法吗？
等式有下面的基本性质
性质1 如果a=b,那么b=a;（对称性）
性质2 如果a=b,b=c,那么a=c;（传递性）
性质3 如果a=b,那么a±c=b±c;（加法）
性质4 如果a=b,那么ac=bc;（乘法）
性质5 如果a=b,c≠0,那么 .（乘法）
可以发现，性质1，2反映了相等关系自身的特性，性质3，4，5是从运算的角度提出的，反映了等式在运算
中保持的不变性．
（运算的不变性即为性质）
类比等式的基本性质，你能猜想不等式的基本性质吗，并加以证明吗？
探究
等式 不等式
对称性
传递性
思考探究
等式 不等式
加法
注：不等式两边同时加上（或减去）同一个实数，不等式与原不等式
同向．（不等号方向不变）
注：不等式中任何一项可以改变符号后移到不等号的另一边．
移项法则：
思考探究
等式 不等式
乘法
注：
不等式两边同乘一个正数，不等式方向不变；
不等式两边同乘一个负数，不等式方向相反．
思考探究
等式 不等式
加法
注：同向不等式相加，所得不等式与原不等式同向.
同向不等式只能相加，不能相减，但相减可以转化为相加问题
（加其相反数）.
思考探究
等式 不等式
乘法
注：同是正数的同向不等式相乘，所得不等式与原不等式同向.
思考探究
证明：
【例2】
典例分析
变式训练
【变式1】对于实数a，b，c有下列结论：
①若a>b，则ac②若ac2>bc2，则a>b；
③若aab>b2；
④若c>a>b>0，则 ；
⑤若a>b， ，则a>0，b<0．
其中正确结论的有____________．
② ③ ④ ⑤
【例3】 已知1解 ∵1∴8<2a+3b<32.
∵2又∵1∴1+(-8)即-7不等式只有同向可加性，没有同向可减性！！！
典例分析
新知讲解
如图是根据第24届国际数学家大会的会标设计的，会标灵感来
源于中国古代数学家赵爽的弦图，图中有什么不等关系？
很显然赵爽弦图是我们在初中研究勾股定理时的模型，我们把
它抽象成如图所示的图形.
设图中直角三角形的两个直角边长为，那么正方形的边长就是，这样，四个直角三角形的面积之和就是，正方形的面积为，很显然正方形的面积大于三角形面积和.即
当直角三角形变为等腰直角三角形时，内部的小正方形变成了一个点，此时，有，所以综合可知，
新知讲解
一般地，，这个不等式被称为重要不等式，
当且仅当时，等号成立.
事实上，利用完全平方公式也可以得到这个不等式：
因为,,当且仅当时，等号成立.所以
因此，由两个实数大小关系的基本事实，我们得到：
，当且仅当时，等号成立.
1、若实数a,b满足a答案 (1)B　
当堂检测
当堂检测
∵a>b>0,c∴a+b>0,c+d<0,b-a<0,c-d<0.
∴(a+b)-(c+d)>0,(b-a)+(c-d)<0.
∵e<0,∴e[(a+b)-(c+d)][(b-a)+(c-d)]>0.
当堂检测
课堂小结
性质 别名 性质内容 注意
1 对称性 a>b a2 传递性 a>b，b>c a>c
3 可加性 a>b a＋c>b＋c
4 可乘性 a>b，c>0 ac>bc； a>b，c<0 ac5 同向可加性 a>b，c>d a＋c>b＋d 同向
6 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0 ac>bd 同向 同正
7 可乘方性 a>b>0 an>bn(n∈N*，n≥2) 8 可开方性 a>b>0 (n∈N*，n≥2) 课堂小结
等式性质
等式
不等式
不等关系的表示
比较大小
应用
不等式性质
谢谢
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